长度为 $X^{5/8+\varepsilon}$ 的素数区间上的定量 Gowers 一致性
Quantitative Gowers uniformity of the primes in intervals of length $X^{5/8+\varepsilon}$
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本文证明素数短区间上 von Mangoldt 函数与 Siegel 修正模型之差的 Gowers 范数的首个定量界，并用于证明移位素数中无穷多个和积模式。
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我们证明了 von Mangoldt 函数减去 Siegel 修正模型函数后在短区间上的 Gowers 范数的首个定量界。该结果适用于区间 $(X,X+H]$，其中 $H\geq X^{5/8+\varepsilon}$，并为 $U^k(X,X+H]$ 范数提供了拟多项式节省。主要的新工具是一个高效的、对 nilsequence 维数具有显式依赖的非阿贝尔 Type II 逆定理。我们通过将 Leng 的四参数高效等分布定理直接应用于四变量未加权角相关来证明该逆定理，从而替代了 Matomäki、Shao、Tao 和作者在非阿贝尔 Type II 证明中使用的因子分解和子群论证。在与 Florian Richter 的合作中，我们将此定量结果用作证明移位素数 $\mathbb{P}-1$ 中存在无穷多个形如 $\{x,x+y,xy\}$ 的和积模式的一个组成部分。
英文摘要
We prove the first quantitative bounds for the Gowers norms of the von Mangoldt function minus a Siegel corrected model function in short intervals. The result applies to intervals $(X,X+H]$ with $H\geq X^{5/8+\varepsilon}$ and gives quasipolynomial savings for the $U^k(X,X+H]$ norm. The main new ingredient is an efficient non-abelian Type II inverse theorem with explicit dependence on the nilsequence dimension. We prove this inverse theorem by applying Leng's efficient equidistribution theorem in four parameters directly to an unweighted corner correlation in four variables, hence replacing the factorisation and subgroup argument in the non-abelian Type II proof of Matomäki, Shao, Tao and the author. In joint work with Florian Richter, we use this quantitative result as one ingredient in proving the existence of infinitely many sum-product patterns of the form $\{x,x+y,xy\}$ in the shifted primes $\mathbb{P}-1$.
发表机构
- University of Cambridge（剑桥大学）
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