Weak Counterexamples to $L^2$ Curvature Estimates for Minimizing Surfaces
Zhenhua Liu
我们构造了一系列光滑极小化曲面，使它们具有第二基本型的发散$L^2$范数.
We construct a sequence of smooth minimizing surfaces in a sequence of metrics converging to the standard Euclidean metric, so that they have diverging $L^2$ norm of second fundamental form.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Counterexamples to prescribed scalar curvature in the null case
该研究在$n\boldsymbol{\text{≥}}5$的平坦环面上构造了变号且均值为负的光滑函数，证明其无法作为给定共形类中度量的纯量曲率，给出了零情形下规定纯量曲率的反例。
A counterexample to Yau's bounded-mean-curvature embedding question
针对Yau关于有界Ricci曲率与正单射半径流形是否存在有界平均曲率等距嵌入的问题，构造了四维及以上维度的反例，证明此类嵌入不存在。
Counterexamples to preservation of flat normal bundles under mean curvature flow
本文构造反例，证明平均曲率流下平坦法丛性质不保持，并给出平行主法向条件不保持的例子。
Expanders for Mean Curvature Flow and Counterexamples to Ilmanen's Genus-Reduction Conjecture
本文构造了新的均曲率流扩张器，这些扩张器光滑地趋于某些收缩器产生的锥体。对于每个锥体，证明了存在任意高亏格的扩张器，反驳了伊尔曼恩的亏格减少猜想。
A Counterexample to Yau's Conjectured Asymptotic Scalar-Curvature Integral Bound
通过结合环面透镜、角裤和自适应混合块，构造了正Ricci曲率完备单端三维流形，其数量曲率积分发散，给出Yau猜想反例。
Stable constant mean curvature hypersurfaces are area minimizing in small L^1 neighborhoods
证明了在维数小于或等于7的光滑流形中，严格稳定的常平均曲率超曲面在小的L^1邻域中对固定体积唯一地同调面积极小化。
Counterexamples to continuity of optimal transportation on positively curved Riemannian manifolds
给出了截面曲率处处为正的黎曼流形上最优输运连续性的反例。这些例子表明Ma，Trudinger，& Wang的条件A3w不能由截面曲率的正性保证。
Counterexamples for Local Isometric Embedding
我们在具有非正高斯曲率的2-流形上构造了光滑度量，它不能（C^3）局部等距嵌入R^3中。此外，度量的高斯曲率除了一个点之外可以是负的。
Minimizing Constant Mean Curvature Hypersurfaces in Hyperbolic Space
研究了双曲空间中渐近边界为无穷远处球面中闭余维1子流形的常中曲率超曲面。我们认为CMC超曲面是极小超曲面的推广。我们将极小超曲面的面积极小化、凸包性质、交换圆技巧等概念自然地推广到CMC超曲面的情形。我们还给出了双曲空间中CMC超曲面的一般唯一性结果。
Blow-up phenomena for the constant scalar curvature and constant boundary mean curvature equation (after Chen and Wu)
针对常标量曲率与常边界平均曲率方程，本文将低能量解集失去紧性的光滑反例维数阈值由 Chen 和 Wu 的不小于62维改进至不小于35维。
Homogeneous spaces, curvature and cohomology
本文对Karsten Grove的一个问题，即单连通流形中是否只有1000个有理同伦类型满足Gromov的贝蒂数定理的假设，给出了新的反例.我们的反例是齐次黎曼流形，与以前的例子相反。它们由尺寸为13和22的两个族组成。这两个家庭是非负弯曲的额外的上曲率界和不同的环结构的上同调环与复杂的系数。22维的例子也允许关于齐次度量的几乎非负曲率算子。
Counterexamples in nonpositive curvature
我们给出的例子秩一紧表面上存在经常测地线，不能被周期测地线阴影。我们建立秩一紧曲面，使得曲面的单位切丛上的遍历测度在不被测地流改变的概率测度集中不是稠密的。最后，给出了完备秩一曲面的例子，其中测地流的非游荡集是连通的，周期轨道在该集中是稠密的，而测地流在限制到它的非徘徊集上是不传递的.
Integral of Scalar Curvature under Volume Collapse
本文构造了三维完备正里奇曲率度量使数量曲率积分发散，否定了丘成桐猜想，并给出紧流形上Naber猜想的反例。
Rigidity of area minimizing tori in 3-manifolds of nonnegative scalar curvature
证明了Fischer-Colbrie和Schoen的一个猜想的如下版本：如果M是一个具有非负数量曲率的完备黎曼3-流形，其中包含一个在其合痕类中面积最小的双侧环面S，则M是平坦的.这是从一个本地版本中得出的文件。
Scalar curvature rigidity with a volume constraint
受Brendle-Marques-Neves对Min-Oo猜想的反例的启发，我们证明了一个适用于半球的体积约束数量曲率刚性定理.
Mean curvature flow converging to an minimizing cone and its Hardt-Simon foliation
本文构造了一族平均曲率流，在 type I 和 type II 重标度下分别收敛到严格稳定的极小超锥及其 Hardt-Simon 叶状结构，并去除了 Velázquez 先前结果中的对称性条件。
A counterexample to gluing theorems for MCP metric measure spaces
佩雷尔曼的加倍定理断言，通过沿着边界粘合两个具有曲率$\geq κ$的亚历山德罗夫空间的副本而获得的度量空间是具有相同维数并满足相同曲率下界的亚历山德罗夫空间。我们证明了这个结果不能推广到满足$\mathrm{MCP}$意义下的合成里奇曲率界的度量测度空间。反例由Grushin半平面给出，它满足$\mathrm{MCP}(0,N)$当且仅当$N\geq 4$，而它的双平面满足$\mathrm{MCP}(0,N)$当且仅当$N\geq 5$。
Minimal Smoothings of Area Minimizing Cones
本文证明了R^n中的每一个面积极小锥C^{n-1}都可以用全光滑的面积极小超曲面来逼近。这广泛使用了此类超曲面的双曲展开以及由此产生的雅可比场算子的位势论。应用包括数量曲率几何中的分裂定理，即具有正数量曲率的紧致流形M^n的任何（n-1）维同同调类可以由光滑（！）允许正的数量曲率度量的紧致超曲面。
Some counterexamples for the special lagrangian curvature equation
该论文构造特殊拉格朗日曲率方程的反例，二维中用平行曲面焦后分支构造非\(C^1\)解，二维矩形上构造\(C^1\)范数有界但曲率无界解，三维亚临界阶段构造梯度有跳跃间断的解，揭示相关先验估计中结构假设的必要性。
Closed counterexamples to Toponogov's question on mixed curvature
构造了所有偶数维上具有正混合截面曲率的一维全测地叶理的闭黎曼流形，叶为闭测地线并形成光滑圆纤维化，表明正混合截面曲率本身不蕴含Ferus-Adams估计。
Rigidity of Area-Minimizing $2$-Spheres in $n$-Manifolds with Positive Scalar Curvature
证明了在满足$R\geq 2$且允许有非零度映射到$\mathbf S^2\times T^n$的维数为$n+2\leq 7$的定向紧致流形中，不可缩浸入球的最小面积不大于$4π$.我们还证明了一个刚性结果的平等的情况下。这可以看作是[2]中结果在高维上的推广。
Curvature bounds on length-minimizing discs
该研究在微分几何领域证明长度极小化圆盘继承目标空间的曲率上界，并由此推导出调和圆盘与直纹圆盘同样继承外围空间的曲率上界。
A splitting theorem for 3-manifold with nonnegative scalar curvature and mean-convex boundary
本文证明，含绝对面积最小化或θ-能量最小化半圆柱/条带的非负数量曲率平均凸边界三维流形必为平坦，推广了分裂定理。
Curvature, diameter, and quotient manifolds
Gromov证明了具有非负截面曲率的闭黎曼n-流形的贝蒂数存在一个上界。格罗夫问是否这样的流形（如果简单连接）属于只有1000多个合理同伦类型。我们给出了否定的答案，实际上在6维中，这是最小的可能。我们还给出了7维和9维空间中相关问题的反例，改进了方和荣在22维空间中给出的反例。
On the total curvature of minimizing geodesics on convex surfaces
给出了欧几里得空间中凸曲面上极小测地线的全曲率的一个普遍上界。
Chern Holomorphic Sectional Curvature: Canonical Ampleness, Rigidity, and Flatness Counterexamples
本文证明紧致Hermitian流形上常Chern全纯截面曲率的刚性定理：非正曲率情形度量必为Kähler，负曲率时典范丛丰富且为Kähler-Einstein度量，正曲率平衡三维流形等距于带Fubini-Study度量的复射影空间。
Existence of immersed spheres minimizing curvature functionals in compact 3-manifolds
本文研究紧致三维黎曼流形M中浸入2-球面的曲率泛函。在M的截面曲率严格为正的假设下，我们证明了存在一个光滑浸入球面极小化第二基本型的L^{2}积分.相反，假设截面曲率小于或等于2，并且M中存在数量曲率大于6的点，则我们得到使1/4 |H| ^{2}+1的积分最小化的光滑2-球面，其中H是中曲率向量。
Co-dimension one area-minimizing currents with $C^{1,α}$ tangentially immersed boundary having Lipschitz co-oriented mean curvature
研究了具有边界$\partial T$的$\mathbb{R}^{n+1},$中的$n$维面积最小流$T$：对于某些$α\in (0,1]$，$\partial T$是局部$(n-1)$维$C^{1,α}$定向子流形的有限和，这些子流形只相切且定向相同; $\partial T$具有中曲率$=h ν_{T}$，其中$h$是Lipschitz标量-值函数，$ν_{T}$是$\partial T$关于$T.$的广义外指向法线。我们给出了这种流$T.$的部分边界正则性结果。我们证明了在$\partial T,$的支持下，在任何点$x$附近，$T$的支撑具有非常不受控的结构，或者$T$在$x$附近的支撑是具有不相交内部和仅沿着$\partial T.$的支撑的公共边界点的可定向的带边界的$C^{1,α}$超曲面的有限并
A counterexample to Nirenberg's conjecture on closed asymptotic curves
本文构造了R³中一条含两条闭渐近曲线的光滑嵌入环带，为Nirenberg1962年的猜想提供了反例，其构造基于Lelieuvre公式与Riccati方程周期解。
Bounded variation and relaxed curvature of surfaces
我们考虑一个放松的概念，能量的非参数余维一表面，考虑到面积，中曲率，高斯曲率。它是由内接多面体曲面近似得到的最佳值给出的。研究了具有有限松弛能量的函数的BV和测度性质。对于总平均和高斯曲率，分析了Schwarz-Peano关于面积定义的经典反例。
Consistency of minimizing movements with smooth mean curvature flow of droplets with prescribed contact-angle in $\mathbb R^3$
该研究证明了三维空间中带预定接触角液滴的最小化运动解与光滑平均曲率流等价，为两类平均曲率运动描述建立了一致性。
Deformation of Scalar Curvature and Volume
已知在给定的闭流形上单位体积度量空间上的全数量曲率泛函的驻点恰好是Einstein度量。人们可以考虑在度量空间上寻找其数量曲率等于给定常数的体积泛函的固定点的修正问题。在本文中，我们局部化的一个条件所满足的平稳点光滑有界区域。该条件涉及的静态方程的推广，我们解释这个方程的解决方案（及其边界值）变分。域进行度量，不满足条件，我们建立了一个局部变形定理，允许一个同时实现小的规定的变化的数量曲率和体积的一个composite支持的变化的度量。我们应用这一结果，以获得一个本地化的胶合定理常数数量曲率度量，其中的总体积是保持。最后，我们注意到，从一个反例的Min-Oo的猜想，如Brendle-Marques-Neves，反例的任意大的体积和不同的拓扑型可以构建。
Area-minimizing hypersurfaces in manifolds of Ricci curvature bounded below
本文利用Cheeger-Colding理论，研究Ricci曲率下有界流形中面积极小超曲面在Gromov-Hausdorff收敛下的体积连续性，并通过blowing up论证给出极限超曲面奇异集的精确维数估计。
Counterexamples to Escobar's conjecture
本文通过构造欧氏单位球的共形变形，结合扰动判据与显式多项式共形因子，对所有n≥3否定了埃斯科瓦尔关于紧致黎曼流形边界主曲率与σ₁关系的猜想。
Energy-minimizing maps from manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文证明非负Ricci曲率流形到无共轭点流形的同伦类映射能量有下界，等号当且仅当全测地，并推广至有限覆盖与分裂情形。
Convex hulls and area minimizing currents in asymptotically locally hyperbolic manifolds
该研究在无全局曲率假设的共形紧化渐近局部双曲流形中，通过构造共形无穷远处的障碍凸包，推广Anderson的双曲空间定理，求解任意余维数整电流的定向渐近普拉托问题。
Stable ample vector bundles without semipositive Kobayashi curvature
本文在Hirzebruch曲面上构造了无半正Kobayashi曲率的稳定丰沛向量丛，否定了Kobayashi问题，并为Fulton问题和Hartshorne--Schneider猜想提供了反例。
Existence and non-existence of area-minimizing hypersurfaces in manifolds of non-negative Ricci curvature
研究了无穷远点处非负里奇曲率、欧氏体积增长和二次曲率衰减流形中的极小超曲面。通过与帽球锥的比较，我们确定了精确的边界的里奇曲率衰减。超过这个值，不存在完全的面积最小化超曲面。相反，在这个值以下，我们构建示例。
Rigidity of volume-minimizing hypersurfaces in Riemannian 5-manifolds
本文将文[4]的主要结果推广到不一定是爱因斯坦流形上。实际上，我们得到了黎曼5-流形$M$的局部体积极小化闭超曲面$Σ$的体积的上界，该曲面的数量曲率由$Σ$的总无迹里奇曲率的正常数从下到上有界.此外，如果$Σ$使相应的上界饱和，并且$M$具有非负的里奇曲率，则$Σ$与$\mathbb{S}^4$等距直到缩放，并且$M$在$Σ$的邻域中分裂。当$Σ$使其同伦类的体积最小化并使其上界饱和时，得到了$M$的黎曼覆盖的刚性结果.
An elementary counterexample to Escobar's Steklov conjecture on the three-ball
本文构造了单位三维球上满足正Ricci曲率与严格凸边界条件的显式多项式度量形变，作为Escobar关于Steklov特征值下界猜想的反例，其证明可人工验证。
Minimizing movements for forced anisotropic curvature flow of droplets
本文研究非均匀水平超平面上液滴的受迫各向异性曲率流，建立了光滑流和1/2-赫尔德连续极小化移动解的存在性，并探讨了其比较原理、一致有界性及与光滑流的一致性。
Area-minimizing surfaces in asymptotically flat three-manifolds
证明了具有非负数量曲率的渐近平坦黎曼三流形等距于平坦的$\mathbb{R}^3$，如果它允许一个无界的面积极小曲面。这就回答了R.肖恩
Delaunay surfaces of prescribed mean curvature in $\mathrm{Nil}_3$ and $\widetilde{SL_2}(\mathbb{R})$
我们得到了Heisenberg空间中旋转曲面的分类结果，并得到了特殊线性群的泛覆盖，其中曲率由给定的$C^1$函数决定，并依赖于它们的角函数.我们表明，这些曲面的行为像常中曲率的Delaunay曲面，在某些假设下的规定功能。与恒定的中曲率的情况下，我们表现出旋转，嵌入环面的存在，这类浸没表面的Alexandrov问题提供了反例。
$L^2$ Curvature Bounds for Area-Minimizing Currents Mod(2)
本文证明了模2面积最小化流形的第二基本形式满足仅依赖于维度、余维数及质量上界的内部 $L^2$ 界，并由此推出有界面积的此类曲面属于有限多个微分同胚类，回答了相关文献中的问题。
A counterexample to a conjecture by Salez and Youssef
本文通过构造长度递增的生死链反例，否定了 Salez 和 Youssef 关于用 Ollivier 曲率替代 Bakry-Émery 曲率仍可下界 log-Sobolev 常数的猜想。
De Giorgi varifold solutions to Mean Curvature Flow: a minimizing movements approach
提出平均曲率流和体保持平均曲率流全局弱解的存在性证明，首次证明最小化运动方案无条件收敛到De Giorgi变分形式解，论证纯变分且不依赖比较原理。
Existence of planar curves minimizing length and curvature
在本文中，我们考虑的问题是部分隐藏或损坏的曲线最小化的功能$\int \sqrt{1+K_γ^2} ds$，取决于长度和曲率$K$的重建。我们确定起点和终点以及初始和最终方向。对于这个泛函，我们讨论了各种泛函空间上极小解的存在性问题。我们发现不存在极小的情况下，在初始和最终方向被认为是与方向。在这种情况下，最小化轨迹序列可以收敛到具有角度的曲线。相反，我们证明存在的“时间重新参数化”的功能$$\int \| \dotγ(t) \|\sqrt{1+K_\ga^2} dt$$的所有边界条件下，如果初始和最终的方向被认为是无关的方向极小。在这种情况下，极小化器可以呈现尖点（最多两个），但不能呈现角度。
Quantitative stability of the total $Q$-curvature near minimizing metrics
该研究在正性假设下证明了闭黎曼流形上$k$阶总$Q$-曲率泛函在极小化度量附近的定量估计，推广了$k=1$的已有结果，并构造了亏空控制距离更高次幂的退化例子。
Warped area-minimizing hypersurface and warped product metric
本文研究扭曲面积最小超曲面，证明在谱Ricci或谱标量曲率下界条件下，度量可局部分解为扭曲积度量。
Holomorphic Bisectional Curvature on Total Spaces of Holomorphic Vector Bundles
该研究针对紧复流形上全纯向量丛全空间，建立了具指定全纯双截曲率符号的完备Kähler度量存在的充要条件，还得到非负情形的度量分裂、排除正维基的严格正曲率并构造非正情形的反例。
Counterexamples to a divergence lower bound for the covariant derivative of skew-symmetric 2-tensor fields
在arXiv：2103.15482中，要求对适当的反对称2-张量进行估计。不久之后，这一估计被用来宣称强有力的分类结果：最值得注意的是，它被用来证明具有正数量曲率的真空静态时空的黑洞唯一性定理，并与贝塞猜想有关。在本说明中，我们指出arXiv：2103.15482中提出的论点中的一个问题，并提供了一个反例。
Existence of immersed spheres minimizing curvature functionals in non-compact 3-manifolds
研究了三维无边界非紧黎曼流形$(M,h)$中浸入2-球面的曲率泛函。首先，假设$(M,h)$是欧氏空间，具有半扰动度量，且扰动在$C^1$范数下很小，且具有紧支撑，证明了若存在具有标量曲率$R^M(\bar{x})>0$的点$\bar{x} \in M$，则存在光滑嵌入$f:S^2 \hookrightarrow M$，使Willmore泛函$1/4\int |H|^2$最小，其中$H$是平均曲率.其次，假设$(M,h)$是有界几何（即有界截面曲率和严格正的内射半径）和渐近欧氏或双曲的，我们证明了如果存在具有标量曲率$R^M(\bar{x})>6$的点$\bar{x} \in M$，则存在使泛函$\int (1/2|A|^2+1)$最小化的光滑浸入$f:S^2 \hookrightarrow M$，其中$A$是第二基本形式.最后，将约束$K^M \leq 2$加入到最后的假设中，我们得到了泛函$\int (1/4|H|^2+1)$的光滑极小元$f:S^2 \hookrightarrow M$。最后两个定理的假设在一个大类的三维流形中得到满足，这些三维流形是在宇宙常数为零或为负的情况下爱因斯坦真空方程的类空时间片解。
A family of area-minimizing tensor varieties
该研究利用劳勒曲率准则证明一类实张量簇的极小性，部分推广了相关结论，还给出此类簇除矩阵簇外未被发现的情况，且为劳勒常微分方程提供新推导。
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: monotone case
本文研究了$\C^n$中单调拉格朗日函数的中曲率流的奇异性。更确切地说，我们表明，如果奇点发生在一个临界时间之前，那么切流可以分解成一个有限的面积最小化拉格朗日锥（渣锥）的工会。当$n=2$时，我们可以通过显示重新缩放的流的连接分量收敛到面积最小化锥来改进该结果，而不是可能的非面积最小化炉渣锥的并集。在最后一节中，我们给出了这种奇点形成的具体例子。
Ruled Surfaces according to Rotation Minimizing Frame
本文研究了由直线按旋转极小标架生成的直纹曲面。利用这一直线坐标系，得到了直纹曲面可展的充要条件。给出了直纹曲面上基曲线的渐近曲线、测地线和曲率线的一些新结果和定理。
Rigidity of area-minimizing free boundary surfaces in mean convex three-manifolds
本文证明了具有平均凸边界和下有界的数量曲率且含有局部面积极小化的自由边界曲面的三流形的局部分裂定理。我们的方法基于Micallef和Moraru的方法。我们利用这个局部结果建立了面积最小化自由边界圆盘的整体刚性定理。在负数量曲率的情况下，这个整体结果意味着一个刚性定理的长度最小化边界的高原问题的解决方案。
Skin Structures in Scalar Curvature Geometry
这是第三次在一系列文件的几何和分析奇异面积最小化超曲面。我们展示了如何推导出数量曲率约束的障碍和结构理论，而不对底层流形施加尺寸或拓扑限制。为此，我们使用皮肤结构合并最小超曲面方法与手术参数。
Rigidity of area-minimizing hyperbolic surfaces in three-manifolds
证明了：若$M$是一个三流形，其数量曲率大于或等于-2，且$Σ\subset M$是一个亏格大于1的局部面积极小的双边紧致嵌入黎曼曲面，则$Σ$的面积大于或等于$4π(g(Σ)-1)$，其中$g(Σ)$表示$Σ$的亏格.在等式情况下，我们证明了$Σ$上的诱导度量具有等于-1的常高斯曲率，并且局部$M$沿着$Σ$分裂。作为推论，我们得到了圆柱$(I\timesΣ,dt^2+g_Σ)$的刚性结果，其中$I=[a,b]\subset\mathbb{R}$和$g_Σ$是$Σ$上的黎曼度量，且常高斯曲率等于-1.
Weinstock inequalities for outward-minimizing domains
该研究针对欧氏空间与双曲空间的光滑外极小区域，基于Huisken–Ilmanen弱逆平均曲率流，结合校准弱形式与高斯-格林公式，证明了其首个非零Steklov特征值的精确Weinstock不等式。
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: zero-Maslov class case
研究了当初始条件为零Maslov类拉格朗日量时，$\C^n$中拉格朗日中曲率流的奇异性.我们首先要说明，在这种情况下，奇点是不可避免的。更确切地说，我们构造拉格朗日与任意小的拉格朗日角和拉格朗日是哈密顿同位素的平面，然而，开发有限的时间奇点下中曲率流。然后，我们证明了两个定理关于切流在奇点时的初始条件是零马斯洛夫类拉格朗日。第一个（定理A）指出，在奇点处的重标度流弱收敛到面积最小化拉格朗日锥的有限并。第二个定理（定理B）指出，在初始条件是几乎校准和有理拉格朗日的附加假设下，重新标度流的连通分量收敛到单个面积最小化拉格朗日锥，而不是面积最小化拉格朗日锥的可能非面积最小化并集。后一个条件是稠密的拉格朗日与生成的$H_1(L,\Z)$。
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