Equidistribution of the conormal cycle of random nodal sets
研究了光滑紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数随机叠加的节集余正规圈的渐近性质。在维数为奇数的情况下，我们证明了相应的积分流的期望在余切丛的纤维上均匀分布。在维数为偶数的情况下，我们得到了期望的一个低阶上界。利用Alesker最近的结果，我们还得到了任意光滑赋值的渐近期望的一些性质，包括随机节点集的欧拉示性数.
2016-04-01 math-ph math.DG math.MP
Tangent nodal sets for random spherical harmonics
本文考虑$S^2$上的固定向量场$V$，并研究了$V$也相切的随机球谐函数节点集上点的分布.我们表明，相应的计数函数的期望值是渐近的特征值的首项系数是独立的向量场$V$。这以某种形式证明了向量场直到低阶项的普遍性。
2018-09-11 math.AP math.DG math.SP
Pleijel nodal domain theorem in non-smooth setting
本文在非塌缩 RCD 空间及低正则 Euclidean 区域中证明 Pleijel 定理，建立节点域数渐近上界，并推出 Courant 定理至多有有限个例外。
2023-09-26 math.AP math.MG math.SP
Nodal and spectral minimal partitions -- The state of the art in 2015 --
PSL, CNRS, ENS Paris（巴黎文理研究大学、法国国家科学研究中心、巴黎高等师范学院）；Université Paris Sud（巴黎第十一大学）；Université de Nantes（南特大学）
本文综述了节点和谱极小划分的最新研究，包括Courant锐例、极小谱划分、正则划分拓扑及Aharonov-Bohm方法，探讨了极小k划分的渐进行为。
2015-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Domains without dense Steklov nodal sets
本文研究二维区域上Steklov特征值问题$$ -Δϕ_{σ_j}=0,\quad\text{ on }Ω,\qquad\qquad \partial_νϕ_{σ_j}=σ_j ϕ_{σ_j}\quad \text{ on }\partialΩ$$的特征函数节点集的渐近几何性质。特别地，本文给出了具有解析边界的二维单连通域的稠密族$\mathcal{A}$，使得对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，特征函数$ϕ_{σ_j}$“的节点集在尺度$σ_j^{-1}$上是$not$稠密的.这个结果解决了Girouard和Polterovich，J. Spectr. Theory，321-359（2017）.事实上，本文的结果表明，对于域$Ω\in \mathcal{A}$，与本征值$σ_j$相关的本征函数$ϕ_{σ_j}$的节点集具有与预期完全不同的性质：它们在任何收缩尺度上都不稠密。更精确地，对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，存在值$r_1>0$，使得对于每个$j$，存在$x_j\in Ω$，使得$ϕ_{σ_j}$在围绕$x_j$的半径为$r_1$的球上不消失。
2019-08-09 math.AP math.SP
Scaling of Harmonic Oscillator Eigenfunctions and Their Nodal Sets Around the Caustic
研究了各向同性谐振子$- \hbar ^2 Δ+ |x|^2$的本征值$E = \hbar(N + \frac{d}{2})$在半经典极限$\hbar \to 0$下的本征空间投影核$Π_{\hbar, E}(x,y)$的标度渐近性.主要结果是一个明确的公式的缩放渐近的$Π_{\hbar, E}(x,y)$ $x,y$在$\hbar^{2/3}$附近的焦散$\mathcal C_E$作为$\hbar \to 0.$的缩放渐近适用于分布的高斯随机本征函数的节点集周围的焦散$\hbar \to 0$。在以前的工作中，我们证明了$\hat{H}_{\hbar}$的高斯随机本征函数的零点密度在允许区和禁止区的Planck常数$\hbar$中具有不同的阶数：在允许区密度为$\hbar^{-1}$阶，而在禁止区密度为$\hbar^{-1/2}$阶.我们关于节点集的主要结果是：在焦散线周围的$\hbar^{\frac{2}{3}}$ -管中，零点的密度是$\hbar^{-\frac{2}{3}}$阶。该管半径是“临界半径”。对于环较大的内部和外部半径$\hbar^α$与$0< α< \frac{2}{3}$，我们得到的密度结果之间的临界半径的结果和我们以前的允许和禁止的区域内插。我们还表明，Hausdorff $(d-2)$维措施的交点的节点集与焦散线的顺序是$\hbar^{- \frac{2}…
2016-11-13 math-ph math.MP math.PR
On Pleijel-type nodal domain bounds for the $p$-Laplacian
针对有界域中 $p$-Laplacian 的余属特征值，给出节点域渐近数量的 Pleijel 型上界，并确定第 $k$ 个特征函数节点域数小于 $k$ 的条件。
2026-07-01 math.AP math.SP
Nodal length fluctuations for arithmetic random waves
利用标准环面的谱重数，我们赋予拉普拉斯本征空间高斯概率测度。这就引出了环面上随机高斯拉普拉斯本征函数的概念（“算术随机波”）。本文研究了随机本征函数在大本征值时节长的分布，得到了方差的渐近性是非普适的，并且与位于半径与能量相对应的圆上的格点的算法密切相关。
2012-06-21 math-ph math.MP math.NT
On the effects of small perturbation on low energy Laplace eigenfunctions
我们调查的几个方面的节点的几何形状和拓扑结构的拉普拉斯本征函数，特别强调低频制度。这包括佩恩性质及其周围的研究，节点域的开角估计，（基本）谱隙的饱和度等，以及在小尺度扰动下的上述所有行为。我们的目标是突出有趣的方面的光谱理论和结的现象绑在基态/低能量本征函数，而不是渐近的结果。
2022-10-14 math.AP math.DG math.FA
Hole probability for nodal sets of the cut-off Gaussian Free Field
设（$Σ$，g）是具有黎曼度量的闭连通曲面.设（$λ$ n）n $\in$ N和（$ψ$ n）n $\in$ N是$Σ$上拉普拉斯算子的特征值的递增序列和相应的L2归一化特征函数的序列.对于每个L \textgreater{} 0，我们考虑$ϕ$ L = 0 \textless{} $λ$ n $\le$ L $ξ$ n $\sqrt$ $λ$ n $ψ$ n，其中$ξ$ n是方差为1的独立同中心高斯。当L $\rightarrow$ $\infty$时，$ϕ$ L收敛。在分布的意义下，将其推广到$Σ$上的高斯自由场。我们首先计算这个域族的协方差函数的渐近行为为L $\rightarrow$ $\infty$。然后，我们使用这个结果来获得概率的渐近性，$ϕ$ L是积极的一个给定的开放的真子集具有光滑的边界。在这样做时，我们还证明了$ϕ$ L的上确界的浓度在1 $\sqrt$ 2 $π$ ln L附近。
2016-09-02 math.PR math.SP
Interface asymptotics of partial Bergman kernels on $S^1$-symmetric Kaehler manifolds
研究了在Hamilton全纯$S^1$作用下不变的极化射影Kahler流形的等变Bergman核和部分Bergman核的渐近性.分别在允许区域$\mathcal{A}$内得到了部分Bergman核的渐近性.禁区$\mathcal{F}$，推广了Shiffman-Zelditch，Shiffman-Tate-Zelditch和Pokorny-Singer关于复曲面Kahler流形的结果.主要结果给出了等变Bergman核和部分Bergman核在界面$\partial \mathcal{A}$附近过渡区域的标度渐近性，推广了Ross-Singer最近关于部分Bergman核的工作，并改进了Ross-Singer过渡渐近性以适用于等变Bergman核.
2017-05-18 math.CV math.SP
A Pleijel-type theorem for the quantum harmonic oscillator
本文证明了任意维量子谐振子本征函数节域个数的渐近性态的Pleijel型定理。
2015-12-24 math-ph math.MP math.SP
Interface Asymptotics of Eigenspace Wigner distributions for the Harmonic Oscillator
量子各向同性谐振子$\hat{H}_{\hbar} : = - \frac{\hbar^2}{2} Δ+ \frac{||x||^2}{2}$在$\mathbb{R}^d$上的本征空间具有极大的重数，本征空间投影$Π_{\hbar, E_N(\hbar)} $具有特殊的渐近性质.本文详细研究了它们的Wigner分布$W_{\hbar, E_N(\hbar)}(x, ξ)$。启发式地，如果$E_N(\hbar) = E$，则$W_{\hbar, E_N(\hbar)}(x, ξ)$是能量表面$Σ_E$的“量子化”，并且应该像$Σ_E$上的δ函数$δ_{Σ_E}$;严格地，$W_{\hbar, E_N(\hbar)}(x, ξ)$在弱 * 意义上倾向于$δ_{Σ_E}$。但它的逐点渐近性和标度渐近性有更多的结构。主要结果给出贝塞尔渐近的$W_{\hbar, E_N(\hbar)}(x, ξ)$在内部$H(x, ξ) < E$的$Σ_E$ ;接口艾里缩放渐近管半径$\hbar^{2/3}$周围的$Σ_E$，与$(x, ξ)$在内部或外部的能量球;和指数衰减率在外部的能量表面。
2019-02-03 math-ph math.MP math.SP
