On the mean values of some multiplicative functions on the short interval
本文研究了与除数函数相联系的几类乘性函数在短求和区间上的均值。证明了这些平均值的渐近性。
2013-02-03 math.NT
Short interval results for certain prime-independent multiplicative functions
利用平滑曲线上整数点理论的最新结果，给出了一类整数值素无关乘性函数值分布的渐近公式。
2016-09-09 math.NT
Incomplete Kloosterman sums and multiplicative inverses in short intervals
研究了同余式xy=1（mod p）的可解性，其中p是素数，x，y被限制在适当的短区间内.我们的工作依赖于不完全Kloosterman和的中值定理。
2012-04-28 math.NT
Investigations on $c$-Boomerang Uniformity and Perfect Nonlinearity
本文在~ \cite{EFRST20}中定义了一个新的乘性$c$ -微分，以及相应的$c$ -微分一致性，并利用这个新概念刻画了已知的完全非线性函数，以及逆函数的特征.这项工作在~ \cite{RS20}中继续进行，研究了某些进一步APN函数的$c$ -微分一致性。在这里，我们将这个概念扩展到由Cid等人在Eurocrypt '18上介绍的回飞棒均匀性。\cite{Cid18}，计算分组密码的S盒，并在完全非线性和相关函数的背景下研究它。
2020-04-24 cs.IT math.IT math.NT
Random multiplicative functions in short intervals
我们考虑取值为$\pm 1$的随机乘性函数。利用Stein的正规逼近方法，证明了这类乘性函数在适当的短区间上的和的中心极限定理。
2011-02-02 math.NT math.PR
Higher order uniformity of the primes and cancellation of the Möbius function in shorter intervals
University of Turku（图尔库大学）；Courant Institute of Mathematical Sciences（库朗数学科学研究所）；Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；University of Cambridge（剑桥大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）
本文改进了素数在短区间上的Gowers一致性和莫比乌斯函数在短区间上的抵消，通过将三线性和的均值估计归结为分段线性函数的正性，并融合Guth-Maynard大值估计，得到了更优的指数。
2026-10-08 math.NT
A structure theorem for multiplicative functions over the Gaussian integers and applications
证明了高斯整数上的乘性函数的一个结构定理，证明了高斯整数上的每一个有界乘性函数都可以分解为一个近似周期项和一个具有小U^{3}-Gowers一致范数的项.我们应用这一点来证明分区正则性的结果在高斯整数的某些方程涉及二次型在三个变量。例如，我们证明了对于高斯整数的任何有限着色，存在相同颜色的不同非零元素x和y，使得对于某个高斯整数n，x^{2}-y^{2}=n^{2}。这个语句在Z上的类比仍然是开放的。
2014-12-03 math.CO math.DS math.NT
Multiplicative Congruences with Variables from Short Intervals
最近，关于变元在短区间上的$$ (x_1+s)...(x_ν+s)\equiv (y_1+s)...(y_ν+s)\not\equiv0 \pmod p $$模素数$p$型同余的解的个数得到了几个界.这里，对于几乎所有的$p$和所有的$s$，以及对于固定的$p$和几乎所有的$s$，我们得到更强的边界。我们也使用类似的想法来表明，对于几乎所有的素数，总是可以找到一个元素的一个大的顺序在任何相当短的时间间隔。
2012-10-24 math.NT
Quantitative Gowers uniformity of the primes in intervals of length $X^{5/8+\varepsilon}$
University of Cambridge（剑桥大学）
本文证明素数短区间上 von Mangoldt 函数与 Siegel 修正模型之差的 Gowers 范数的首个定量界，并用于证明移位素数中无穷多个和积模式。
2026-10-23 math.NT
New estimates for exponential sums over multiplicative subgroups and intervals in prime fields
设${\mathcal H}$是$\mathbb{F}_p^*$的阶为$H>p^{1/4}$的乘法子群.我们证明了$$ \max_{(a,p)=1}\left|\sum_{x\in {\mathcal H}} {\mathbf{\,e}}_p(ax)\right| \le H^{1-31/2880+o(1)}, $$，其中${\mathbf{\,e}}_p(z) = \exp(2 πi z/p)$，这改进了Bourgain和Garaev（2009）的结果。对于连续整数的短区间${\mathcal N}$，我们还得到了双指数和的新估计，其乘积为$nx$与$x \in {\mathcal H}$和$n \in {\mathcal N}$.
2020-03-13 math.NT
Generalized Fourier coefficients of multiplicative functions
我们介绍并分析了一般类不一定有界的乘性函数，其中的例子包括功能$n \mapsto δ^{ω(n)}$，其中$δ\neq 0$和$ω$计数的数目不同的素因子的$n$，以及功能$n \mapsto |λ_f(n)|$，其中$λ_f(n)$表示的傅里叶系数的原始全纯尖点形式。对于这类功能，我们表明，应用后的“$W$技巧”，他们的元素成为正交多项式nilsequences。由此产生的功能，因此有小的一致性规范的所有订单的绿色-陶-齐格勒逆定理，一个后果，将用于在一个单独的文件，以渐近评估线性相关性的乘性函数从我们的类。我们的结果推广了格林和陶关于莫比乌斯函数的工作。
2017-11-07 math.CO math.DS math.NT
Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals I. All intervals
本文证明 μ、Λ、d_k 在短区间中相对其逼近量具有任意阶 Gowers 小性，并用于素数线性方程与多重遍历平均。
2024-02-28 math.NT
The variance of a general class of multiplicative functions in short intervals
University of New South Wales（新南威尔士大学）；National Institute of Science Education and Research（国家科学教育研究中心）
通过傅里叶分析和特定二元形式有理点计数，建立短平均与长平均的联系，给出短区间内一般乘法函数类的渐近方差估计，并推翻van Overbeeke关于φ(n)/n方差的猜想。
2026-06-23 math.NT
Improved bounds for multiplicative functions in almost all short intervals
University of Cambridge（剑桥大学）
研究改进乘法函数短平均值的Matomäki-Radziwiłł方法，对特定函数证明最优衰减界，关键是精确处理筛法误差，还给出其他函数的改进界及局限性，应用于平均Chowla猜想获改进界。
2026-07-20 math.NT
Stability under scaling in the local phases of multiplicative functions
本文提出新策略，在广义黎曼猜想下证明傅里叶均匀性猜想对特定长度区间成立，并预期方法可推广至零序列，从而推出刘维尔函数符号模式接近指数增长。
2023-10-11 math.NT
Multiplicative functions in short intervals
我们介绍了一个一般的结果有关“短平均”的乘法函数的“长平均”，这是很好理解的。这一结果有几个后果。首先，对于莫比乌斯函数，我们证明了在几乎所有的$[x, x + ψ(x)]$与$ψ(x) \rightarrow \infty$任意慢的形式的区间中，$μ(n)$的和都有消去。这超出了以前已知的有条件的密度假设或更强的黎曼假设。第二，我们解决了长期存在的猜想$x^ε$ -光滑数的存在性在区间的形式$[x, x + c(\varepsilon) \sqrt{x}]$，恢复无条件的条件（黎曼假设）的Soundararajan的结果。第三，我们证明了对于某些$δ> 0$，具有$λ(n)$ Liouville函数的$λ(n)λ(n+1)$的均值在绝对值上非平凡地有$1 - δ$的界.这解决了一个古老的民间传说猜想，并构成了对Chowla猜想的进展。第四，我们证明了一个（一般）实值乘法函数$f$具有正比例的符号变化，当且仅当$f$是负的至少一个整数和非零的正比例的整数。这改进了许多以前的作品，并且在莫比乌斯函数的情况下已经是新的。我们还得到了关于几乎所有区间上光滑数的一些结果，以及乘性函数在所有平方根长度区间上的符号变化。
2017-10-15 math.NT
Random multiplicative functions and typical size of character in short intervals
本文研究短区间内随机乘性函数和的平方根相消现象，确定其减弱阈值，并通过随机乘性函数建模给出特征和的尖锐界，推广了Harper的结果。
2024-02-09 math.NT
Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals II. Almost all intervals
University of Turku（图尔库大学）；Northwestern University（西北大学）；University of Kentucky（肯塔基大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究了算术函数在短区间中的均匀性，通过发展传染引理和放大近似函数方程，证明了Gowers范数渐近小，并建立了Hardy-Littlewood猜想和除数相关猜想的短平均。
2026-01-23 math.NT
Divisor-bounded multiplicative functions in short intervals
我们将Matomäki-Radziwiwiwi-functions定理推广到一个无界的乘性函数的大集合，这些函数在素数上是一致有界的，但不一定是1有界的。我们的结果使我们能够估计这样一个函数$f$的平均值在典型的间隔长度$h(\log X)^c$，与$h = h(X) \rightarrow \infty$和其中$c = c_f \geq 0$是由分布的$\{|f(p)|\}_p$在一个明确的方式。我们提出三个应用。首先，我们证明了经典的Rankin-Selberg型渐近公式的部分和$|λ_f(n)|^2$，其中$\{λ_f(n)\}_n$是一个原始的非CM全纯尖点形式的归一化傅立叶系数序列，持续在典型的短区间长度$h\log X$，如果$h = h(X) \rightarrow \infty$。我们还将这个结果推广到序列$\{|λ_π(n)|^2\}_n$，其中$λ_π(n)$是标准$L$ -函数的$n$系数，其中$GL_m$，$m \geq 2$具有酉中心特征标的自守表示$π$满足广义Ramanujan猜想。第二，使用最近的发展理论的自守形式，我们估计方差的平均值的所有正实矩$\{|λ_f(n)|^α\}_n$的间隔长度$h(\log X)^{c_α}$，$c_α > 0$明确，为任何$α> 0$，作为$h = h(X) \rightarrow \infty$。最后，我们证明了…
2021-11-12 math.NT
Investigations on c-(almost) perfect nonlinear functions
在先前的论文[14]中，与P. Ellingsen，P. Felke和A. Tkachenko的基础上，定义了一种新的（输出）乘性微分，并给出了相应的c-微分一致性，这对差分密码分析具有潜在的推广意义。在这里，我们继续这项工作，通过上述概念查看一些APN函数，并表明在某些情况下，它们的c-微分均匀性显着增加。
2020-07-06 cs.CR math.CO math.NT
Partial sums of typical multiplicative functions over short moving intervals
本文研究了短移动区间上典型乘法函数的部分和分布，证明了 Steinhaus 随机乘法函数的部分和矩与高斯矩匹配，且其典型实现经归一化后具有高斯极限分布，从而对 Harper 提出的近期问题取得了初步进展。
2024-02-18 math.NT math.PR
Multiplicative functions in short intervals II
我们确定了几乎所有的短区间内的乘性函数在素数的正比例处消失的行为。此外，我们量化“几乎所有”与统一的节能上限，也就是说，我们保存的权力，适当规范化的长度的间隔，无论多长或短的间隔。这样的节能界限是新的，即使在莫比乌斯函数的特殊情况下。这些一般性的结果是由几个应用程序的动机。首先，我们加强工作的胡利两个平方和建立一个渐近的整数的数量是两个平方和在几乎所有的短时间间隔。以前只知道数量级。其次，我们将这个结果推广到任意数域$K$的一般范数形式（两个平方和是$\mathbb{Q}(i)$的范数形式）。第三，胡利确定了$(s_{n + 1} - s_{n})^γ$与$γ\in (1, 5/3)$之和的数量级，其中$s_{1} < s_2 < \ldots$表示可表示为两个平方和的整数。我们用可表示为任意数域$K$的范数形式的整数序列$γ\in (1, 3/2)$和$s_n$建立了类似的结果。这是第一个这样的结果，一个数域的程度大于2。假设所有Hecke $L$ -函数都满足Riemann假设，我们还证明了$γ\in (1,2)$是可容许的.第四，改进了Heath-Brown关于$x^{\varepsilon}$ -smooth数之间的间隔的结果.更一般地，我们得到的结果之间的差距乘法序列。最后，我们的结果在其他情况下也很有用，例如在我们即将进行的关于傅立叶均匀性的工作中（与Terence T…
2020-07-08 math.NT
Higher order Fourier analysis of multiplicative functions and applications
我们证明了一个结构定理的乘性函数，其中规定，一个任意有界乘法函数可以分解成两个条款，一个是近似周期性的，另一个具有小的Gowers均匀性规范的任意程度。证明使用高阶傅里叶分析的工具和一些软数论输入，这些输入以Kátai正交准则的形式出现。我们使用这个结构定理的变体来推导数论和组合风格的应用：$(i)$我们给出了Gowers范数的简单的充要条件（在$\mathbb{N}$上）证明了乘性函数对“无理”零序列的渐近正交性，$(ii)$推广了Daboussi和Delange的一个经典结果，$(iii)$我们证明了对于某些二元多项式，所有的“非周期”乘性函数满足Chowla的零均值猜想，$(iv)$我们给出了三元齐次二次方程的第一个剖分正则性结果，例如，在整数的每一个剖分上，属于相同小区的不同$x,y$和$λ\in \mathbb{N}$，使得$16x^2+9y^2=λ^2$和相同的等式$x^2-xy+y^2=λ^2$成立。
2016-01-26 math.CO math.DS math.NT
Investigations on $c$-(almost) perfect nonlinear functions
在之前的一篇论文\cite{EFRST20}中，我们中的两个人，以及P. Ellingsen，P. Felke和A. Tkachenko，1定义了一种新的（输出）乘性微分，以及相应的$c$ -微分一致性，它具有推广差分密码分析的潜力。在这里，我们继续的工作，通过上述概念，并显示其$c$差分均匀性显着增加，在某些情况下，在一些APN功能。
2021-03-20 cs.IT math.IT math.NT
Distribution of random multiplicative functions in short intervals, with proper normalization
University of Warwick（华威大学）；Stanford University（斯坦福大学）；Tsinghua University（清华大学）
研究Steinhaus随机乘性函数在短区间上的部分和极限分布，证明在适当归一化下对所有y=o(x)的短区间极限分布为高斯分布，并发现归一化因子在y接近x时不同于标准差√y。
2026-06-27 math.NT math.PR
Distribution in coprime residue classes of polynomially-defined multiplicative functions
本文研究多项式定义的可乘函数在互素剩余类中的分布，建立了模数大范围一致条件下的等分布结果，并证明欧拉函数值在特定模数下渐近等分布。
2023-05-30 math.NT
Sparsity of curves and additive and multiplicative expansion of rational maps over finite fields
对于$p$元的有限域$\mathbb{F}_p$上的素数$p$和多项式$F(X,Y)$，我们给出了$$ F(x,y)=0, \quad x\in\mathcal{A}, \ y\in \mathcal{B}, $$的解的个数的上界，其中$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是很小的区间或子群.这些界可以被认为是正的特征类似的结果Besieri和皮拉（1989年）的稀疏曲线上的整点。作为应用，我们证明了由多个有理函数合成生成的序列中的不同连续元素不包含在任何短区间或小子群中。
2018-03-06 math.NT
Central limit theorems for random multiplicative functions over function fields
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Smith College（史密斯学院）；University of Toronto（多伦多大学）
本文研究函数域上随机乘法函数的部分和趋近复标准正态分布的条件，推导了四种情形下的中心极限定理，并建立了光滑多项式在短区间内的Hildebrand不等式、函数域上的Shiu定理变体及粗糙多项式在短区间内的Chebyshev界。
2025-12-07 math.NT math.PR
Divisors on overlapped intervals and multiplicative functions
本研究定义了基于重叠区间特征函数的多项式$L_n(q)$，证明其在$q=1$和$q=-1$处的取值可对应两个与二次型表示数相关的著名积性函数A002324与A096936，建立了除数分布与积性函数的联系。
2023-05-02 math.NT
Halász theorems for Gaussian ideals in sectors and short intervals
University of Warwick（华威大学）
本文研究了在Gaussian理想上乘法函数的Halász定理，通过控制与Archimedean字符N^{it}的pretentious距离来获得界，同时证明了在扇形中的非pretentious性下，固定扇形内理想上f的和渐近等于无限制和的期望比例，并在非退化条件和共轭素数对条件下证明了扇形短区间中的Halász定理。
2026-11-04 math.NT
Character sums with Beatty sequences on Burgess-type intervals
我们估计了非齐次Beatty序列$\{[αn + β] : n =1,2,... \}$的乘性特征和，其中$α,β\in\R$和$α$是无理数.我们的界限是非平凡的，在相同的短间隔，经典的字符和估计的伯吉斯已经建立。
2006-08-02 math.NT
Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications
在本文中，我们得到了新的上界估计的同余$$ x\equiv y r\pmod p;\quad x,y\in \mathbb{N},\quad x,y\le H,\quad r\in\cU, $$的解的数目为一定范围的$H$和$|\cU|$，其中$\cU$是一个子集的剩余类模$p$具有小乘法倍。然后，我们使用这个估计，以显示的解决方案的数量的同余$$ x^n\equiv λ\pmod p; \quad x\in \N, \quad L<x<L+p/n, $$是最多$p^{\frac{1}{3}-c}$一致的正整数$n, λ$和$L$，一些绝对常数$c>0$。这意味着，特别是，如果$f(x)\in \Z[x]$是一个固定的多项式没有多个根的$\C$，那么同余$ x^{f(x)}\equiv 1\pmod p, \,x\in \mathbb{N}, \,x\le p,$有最多$p^{\frac{1}{3}-c}$解决方案的$p\to\infty$，改进了一些最近的结果Kurlberg，卢卡和Shparlinski和的Bayesian，Broughan和Shparlinski。我们使用我们的结果表明，几乎所有的剩余类模$p$可以表示的形式$xg^y \pmod p$与正整数$x<p^{5/8+\varepsilon}$和$y<p^{3/8}$。这里$g$表示原始根模$p$。我们还证明了几乎…
2014-08-21 math.NT
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
2014-12-08 math.NT
Partition regularity of Pythagorean pairs
University of Crete（克里特大学）；University of Bristol（布里斯托大学）；University of Warwick（华威大学）
研究勾股数对划分正则性问题，证明正整数有限染色含单色勾股数对，还表明特定乘法函数水平集生成的划分含勾股三元组，方法是结合非周期乘法函数高尔斯均匀性与乘法函数浓度估计。
2026-07-28 math.CO math.NT
Double Character Sums over Subgroups and Intervals
我们估计双和$$ S_χ(a, I, G) = \sum_{x \in I} \sum_{λ\in G} χ(x + aλ), \qquad 1\le a < p-1, $$与乘法字符$χ$模$p$其中$I= \{1,\ldots, H\}$和$G$是一个子群的顺序$T$的乘法群的有限域的$p$元素。如果$H \ge p^{1/4+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从Burgess界导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界;如果$T \ge p^{1/2+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从一些标准的初等参数导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界，其中$\varepsilon>0$是任意的。我们得到一个非平凡的估计在更广泛的范围内的参数$H$和$T$。我们还估计了双和$$ T_χ(a, G) = \sum_{λ, μ\in G} χ(a + λ+ μ), \qquad 1\le a < p-1, $$，并给出了一个应用程序的原根模$p$与$3$非零二进制数字。
2014-02-15 math.NT
Ergodicity of the Liouville system implies the Chowla conjecture
Chowla猜想断言，刘维尔函数的值形成一个正和负的正常序列。重新解释语言的遍历论它断言，刘维函数是通用的伯努利措施的空间序列的价值加或减一。我们表明，这些声明所隐含的弱得多的假设，刘维尔函数是通用的遍历措施。我们也给这个结果的变种有关的猜想艾略特的相关性的乘性函数的值在单位圆。我们的论点有一个遍历的味道，并结合了最近的结果在解析数论，有限和无穷分解的结果，涉及均匀性的equidistribution结果和定性的nilmanifold。
2017-12-12 math.DS math.NT
An Inverse Theorem for Certain Directional Gowers Uniformity Norms
设$G$是素域$\mathbb{F}_p$上的有限维向量空间，其中包含若干子空间$H_1, \dots, H_k$。设$f \colon G \to \mathbb{C}$为函数。推广了Gowers一致性范数的概念，Austin引入了$f$在$(H_1, \dots, H_k)$上的方向Gowers一致性范数为\[\|f\|_{\mathsf{U}(H_1, \dots, H_k)}^{2^k} = \mathbb{E}_{x \in G,h_1 \in H_1, \dots, h_k \in H_k} \partial_{h_1} \dots \partial_{h_k} f(x)\]，其中$\partial_u f(x) \colon= f(x + u) \overline{f(x)}$是离散乘法导数。设$G$是子空间$G = U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_k$的直和。本文证明了范数\[\|\cdot\|_{\mathsf{U}(U_1, \dots, U_k, \smash[b]{\underbrace{\scriptstyle G, \dots, G}_{\scriptscriptstyle \ell}})},\]的逆定理，这是方向Gowers一致性范数的逆问题中最简单有趣的未知情形。也就是说，写作$\|\cdot\|_{\mat…
2021-03-10 math.CO math.NT
Double Character Sums with Intervals and Arbitrary Sets in Finite Fields
我们得到了某些乘法特征标双和的一个新的界，改进了已有结果的范围。这种改进来自于有限域中共线三元组数目的新界，这是加法组合学的经典研究对象。
2018-03-23 math.CO math.NT
Beyond the Erdős discrepancy problem in function fields
该研究在函数域框架下拓展Erdős偏差问题，分别刻画短区间、字典序、长区间三种偏差下完全乘性函数部分和的极限行为，验证相关猜想、回答公开问题并分类修正Dirichlet特征类的反例。
2023-09-12 math.NT
Truncated pretentious distances of multiplicative arithmetic functions
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
本文研究非自命乘法函数的自相关平均收敛性，揭示其局部自命行为与素数上偏差的联系，并证明一类函数满足原始形式的 Elliott 猜想。
2026-09-30 math.NT
A note on the Liouville function in short intervals
本文给出了一个简短而完备的证明，证明了对任何$δ> 0$，$\sum_{x \leq n \leq x+x^δ} λ(n) = o(x^δ)$对几乎所有的$x \in [X, 2X]$ .我们还勾画了这样的结果一般实值乘性函数的证明。这两个结果都是我们最近更复杂和冗长的预印本中结果的特殊情况。
2015-02-09 math.NT
Value patterns of multiplicative functions and related sequences
研究了由乘性函数或相关对象定义的序列中各种符号和值模式的存在性。对于任何集$A$的指示函数是“近似乘法”和均匀分布在短间隔在适当的意义下，我们表明，模式$n+1\in A$，$n+2\in A$，$n+3\in A$的渐近密度是积极的，只要$A$的密度大于$\frac{1}{3}$。利用和集的逆定理和遍历理论的一些工具，我们还提供了一个定理，处理$A$的密度正好$\frac{1}{3}$的临界情况下，低于这一点将需要非平凡的信息的局部分布的$A$玻尔集进行。我们首先应用我们的结果回答在一个更强的形式的问题的Erdés和Pomerance的相对顺序的最大素因子$P^{+}(n)$，$P^{+}(n+1), P^{+}(n+2)$的三个连续整数。其次，我们证明了元组$(ω(n+1),ω(n+2),ω(n+3)) \pmod 3$具有$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$中所有$27$可能的模式，具有正的低密度，$ω(n)$是不同素因子的数量。我们还证明了一个定理有关长模式$n+i\in A_i$，$i=1,\dots k$在近似乘法集$A_i$有足够大的密度，推广了一些结果Hildebrand在他的“稳定集矩阵”。最后，我们考虑的刘维函数$λ$的符号模式，并表明，至少有$24$模式的长度$5$发生正上密度。在所有的证明中，我们广泛地利用了最近关于乘性函数相关性的思想。
2019-09-03 math.DS math.NT
An averaged Chowla and Elliott conjecture along independent polynomials
我们推广的结果Matomäki，Radziwiwienkirn，和陶，证明了一个平均版本的猜想Chowla和一个猜想的埃利奥特有关的相关性的刘维函数，或更一般的有界乘性函数，与移位的独立多项式在几个变量。一个新的特点是，我们重铸的问题，遍历条款，并使用多重遍历定理来证明它，它的假设是验证使用最近的结果Matomäki和Radziwiwienkirchen平均值的乘性函数在典型的短时间间隔。我们推导出几个后果的模式，可以发现的范围内的各种等差数列沿移位的独立多项式。
2017-01-05 math.DS math.NT
On the Liouville function in short intervals
令$λ$表示Liouville函数。假设黎曼假设，我们证明$$\int_X^{2X}\Big|\sum_{x\leq n \leq x+h}λ(n) \Big|^2 dx \ll Xh(\log X)^6,$$作为$X\rightarrow \infty$，提供$h=h(X)\leq \exp\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2}-o(1)\right)\log X \log\log X}\right).$的证明使用一个简单的变化的方法开发的Matom{ä}ki和Radziwiwienki在他们的工作乘性函数在短时间内，以及一些标准的结果有关光滑数。
2021-04-26 math.NT
Sarnak's Conjecture for nilsequences on arbitrary number fields and applications
对任意数域$K$提出了广义Sarnak的Möbius不交性猜想，并证明了$K$的整数环$\mathcal{O}_{K}$上多项式零序列$(Φ(g(n)Γ))_{n\in\mathbb{Z}^{D}}$与非周期乘法函数之间的一个定量不交性结果.这里$D=[K\colon\mathbb{Q}]$，$X=G/Γ$是一个流形，$g\colon\mathbb{Z}^{D}\to G$是一个多项式序列，而$Φ\colon X\to \mathbb{C}$是一个Lipschitz函数。证明使用的工具，从多维高阶傅立叶分析，多线性分析，轨道性质的nilmanifold，和正交准则的Kátai在$\mathcal{O}_{K}$。我们也利用这个结果的变形来导出在数论和组合学中的应用：（1）我们证明了$K$上乘法函数的一个结构定理，即每一个有界乘法函数都可以分解为一个概周期函数的和（结构部分）和具有任何次数的小Gowers一致性范数的函数（2）给出了$\mathcal{O}_{K}$中有界乘性函数的Gowers范数为零的充要条件;（3）给出了$K$上一大类三元齐次方程的划分正则性结果.例如，对于$a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$，我们证明了对于每个$\mathcal{O}_{K}$划分为多个细胞，其中$K=\mathbb{Q}(\sqrt{a},\sqrt{b},\sq…
2023-01-13 math.CO math.DS math.NT
Multiple Exponential and Character Sums with Monomials
当变量在较短的区间上运行时，我们得到了具有单项式的多元指数和的新的界。此外，我们使用相同的方法来获得估计类似的和乘法字符，以前已知的方法不适用。特别是，在乘法字符模一个总理$p$，我们打破了$p^{1/4}$的范围内的个体变元的障碍。
2013-09-02 math.NT
Two problems on the distribution of Carmichael's lambda function
令$λ(n)$表示乘法群模$n$的指数。我们发现，当$q$是奇数，每个互质剩余类模$q$击中同样经常由$λ(n)$作为$n$变化。在更强的假设下，$\gcd(q,6)=1$，我们证明了均匀分布持续整个西格尔-Walfisz型范围内的均匀性。通过类似的方法，我们证明了$λ(n)$关于自然密度服从Benford首数律。此外，如果我们假设GRH，那么本福德定律对$a$ mod $n$的阶成立，对任何固定整数$a\notin \{0,\pm 1\}$成立。
2023-03-24 math.NT
A short-interval Hildebrand-Tenenbaum theorem
本文在短区间内证明了Hildebrand-Tenenbaum定理的渐近等价性，并给出了k-重除数函数在短区间内的均值上界。
2025-12-11 math.NT
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
2018-10-15 math.NT
A model problem for multiplicative chaos in number theory
解决了赫尔森的一个猜想，哈珀最近建立了随机乘性函数的部分和通常表现出比平方根抵消。哈珀的工作给出了一个例子，一个问题，在数论是密切相关的想法，在概率论与乘法混沌;另一个这样密切相关的问题是费奥多罗夫-Hiary-基廷猜想的最大规模的黎曼ζ函数的间隔有界长度的临界线。在本文中，我们考虑一个问题，可能会被认为是一个简化的功能域版本的海尔森猜想。我们发展和简化哈珀在这方面的想法，希望简化的证明将是有用的读者寻求一个温和的切入点，这个迷人的领域。
2021-08-16 math.NT math.PR
A problem of D. H. Lehmer in short intervals. I
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
研究与模q乘法逆元奇偶性不同的整数个数问题，利用算术指数对和素变量不完全克洛斯特曼和估计，在特定条件下得到短区间内此类整数个数渐近公式并证明素变量版本，改进了前人结果。
2026-07-09 math.NT
A new proof of Halász's Theorem, and its consequences
Halász定理给出了乘性函数$f$的平均值的上界。对于一般的$f$，该界限是尖锐的，并且特别地，它意味着具有$|f(n)|\le 1$的乘性函数具有平均值$0$，或者对于某些固定的$t$“接近”$n^{it}$。目前文献中的证明具有某些难以激发的特征，并且不是特别灵活。在这篇文章中，我们提供了一个不同的，更灵活的，证明，这表明如何可能获得渐近，并可以修改为短间隔和等差数列。我们使用这些结果，以获得新的，可以说是更简单的，证明总是有素数在短时间间隔（Hoheisel定理），并始终有素数附近的开始一个等差数列（林尼克定理）。
2017-06-12 math.NT
Rough integers with a divisor in a given interval
我们确定，乘法常数，整数$n\le x$的数量，没有素因子$\le w$和一个除数在$(y,2y]$。我们的估计在$x,y,w$中是一致的。我们应用这一点来确定$N\times N$乘法表中的不同整数的数量的顺序是免费的素因子$\le w$，以及不同的分数的形式$\frac{a_1a_2}{b_1b_2}$与$1\le a_1 \le b_1\le N$和$1\le a_2\le b_2 \le N$的数量。
2019-09-17 math.NT
Primes in arithmetic progressions and short intervals without $L$-functions
本研究提出一种可检测乘法结构集合中素数的筛法，给出了Linnik最小素数问题和短区间素数存在性的无$L$-函数新证明，为相关数论问题提供了新的研究工具。
2024-01-31 math.NT
