Spectral gaps of simplicial complexes without large missing faces
令$X$是$n$顶点上的单纯复形，且没有缺失维数大于$d$的面。令$L_{j}$表示作用在$X$的实$j$ -上链上的$j$ -拉普拉斯算子，$μ_{j}(X)$表示其最小特征值.我们研究了$k\geq d$和$μ_{d-1}(X)$的光谱间隙$μ_{k}(X)$之间的联系。特别地，我们建立了以下消失结果：如果$μ_{d-1}(X)>(1-\binom{k+1}{d}^{-1})n$，则对于所有$d-1\leq j \leq k$，$\tilde{H}^{j}(X;\mathbb{R})=0$。作为应用，我们证明了Holmsen，Martínez-Sandoval和Montejano关于拟阵中一般位置集的Hall型定理的分数阶推广.
2017-06-01 math.CO
A Conjectural Brouwer Inequality for Higher-Dimensional Laplacian Spectra
我们提出了一个推广的Brouwer的代数家庭的不等式-一个流行的家庭的不等式在谱图论中的边界的拉普拉斯特征值的部分和的图形-的情况下，抽象的单纯复形的任何尺寸。我们证明了这一系列的不等式持有移位单纯复形，推广阈值图，并给出更严格的界限（线性的复杂的尺寸）单纯树。我们证明了猜想持有的第一，第二，最后部分和所有单纯复形，推广了许多已知的证明图的情况下，单纯复形。我们还证明了对于维数至少为t且匹配数大于$t$的单纯复形，该猜想对第t个部分和成立.回到图的特殊情况下，我们扩大一个已知的证明表明，布劳威尔猜想成立与平等的第t个部分和，其中t是最大团大小的图减去一（或，等价地，锥顶点的数量）。在此过程中，我们开发的机械可能会进一步深入了解相关的长期存在的问题。
2019-07-17 math.CO
Proof of Lew's conjecture on the spectral gaps of simplicial complexes
本文研究了单纯复形的组合拉普拉斯算子谱隙问题，确定了达到Lew所提谱隙下界的唯一单纯复形，从而证明了Lew猜想。
2024-07-29 math.CO
Maximizing the signless Laplacian spectral radius of simplicial 2-complexes with a prescribed second Betti number
Anhui University（安徽大学）；Anhui Jianzhu University（安徽建筑大学）
本文研究了二维简单复形在给定第二贝蒂数下的无符号拉普拉斯谱半径的渐近公式及最大值复形的结构特征。
2026-09-15 math.CO
On the chromatic number of a simplicial complex
在[Ho]中A.J.Hoffman证明了图的色数的一个下界，它是由图的邻接矩阵的最大和最小特征值表示的。本文证明了这一结果的一个高维形式，并利用高阶Laplacian算子的谱给出了纯$d$维单纯复形的色数的一个下界.
2015-11-17 math.CO
Spectral gap bounds for the simplicial Laplacian and an application to random complexes
本文给出了一般单纯复形的约化拉普拉斯算子的两个谱间隙界。我们的两个界限证明比较单纯复形在两个不同的方式与一个更大的复杂和相应的团复杂。这两个界都推广了Aharoni等人（2005）\cite{ABM}的结果，该结果仅对团复形有效。作为应用，我们研究了Erdös-Rényi随机图的邻域复形的上同调消失的阈值。我们使用我们的谱间隙边界通过对数因子改进了Kahle（2007）\cite{kahle}中导出的上界，并且我们还通过比Kahle（2007）\cite{kahle}中更精细的概率估计改进了下界。
2019-10-09 math.CO math.PR
The counting matrix of a simplicial complex
对于具有n个集合的有限抽象单纯复形G，定义n × n矩阵K（x，y），它是x和y的交集中的子单纯形的个数。我们称之为G的计数矩阵。与连接矩阵L类似，如果x和y相交，则L（x，y）=1，否则为0，计数矩阵K是幺模的。实际上，K总是在SL（n，Z）中。K的逆具有格林函数项K^（-1）（x，y）=w（x）w（y）|W^+（x）<$W^+y|其中W^+（x）是x的星，G中包含x的集合，w（x）=（-1）^dim（x）。矩阵K总是正定的。K和K^（-1）的谱总是一致的，使得矩阵Q=K-K^（-1）具有谱对称性spec（Q）=-spec（Q），并且zeta函数z（s）将l（k）^（-s）与K的特征值l（k）求和满足函数方程z（a+ib）=z（-a+ib）。在这种情况下，能量定理告诉我们K^（-1）（x，y）的矩阵元素之和等于G中的数集。相比之下，在联络矩阵的情况下，我们得到了L^（-1）的矩阵元素之和是G的欧拉示性数的恒等式。
2019-07-22 math.CO
Eigenvalues and spectral gap in sparse random simplicial complexes
我们考虑$n$顶点上随机$d-$维单纯复形的Linial-Meshulam模型$X(d,n,p)$的邻接算子$A$，其中每个$d-$单元以概率$p\in[0,1]$独立地添加到完整的$(d-1)$ -骨架中.我们考虑稀疏随机矩阵$H$，这是广义的中心和规范化的邻接矩阵$\mathcal{A}:=(np(1-p))^{-1/2}\cdot(A-\mathbb{E}\left[A\right])$，通过替换伯努利$(p)$随机变量用于构建$A$与任意有界分布$Z$。我们得到的预期Schatten规范的$H$，这使我们能够证明结果的特征值限制，特别是$\left\Vert H\right\Vert _{2}$收敛到$2\sqrt{d}$的期望和$\mathbb{P}-$几乎肯定$n\to\infty$，只要$\mathrm{Var}(Z)\gg\frac{\log n}{n}$。证明中的主要成分是将[LVHY 18，定理4.8]推广到高维单纯复形的上下文中，高维单纯复形可以被视为具有相关项的稀疏随机矩阵模型。
2022-02-01 math.CO math.PR
Locally standard torus actions and h'-vectors of simplicial posets
研究了具有紧环面局部标准作用的流形$X$上的轨道型滤子和相应的同调谱序列$(E_X)^r_{*,*}$ .如果轨道空间$Q=X/T$的所有真面都是非循环的，并且作用量的自由部分是平凡的，则这个谱序列可以完全描述。对角项的秩等于Buchsbaum单纯偏序集$S_Q$与$Q$的对偶的$h'$ -数。$X$的Betti数只与轨道空间$Q$有关，而与特征函数无关.如果$X$是一个稍微不同的对象，即模型空间$X=(P\times T^n)/\sim$，其中$P$是一个锥上的Buchsbaum单纯偏序集$S$，我们证明了$\dim (E_X)^{\infty}_{p,p} = h''_p(S)$。这为Buchsbaum单纯偏序集的$h''$ -数是非负的这一事实提供了拓扑证据。
2015-01-28 math.AT math.CO
Sparse Cuts in Hypergraphs from Random Walks on Simplicial Complexes
本研究衔接超图研究的两大分支，分析单纯复形上不同游走的谱隙与超图扩张、电导率的关联，证明部分游走谱隙无法推导超图电导率界，给出类Cheeger不等式，并验证链环扩张无法以类Cheeger方式界超图扩张。
2023-10-03 cs.DS math.CO
Simplicial complexes: spectrum, homology and random walks
图上的随机游动反映了图的许多拓扑和谱性质，如连通性、二分性和谱隙大小。本文的第一部分定义了任意维单纯复形上的随机过程，它以类似的方式反映了高维同调的存在性，以及Eckmann和Garland的工作中提出的高维谱隙的大小。本文的第二部分是致力于无限复形。本文推广了Kesten关于正则树谱的结果，并讨论了返回概率与谱半径之间的关系。我们研究了Alon-Boppana定理关于谱隙的类似物，并给出了高维对应物的一个反例。然而，我们表明，在某些假设下，该定理确实成立-例如，如果余维一骨架的复合物的问题形成一个家庭的扩展。我们的研究表明，自然的概括，从图论，如顺从性，递归/瞬态，和二分性的许多概念。我们提出了一些意见，这些想法，和几个开放的问题。
2013-01-11 math.CO math.PR math.SP
Spectrum of signless 1-Laplacian on simplicial complexes
我们引入了单纯复形上的无符号1-Laplacian和对偶Cheeger常数。研究了它的谱与独立数、色数、对偶Cheeger常数等组合性质的关系。我们的估计可以媲美霍夫曼的界限凭借拉普拉斯对单纯复形。给出了一个关于最大特征值重数、独立数和色数的有趣不等式，它可以看作是Lovasz三明治定理的一个变形.研究了该算子在楔形拓扑运算和模体复制拓扑运算下的行为。将谱理论中的Courant节域定理推广到复形上的无符号1-Laplacian情形。
2020-03-25 math.CO math.SP
On groups and simplicial complexes
$k$ -正则图的理论与群论密切相关。每一个$k$ -正则二部图都是关于某个群$G$、生成元集合$S$（仅依赖于$k$）和子群$H$的Schreier图.本文的目标是开始开发这样一个框架$k$ -一般尺寸$d$的常规单纯复形。我们的方法并没有直接推广的概念的Schreier图，但仍然提出了一个广泛的家庭$k$ -正规单纯复形作为一个泛对象的派生：$k$ -正规$d$ -维树型复杂，这本身是一个单纯复杂的起源于一个特定的组只依赖于$d$和$k$。一路上，我们回答了一个问题，从[PR 12]上的频谱差距的高维拉普拉斯算子，并证明了高维模拟莱顿的图覆盖定理。这种方法也提出了一个随机模型的$k$ -定期$d$维多复合物。
2016-07-26 math.CO math.GR
Law of large numbers for Betti numbers of homogeneous and spatially independent random simplicial complexes
Linial-Meshulam复合模型是Erdens-Rényi图模型的自然高维模拟。近年来，Linial和Peled建立了Linial-Meshulam复形的贝蒂数的一个极限定理，该定理具有适当的参数尺度.本文旨在将这一结果推广到更一般的随机单纯复形模型。引入了一类齐次且空间独立的随机单纯复形，包括Linial-Meshulam复形模型和随机团复形模型，并研究了它们的贝蒂数的渐近性质.此外，我们还得到了它们的拉普拉斯算子的经验谱分布的收敛性。论证中的一个关键要素是单纯复形的局部弱收敛。受Linial和Peled工作的启发，我们建立了齐次空间独立随机单纯复形的局部弱极限定理。
2021-01-22 math.AT math.CO math.PR
Isoperimetric Inequalities in Simplicial Complexes
在图论中，图的扩张性质与其拉普拉斯算子的谱之间有着密切的联系。本文定义了一般维数的单纯复形的组合展开式，并证明了复形的组合展开式与Eckmann定义的高维Laplacian的谱之间存在类似的联系.特别地，我们提出了一个Cheeger型不等式和一个高维Expander混合引理。作为推论，利用Pach的工作，我们得到了复形的谱性质和Gromov的几何重叠概念之间的联系。利用Gunder和Wagner的工作，我们给出了随机Linial-Meshulam复形的组合展开和几何重叠的一个估计。
2013-05-19 math.CO math.DG math.SP
Walking on the Edge and Cosystolic Expansion
正则有界度扩张图上的随机游动有许多应用。这些行走的一个关键属性是，它们迅速收敛到顶点上的均匀分布。近年来，对图的高维类似物--高维单纯复形展开的研究，要求将随机游动自然地推广到高维。特别是，$2$维单纯复形上的高阶随机游走在复形的相邻边之间随机移动，其中如果两个边共享一个公共三角形，则将它们视为邻居。我们表明，如果一个经常$2$维单纯复形是一个costostolic扩展和复杂的基础图形有一个大于$1/2$的频谱间隙，然后在复杂的边缘上的随机游走迅速收敛到边缘上的均匀分布。
2016-06-06 cs.CC math.CO
One can hear the Euler characteristic of a simplicial complex
证明了有限抽象单纯复形G的联络Laplacian L的正特征值个数p与G中偶数维单形个数b相匹配，负特征值个数n与G中奇数维单形个数f相匹配.因此，G的欧拉示性数X（G）可以谱描述为X（G）=p-n。这与更经典的作用在同一希尔伯特空间上的霍奇拉普拉斯算子H相反，其中X（G）还不知道可以从H的谱中访问。给定一个来自CW复形的G的序，G中的每个单形x现在都与L的唯一特征向量相关联，并且对应关系是可计算的。欧拉示性数现在不仅是所有g（x，y）上的势能之和，g=L^{-1}，而且还与L的谱的对数能量tr（log（i L））2/（i pi）相一致。本文还给出了L-等谱但非同构的抽象有限单纯复形的例子。一个例子表明我们听不到复形的上同调。
2017-11-27 cs.DM math.CO math.GN
Cheeger inequalities on simplicial complexes
本文提出了一种方法，通过结合 simplicial 拓扑学、符号图、Gromov 填充半径等，解决了 simplicial 复合体上 Cheeger 型不等式的问题，并推广到 $p$-Laplacians。
2026-02-05 math.CO math.GT math.MG
