Total curvature of planar graphs with nonnegative combinatorial curvature
证明了任意具有非负组合曲率的可平面图的全曲率是$\frac{1}{12}.$的整数倍。蕾蒂
2017-09-07 math.DG math.MG
On the total curvature of minimizing geodesics on convex surfaces
给出了欧几里得空间中凸曲面上极小测地线的全曲率的一个普遍上界。
2019-01-06 math.DG math.MG
The set of vertices with positive curvature in a planar graph with nonnegative curvature
本文给出了具有非负组合曲率的可平面图中具有正曲率的顶点数的精确上界。在此基础上，证明了具有非负组合曲率和正全曲率的平面-可能无限-图的自同构群是有限群，并给出了群阶的上界估计.
2018-11-22 math.CO math.DG
Entire area-minimizing surfaces in $\mathbf{R}^n$ of density two are quadratic or planar
University of Notre Dame（圣母大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文分类了无穷远处密度为2的完全面积极小曲面，证明其要么是平面，要么是二次全纯多项式的零点集（在刚体运动下），且包含于$\mathbf{R}^4$的仿射拷贝中。
2026-10-02 math.AP math.DG
Existence of immersed spheres minimizing curvature functionals in compact 3-manifolds
本文研究紧致三维黎曼流形M中浸入2-球面的曲率泛函。在M的截面曲率严格为正的假设下，我们证明了存在一个光滑浸入球面极小化第二基本型的L^{2}积分.相反，假设截面曲率小于或等于2，并且M中存在数量曲率大于6的点，则我们得到使1/4 |H| ^{2}+1的积分最小化的光滑2-球面，其中H是中曲率向量。
2011-11-21 math.AP math.DG
Rigidity of area minimizing tori in 3-manifolds of nonnegative scalar curvature
证明了Fischer-Colbrie和Schoen的一个猜想的如下版本：如果M是一个具有非负数量曲率的完备黎曼3-流形，其中包含一个在其合痕类中面积最小的双侧环面S，则M是平坦的.这是从一个本地版本中得出的文件。
1999-06-01 math.DG
Planar closed curves with prescribed curvature
本文利用变分方法并结合Struwe的单调性技巧，通过引入参数获得有界Palais-Smale序列，从而证明某些曲率函数类下具有指定曲率的平面闭曲线的存在性。
2024-07-01 math.DG
Deformation of minimal surfaces with planar curvature lines
具有平面曲率线的极小曲面是经典的几何对象，自19世纪后期以来一直被研究。在本文中，我们从不同的角度重新审视这个问题。在使用分析方法计算它们的度量函数之后，我们恢复了Weierstrass数据，并为这些曲面提供了干净的参数化。然后，利用这些参数化，我们证明了存在一个单一的连续变形之间的所有极小曲面的平面曲率线。在这个过程中，我们建立了这些表面的轴向方向的存在性。
2016-08-01 math.DG
Consistency of minimizing movements with smooth mean curvature flow of droplets with prescribed contact-angle in $\mathbb R^3$
该研究证明了三维空间中带预定接触角液滴的最小化运动解与光滑平均曲率流等价，为两类平均曲率运动描述建立了一致性。
2024-02-28 math.AP math.DG
Existence and non-existence of area-minimizing hypersurfaces in manifolds of non-negative Ricci curvature
研究了无穷远点处非负里奇曲率、欧氏体积增长和二次曲率衰减流形中的极小超曲面。通过与帽球锥的比较，我们确定了精确的边界的里奇曲率衰减。超过这个值，不存在完全的面积最小化超曲面。相反，在这个值以下，我们构建示例。
2022-05-17 math.AP math.DG math.MG
Mean curvature flow converging to an minimizing cone and its Hardt-Simon foliation
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）
本文构造了一族平均曲率流，在 type I 和 type II 重标度下分别收敛到严格稳定的极小超锥及其 Hardt-Simon 叶状结构，并去除了 Velázquez 先前结果中的对称性条件。
2025-10-13 math.DG
Approximating the Nonlocal Curvature of Planar Curves
本文研究平面曲线非局部曲率的分解与逼近，通过将定义扩展到曲线外点并利用不完全 beta 函数给出线段公式，证明了 Hölder 正则曲线的非局部曲率可由线性插值样条的非局部曲率逼近。
2025-04-10 math.DG
A minimal stable vertical planar end in H^2 x R has finite total curvature
证明了H ^2 x R中的极小定向稳定环端，其渐近边界包含在两条垂直线上，具有有限的全曲率，并收敛于一个垂直平面。此外，如果末端是嵌入的，那么它是一个水平图。
2013-10-17 math.DG
Planar loops with prescribed curvature via Hardy's inequality
本文研究具预定曲率的平面闭曲线存在性，提出基于变分法的方法，利用Hardy型不等式及相关函数空间进行证明。
2023-10-23 math.AP math.DG
Minimal Smoothings of Area Minimizing Cones
本文证明了R^n中的每一个面积极小锥C^{n-1}都可以用全光滑的面积极小超曲面来逼近。这广泛使用了此类超曲面的双曲展开以及由此产生的雅可比场算子的位势论。应用包括数量曲率几何中的分裂定理，即具有正数量曲率的紧致流形M^n的任何（n-1）维同同调类可以由光滑（！）允许正的数量曲率度量的紧致超曲面。
2018-10-07 math.DG
Nonrigidity of a class of two dimensional surfaces with positive curvature and planar points
构造了一类二维曲面的非平凡无穷小弯曲。本文所考虑的曲面是可定向的、紧的、有边界的、除了在许多平点处外处处具有正曲率的、第一同调群为零的曲面，从而得到了这类曲面的非刚性结果.
2009-10-03 math.AP math.DG
Affine subspaces of curvature functions from closed planar curves
给定一对实函数$(k,f)$，研究了对于所有实$λ$，它们使$k+λf$为闭平面曲线弧长上的曲率所需满足的条件.指出了几个等价条件，证明了某些周期性行为是必不可少的，并明确地构造了一类这样的对。同时也研究了该问题的离散对应问题。最后，得到的表征是用来表明，一个充分的模拟的4顶点定理不能开发。
2020-06-17 math.DG
Rigidity of Area-Minimizing $2$-Spheres in $n$-Manifolds with Positive Scalar Curvature
证明了在满足$R\geq 2$且允许有非零度映射到$\mathbf S^2\times T^n$的维数为$n+2\leq 7$的定向紧致流形中，不可缩浸入球的最小面积不大于$4π$.我们还证明了一个刚性结果的平等的情况下。这可以看作是[2]中结果在高维上的推广。
2019-03-28 math.DG
Minimizing movements for forced anisotropic curvature flow of droplets
本文研究非均匀水平超平面上液滴的受迫各向异性曲率流，建立了光滑流和1/2-赫尔德连续极小化移动解的存在性，并探讨了其比较原理、一致有界性及与光滑流的一致性。
2024-03-14 math.AP math.DG
Planar Soap Bubbles
广义肥皂泡问题寻求最小周长的方法来封闭和分离R^m中的n个给定体积。我们研究了可能的配置周长最小化气泡复合物包围两个以上的区域。我们证明了周长最小化的平面泡复合体具有相等的压力区域和空室必须有连接的区域。因此，我们证明了在R^2中使用凸胞且没有空腔室包围并分隔三个相等面积的最小周长可平面图是具有连通区域的“标准三重泡”。
1998-08-11 math.DG math.MG
Constant mean curvature hypersurfaces in $\mathbb H^n\times\mathbb R$ with small planar boundary
我们证明了$\mathbb H^n\times\mathbb R$中的常中曲率超曲面，如果它们包含在由$P$确定的两个半空间之一中，且具有包含在水平切片$P$中的小而窄的边界，则它们是拓扑圆盘.这与A在$\mathbb R^3$中的结果在$\mathbb H^n\times\mathbb R$中类似。Ros和H.罗森伯格
2021-10-08 math.DG
$L^2$ Curvature Bounds for Area-Minimizing Currents Mod(2)
Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明了模2面积最小化流形的第二基本形式满足仅依赖于维度、余维数及质量上界的内部 $L^2$ 界，并由此推出有界面积的此类曲面属于有限多个微分同胚类，回答了相关文献中的问题。
2026-09-23 math.AP math.DG
Motion by curvature of planar networks II
本文证明了三条曲线通过三结点相连的嵌入平面网络的曲率流是光滑的，直到三条曲线的长度远离零为止，该网络的端点固定在给定的严格凸区域的边界上.如果所有时间都是这种情况，那么进化存在于所有时间，网络收敛到三个端点之间的Steiner最小连接。
2014-02-05 math.AP math.DG
De Giorgi varifold solutions to Mean Curvature Flow: a minimizing movements approach
Institut für Mathematik & Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen, Universität Heidelberg（海德堡大学数学与跨学科科学计算中心）；Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche, Università degli Studi di Parma（帕尔马大学数学、物理与信息科学系）
提出平均曲率流和体保持平均曲率流全局弱解的存在性证明，首次证明最小化运动方案无条件收敛到De Giorgi变分形式解，论证纯变分且不依赖比较原理。
2026-07-07 math.AP math.DG
A splitting theorem for 3-manifold with nonnegative scalar curvature and mean-convex boundary
本文证明，含绝对面积最小化或θ-能量最小化半圆柱/条带的非负数量曲率平均凸边界三维流形必为平坦，推广了分裂定理。
2025-01-24 math.DG
Isothermic tori with one family of planar curvature lines and area constrained hyperbolic elastica
本文分类了具有一族平面曲率线的等温环面，给出显式theta函数公式，并揭示其与面积约束双曲弹性曲线的联系，为构造紧致Bonnet对提供基础。
2023-12-27 math.DG
Curvature types of planar curves for gauges
本文将曲线微分几何中的结果从赋范平面推广到规范平面上，而这些结果是在忽略对称性公理的情况下得到的。基于巴拿赫空间理论中Birkhoff正交性概念的规范模拟，我们研究了规范平面上曲线的所有曲率类型，从而推广了它们在赋范平面上的完整分类。我们表明，（在子情况下的赋范平面）有四个这样的类型，我们称之为类似闵可夫斯基，正常，圆形，弧长曲率。我们研究它们之间的关系和扩展，在此基础上，也渐屈线和渐开线的概念，以衡量飞机。
2019-10-01 math.DG
Quantitative stability of the total $Q$-curvature near minimizing metrics
该研究在正性假设下证明了闭黎曼流形上$k$阶总$Q$-曲率泛函在极小化度量附近的定量估计，推广了$k=1$的已有结果，并构造了亏空控制距离更高次幂的退化例子。
2024-07-09 math.AP math.DG
Convexity of constant mean curvature graphs in $\mathbb{R}^{n+1}$ with planar boundary
本文研究了图$Σ$在$\mathbb{R}^{n+1}$中的Dirichlet问题，图$Σ$具有归一化常数中曲率$H>0$和平面边界$Γ=\partial Ω$ .我们的主要结果是，最佳可解性条件，即$Γ$的归一化中曲率$h$满足$h\geq H$，也足以当$Ω$是严格凸的，以证明严格凸的$Σ$。
2020-04-19 math.AP math.DG
Co-dimension one area-minimizing currents with $C^{1,α}$ tangentially immersed boundary having Lipschitz co-oriented mean curvature
研究了具有边界$\partial T$的$\mathbb{R}^{n+1},$中的$n$维面积最小流$T$：对于某些$α\in (0,1]$，$\partial T$是局部$(n-1)$维$C^{1,α}$定向子流形的有限和，这些子流形只相切且定向相同; $\partial T$具有中曲率$=h ν_{T}$，其中$h$是Lipschitz标量-值函数，$ν_{T}$是$\partial T$关于$T.$的广义外指向法线。我们给出了这种流$T.$的部分边界正则性结果。我们证明了在$\partial T,$的支持下，在任何点$x$附近，$T$的支撑具有非常不受控的结构，或者$T$在$x$附近的支撑是具有不相交内部和仅沿着$\partial T.$的支撑的公共边界点的可定向的带边界的$C^{1,α}$超曲面的有限并
2018-05-02 math.DG
Some aspects of anisotropic curvature flow of planar partitions
该研究聚焦平面网络的各向异性曲率流几何演化问题，分析了多光滑各向异性下经典解的局部存在性，并探讨了多晶情形的相关特性。
2023-04-26 math.AP math.CA math.DG
Constant mean curvature hypersurfaces with single valued projections on planar domains
常中曲率超曲面理论中的一个经典问题是，对于给定的$H\geq 0$，判定欧氏空间$\R_+^{n+1}$中余维为2的紧致子流形$Γ^{n-1}$在$\R^n$上具有单值正交投影，是否是$\R^n$中区域上具有常中曲率$H$的图的边界. Serrin的一个著名结果给出了一个充分条件，即$Γ$包含在与$\R^n$正交且具有内中曲率$H_C\geq H$的正圆柱$C$中.本文证明了$Γ$在$\R^n$上的正交投影$L^{n-1}$具有中曲率$H_L\geq-H$，且$Γ$包含在以$\R^n$为基的锥$K$中，该锥包围$\R^n$中包含$L$的区域，使得$K$的中曲率满足$H_K\geq H$ .当锥的顶点是无穷大时，我们的条件退化为Serrin的条件。
2010-05-14 math.DG
Constant curvature translation surfaces in Galilean 3-space
在伽利略三维空间中，根据平移曲线的平面性和绝对图形，共产生了五种不同类型的平移曲面。除了两条平移曲线都是非平面的类型外，我们得到了具有任意常数高斯曲率和中曲率的曲面。
2017-02-02 math.DG
The asymptotic of the Mullins-Sekerka and the area-preserving curvature flow in the planar flat torus
本文研究平面平坦环面上 Mullins-Sekerka 流与保面积曲率流的平坦流解的渐近行为，利用尖锐定量 Alexandrov 不等式证明其以指数速度收敛到圆盘、条带或其补集的有限并集。
2025-03-07 math.AP math.DG
Existence of immersed spheres minimizing curvature functionals in non-compact 3-manifolds
研究了三维无边界非紧黎曼流形$(M,h)$中浸入2-球面的曲率泛函。首先，假设$(M,h)$是欧氏空间，具有半扰动度量，且扰动在$C^1$范数下很小，且具有紧支撑，证明了若存在具有标量曲率$R^M(\bar{x})>0$的点$\bar{x} \in M$，则存在光滑嵌入$f:S^2 \hookrightarrow M$，使Willmore泛函$1/4\int |H|^2$最小，其中$H$是平均曲率.其次，假设$(M,h)$是有界几何（即有界截面曲率和严格正的内射半径）和渐近欧氏或双曲的，我们证明了如果存在具有标量曲率$R^M(\bar{x})>6$的点$\bar{x} \in M$，则存在使泛函$\int (1/2|A|^2+1)$最小化的光滑浸入$f:S^2 \hookrightarrow M$，其中$A$是第二基本形式.最后，将约束$K^M \leq 2$加入到最后的假设中，我们得到了泛函$\int (1/4|H|^2+1)$的光滑极小元$f:S^2 \hookrightarrow M$。最后两个定理的假设在一个大类的三维流形中得到满足，这些三维流形是在宇宙常数为零或为负的情况下爱因斯坦真空方程的类空时间片解。
2012-01-10 math.AP math.DG
Stability problem of equilibrium discrete planar curves
本文用变分方法研究平面多边形曲线。通过从长度泛函的一阶变分中提取离散曲率向量的概念，给出了离散曲率和Steiner型公式的统一解释.在面积约束条件下，确定了长度泛函的平衡曲线，并研究了平衡曲线的稳定性。
2020-04-16 math.DG
Area-minimizing hypersurfaces in manifolds of Ricci curvature bounded below
本文利用Cheeger-Colding理论，研究Ricci曲率下有界流形中面积极小超曲面在Gromov-Hausdorff收敛下的体积连续性，并通过blowing up论证给出极限超曲面奇异集的精确维数估计。
2023-01-03 math.DG
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: monotone case
本文研究了$\C^n$中单调拉格朗日函数的中曲率流的奇异性。更确切地说，我们表明，如果奇点发生在一个临界时间之前，那么切流可以分解成一个有限的面积最小化拉格朗日锥（渣锥）的工会。当$n=2$时，我们可以通过显示重新缩放的流的连接分量收敛到面积最小化锥来改进该结果，而不是可能的非面积最小化炉渣锥的并集。在最后一节中，我们给出了这种奇点形成的具体例子。
2006-08-15 math.DG math.SG
Energy-minimizing maps from manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文证明非负Ricci曲率流形到无共轭点流形的同伦类映射能量有下界，等号当且仅当全测地，并推广至有限覆盖与分裂情形。
2019-09-19 math.DG
Analysis of singularities of area-minimizing currents, Part III: branch points of planar frequency $\neq$ 2, higher order asymptotics, and the local topology
该论文为研究n维面积最小化可求长流T的局部结构，分析平面频率≠2的分支点，得到高阶渐近性、分支集分解及拓扑控制结果，避免使用中心流形，基于平面频率单调性公式论证，为后续研究奠定基础。
2026-07-16 math.AP math.DG
Convex hulls and area minimizing currents in asymptotically locally hyperbolic manifolds
University of Connecticut（康涅狄格大学）
该研究在无全局曲率假设的共形紧化渐近局部双曲流形中，通过构造共形无穷远处的障碍凸包，推广Anderson的双曲空间定理，求解任意余维数整电流的定向渐近普拉托问题。
2026-09-01 math.DG
Rigidity of area-minimizing free boundary surfaces in mean convex three-manifolds
本文证明了具有平均凸边界和下有界的数量曲率且含有局部面积极小化的自由边界曲面的三流形的局部分裂定理。我们的方法基于Micallef和Moraru的方法。我们利用这个局部结果建立了面积最小化自由边界圆盘的整体刚性定理。在负数量曲率的情况下，这个整体结果意味着一个刚性定理的长度最小化边界的高原问题的解决方案。
2013-09-02 math.AP math.DG
Rigidity of volume-minimizing hypersurfaces in Riemannian 5-manifolds
本文将文[4]的主要结果推广到不一定是爱因斯坦流形上。实际上，我们得到了黎曼5-流形$M$的局部体积极小化闭超曲面$Σ$的体积的上界，该曲面的数量曲率由$Σ$的总无迹里奇曲率的正常数从下到上有界.此外，如果$Σ$使相应的上界饱和，并且$M$具有非负的里奇曲率，则$Σ$与$\mathbb{S}^4$等距直到缩放，并且$M$在$Σ$的邻域中分裂。当$Σ$使其同伦类的体积最小化并使其上界饱和时，得到了$M$的黎曼覆盖的刚性结果.
2018-04-26 math.DG
On length-preserving and area-preserving inverse curvature flow of planar curves with singularities
本文研究具有奇点的平面曲线的保面积和保长逆曲率流，证明$\u2113$-凸勒让德曲线分别演化为特定半径的圆，并推导出几何不等式。
2024-04-18 math.DG
A new construction of Lagrangians in the complex Euclidean plane in terms of planar curves
利用两条平面曲线的通常乘积作为复变函数，通过积分它们的位置和切向量的Hermite乘积，给出了一种在复欧氏平面上构造一族Lagrangian曲面的新方法.其中，我们利用母曲线曲率的简单性质刻画了极小、常中曲率、Hamilton平稳、中曲率流孤子和Willmore曲面。作为一个应用程序，我们提供了明确的共形参数化的已知和新的例子，这些类的拉格朗日复欧几里德平面。
2013-07-08 math.DG
On the planar free elastic flow with small oscillation of curvature
Australian National University（澳大利亚国立大学）；University of Wollongong（伍伦贡大学）
本文研究平面自由弹性流，证明初始曲线为任意闭曲线时解全局存在，并改进曲率标量接近多重覆盖圆时的渐近稳定性结果，获得最优收敛速率。
2026-06-16 math.AP math.DG
Rigidity of area-minimizing hyperbolic surfaces in three-manifolds
证明了：若$M$是一个三流形，其数量曲率大于或等于-2，且$Σ\subset M$是一个亏格大于1的局部面积极小的双边紧致嵌入黎曼曲面，则$Σ$的面积大于或等于$4π(g(Σ)-1)$，其中$g(Σ)$表示$Σ$的亏格.在等式情况下，我们证明了$Σ$上的诱导度量具有等于-1的常高斯曲率，并且局部$M$沿着$Σ$分裂。作为推论，我们得到了圆柱$(I\timesΣ,dt^2+g_Σ)$的刚性结果，其中$I=[a,b]\subset\mathbb{R}$和$g_Σ$是$Σ$上的黎曼度量，且常高斯曲率等于-1.
2011-03-24 math.AP math.DG
Curvature Evolution of Nonconvex Lens-Shaped Domains
本文研究了平面非凸透镜形区域的曲率流，这类区域被认为是具有两个三结点的特殊对称网络。我们表明，不断发展的域成为凸在有限的时间，然后它收缩到一个点的相似。我们的定理类似于Grayson关于闭平面嵌入曲线的曲率流的结果。
2009-05-31 math.AP math.DG
On short time existence for the planar network flow
我们证明了从一个非正则的初始网络出发的正则平面网络的曲率流的存在性。证明依赖于一个单调性公式的扩展解决方案和局部正则性结果的网络流的精神B。中曲率流的怀特局部正则性定理。我们还证明了一个伪局部性定理的中曲率流在任何余维，假设只有初始子流形可以局部地写为一个图与足够小的Lipschitz常数。
2018-02-20 math.AP math.DG
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: zero-Maslov class case
研究了当初始条件为零Maslov类拉格朗日量时，$\C^n$中拉格朗日中曲率流的奇异性.我们首先要说明，在这种情况下，奇点是不可避免的。更确切地说，我们构造拉格朗日与任意小的拉格朗日角和拉格朗日是哈密顿同位素的平面，然而，开发有限的时间奇点下中曲率流。然后，我们证明了两个定理关于切流在奇点时的初始条件是零马斯洛夫类拉格朗日。第一个（定理A）指出，在奇点处的重标度流弱收敛到面积最小化拉格朗日锥的有限并。第二个定理（定理B）指出，在初始条件是几乎校准和有理拉格朗日的附加假设下，重新标度流的连通分量收敛到单个面积最小化拉格朗日锥，而不是面积最小化拉格朗日锥的可能非面积最小化并集。后一个条件是稠密的拉格朗日与生成的$H_1(L,\Z)$。
2006-08-15 math.DG math.SG
Prescribing capacitary curvature measures on planar convex domains
对于$p\in (1,2]$和有界凸非空开集$Ω\subset\mathbb R^2$，设$μ_p(\barΩ,\cdot)$是单位圆$\mathbb S^1$上的$p$ -容曲率测度（由$Ω$的闭包$\barΩ$生成）。本文证明了这样一个问题的规定$μ_p$的平面凸域：“给定一个有限的，非负的，Borel措施$μ$ $\mathbb S^1$，找到一个有界的，凸的，非空的，开集$Ω\subset\mathbb R^2$，使$dμ_p(\barΩ,\cdot)=dμ(\cdot)$“是可解的当且仅当$μ$有质心在原点和它的支持$\mathrm{supp}(μ)$不包括任何对映点。而且，解决方案在翻译方面是独一无二的。此外，如果$dμ_p(\barΩ,\cdot)=ψ(\cdot)\,d\ell(\cdot)$具有$ψ\in C^{k,α}$和$d\ell$是$\mathbb S^1$上的标准弧长元素，则$\partialΩ$是$C^{k+2,α}$。
2018-11-15 math.AP math.DG
Planar pseudo-geodesics and totally umbilic submanifolds
本文研究 Riemannian 流形间的全脐等距浸入，通过引入平面伪测地线这一自然外蕴推广，给出了具有平行单位平均曲率向量的全脐等距浸入的新刻画，并证明了余维为一时浸入全脐当且仅当所有测地线的外蕴形状为平面，推广了三维欧氏空间曲面的经典结果。
2024-01-08 math.DG
Minimizing movements for the generalized power mean curvature flow
本文推广 Almgren-Taylor-Wang 最小化运动格式，证明其收敛到 f(v)=-κ 的广义平均曲率流，并扩展至各向异性、驱动力情形及凸性保持。
2024-04-03 math.AP math.DG
Multiple Solutions to the Planar Plateau Problem
给出了具有给定测地曲率的简单平面曲线的存在性和非唯一性结果。
2010-04-26 math.CA math.DG
