Non-solvable groups whose character degree graph has a cut-vertex. III
设$G$是有限群.用${\rm{cd}}(G)$表示$G$的不可约复特征标的度的集合，我们考虑$G$的{ \it特征标度图}：这是一个（简单的无向）图，其顶点是${\rm{cd}}(G)$中的数的素因子，并且两个不同的顶点$p$，$q$相邻当且仅当$pq$整除${\rm{cd}}(G)$中的某个数.本文完成了文献[5]和[6]中关于特征标度图有一个{ \it割点}的有限非可解群的分类。更具体地说，在[6]中证明了这些群具有唯一的不可解合成因子$S$，并且$S$同构于属于非阿贝尔单群的限制列表的群。在[5]和[6]中，除了\(S\cong{\rm{PSL}}_2(2^a)\)对某个整数$a\geq 2$的情况外，所有的$S$同构类型都被处理过;本文讨论了剩下的情况。
2022-09-15 math.GR
Non-solvable groups whose character degree graph has a cut-vertex. II
设$G$是一个有限群，${\rm{cd}}(G)$表示$G$的不可约复特征标的次数集.然后定义特征度图$Δ(G)$为（简单无向）图，其顶点是${\rm{cd}}(G)$中的数的素因子，并且两个不同的顶点$p$，$q$相邻当且仅当$pq$整除${\rm{cd}}(G)$中的某个数。本文继续了文[7]中的工作，对度图具有割点的有限非可解群进行了分类，即一个顶点，它的移除增加了图的连通部分的数量。而在[7]中，没有与${\rm{PSL}}_2(t^a)$同构的组成因子的群（对于任何素数幂$t^a\geq 4$）被处理，这里我们考虑当$t$是奇数且$t^a> 5$是奇数时的互补情形。这一分类的证明将在本系列的第三篇也是最后一篇论文中完成（[8]），该论文讨论了$t=2$的情况。
2022-09-15 math.GR
Character degree graph of solvable groups with odd degree
本文研究了有限可解群的特征标次数图，得出了所有顶点次数均为奇数的一个必要条件。
2023-05-21 math.GR
Solvable conjugacy class graph of groups
本文引入了与群$G$相关联的图$Γ_{sc}(G)$，称之为可解共轭类图（SCC-图），其顶点是$G$的非平凡共轭类，并且如果存在$x \in C$和$y \in D$使得$\langle x, y\rangle$可解，则两个不同的共轭类$C, D$相邻.我们讨论了SCC-图的连通度、围长、团数等性质。我们的一个结果是，只有100多个有限群的SCC-图具有团数$d$，并且我们用$d=2$明确地找到了这类群的列表.
2022-02-05 math.CO math.GR
A classification of prime graphs of pseudo-solvable groups
有限群$G$的素图$Γ(G)$（也称为Gruenberg-Kegel图）的顶点是$|G|$的素因子，并且$p\text-q$是$Γ(G)$中的边当且仅当$G$有一个$pq$阶元素。自20世纪70年代开始，这些图被广泛研究;然而，完全分类更大的群族的可能素图仍然是一个困难的问题。对于可解群，这样的分类在2015年被发现。在本文中，我们超越了可解群的第一次和刻画素图的更一般的一类群，我们称之为伪可解。这些组的组成因子为循环或$A_5$。分类基于两个条件：顶点$\{2,3,5\}$在$\overlineΓ(G)$中形成三角形，或者$\{p,3,5\}$对于某个素数$p\neq 2$形成三角形。
2022-11-28 math.GR
The solvable Graph of a finite-dimensional Lie Algebra
本文引入有限维李代数的可解图Γ_𝔖(L)，研究其基本性质、结构约束及实例，确定特定李代数可解图的度序列，提供计算框架，揭示与幂零图的异同，为李理论可解性研究提供新图形方法。
2025-11-11 math.CO math.GR math.RA
Classifying character degree graphs with seven vertices
本文研究七个顶点的图，分类了有限可解群的素特征标次数图，完成了不连通图的分类，并证明了853个非同构连通图中有22个出现，44个仍未分类。
2023-08-02 math.CO math.GR
On the character degree graph of solvable groups
设\(G\)是一个有限可解群，\(Δ(G)\)表示建立在\(G\)的不可约复特征标的次数集上的\emph{prime graph}. P. P. Pálfy的一个基本结果断言图\(Δ(G)\)的补图$\barΔ(G)$不包含任何长度为\(3\)的圈。本文推广了Pálfy的结果，证明了$\barΔ(G)$不含任何奇长圈，从而它是一个二部图.作为直接的结果，\(Δ(G)\)的顶点集可以被两个子集覆盖，每个子集都导出一个完整的子图。后一个性质又产生，如果\(n\)是\(Δ(G)\)的团数，则\(Δ(G)\)最多有\(2n\)顶点。这证实了Z. Akhlaghi和H. P. Tong-Viet的\emph{\(ρ\)-\(σ\) conjecture}模型，并为著名的B. Huppert
2017-06-14 math.GR
On the metric dimension of the character degree graph of a solvable group
本文研究有限可解群特征度图的度量维数，计算了正则图、特定直径图及Fitting高为2等情形的度量维数，并探讨了基大小和邻接维数与度量维数的关系。
2024-11-24 math.CO math.GR
Gruenberg-Kegel graphs: cut groups, rational groups and the Prime Graph Question
Université du Luxembourg（卢森堡大学）；Indian Institute of Science Education and Research, Mohali（印度科学教育研究所穆哈利分校）；Universidad de Murcia（穆尔西亚大学）
本文研究了有限可解切群和有理群的Gruenberg-Kegel图的分类与构造，解决了素数图问题，并对多个群类进行了完全分类。
2026-04-06 math.GR
Classifying Character Degree Graphs With 6 Vertices
研究了具有六个顶点的可解群的素特征标度图。有112个六顶点的非同构连通图，本文对其中除9个以外的所有图进行了分类。我们还完全分类的不连通图与六个顶点。
2018-08-11 math.GR math.RT
Ideal Whitehead Graphs in $Out(F_r)$ IV: Building ideal Whitehead graphs in higher ranks and ideal Whitehead graphs with cut vertices
我们提供了一个例子，在每一个等级的年龄完全不可约外自同构的理想怀特黑德图有一个割顶点。因此，我们表明，存在的例子，在每个等级的Handel-Mosher轴束，不只是一个单一的轴，以及“非通用”的行为的意义上的“训练轨道导向”随机游动的Kapovich-Pfaff。这里开发的工具还允许人们构建一个全新的理想Whitehead图阵列，该阵列通过所有秩中的年龄完全不可约外自同构来实现。
2015-11-28 math.GR math.GT
A note on solvable graphs of finite groups
设$G$是有限不可解群，其根$Sol(G)$可解. $G$的可解图$Γ_s(G)$是一个顶点集为$G\setminus Sol(G)$且两个不同顶点$u$和$v$相邻的图当且仅当$\langle u, v \rangle$是可解的。证明了对于任意正整数$n \geq 2$，$Γ_s (G)$不是星图、树、$n$ -部图;对于任意非可解有限群$G$，$Γ_s (G)$不是正则图.我们计算了$Γ_s (G)$的围长，并得到了$Γ_s (G)$的团数的下界。证明了可解图为平面、环面、双环面、三环面或射影的有限不可解群的不存在性。最后得到了$Γ_s (G)$与$G$的可解度之间的关系.
2019-03-05 math.GR
Non-Solvable Graph of a Finite Group and Solvabilizers
设$G$是一个有限群.对于$x \in G$，我们定义$G$中$x$的可解化子，记为$sol_G(x)$，为集合$\{g \in G \mid \langle g,x \rangle$是可解的$\}$。如果对于每个$x \in G$，$sol_G(x)$是$G$的子群，则群$G$是S-群。本文证明了$G$是可解的，$\Leftrightarrow$ $G$是S-群.其次，我们定义了$G$的不可解图（记为${\mathcal S}_{G}$）。它的顶点是$G$，当$\langle x,y \rangle$不可解时，$x,y \in G$之间有一条边。如果$S(G)$是$G$的可解根式，而$G$不可解，则我们查看$G \setminus S(G)$上的诱导图，表示为$\hat{{\mathcal S}_{G}}$。证明了如果$G$不可解，则$\hat{{\mathcal S}_{G}}$是不规则的.此外，我们还证明了可解子和不可解图的一些性质。
2013-07-10 math.GR
Non-solvable graphs of groups
设$G$是一个群，而$Sol(G)=\{x \in G : \langle x,y \rangle \text{ is solvable for all } y \in G\}$ .我们将一个图$\mathcal{NS}_G$（称为$G$的不可解图）与$G$联系起来，$G$的顶点集是$G \setminus Sol(G)$，并且如果两个不同的顶点生成一个不可解子群，则它们是相邻的。本文研究了$\mathcal{NS}_G$的许多性质。特别地，我们得到了关于$\mathcal{NS}_G$的顶点度、顶点度集的基数、图的实现、控制数、顶点连通度、独立数和团数的结果。我们还考虑了两个具有同构不可解图的群$G$和$H$，并得到了$G$和$H$的一些性质.最后，我们得出结论，本文表明，$\mathcal{NS}_G$既不是平面，环面，双环面，三环面，也不是射影。
2019-09-26 math.GR
Vertex Cuts
我们推广的结构树理论，这是基于删除100多条边，删除100多个顶点。这给出了Tutte的树分解的2-连通图到3-连通块的一个重要推广。对于有限图，存在一个结构树，该结构树包含关于任何$k$的$k$连通性的信息。该理论也可以应用于具有多于一个顶点端的无限图，即可以通过移除有限数量的顶点来分离的端。这给出了Stallings的结构定理的一个推广的群有一个以上的结束。
2015-01-02 math.CO math.GR
Groups whose prime graph on class sizes has a cut vertex
设$G$是一个有限群，$Δ(G)$是建立在$G$的共轭类大小集合上的素图：这是一个简单无向图，其顶点是除$G$的某个共轭类大小的素数，两个顶点$p$和$q$相邻当且仅当$pq$除$G$的某个共轭类大小.本文对$Δ(G)$有割点的有限群$G$进行了分类。
2019-12-20 math.GR
The Gruenberg-Kegel graph of finite solvable rational groups
本文完成了有限可解有理群的Gruenberg-Kegel图的分类，该图以整除群阶的素数为顶点，以群中存在pq阶元素为边连接不同素数p和q。
2024-03-31 math.GR math.RT
Realizing Gruenberg-Kegel graphs of $T$-solvable groups with structurally simplified extensions of $T$
本文研究了T-可解群的素数图补集，证明其可由可解群和准简单T-可解群作用于元素阿贝尔群的直积实现，并探讨了PSL(2,13)-可解群的素数图补集分类。
2025-11-20 math.GR
Criteria for Classifying Prime Graphs of PSL(2, q)-Solvable Groups
本文为PSL(2,q)-可解群提供素图分类准则，并首次对T属于大（可能无限）群族PSL(2,2^f)的T-可解群证明一般分类结果。
2025-10-24 math.GR
$K_n$-free Character Graphs with at Least $2n$ Vertices
对于有限群$G$，设$Δ(G)$表示建立在$G$的不可约复特征标的度集上的特征标图。Akhlaghi和Tong-Viet在\cite{[AT]}中指出，如果对某个正整数$n$，$Δ(G)$是$K_n$ -free的，则$Δ(G)$至多有$2n-1$顶点。在本文中，我们给出了一个例子来说明，这个猜想不一定对所有的非可解群成立，其特征标图是$K_n$ -free的。
2020-02-15 math.GR
Square character degree graphs yield direct products
若$G$是一个可解群，则$Δ(G)$是以素数为顶点的$G$的特征标度图.证明了如果$Δ(G)$是平方数，则$G$一定是直积.
2011-05-13 math.GR
The Gruenberg-Kegel graph of finite solvable groups that are character-quadratic or semi-rational
Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学）；Universidad de Murcia（穆尔西亚大学）
本文研究了特征二次或半有理有限可解群的Gruenberg-Kegel图结构，给出了不连通情况下的完全分类，并刻画了顶点数不超过3时的图列表。
2026-07-08 math.GR
Classifying prime graphs of finite groups -- a methodical approach
本文建立任意T-可解群素图边存在性的一般理论，并对阶含4个素因子的绝大多数T分类了T-可解群的素图，发现其补图几乎均为3-可着色且含少量三角形。
2024-07-09 math.GR
Classification of the Prime Graphs of $\operatorname{Sz}(8)$-, $\operatorname{Sz}(32)$-, and $\operatorname{PSL}(2, 2^5)$-Solvable Groups
本文针对非循环合成因子为$\operatorname{Sz}(8)$、$\operatorname{Sz}(32)$或$\operatorname{PSL}(2,2^5)$的群，利用 Brauer 特征标表完成其素图分类，填补了此前最困难的遗留情形。
2024-10-28 math.GR
Laplacian Eigen values of character degree graphs of solvable groups
本文研究可解群特征度图的谱性质，计算了正则特征度图、其超图及直径为2且含两个块的特征度图的拉普拉斯特征值与距离拉普拉斯特征值。
2023-08-07 math.GR
