The scaling limit for zero temperature planar Ising droplets: with and without magnetic fields
考虑了正磁场作用下最近邻Ising模型在$Z^2$上的连续时间零温热浴动力学.对于大小为$L\in N$的系统，我们从初始条件$σ$开始，使得$σ_x=-1$如果$x\in[-L,L]^2$和$σ_x=+1$，并研究当时间和空间都被$L$重新标度时，$-$的集合的标度极限。我们比较得到的结果和证明的情况下，零磁场，其中的缩放结果证明在arXiv：1112.3160。在这种情况下，时间缩放是扩散的，并且缩放限制由曲率的各向异性运动给出。
2012-10-09 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits for the critical Fortuin-Kastelyn model on a random planar map III: finite volume case
我们证明了Sheffield（2011）的库存累积模型的有限体积版本的标度极限结果，该模型编码了由从临界Fortuin-Kasteleyn（FK）模型中采样的循环集合装饰的随机平面映射。特别是，我们证明了该模型的有限体积版本相关联的随机游走收敛于相关布朗运动$\dot Z$的缩放限制的条件，停留在第一象限的两个单位的时间，并满足$\dot Z(2) = 0$。我们还证明了离散模型中描述FK环的互补连通分量的时间收敛于$\dot Z$的$π/2$锥时间。结合Duplantier，Miller和Sheffield的最新结果，我们的结果暗示了有限体积FK平面映射上FK环的许多有趣泛函（例如它们的边界长度和面积）在尺度极限收敛于$κ\in (4,8)$的$4/\sqrtκ$ -Liouville量子引力球上CLE $_κ$环的相应“量子”泛函.我们的结果是Sheffield（2011）和Gwynne，Mao和Sun（2015）证明的无限体积版本的库存积累模型的标度极限定理的有限体积模拟。
2015-10-21 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of planar maps under the Smith embedding
本文研究了平面图在Smith嵌入下的标度极限，证明了满足随机游走收敛条件的有限平面图序列的先验嵌入在大尺度上接近Smith嵌入的仿射变换，并据此证明mated-CRT图的Smith嵌入收敛至$γ$-LQG。
2024-10-17 math-ph math.MP math.PR
Critical exponents for planar random-cluster model with cluster-weight $q=4$
New York University Shanghai（纽约大学上海）；Institut des Hautes Études Scientifiques（高等科学研究所）；Université de Genève（日内瓦大学）；LPSM, Sorbonne Université（索邦大学概率与统计实验室）；Princeton University（普林斯顿大学）；Université de Fribourg（弗里堡大学）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）
利用Baxter-Kelland-Wu耦合和六顶点模型高度函数收敛到高斯自由场，提取了$q=4$平面临界随机簇模型和四态Potts模型的临界指数。
2026-05-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Planar Ising magnetization field I. Uniqueness of the critical scaling limit
本文的目的是证明以下结果。考虑重新缩放的网格$a\mathbb{Z}^2$上的临界伊辛模型，则重整化磁化场\[Φ^a:=a^{15/8}\sum_{x\in a\mathbb{Z}^2}σ_xδ_x,\]被视为广义过程（即，广义函数）具有唯一的缩放极限，如网格尺寸$a\searrow0$。极限场是共形协变的。
2015-03-06 math-ph math.MP math.PR
Non-bijective scaling limits and phase transitions of planar maps
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本研究证明均匀随机不可分平面图的标度极限为布朗球面，提出非双射公共核转移方法这一通用证明策略，并完善了块加权平面图极限形状的相图。
2026-08-24 math-ph math.CO math.MP
Scaling limits for the critical Fortuin-Kastelyn model on a random planar map II: local estimates and empty reduced word exponent
我们继续研究Sheffield（2011）引入的库存累积，该模型编码了一个随机平面映射，该映射由从临界Fortuin-Kasteleyn（FK）模型中采样的循环集合装饰。我们证明了库存累积模型的各种\emph{local estimates}，即，从模型中采样的简化单词中给定类型的符号的精确数量的估计。使用我们的估计，我们得到了相关的二维随机游动的标度极限的条件下，它停留在第一象限的一个单位时间，并最终在一个特定的位置在内部的第一象限。我们还获得了从库存累积模型中采样的长度为$2n$的字对应于空的约简字的概率的指数，这等价于临界FK平面映射模型的分拆函数的渐近公式。本文的估计将在随后的论文中使用，以获得与有限体积FK平面映射相关联的晶格行走的缩放极限。
2017-05-08 math-ph math.MP math.PR
Conformally invariant scaling limits in planar critical percolation
这是一个介绍性的帐户出现的共形不变性的比例限制的平面临界渗流。我们给出了Smirnov定理（2001）关于三角格点渗流中交叉概率的共形不变性。我们还介绍了Schramm-Loewner演化（SLE（k）），这是Schramm（2000）发现的一个单参数共形不变随机曲线族。这篇文章的目的是证明Smirnov（2001）和Camia和Newman（2007）的结果，即渗流探索路径收敛于弦SLE的标度极限（6）。除了一些一般的复杂分析和概率论之外，没有任何先验知识。
2011-10-21 math-ph math.CV math.MP
A new computation of the critical point for the planar random-cluster model with $q\ge1$
在$\mathbb{Z}^2$上提出了一种新的带簇权$q\ge 1$的随机簇模型临界值的计算方法。这为Beffara和Duminil-Copin的结果提供了另一种方法。我们认为，这种做法有几个优点。首先，大部分的证明可以很容易地扩展到其他可平面图具有足够的对称性。此外，它调用了RSW类型的参数，这些参数不是基于自对偶的。最后，它包含了一种新的方法来应用尖锐的阈值结果，避免使用对称事件和周期边界条件。
2016-04-13 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance of the planar four-state Potts model and its random-cluster representation
CNRS, Sorbonne Université, LPSM（法国国家科学研究中心，索邦大学，LPSM）；Université de Fribourg（弗里堡大学）；Université de Genève（日内瓦大学）；Institut des Hautes Études Scientifiques（高等科学研究所）
本文证明临界随机簇模型（q=4）的环在标度极限下收敛到CLE(4)，并利用Edwards-Sokal耦合推导出四态Potts模型的共形不变性。
2026-10-07 math-ph math.MP math.PR
Exponential decay for the near-critical scaling limit of the planar Ising model
我们考虑了在临界温度下，外磁场$ha^{15/8}$作用在晶格间距为$a$的正方形晶格上的伊辛模型.我们证明了该模型中的截断两点函数以与$a$无关的速率指数衰减。因此，我们在近临界标度极限的欧几里得磁化场指数衰减。对于具有$a=1$的晶格模型，质量（逆相关长度）的阶数为$h^{8/15}$和$h\downarrow 0$ ;对于欧几里得场，对于某些$C$，它正好等于$Ch^{8/15}$。虽然临界尺度极限的研究已经取得了很大的进展，但近临界模型的结果还远远不够，这是因为远离临界点时缺乏共形不变性。我们的论点结合晶格和连续FK表示，包括耦合共形循环和措施合奏，表明这样的合奏可以是有用的，即使在近临界标度限制的研究。因此，我们提供了第一个实质性的应用措施合奏。
2019-09-06 math-ph math.MP math.PR
A short proof of the discontinuity of phase transition in the planar random-cluster model with $q>4$
本文的目的是对具有参数$q>4$的正方格子上的随机集团模型的相变不连续性给出一个简短的证明。这个结果最近通过所谓的六顶点模型的Bethe anomaly得到了证明。我们的证明也利用了六顶点模型的连接，但不依赖于贝特的anomaly。我们的论证是软的，只使用了随机簇模型的基本性质（例如，我们不需要Russo-Seymour-Welsh理论）。
2019-04-23 math-ph math.MP math.PR
The scaling limit of random walk and the intrinsic metric on planar critical percolation
Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge（剑桥大学纯数学与数理统计系）；Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学学院）
研究揭示临界渗流中随机游走在标度极限下趋近于CLE_6布朗运动，同时证明内在度量趋近于CLE_6度量，推导出化学距离指数、电阻指数和谱维数，并验证爱因斯坦关系。
2026-04-15 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of random trees and planar maps
这些是2010年7月11日至8月7日在布齐奥斯的克莱数学研究所暑期学校所做的一系列讲座的笔记。我们回顾了随机树和平面映射的标度极限的一些最新方面，特别是通过它们与双射计数和格罗莫夫-豪斯多夫收敛的关系。
2012-07-24 math.PR
Scaling limits of the single-curve interface and outermost loops in the planar random field Ising model
Peking University（北京大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of Cologne（科隆大学）
本文证明了近临界平面随机场Ising模型中Dobrushin边界条件下的界面具有标度极限，该极限共形协变且几乎必然关于SLE₃绝对连续；而最外环的极限几乎必然关于CLE₃奇异。
2026-06-12 math-ph math.MP math.PR
On the sphericity of scaling limits of random planar quadrangulations
本文给出了Le Gall & Paulin的一个定理的新证明，证明了随机平面四边形剖分的标度极限与2-球面同胚。主要的几何工具是加强的概念格罗莫夫-豪斯多夫收敛，称为1-正则收敛，保持拓扑性质的度量曲面。
2007-12-21 math.PR
Singularity of Full Scaling Limits of Planar Nearcritical Percolation
我们考虑Schramm和Smirnov提出的四交叉拓扑中平面近临界渗流的满标度极限。我们证明了两个不同参数的近临界标度极限是奇异的。这些结果适用于一般晶格上的渗流模型，包括正方形晶格上的键渗流和三角形晶格上的位渗流。
2014-07-16 math.PR
Logarithmic scaling of planar random walk's local times
本文证明了平面简单随机游动的局部时过程在时间尺度上收敛于非退化的纯跳过程。收敛发生在Skorokhod空间相对于$M1$拓扑，并未能保持在$J1$拓扑。
2016-03-24 math.PR
The energy density in the planar Ising model
研究了正方形格点上有界单连通区域上具有+和自由边界条件的临界伊辛模型.我们将模型的能量密度与一个费米子可观测量联系起来，用离散复分析方法计算了它的标度极限。由此，我们得到了能量场单点函数在双曲度规意义下的标度极限的一个简单的精确公式。这证实了源自物理学的预测，但也提供了更高的精度。
2011-07-05 math-ph math.MP math.PR
The scaling limit of random cubic planar graphs
研究了顶点数为偶数的随机单连通三次可平面图$n$。我们表明，布朗映射出现的Gromov-Hausdorff-Prokhorov缩放极限的$\mathsf{C}_n$作为$n \in 2 \ndN$趋于无穷大，重新缩放距离由$γn^{-1/4} $为一个特定的常数$γ>0$。
2022-03-14 math.CO math.PR
Scaling Limits of Planar Symplectic Ensembles
我们考虑了辛Ginibre系综对称类中非Hermitian随机矩阵的$2N$复特征值的各种渐近标度极限$N\to\infty$.这些都是已知的是可积的，形成Pfronan点过程，我们得到相应的内核为不同的潜在的极限表达式。第一部分讨论了高斯势的辛Ginibre系综。我们得到了在实直线附近的谱的边缘处的渐近性。内核的统一形式使我们能够接触到的散装缩放沿着真正的线和边缘缩放远离真正的线，在那里我们恢复复杂的Ginibre合奏已知的行列式过程。第二部分讨论了原点具有奇点的Mittag-Leffler型系综。对于具有$λ>0$和$c>-1$的势$Q(ζ)=|ζ|^{2λ}-(2c/N)\log|ζ|$，极限核在原点服从分数阶线性微分方程$1/λ$。对于整数$m=1/λ$，可以用Mittag-Leffler函数求解。在第四部分中，我们导出了平面辛系综的Ward方程。它是研究高斯和奇异Mittag-Leffler普适类的工具。这使我们能够确定所有可能的极限核（如果它们存在）的函数形式，这些核是平移不变的，直到它们的积分域。
2022-01-25 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits for planar aggregation with subcritical fluctuations
我们研究了一类平面随机生长过程的标度极限，在这个过程中，团簇是由小粒子的连续聚集而生长的。在这些模型中，集群被编码为一个组成的共形映射和每个连续的粒子的位置分布根据集群边界上的调和测度的密度，提高到一定的权力。我们表明，当这个权力位于一个特定的范围内，宏观形状的集群收敛到一个磁盘，但作为权力接近这个范围的边缘的波动接近一个临界点，这是一个极限的稳定性。在本文中开发的方法提供了一个蓝图，用于分析更一般的随机增长模型，如Hastings-Levitov家庭。
2021-07-06 math-ph math.CV math.MP
One-dimensional scaling limits in a planar Laplacian random growth model
我们考虑一个家庭的增长模型定义的共形映射，其中的局部增长率是由$|Φ_n'|^{-η}$，其中$Φ_n$是$n$粒子的聚合地图。我们建立了一个缩放极限的结果，其中强反馈的增长规则导致一维限制的形式直缝。更准确地说，我们展示了一个相变的祖先结构的增长集群：对于$η>1$，聚集粒子附着到他们的直接前辈的概率很高，而$η<1$几乎可以肯定，这不会发生。
2019-03-11 math-ph math.CV math.MP
Scaling limits of bipartite planar maps are homeomorphic to the 2-sphere
证明了均匀分布在所有有根2k-角化集上的随机平面映射的标度极限是a.s.与二维球面同胚。我们的方法依赖于研究某些随机测地线叠层的磁盘。
2006-12-15 math.CO math.PR
Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and Potts models with $q>4$
我们证明了$q$态Potts模型和带团簇权的随机团簇模型$q>4$在正方晶格上经历不连续相变。更准确地说，我们显示-存在多个无限体积措施的临界波茨和随机集群模型，-排序的措施与单色（resp。有线）边界条件的临界波茨模型（分别为。随机簇模型），以及-临界Potts和随机簇模型的具有自由边界条件的测量的相关性的指数衰减。该证明基于对六顶点模型传递矩阵对角块的Perron-Frobenius特征值的严格计算，其比率与随机簇模型的相关长度相关。作为一个副产品，我们严格计算的相关长度的临界随机集群和波茨模型，并表明，它们的行为作为$\exp(π^2/\sqrt{q-4})$作为$q$趋于4。
2017-09-05 math-ph math.MP math.PR
Polychromatic Arm Exponents for the Critical Planar FK-Ising model
Schramm Loewner Evolution（SLE）是Oded Schramm在1999年提出的一个单参数随机平面曲线族，作为平面临界晶格模型中界面标度极限的候选者。这是唯一可能的过程与共形不变性和一定的“域马尔可夫性“。在2010年，Chelkak和Smirnov证明了临界平面FK-Ising模型的标度极限的共形不变性，这给出了SLE $_{16/3}$的界面收敛性。我们推导了SLE $_κ$对$κ\in (4,8)$的臂指数。结合界面的收敛性，我们导出了临界FK-Ising模型的臂指数。我们得到了正方形格子上临界平面FK-Ising模型的六种不同的边界臂指数和三种不同的内臂指数。
2018-01-13 math-ph math.MP math.PR
Planar aggregation and the coalescing Brownian flow
我们研究了一个平面聚集模型的标度极限。该模型由若干独立随机共形映射组合而成。结果表明，簇边界上的调和测度演化收敛于聚结布朗流。
2008-10-01 math-ph math.MP math.PR
Constrained percolation, Ising model and XOR Ising model on planar lattices
我们研究了平面格点上的约束渗流模型，包括$[m,4,n,4]$格点和双曲平面的正方形格点，满足一定的4度面局部约束，并研究了无限簇的存在性.这些格上的约束渗流模型与欧氏平面或双曲平面上的正则平铺上的Ising模型和XOR Ising模型密切相关。特别地，我们得到了在具有自由边界条件的双曲平面的顶点可迁三角形镶嵌上的铁磁伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“团簇的数目的完整图像，其中包含了耦合常数的所有可能值.我们的结果表明，对于双曲平面上顶点可迁三角形镶嵌的Ising模型，其随机团簇表示可能没有无限开团簇，而Ising模型有无限多个无限“$+$“团簇和无限多个无限“$-$“团簇.我们还研究了异或伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“簇在欧氏平面和双曲平面的规则镶嵌上的不同行为。一个副产品，我们证明的结果是，临界随机集群模型与$q\geq 1$和有线边界条件上的准传递，非顺从，幺模图几乎肯定没有无限开集群。
2020-01-28 math-ph math.MP math.PR
Interface scaling limit for the critical planar Ising model perturbed by a magnetic field
本文研究受外部磁场扰动的临界平面伊辛模型，证明当磁场标度为 δ^{15/8} 阶时界面收敛到有质量 SLE₃，并给出其 Radon-Nikodym 导数，同时刻画了磁场更弱或更强时界面分别收敛到 SLE₃ 或退化为边界弧的完整相变图景。
2024-11-25 math-ph math.MP math.PR
Scaling limit of critical percolation clusters on hyperbolic random half-planar triangulations and the associated random walks
本文证明了半平面随机双曲三角剖分上临界渗流簇的Gromov-Hausdorff-Prohorov标度极限为布朗连续随机树，并推得其上的简单随机游走重标度为该树上的布朗运动。
2023-11-20 math.PR
Asymptotics for rooted planar maps and scaling limits of two-type spatial trees
本文证明了大随机二部平面映射的半径和轮廓的一些渐近结果。利用Bouttier、Di Francesco和Guitter在有根二分平面映射和某些具有正标签的两型树之间的双射，我们从两型空间树的条件极限定理推导出我们的结果。最后，我们应用我们的估计分离顶点的二分平面地图：概率接近1时，$n$走向无穷大，一个随机$2\ka$ -角与$n$面临的分离顶点，其删除断开的映入两个组件的大小大于$n^{1/2-\vep}$。
2006-09-12 math.PR
Scaling limit of first passage percolation geodesics on planar maps
本文建立了随机平面地图上首达渗流测地线的标度极限，通过时间反转均匀剥离探索，描述面数与测地线树的极限，并构造猜想的高维度随机地图标度极限空间。
2025-09-12 math.PR
Conformal Measure Ensembles and Planar Ising Magnetization: A Review
我们提供了一个回顾的结果，在过去的十几年中获得的平面伊辛磁化场的临界和近临界标度极限。在耦合回路和测度系综的框架下给出了结果，并给出了一些新的证明。
2020-11-23 math-ph math.MP math.PR
Continuity of the phase transition for planar random-cluster and Potts models with $1\le q\le4$
本文研究了平面Potts模型及其随机簇表示。我们证明了$\mathbb Z^2$上最近邻铁磁$q$ -态Potts模型的相变对于$q\in\{2,3,4\}$是连续的，在这个意义上存在唯一的Gibbs态，或者等价地说在单色边界条件下临界吉布斯态没有序.该证明使用具有聚类权重$q\ge1$的随机聚类模型（注意，$q$不一定是整数），并且基于两个成分：1.通过研究离散黎曼曲面上的仿费米子观测量，得到了自由态的两点函数对簇权$1\le q\le 4$的亚指数快速衰减的事实。2.一个新的结果证明了临界随机簇模型的几个性质的等价性：-有线边界条件下无限簇的不存在，-无限体积测度的唯一性，-自由边界条件下两点函数的次指数衰减，-任意边界条件下矩形中交叉概率的Russo-Seymour-Welsh型结果.结果导致了一些后果的随机集群模型与$1\le q \le 4$的标度限制。它表明，家庭的接口（例如为Dobrushin边界条件）是紧时，采取的缩放限制，任何子序列的限制可以参数化的Loewner链。我们还研究了边界条件对这些子序列极限的影响。让我们提一下，这个结果在临界指数的研究中也应该是有用的。
2015-05-15 math-ph math.MP math.PR
Boundary correlations in planar LERW and UST
我们发现明确的公式一般边界访问事件的概率平面环擦除随机游动，以及连接事件的分支在统一的生成树。我们表明，这两种概率，适当重整化时，收敛在标度限制共形协变函数，满足偏微分方程的二阶和三阶，预测的共形场论。缩放极限连通性概率还提供了在$κ=2$处的多个$\mathrm{SLE}_κ$的纯配分函数的公式。
2019-09-17 math-ph math.CO math.MP
A planar Ising model of self-organized criticality
我们认为在一个有限的正方形盒子的平面伊辛模型，我们取代的温度参数与依赖于磁化强度的函数。这就产生了一个从自旋配置到参数的反馈，该反馈将系统推向临界点。使用arXiv：0811.4507的有限尺寸标度结果，我们表明，当盒子的尺寸增长到无穷大时，温度集中在正方形晶格上的平面伊辛模型的临界温度附近。
2021-02-19 math-ph math.MP math.PR
On the number of clusters for planar graphs
Tutte多项式是研究平面图结构的一个有力的分析工具。本文建立了平面图与其对偶图的每键簇数之间的关系，这些关系决定了平面图的配位数。使用Tutte多项式的导数给出了每个键的簇数的阶乘矩度量。给出了简单平面图的例子。讨论了正方形、三角形、蜂窝、阿基米德和Laves格的情形。
2006-06-19 cond-mat.stat-mech math.PR
Nontrivial upper bound for chemical distance on the planar random cluster model
本文将二维 Bernoulli 渗流的化学距离上界扩展至簇权重 $1 \le q \le 4$ 的平面随机簇模型，并为该模型的强臂分离引理提供了完整证明。
2023-09-09 math.PR
The Incipient Infinite Cluster of the Uniform Infinite Half-Planar Triangulation
在均匀无限半平面三角剖分（UIHPT）上的临界Bernoulli点渗流模型中引入初始无限簇（IIC），它是有边界的大型随机三角剖分的局部极限. IIC是由UIHPT定义的，通过将原点的开放渗流簇限定为无限大。我们证明了IIC可以通过在UIHPT内添加一个具有明确分布边界的无限三角剖分来获得。
2017-04-10 math.PR
Renormalization of crossing probabilities in the planar random-cluster model
交叉概率的研究--即路径穿过矩形的存在概率--从一开始就是二维渗流理论的核心。它们可以用来证明模型上的一些结果，包括混合速度，尾部的连接概率的衰减，标度关系等。在这篇文章中，我们开发了一个重正化方案的交叉概率在二维随机集群模型。该过程的结果是四种行为之间的替代品的精确描述：-亚临界：交叉概率，即使具有有利的边界条件，也以指数方式快速收敛到0。- 超临界：即使在不利的边界条件下，交叉概率也会以指数速度收敛到1。- 临界不连续：交叉概率在不利的边界条件下以指数方式快速收敛到0，在有利的边界条件下收敛到1。- 临界连续：在边界条件下，交叉概率保持一致地远离0和1。该方法不依赖于自对偶性，使其能够应用于更大的普遍性，包括具有足够对称性的任意图上的随机簇模型，以及其他模型，如某些随机高度模型。
2019-01-24 math-ph math.MP math.PR
Directed distances in spanning-tree-decorated planar maps: exact exponent, scaling limit and universality
MIT（麻省理工学院）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文定义生成树装饰平面图的自然定向，研究有向距离，证明其典型阶为n^{1/3}，Busemann函数标度收敛至3/2-稳定Lévy过程，并推广至√2-LQG普适类，给出有向度量的标度维数。
2026-09-22 math-ph math.CO math.MP
Planar Ising magnetization field II. Properties of the critical and near-critical scaling limits
在[CGN 12]中，我们证明了重整化临界伊辛磁化场$Φ^a:= a^{15/8} \sum_{x\in a\, \Z^2} σ_x \, δ_x$以$a\to 0$收敛于我们记为$Φ^\infty$的随机分布。本文的目的是建立这种$Φ^\infty$和近临界场$Φ^{\infty,h}$所满足的一些基本性质。更准确地说，我们得到了以下结果。如果$A\subset \C$是光滑有界域，并且如果$m=m_A := <{Φ^\infty, 1_A}$表示$A$中的限制性重新缩放磁化，则存在常数$c=c_A>0$，使得{等式 *} \log \Pb{m > x} \underset{x\to \infty}{\sim} -c1; x ∈ {16}，.特别地，这提供了场$Φ^\infty$是非高斯的另一个证明（该事实的另一个证明将使用在不满足Wick公式的\cite{CHI}中建立的$n$点相关函数）。[（ii）]随机变量$m=m_A$具有平滑的{ \it密度}，并且在其傅立叶变换上更精确地具有以下界限：$|\Eb{e^{i\,t m}} |\le e^{- \tilde{c}\, |t|^{16/15}}$。[（iii）]存在一个单参数族$Φ^{\infty,h}$的近临界标度极限的磁化场在平面上与消失小的外部磁场。\ei
2013-07-15 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of critical FK-decorated random planar maps with $q=4$
University of Vienna（维也纳大学）；Fudan University（复旦大学）；Durham University（杜伦大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文通过建立FK(q=4)平面图的临界标度极限，首次严格证明了平面图收敛至CLE_4及临界Liouville量子引力。
2026-02-11 math-ph math.CO math.MP
Pivotal, cluster and interface measures for critical planar percolation
这项工作是第一次在一系列的文件致力于建设和研究的标度限制的动态和近临界平面渗流和相关的对象，如入侵渗流和最小生成树。在这里，我们表明，计数措施的关键网站渗流的三角形网格上的一组点，适当规范化，有一个缩放限制，这是一个函数的缩放限制的渗流配置。我们还证明了这个极限测度是共形协变的，指数为3/4。类似的结果也适用于宏观疏散星团的计数测度（面积测度）和界面的计数测度（长度测度）。由于上述过程在很大程度上是由枢纽站点控制的，因此类似“当地时间”的枢纽措施的构造和性质是本项目的关键结果。另一个应用是界面上极限长度测度的存在是构造SLE（6）曲线的所谓自然时间参数化的关键步骤。证明广泛使用耦合参数，基于分离的接口现象。这是平面统计物理学中非常有用的工具，我们在其中包含了一个独立的附录。简单的推论，我们的方法包括比率极限定理臂概率和旋转不变性的两个点函数。
2014-02-13 math-ph math.MP math.PR
On scaling limits of planar maps with stable face-degrees
本文讨论了随机临界Boltzmann平面映射的渐近性态，其中典型面的度属于指数为$α\in (1,2]$的稳定律的吸引域.我们证明，当条件这样的地图有$n$顶点，或$n$边，或$n$面，赋予适当重新缩放的图距离的顶点集在分布上收敛到著名的布朗地图时，$α=2$，并在提取一个子序列后，向另一个"$α$-稳定的地图"时，$α<2$，这改进了由于Le Gall和Miermont的第一个结果，他们假设了稍微更多的规律性。
2018-03-21 math.PR
Wronskian structures of planar symplectic ensembles
我们考虑辛Ginibre系综对称类中非埃尔米特随机矩阵的特征值，已知这些矩阵在平面上形成普法菲点过程。最近发现，辛Ginibre系综的极限相关核在实数线附近可以用一个统一的Wronskian形式表示。我们推导出缩放限制辛Ginibre合奏的变化，并获得相关的普遍性类等Wronskian结构。这些包括几乎厄米体/边缘缩放限制的椭圆辛Ginibre合奏和边缘缩放限制的辛Ginibre合奏边界限制。我们的证明遵循广义Christoffel-Darboux公式为前者和拉普拉斯方法为后者。基于这样一个统一的Wronskian形式的可积结构，我们还提供了辛对称类的Wronskian的辐角函数与复对称类的核函数之间的密切关系，它们构成平面上的行列式点过程.
2022-12-22 math-ph math.MP math.PR
From the planar Ising model to quasiconformal mappings
Université de Genève（日内瓦大学）
本文研究了平面伊辛模型的标度极限，揭示其与准共形映射的联系，并展示了在不同嵌入结构下能量相关性的共形协变性。
2026-08-19 math-ph math.CV math.MP
The topological structure of scaling limits of large planar maps
讨论了大二部平面映射的标度极限。若p是严格大于大于1的固定整数，我们考虑一个均匀分布在n个面的2 p-角化集上的随机平面映射M（n）.然后，至少沿着一个合适的子序列，配备有图距离的度量空间M（n）在分布上收敛，因为n趋于无穷大，朝着一个极限随机紧度量空间，在Gromov-Hausdorff距离的意义下。我们证明了极限空间的拓扑是独立于p唯一确定的，并且这个空间可以作为连续统随机树对于一个等价关系的商而得到，该关系是由附着在顶点上的布朗标签定义的。我们还验证了极限的豪斯多夫维数几乎必然等于4。
2006-10-31 math.CO math.PR
The phase transitions of the planar random-cluster and Potts models with q larger than 1 are sharp
本文证明了在各种平面晶格上q大于1的无规集团模型都有一个急剧的相变，即存在一个参数p_c，在该参数p_c以下模型呈指数衰减，在该参数p_c以上模型呈a.s.一个无限的集群。结果可以通过Edwards-Sokal耦合推广到Potts模型。我们的方法是基于尖锐的阈值技术和一定的对称性的晶格，特别是它不使用自对偶。部分论点并不局限于平面模型，可能对理解更高维度的随机簇和Potts模型有一定的意义。由于它的性质，这种策略可能是有用的，在研究其他平面模型满足FKG格点条件和一些额外的微分不等式。
2014-09-12 math.PR
Non-coincidence of Quenched and Annealed Connective Constants on the supercritical planar percolation cluster
本文在$\bbZ^d$上研究了超临界渗流团簇上给定长度的自回避路径的丰度。更准确地说，我们计算$Z_N$，即从原点（我们将其设定为在簇中）开始，无限簇上长度为$N$的自避免路径的数量。我们感兴趣的是估计$Z_N$，$\limsup_{N\to \infty} Z_N^{1/N}$，我们称之为连接常数的稀晶格的上增长率。在证明这个连接常数是a.s.之后，非随机的，我们专注于二维的情况下，并表明，对于每个渗流参数$p\in (1/2,1)$，几乎可以肯定，$Z_N$增长指数慢于其期望值。换句话说，我们证明了$\limsup_{N\to \infty} (Z_N)^{1/N} <\lim_{N\to \infty} \bbE[Z_N]^{1/N}$，其中期望是关于渗流过程。这一结果可以被认为是第一次数学尝试，以了解（淬火）稀晶格上的自避免行走的无序的影响。我们的方法结合了测度变化和粗粒化参数，不依赖于$\bbZ^2$上的渗流特性，因此我们的结果可以推广到一个大的二维模型族，包括随机环境中的一般自回避游动.
2013-07-21 math-ph math.MP math.PR
Scaling Limit of Random Planar Quadrangulations with a Boundary
本文讨论了边界长度为面数平方根数量级的平面四边形剖分的尺度极限。我们考虑整数序列$(σ_n)$使得$σ_n/\sqrt{2n}$趋向于某个$σ\in[0,\infty]$ .对于每个$n \ge 1$，我们称$q_n$为均匀分布在所有有根平面四边形的集合上的随机映射，其边界具有$n$面和边界上的$2σ_n$半边。对于$σ\in (0,\infty)$，我们将$q_n$视为度量空间，通过赋予其顶点集以由$n^{-1/4}$重新缩放的图度量。我们表明，这个度量空间收敛分布，至少沿着一些子序列，向一个有限的随机度量空间，在这个意义上的Gromov-Hausdorff拓扑。我们证明了极限度量空间几乎必然是一个Hausdorff维数为4的空间，其边界Hausdorff维数为2，与二维圆盘同胚。对于$σ=0$，相同的收敛性在没有提取的情况下也成立，极限是所谓的布朗映射。对于$σ=\infty$，适当的缩放成为$σ_n^{-1/2}$，我们得到了一个收敛到奥尔德斯的CRT。
2013-09-15 math.PR
Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees
证明了单连通区域$D$中环擦除随机游动的标度极限等于$D$中的径向SLE（2）路.特别地，极限存在并且是共形不变的。证明了Jordan域上的一致生成树的标度极限是存在的，并且是共形不变的。假设域的边界是一条$C^1$简单闭曲线，同样的方法被用来证明均匀生成树Peano曲线的缩放极限是连接$A$端点的$D$闭包中的弦SLE（8）路径，其中树沿着边界上的适当弧$A$连接。这个结果的一个副产品是SLE（8）几乎必然是由一条连续路生成的。
2003-03-10 math-ph math.CV math.MP
Site Percolation on Planar Graphs
本文证明了对于一个非顺从的、局部有限的、连通的、可传递的、有一端的可平面图，其上的任何自同构不变点渗流不恰好有1个无限1-簇和1个无限0-簇。如果我们进一步假设位点渗流是插入容忍的，并且a.s.~存在唯一的无限0-簇，则a.s.~不存在无限的1-簇。证明是基于一类精心构造的集群和轮廓之间的接口的分析。适用于i.i.d.~这些结果解决了Benjamini和Schramm在1996年提出的两个猜想（\cite{bs96}中的猜想7和8）。
2022-03-03 math.PR
The scaling limit of planar maps with large faces
本文构造了一族带洞的随机紧度量空间 S_α，证明大 Boltzmann 稳定平面地图在 α∈(1;2) 时缩放收敛于 S_α，并刻画了稀相与密相下的拓扑及几何性质。
2025-05-08 math.PR
