体积坍缩下数量曲率的积分
Integral of Scalar Curvature under Volume Collapse
- Tsinghua University（清华大学）
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AI总结：
本文构造了三维完备正里奇曲率度量使数量曲率积分发散，否定了丘成桐猜想，并给出紧流形上Naber猜想的反例。
AI中文摘要：
我们在$\R^3$上构造了一个具有严格正里奇曲率的光滑完备度量，并且$\displaystyle \lim_{s\rightarrow\infty}s^{-1}\int_{B_p(s)}\Sc\dd\mu= \infty$。这否定了丘成桐关于渐近数量曲率积分的问题。我们还给出了紧流形上Naber局部丘成桐猜想的反例。非紧例子具有零渐近体积比，而紧致反例的体积趋于零。
英文摘要：
We construct a smooth complete metric on $\R^3$ with strictly positive Ricci curvature and $\displaystyle \lim_{s\rightarrow\infty}s^{-1}\int_{B_p(s)}\Sc\ddμ= \infty$. This gives a negative answer to Shing-Tung Yau's question on the asymptotic scalar-curvature integral. We also give counterexamples to Naber's local Shing-Tung Yau conjecture on compact manifolds. The noncompact example has zero asymptotic volume ratio, and the compact counterexamples have volumes tending to zero.
