On extremal graphs with exactly one Steiner tree connecting any $k$ vertices
Bollobás研究了具有$n$个顶点且最大局部连通度至多为$\ell$的图的最大边数$f(n;\barκ\leq \ell)$的确定问题. Li等人研究了具有$n$顶点和至多两棵内部不相交的Steiner树连接任意三个顶点的图的最大边数$f(n;\barκ_3\leq2)$。本文进一步研究了具有$n$个顶点且恰有一棵Steiner树连接任意$k$个顶点与$k\geq 3$的图的最大边数$f(n;\barκ_k=1)$.事实证明，这不是一个容易完成的任务，不像经典连接性参数的问题。我们确定$f(n;\barκ_k=1)$的确切值为$k=3,4,n$，分别，并表征达到这些值的图形。
2013-01-20 math.CO
On $3$-graphs with no four vertices spanning exactly two edges
用$D_2$表示具有$4$顶点和$2$边的$3$ -一致超图.在Alon和Shapira提出的一个问题的基础上，证明了$D_2$的一个导出移除引理.我们还证明了一个Erdens-Hajnal-型结果：对于某个绝对常数$c > 0$，每个在$n$顶点上的导出$D_2$ -free超图都包含一个团或一个大小为$n^{c}$的独立集.在这两个问题中，$D_2$是唯一一个具有$k\geq 3$的非平凡$k$ -一致超图，它允许一个多项式界.
2022-06-09 math.CO
Cut and pendant vertices and the number of connected induced subgraphs of a graph
在图$G$中，一个顶点的移除会增加图$G$的分支数，这个顶点被称为割点。对所有$n,c$，我们确定了一个连通图的最大连通诱导子图数，该连通图的阶为$n$，割点为$c$，并对达到上界的图进行了计数.此外，我们还证明了在所有无割点的连通图中，该圈具有最少的连通诱导子图。一般情况$c>0$仍然是一个开放的任务。给出了给定悬挂顶点数和阶数的极图结构，并建立了相应的连通诱导子图数计算公式。这种情况下的“最小”图是一棵树，这与Li和Wang [关于树的子树总数的进一步分析]给出的结构一致。\emph{Electron. J. Comb.} 19（4），#P48，2012]。
2019-10-08 math.CO
The $h^{*}$-polynomial of the cut polytope of $K_{2,m}$ in the lattice spanned by its vertices
图的割多胞形是泛函分析、组合优化、概率论等领域的重要研究对象。例如，Sturmfels和Sullivant证明了切割多面体的复曲面理想在代数统计中是有用的。在格多面体理论中，$h^{*}$ -多项式是最重要的不变量之一。已知割多面体的$h^{*}$ -多项式是回文的充要条件。然而，除了树，没有一类图的$h^{*}$ -多项式的切割多面体是明确指定的。本文利用复曲面理想的Gröbner基理论，确定了完全二部图$K_{2,m}$的割多面体的$h^{*}$ -多项式.
2020-04-10 math.CO
On local antimagic chromatic number of graphs with cut-vertices
一个连通图$G = (V, E)$的边标号称为局部反幻的，如果它是一个双射$f:E \to\{1,\ldots ,|E|\}$，使得对于任意一对相邻顶点$x$和$y$，$f^+(x)\not= f^+(y)$，其中导出顶点标号$f^+(x)= \sum f(e)$，$e$在所有与$x$关联的边上变化. $G$的局部反魔色数，记作$χ_{la}(G)$，是在$G$的所有局部反魔标号上的不同诱导顶点标号的最小数目。本文给出了割点由悬挂点给出的图的局部反幻色数的一个精确下界。还确定了许多具有割点（可能由悬挂边给出）的图族的局部反幻色数的精确值。因此，我们部分地回答了[图的局部反魔顶点着色，{ \it Graphs and Combin.}，{ \bf 33}（2017），275- 285.]。
2022-02-18 math.CO
Blocks and Cut Vertices of the Buneman Graph
给定基数至少为2的某个有限集$X$的双划分的集合$\Sg$，人们可以将$\Sg$关联到一个规范的$X$标号图$\B(\Sg)$，称为Buneman图.这个图有几个有趣的数学性质-例如，它是一个中值网络，因此是一个超立方体的等距子图。它通常被用作研究从人群中收集的DNA序列的工具。本文给出了关于$\B(\Sg)$的{ \em割点}的一些结果，即，顶点的删除断开图，以及它的{ \em块}或2-{ \em连接组件} -结果，特别是产生一个有趣的推广的众所周知的事实，即$\B(\Sg)$是一棵树，当且仅当任何两个分裂在$\Sg$是兼容的。
2011-01-25 math.CO
The least H-eigenvalue of adjacency tensor of hypergraphs with cut vertices
设$G$是偶均匀连通超图，且含有割点.则$G$是两个非平凡连通子超图（称为分支）在一个割点处的聚并。令$\mathcal{A}(G)$为$G$的邻接张量。$\mathcal{A}(G)$的最小H特征值是指与实特征向量相关联的$\mathcal{A}(G)$的最小实特征值。本文给出了当$G$的一个分支在一个顶点上移动到另一个顶点时，$\mathcal{A}(G)$的最小H-特征值的扰动结果，并刻画了在含有一个固定连通超图的超图类中，最小H-特征值最小的超图.
2020-02-18 math.CO
On Sombor index of graphs with a given number of cut-vertices
Sombor指数是Gutman在2021年提出的一种新的图论拓扑描述符，在化合物热力学性质建模中具有潜在的应用。设G^k_n是具有k个割点的n点连通图的集合。本文给出了G^k_n中图的最小Sombor指数.相应的极值图也被刻画。
2022-06-30 math.CO
Revisiting Extremal Graphs Having No Stable Cutsets
本文填补了Le和Pfender关于边数为2n-3且无稳定割集的极图递归构造证明中的漏洞，完善了对Caro猜想相关极图结构的论证。
2024-11-30 math.CO
Codegree threshold for tiling $k$-graphs with two edges sharing exactly $\ell$ vertices
给定整数$k$和一个$k$ -图$F$，设$t_{k-1}(n,F)$是最小整数$t$，使得每一个在$k$ -图$H$上的点的余度至少为$t$的$k$ -图都包含一个$F$ -因子.对于整数$k\geq3$和$0\leq\ell\leq k-1$，设$\mathcal{Y}_{k,\ell}$是一个$k$ -图，其中两条边恰好共享$\ell$的顶点. Han和Zhao（JCTA，2015）提出了以下问题：对于所有$k\ge 3$、$0\le \ell\le k-1$和可被$2k-\ell$整除的足够大的$n$，确定$t_{k-1}(n,\mathcal{Y}_{k,\ell})$的精确值。在本文中，我们证明了对于$k\geq3$和$1\leq\ell\leq k-2$的$t_{k-1}(n,\mathcal{Y}_{k,\ell})=\frac{n}{2k-\ell}$，结合Rödl，Rucibrski和Szemerédi {（JCTA，2009）}和Gao，Han和Zhao（arXiv，2016）的两个已知结果，完全解决了Han和Zhao的问题。
2018-08-07 math.CO
Structural Properties of Connected Domination Critical Graphs
一个图$G$称为$k$-$γ_{c}$-临界图，如果对于$G$的任意一对不相邻的顶点$u$和$v$，连通控制数$γ_{c}(G)$等于$k$和$γ_{c}(G + uv) < k$.令$ζ$是$G$的切割顶点的数量，并且令$ζ_{0}$是可以包含在一个块中的切割顶点的最大数量。对于一个整数$\ell \geq 0$，如果$G - S$对于任何大小为$\ell$的顶点子集$S$都有完美匹配，则图$G$是$\ell$ -因子关键的。证明了对于$k \geq 3$，每个$k$ - $γ_{c}$ -临界图最多有$k - 2$割点，并刻画了具有最大割点数的图.进一步证明了对于$k \geq 4$，每个$k$ - $γ_{c}$ -临界图都满足不等式$ζ_{0}(G) \le \min \left\{ \left\lfloor \frac{k + 2}{3} \right\rfloor, ζ\right\}$ .本文刻画了所有具有$k - 3$割点的$k$ - $γ_{c}$ -临界图.进一步，我们建立了可实现性，即对于给定的$k \geq 4$，$2 \leq ζ\leq k - 2$和$2 \leq ζ_{0} \le \min \left\{ \left\lfloor \frac{k + 2}{3} \right\rfloor, ζ\right\}$，存在一个$k$ - $γ_{c}$…
2021-09-22 math.CO
Digraphs in which every $t$ vertices share exactly $λ$ out-neighbors and exactly $λ$ in-neighbors
本文提出双向$(t,λ)$-喜好有向图的概念，证明了$λ≥2$时2阶该类图的正则性参数关系，以及$t≥3$时其唯一为完全有向图的结论，推广了已有结果并关联对称区组设计。
2024-05-22 math.CO
Cut polytope has vertices on a line
割多胞形${\rm CUT}(n)$是顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的完全图中割向量的凸包。它在组合优化领域中是众所周知的，并且最近也被研究与对称伯努利随机变量的容许相关性的直接关系。这种概率解释是这项工作的出发点，结合自然二进制编码的CUT（$n$）。我们表明，对于任何$n$，适当的缩放，所有顶点的多面体${\mathbf 1}$ -CUT（$n$）编码为整数近似的线$y= x-1/2$。
2018-12-07 cs.DM math.CO
Cut Vertices in Random Planar Maps
本文的主要目的是确定具有$n$边的随机平面映射的割点数$X_n$的渐近性态。证明了$X_n/n \to c$在概率上（对于某些显式的$c>0$）.对于所谓的次临界类的平面映射（如outerplanar映射），我们也得到了一个中心极限定理。有趣的是，这个看似简单的问题背后的组合学却相当复杂。
2021-04-29 math.CO math.PR
Digraphs in which every $t$ vertices have exactly $λ$ common out-neighbors
本文扩展了关于 $(t,λ)$-liking digraph 的已有结果，完全刻画了满足 $t \geq λ+2$ 的此类有向图，并给出了其成为 $t+λ$ 个顶点上完全有向图的等价条件。
2025-07-17 math.CO
Realizations and Uniqueness of Cut Complexes of Graphs
Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）；Nankai University（南开大学）；Peking University（北京大学）；Fudan University（复旦大学）
本文研究了图的切割复形的实现与唯一性问题，提出了参数m(d,n)并开发了O(n^4)的识别算法，揭示了图结构与拓扑之间的联系。
2025-12-15 math.CO
Schur and $e$-positivity of trees and cut vertices
本文证明了任何含有度为$d\geq \log _2n +1$的顶点的$n$ -顶点树的色对称函数不是$e$ -正的，即不是初等对称函数的正线性组合.推广这一点，我们还证明了任何$n$ -顶点连通图的色对称函数含有一个割点，其删除断开图成$d\geq\log _2n +1$连通分支是不$e$ -积极的。进一步证明了任何一个点的度大于$\lceil \frac{n}{2}\rceil$的$n$ -顶点二部图，包括所有的树，都不是Schur-正的，即不是Schur函数的正线性组合.在完全一般性的情况下，我们证明了如果$n$ -点连通图没有完美匹配（如果$n$是偶数）或没有几乎完美匹配（如果$n$是奇数），那么它不是$e$ -正的。因此，我们推断，许多图包含爪不是$e$ -积极的。
2019-12-14 math.CO
Extremal graphs with minimum number of connected subgraphs in a given family
本文定义了顶点的子图数，刻画了在 $n$ 个顶点和 $k$ 个割点的所有图中具有最少连通子图数的极值图及其顶点，并在围长至少为 $k$ 的条件下得出相应结果，最终完成了对 $0 \leq k \leq 4$ 情形的完整刻画。
2025-08-08 math.CO
Hypergraphs: connection and separation
本文从图论的角度研究了超图的基本连通性，重点研究了超图的割边、割点和块。为了准备基础，我们定义了各种类型的子超图，以及超图中的各种类型的行走。然后，我们证明了一些新的结果，涉及切边，切顶点，和块。特别地，我们描述了超图的块分解与其关联图的块分解之间的确切关系。
2015-05-28 math.CO
Score lists in [h-k]-bipartite hypertournaments
给定具有$ m\geq h>1 $和$ n\geq k>1, $的非负整数m、n、h和k，$ m+n$顶点上的[h-k]-二部超竞赛是三重$(U,V,A) $，其中U和V是具有$| U| =m$和$ | V| =n,$的两个顶点集合，并且$A$是顶点的$(h+k) -$元组（称为弧）的集合，其中恰$h$顶点来自$U$，恰$k$顶点来自$V$，使得$U\cup V, A$的任何$h+k$子集$ U_{1}\cup V_{1}$恰好包含其条目属于$U_{1}\cup V_{1}.$的$(h+k) ! (h+k) -$元组中的一个。我们得到了一对非负整数的非减序列是某个$[h-k]-$二部超竞赛的输分数列表或分数列表的充要条件。二甲双胍
2006-09-05 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
出于对Proctor研究的一类平面划分的枚举和对平面划分的对称类的考虑，我们考虑了从六边形的一些顶点移除“最大楼梯”的菱形拼接的枚举问题。一个顶点的情况对应于Proctor问题。对于两个顶点，有几种情况需要考虑，其中大多数导致很好的枚举公式。对于三个或更多的顶点，似乎不存在一般的好的产品公式，但在一个特殊的情况下，发生了很多的因式分解，我们提出的问题，找到一个公式的数量在这种情况下的平铺。
2001-04-04 math.CO
Classification of divisible design graphs with at most 39 vertices
一个$k$ -正则图称为可分设计图（DDG），如果它的顶点集可以划分为大小为$n$的$m$类，使得来自同一类的两个不同顶点有恰好$λ_1$公共邻居，而来自不同类的两个顶点有恰好$λ_2$公共邻居.带有$m = 1$、$n = 1$或$λ_1 = λ_2$的DDG称为不正确，否则称为正确。我们提出了新的DDG结构，并使用计算机枚举算法，我们发现所有正确的连接DDG最多39个顶点，除了三个元组的参数：$(32,15,6,7,4,8)$，$(32,17,8,9,4,8)$，$(36,24,15,16,4,9)$。
2021-11-28 math.CO
The trace and Estrada index of uniform hypergraphs with cut vertices
本文研究含割点的一致超图邻接张量的迹，推导局部扰动下迹与Estrada指数的结果，并证明固定边数超树中超路唯一最小、超星唯一最大。
2022-05-31 math.CO
On the maximum and minimum multiplicative Zagreb indices of graphs with given number of cut edges
对于一个分子图，第一个乘法Zagreb指数$Π_1$等于顶点度的平方的乘积，而第二个乘法Zagreb指数$Π_2$等于所有边上每个边的端顶点度的乘积.用$\mathbb{G}_{n,k}$表示具有$n$顶点和$k$割边的图的集合。在本文中，我们探讨图的一些切割边缘。此外，给出了具有给定割边数的图的最大和最小乘性Zagreb指标。此外，我们还刻画了在$\mathbb{G}_{n,k}$中具有最大和最小$Π_1(G)$和$Π_2(G)$的图，推广和丰富了一些已知的结论.
2017-05-06 math.CO
Characterizing extremal graphs for open neighbourhood location-domination
开邻域定位支配集是图$G$的顶点的集合$S$，使得$G$的每个顶点在$S$中都有邻居，并且对于$G$的任何两个顶点$u,v$，在$S$中至少有一个顶点是$u$和$v$中恰好一个的邻居。我们刻画了唯一的开邻域定位控制集是顶点整集的图。更精确地说，我们证明了这些图是完全的图，其所有的连通组件是半图（半图是一个特殊的二部图，两个部分的大小相同，其中每个部分可以排序，使连续顶点的开放邻域相差正好一个顶点）。这纠正了文献中的错误描述。
2021-06-17 math.CO
The influence of cut vertices and eigenvalues on character graphs of solvable groups
给定一个有限群$G$，其不可约特征标度的特征标图，记作$Δ(G)$，是一个顶点集$ρ(G)$是除$G$的不可约特征标度的素数集合的图，如果存在一个度可被$pq$整除的非线性$χ\in {\rm Irr}(G)$，则$\{p,q\}$是一条边.本文讨论了$Δ(G)$的割点和本征值对$G$群结构的影响。最近，Lewis和Meng证明了每个可解群的特征标图至多有一个割点.现在，我们确定了具有割点和直径$3$的可解群的特征标图的结构。此外，我们还研究了特征图至多有两个不同特征值的可解群。此外，我们还研究了特征图是正则的且具有三个不同特征值的可解群。此外，我们还给出了$Δ(G)$的边数的一些下界.
2019-09-19 math.CO math.GR
On the Zagreb indices of the line graph and line cut-vertex graph of subdivision of unicyclic graphs
本文借助细分概念，研究环-星图这类单圈图的线图及线割点图的Zagreb指数与余指数。
2024-04-08 math.CO
On forest and bipartite cuts in sparse graphs
本文研究简单图中特定图类顶点割的存在条件，证明了边数少于 $(19n - 28)/8$ 的连通图存在森林割，改进了现有界，并证明边数少于 $(80n-134)/31$ 时存在二部割。
2025-05-27 math.CO
Traceability of Connected Domination Critical Graphs
图$G$中的支配集是$G$的顶点的集合$S$，使得$S$之外的每个顶点都与$S$中的顶点相邻。$G$中的连通控制集是控制集$S$，使得由$S$导出的子图$G[S]$是连通的。$G$的连通控制数$γ_c(G)$是$G$的连通控制集的最小基数。一个图$G$称为$γ_{c}$ -临界图，如果对于$G$的每对不相邻的顶点$u$和$v$，连通控制数$γ_{c}(G)$都等于$k$和$γ_{c}(G + uv) < k$.令$ζ$为$G$的割顶点数。已知若$G$是$γ_{c}$ -临界图，则$G$至多有$k - 2$个割点，即$ζ\le k - 2$ .本文证明了对于$k \ge 4$和$0 \le ζ\le k - 2$，每一个具有$ζ$割点的$γ_{c}$ -临界图都有Hamilton路当且仅当$k - 3 \le ζ\le k - 2$ .
2019-06-20 math.CO
The super-connectivity of Kneser graph KG(n,3)
连通图$G$的顶点割$S$是$G$的顶点子集，其删除使得$G$不连通。连通图$G$的超点割$S$是$G$的一个顶点子集，它的删除使得$G$不连通，并且$G-S$的每个分支中不存在孤立点.图$G$的超连通度是图$G$的最小超顶点割的大小。设$KG(n,k)$是Kneser图，其顶点集是$\{1,\cdots,n\}$的$k$ -子集，其中$k$是$G$中每个顶点的标号数.我们的目的是证明Boruzanli和Gauci \cite{EG19}关于Kneser图$KG(n,k)$的超连通性的猜想在$k=3$ .
2021-03-18 math.CO
Large odd induced subgraphs via odd cuts
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（离散数学中心，福州大学）
研究无孤立顶点的\(n\)顶点图，利用特定二分法，得出其有至少\(n/5\)个顶点且所有度数均为奇数的导出子图，改进了该类图的通用下界。
2026-07-28 math.CO
Tight Cuts in Bipartite Grafts I: Capital Distance Components
本文是第一个从一系列的文件，提供了一个表征的最大包装的$T$ -削减二部图。给定一个连通图，一个偶数顶点的集合$T$，和一个最小$T$ -连接，可以定义一个边权重，从中可以定义顶点之间的距离。此外，给定一个称为根的指定顶点，顶点可以根据它们到根的距离进行分类，并且顶点的这种分类可以用于定义称为{ \em距离分量}的子图族。Sebö提供了一个定理，揭示了距离分量、最小$T$ -连接和$T$ -切割之间的关系。本文进一步研究了二部图中距离分量的结构。特别地，我们关注{ \em capital}距离分量，即包括根的距离分量。我们揭示了资本的距离组件的结构方面的$T$ -加入模拟的一般Kotzig-Lovász典型分解。
2022-02-18 cs.DM math.CO
A synthesis for exactly 3-edge-connected graphs
一个多重图是精确k-边连通的，如果任意一对顶点之间恰好有k条边不相交的路。本文刻画了一类3-边连通图，给出了一个包含两个运算的合成，通过这个合成可以生成所有的3-边连通重图。稍加修改的综合给出了平面的精确3-边连通图和具有最少可能边的精确3-边连通图。
2009-05-07 math.CO
Elegant vertex labelings with prime numbers
我们考虑图的标号与分配的奇素数的顶点。与优美图类似，如果邻顶点的标签之间的绝对差精确地描述了第一个偶数，则称标签是优美的。一个优雅树的标签与$n$顶点是第一个$n$奇素数，我们希望得到的边缘标签正好是第一个偶数到$2n-2$。我们猜想每一条路都是优美的，并给出了一个算法，利用该算法我们得到了直到$n=3500$的所有$n$素数的优美路.
2019-07-02 math.CO
On the Automorphisms of Token Graphs Generated by $2$-cuts with the Same Neighbours
本文研究连通图G的k-令牌图自同构，证明当2-割中两顶点具有相同邻点时，可构造大量非由G的自同构诱导的令牌图自同构，并刻画了所有此类2-割生成的群。
2024-08-07 math.CO
On Chromatic Number and Minimum Cut
对于图$G$，树图${\cal T}_{G,t}$具有$G$的所有以$t$为顶点集的树的子图，并且如果两个树的子图是边不相交的，则它们是邻居.此外，$G$的$r^{th}$切割数是将$G$的顶点集划分成两部分的部分之间的边的最小数目，使得每个部分具有至少$r$的大小。证明了如果$t=(1-o(1))n$和$n$足够大，则对于任意一个顶点为$n$的稠密图$G$，树图${\cal T}_{G,t}$的色数等于$G$的$(n-t+1)^{th}$割数.特别地，作为结果，我们证明了，如果$n$是足够大的$G$是一个稠密图，那么生成树图${\cal T}_{G,n}$的色数等于$G$的最小割的大小。证明方法是基于交替图兰数的启发塔克引理，一个等价的组合版本的Borsuk-Ulam定理。
2015-11-30 math.CO
On rainbow tetrahedra in Cayley graphs
设$Γ_n$是奇循环群$Z_n$的完全无向Cayley图.研究了$Γ_n$中顶点为彩虹四面体的连通图，其中任意两个顶点相邻当且仅当它们恰好共享两个不同的三角形（作为四面体）.这产生了最大度为6的图$G$，渐近直径$|V(G)|^{1/3}$和几乎所有度为6的顶点：$G$中的{ \bf（a）}; $(3,6,3,6)$ -半正则镶嵌的恰好六个连通子图中的{ \bf（b）} 4;以及$\{6,3\}$ -正则六边形镶嵌的恰好四个连通子图中的{ \bf（c）} 3。这些顶点具有作为闭合邻域的在十个相应的结果镶嵌中的闭合邻域的并集（以固定的方式）。推广的渐近结果进行了讨论。
2014-11-05 math.CO
Minimal cut-sets in the power graphs of certain finite non-cyclic groups
群的幂图是以顶点为群元素的单图，其中两个不同的顶点相邻当且仅当其中一个顶点可以作为另一个顶点的整幂得到。本文研究了有限非循环幂零群的幂图的（极小）割集，这些割集与它的极大循环子群有关。设$G$是阶至少能被两个不同素数整除的有限非循环幂零群.如果$G$有一个Sylow子群既不是循环的，也不是广义四元数$2$ -群，并且$G$的所有其他Sylow子群都是循环的，则在一定条件下，我们证明了$G$的幂图只有一个最小割集.我们应用这一结果来寻找某些有限的非循环阿贝尔群的幂图的顶点连通性，这些群的阶最多可被三个不同的素数整除。
2019-03-23 math.CO
On certain regular nicely distance-balanced graphs
一个连通图$\G$称为{\em精细距离平衡}，只要存在一个正整数$γ=γ(\G)$，使得对于$\G$的任意两个相邻顶点$u,v$，恰好有$\G$的$γ$顶点离$u$比离$v$近，恰好有$\G$的$γ$顶点离$v$比离$u$近.令$d$表示$\G$的直径。已知$d \le γ$和具有$γ= d$的精确距离平衡图是长度为$2d$或$2d+1$的完全图和圈。本文利用$γ=d+1$对正则的好距离平衡图进行分类。
2021-05-22 math.CO
A family of Neumaier graphs containing examples with exactly five eigenvalues
本文研究了具有特定参数(48,14,2;1,4)的Neumaier图，发现其中25个图恰好有五个特征值，揭示了此类图的构造方法和性质。
2026-03-17 math.CO
A global decomposition theorem for excluding immersions in graphs with no edge-cut of order three
一个图$G$包含另一个图$H$作为浸入，如果$H$可以从$G$的一个子图通过分裂边和去除孤立的顶点来获得。浸入包含有一个明显的必要度条件：如果$G$包含$H$作为浸入，则对于每个整数$k$，$G$中度至少为$k$的顶点数至少为$H$中度至少为$k$的顶点数。本文证明了这个明显的必要条件对于没有3阶边割的图是“几乎”充分的：对于每个图$H$，每个没有3阶边割的$H$ -浸入自由图都可以由图的边和得到，其中每个和都是由违反明显度条件的图通过增加有界数目的边得到的.没有3阶边割的条件是必要的。这个定理的一个简单应用是：对于每个最大度为$d \geq 4$的图$H$，存在一个整数$c$，使得对于每个正整数$m$，至多存在$c^m$-无标号$d$ -边连通$H$ -无浸入$m$ -无孤立点边图，而无孤立点的无标号$(d-1)$ -边连通$H$ -无浸入$m$ -边图的个数是超指数的。我们的结构定理将应用于确定一类$H$ -浸入自由图的簇色数的论文中。
2022-01-11 math.CO
On Maximum Signless Laplacian Estrada Index of Graphs with Given Parameters II
最近Ayyaswamy [1]提出了一个与图$G$相关的无符号Laplacian Estrada指标（以下简称$SLEE$）的新概念.通过研究，我们确定了在给定割点数、（点）连通度和边连通度的条件下，具有最大$SLEE$的唯一图.在本文中，我们继续了两个进一步的参数的特征：直径和割顶点数。
2014-10-01 math.CO
Compact Cactus Representations of all Non-Trivial Min-Cuts
最近，Kawarabayashi和Thorup提出了第一个确定性的边缘连通识别算法在近线性时间。在他们的算法中的一个关键步骤是使用一个简单图$G$在$n$顶点上的顶点子集的存在性，$n$顶点的收缩留下一个具有$\tilde{O}(n/δ)$顶点和$\tilde{O}(n)$边的多重图，该多重图保留$G$的所有非平凡最小割，其中$δ$是$G$的最小度，$\tilde{O}$隐藏对数因子。我们提出了一个简单的参数，提高了这个基于收缩的稀疏消除多对数因子，也就是说，我们显示了一个基于收缩的稀疏化，留下$O(n/δ)$顶点和$O(n)$边缘，保留所有非平凡的最小割，可以在近线性时间计算$\tilde{O}(m)$，其中$m$是$G$的边缘数。我们还得到了每个简单图都有$O((n/δ)^2)$非平凡最小割。我们的方法允许用仙人掌表示来表示图的所有非平凡最小割，仙人掌表示的仙人掌图具有$O(n/δ)$顶点。此外，该仙人掌表示可以直接从线性时间中所有最小割的标准仙人掌表示导出。我们应用这种紧凑的结构，以表明所有的最小割可以明确列出在$\tilde{O}(m) + O(n^2 / δ)$时间为每个简单的图，这改善了以前的最佳时间界$O(nm)$ Gusfield和Naor。
2019-10-28 cs.DM math.CO
A Short Note on Relevant Cuts
Leipzig University（莱比锡大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学计量研究所）；University of Vienna（维也纳大学）；Universidad National de Colombia（哥伦比亚国立大学）；Santa Fe Institute（圣塔菲研究所）
本文提出了一种基于Picard-Queyranne有向无环图的方法，用于加速相关割的枚举，并通过实验评估了其有效性。
2026-03-03 math.CO
Rank connectivity and pivot-minors of graphs
图$G$中的集合$X$的割秩是二元域上邻接矩阵的$X\times (V(G)-X)$子矩阵的秩。分裂是将顶点集划分为两个集合$(X,Y)$，使得$X$的割秩小于$2$，并且$X$和$Y$都具有至少两个顶点。一个图是素的（相对于分裂分解），如果它是连通的并且没有分裂。一个图$G$是$k^{+\ell}$ -秩连通的，如果对于每一个割秩小于$k$的顶点集$X$，$\lvert X\rvert$或$\lvert V(G)-X\rvert $小于$k+\ell$。证明了每一个至少有$10$个顶点的素$3^{+2}$ -秩连通图$G$都有一个素$3^{+3}$ -秩连通次子图$H$使得$\lvert V(H)\rvert =\lvert V(G)\rvert -1$ .作为推论，我们证明了秩宽至多为$k$的图类的每一个被排除的子图对于$k\ge 2$至多有$(3.5 \cdot 6^{k}-1)/5$顶点.我们还表明，被排除的未成年人的类图的秩宽度最$2$有最$16$顶点。
2022-10-11 math.CO
The average cut-rank of graphs
图$G$中的顶点集合$X$的割秩定义为：如果$X$中的顶点$i$与$V(G)\setminus X$中的顶点$j$相邻，则$X$中的顶点集合$X$在$(i,j)$ -条目为$1$的二元域上的$ X \times (V(G)\setminus X)$矩阵的秩，否则$0$中的顶点$j$相邻。我们引入了一个图的参数，称为平均割秩，定义为一个随机的顶点集的割秩的期望值。我们证明了当取图的顶点子式时，这个参数不会增加，并且一类图具有有界平均割秩当且仅当它具有有界邻域多样性。这使我们能够推断出，对于每个真实的$α$，具有大于（或至少）$α$的平均割秩的导出子图最小图的列表是有限的。我们进一步完善这一点，通过提供一个上限的障碍物的大小和障碍物的数量上的下限平均切割排名最多（或小于）$α$为每个真正的$α\ge0$。最后，我们明确地描述了所有的图的平均割秩最多$3/2$，并确定了$3/2$所有可能的值，可以实现为一些图的平均割秩。
2020-07-08 math.CO
A linear time algorithm for a variant of the max cut problem in series parallel graphs
给定一个图$G=(V, E)$，一个连通边割$(U, V\backslash U)$或$δ(U)$是连接U的所有顶点到$V\backslash U$的所有顶点的E的边的集合，使得导出子图$G[U]$和$G[V\backslash U]$是连通的。给定一个定义在$E$上的正权函数$w$，最大连通边割问题（MAX CS CUT）就是寻找一个连通边割$Ω$，使得$w(Ω)$最大. MAX CS CUT是NP难的。本文给出了一个求解串并行图的MAX CS CUT的线性时间算法。我们推导出一个线性时间算法，在同一类图的最小割问题，而无需计算最大流。
2017-03-18 cs.DS math.CO
Every Minimal Counterexample to the Erdős-Gyárfás Conjecture is Predominantly Cubic
研究 Erdős-Gyárfás 猜想的最小反例结构，证明其顶点中至少 4/7 的度数为 3，且每个顶点邻接一个度数为 3 的顶点。
2026-05-13 math.CO
On graphs that contain exactly k copies of a subgraph, and a related problem in search theory
我们研究了$\mathrm{exa}_k(n,F)$，在一个$n$ -顶点图$G$中的最大边数，它恰好包含给定子图$F$的$k$副本。$k=0$是图兰数$\mathrm{ex}(n,F)$，它是极值图论中研究最多的参数之一。我们表明，对于任何$F$和$k$，$\mathrm{exa}_k(n,F)=(1+o(1))\mathrm{ex}(n,F))$，并确定$n$足够大的$\mathrm{exa}_k(n,K_3)$和$\mathrm{exa}_1(n,K_r)$的精确值。我们还探讨了与以下搜索论中的著名问题的联系。我们给出了一个图的顺序$n$，它由一个未知的副本$F$和一些孤立的顶点。我们可以询问成对的顶点作为查询，答案告诉我们这些顶点之间是否有边。我们的目标是使用尽可能少的查询来描述图。Aigner和Triesch在1990年指出，所需的查询数至少为$\binom{n}{2}-\mathrm{exa}_1(n,F)$。在其他结果中，我们表明，回答NO的查询的数量至少是$\binom{n}{2}-\mathrm{exa}_1(n,F)$。
2022-10-10 math.CO
On graphs having maximal independent sets of exactly $t$ distinct cardinalities
对于一个给定的正整数t，我们认为图的最大独立集的不同的基数，正是t和限制我们的注意力，那些没有顶点的程度。在t ≥ 4且最短圈的长度至少为6 t-6的情况下，我们完全刻画了这类图.
2011-10-19 math.CO
Digraphs with exactly one Eulerian tour
本文给出了点集$[n]$上无孤立点且只有一个欧拉环直到循环移位的无环有向图的个数为$\frac{1}{2}(n-1)!C_{n}$的两个组合证明，其中$C_{n}$表示$n$ -th Catalan数.我们构造了一个双射与一组标记的有根平面树和一组有效的括号安排。
2021-05-05 math.CO
Graphs with many independent vertex cuts
圈是唯一的$2$ -连通图，其中任何两个不相邻的顶点形成一个点割。我们推广了这一事实，证明了对于每一个整数$k\ge 3$，存在唯一的图$G$满足下列条件：（1）$G$是$k$ -连通的;（2）$G$的独立数大于$k;$;（3）任何独立的基数集$k$是$G.$的一个点割。我们还考虑了用外围代替独立集的问题。
2022-10-27 math.CO
Maximum edge-cuts in cubic graphs with large girth and in random cubic graphs
我们证明了对于任意围长足够大的三次图G，G的边割存在一个概率分布，使得G的每条边以至少0.88672的概率处于随机选择的割中.这意味着G包含大小至少为1.33008 n的边割，其中n是G的顶点数，并且具有至多为1.127752的分数割覆盖数。最大边割的大小的下界也适用于随机三次图。具体地说，随机n-顶点立方图a.a.s.包含大小为1.33008n的边缘切割。
2012-07-31 math.CO
Equimatchable factor-critical graphs and independence number 2
一个图是等匹配的，如果它的每一个匹配是一个最大匹配的子集。已知任何2-连通等匹配图要么是二部图，要么是因子临界图，并且这两类图是不相交的。本文给出了$k\ge 3$的k-连通等匹配因子临界图关于其k-割集的刻画.作为我们的主要结果，我们证明了：如果G是一个k-连通的等匹配因子-临界图，G的顶点数至少为2k+3，且G有一个k-割S，则G-S恰好有两个分支，并且这两个分支都接近于完全或完全二部图。如果G-S的两个分量都至少有3个顶点，并且有$k\ge 4$，则图的独立数为2。另一方面，由于每个独立数为2的2-连通奇图都是等匹配的，我们得到如下结果。对任意$k\ge 4$，设G是一个至少有2k+3个顶点的k-连通奇图，G有一个k-割S，使得G-S有两个至少有3个顶点的分支.则G有独立数2当且仅当它是等匹配的和因子临界的。此外，我们还证明了一个顶点数至少为4的2-连通奇图G的独立数至多为2当且仅当G是等匹配的和因子临界的，并且G+e对G的补图的每条边都是等匹配的.
2015-01-29 math.CO
