Primer on inverse semigroups I
Mark V Lawson
这是为2010年在渥太华大学举行的半群和范畴研讨会撰写的逆半群理论基础的概述。
This is an overview of the basics of inverse semigroup theory written for the Workshop on Semigroups and Categories held at the University of Ottawa in 2010.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cross-connection structure of locally inverse semigroups
局部逆半群是幂等元构成伪半格的正则半群。我们在Nambooripad的交叉连接理论的范畴中，给出了对应于局部逆半群的范畴。进一步，我们将局部逆半群的交叉连接描述专门化为逆半群和完全0-单半群，得到了这些类的结构定理。特别地，我们证明了逆半群的结构定理可以只用一个范畴得到，非常类似于Ehresmann-Schein-Nambooripad定理;对于完全0-单半群，我们证明了交叉连接与结构矩阵一致，从而通过范畴工具恢复了Rees定理。
Representations of inverse semigroups in complete atomistic inverse meet-semigroups
作为逆半群在$\mathscr{I}_{X}$中表示的经典（Schein）理论特征的适当推广，发展了逆半群在完全原子逆代数中的同态表示理论.这类逆代数包括图、向量空间和模等实体的部分自同构幺半群。一个可行的理论分解达到;然而，完全分配所需的结果接近那些经典的情况。
On inverse and right inverse ordered semigroups
正则序半群$S$称为右逆，如果$S$的每个主左理想都由一个$\mathcal{R}$ -唯一序幂等元生成.在这里，我们探讨右逆序半群的理论。证明了正则序半群是右逆的当且仅当元素$a\in S$的任意两个右逆是$\mathcal{R}$ -相关的.此外，利用右逆序半群给出了右Clifford序半群、右类群序半群、类群序半群的不同刻画。从而发展了右逆半群的一个基础。
On inverse ordered semigroups
本文的目的是研究逆半群（无序）的推广。一个序半群S称为逆序半群，如果对每个a2 S，a的任意两个逆是H-相关的。证明了一个序半群是t-单序半群的完备半格当且仅当它是完全正则的逆序半群。此外，逆序半群的特征也由它们的序幂等元来刻画。
Characterizations of Morita equivalent inverse semigroups
证明了分别由$C^{\ast}$ -代数理论、拓扑理论、半群理论和序群胚理论所激发的逆半群的Morita等价的四种不同概念是等价的。我们还证明了逆半群的酉作用范畴在étale作用范畴上是一元的。因此，逆半群的酉作用范畴等价于其柯西完备化上的预层范畴。更一般地，我们证明了同样的情况下，闭行动的范畴，这是用来定义的森田理论在半群理论，任何半群的右局部单位。
$E$-solid locally inverse semigroups
证明了：若$S$是$E$ -实局部逆半群，且$ρ$是$S$上的逆半群同余，使得$ρ$的幂等元类是完全单半群，则$S$可被$S/ρ$嵌入到完全单半群的$λ$ -半直积中.从而证明了$E$ -实局部逆半群在同构下是完全单半群与逆半群的$λ$ -半直积的正则子半群.
Inverse Sets and Inverse Correspondences Over Inverse Semigroups
本文提出逆半群上的逆集和逆对应，证明其构成双范畴，并据此刻画逆半群的 Morita 等价。
Strong Morita Equivalence of Inverse Semigroups
引入了逆半群的强Morita等价。这个概念包含了马克·劳森的扩张概念。强Morita等价逆半群具有Paterson意义下的Morita等价泛广群胚，从而强Morita等价泛约化$C^*$ -代数.作为结果，我们得到了Khoshkam和Skandalis的一个结果的一个新的证明：$C^*$-逆半群的$C^*$ -代数是强Morita等价于交换$C^*$ -代数与群的向量积.
Inverse semigroup cohomology and crossed module extensions of semilattices of groups by inverse semigroups
定义并研究了逆半群上的交叉模的概念和相应的$4$ -项正合序列，称为交叉模扩张。对于$F$ -逆幺半群$T$上的交叉模$A$，证明了$A$的容许交叉模扩张的等价类与上同调群$H^3_\le(T^1,A^1)$的元素一一对应.
Graph inverse semigroups and their substructures
本文讨论了由有向图构造的图逆半群，并研究了图逆半群的几个有趣性质，如幂等元的性质、幂等元半格的结构等.给出了有向图的图逆半群是本原逆半群的一个充要条件。进一步给出了图逆半群的局部子幺半群中元素的一般形式和图逆半群中的Green关系
Graph inverse semigroups and Leavitt path algebras
本文研究了由有向图构造的两类逆半群，即图逆半群和一类新的半群，我们称之为Leavitt逆半群。这些半群与图$C^*$ -代数和Leavitt路代数密切相关。我们给出了这些逆半群的局部子幺半群的泛群的拓扑刻画。研究了当两个图之间存在有向浸入时两个图的图逆半群之间的关系。我们描述的结构图，承认一个有向覆盖或直接浸入到一个圆圈，我们提供的结构信息，承认一个有向覆盖到一束圆圈的有限图的图逆半群。我们还找到了一个图逆半群的同态像是另一个图逆半群的充要条件。本文利用生成元和关系给出了图的Leavitt逆半群的一个表示。我们描述的结构的莱维特逆半群和莱维特路代数的一个图，承认一个有向浸入到一个圆圈。我们证明了两个具有同构Leavitt逆半群的图具有同构Leavitt路代数，并且我们对具有同构Leavitt逆半群的图进行了分类。作为结果，我们证明了Leavitt路代数是某些矩阵代数的$0$ -收缩.
Brandt extensions and primitive topological inverse semigroups
本文研究了（可数）紧和（绝对）$H$ -闭本原拓扑逆半群.给出了紧和可数紧本原拓扑逆半群的结构，证明了任何可数紧本原拓扑逆半群嵌入到一个紧本原拓扑逆半群中.
Closed inverse subsemigroups of graph inverse semigroups
作为多环幺半群表示研究的一部分，M. V.劳森描述了多环幺半群$P_n$的所有闭逆子幺半群，并将它们分类为共轭。我们证明了Lawson的描述可以推广到图逆半群的闭逆子半群。然后我们应用B。Schein的逆半群陪集理论应用于图逆半群的闭逆子半群：给出了图逆半群的闭逆子半群具有有限指数的充要条件，并确定了指数为有限时指数的值。
Conjugacy in inverse semigroups
在群$G$中，如果存在$g\in G$使得$g^{-1} ag=b$，则元素$a$和$b$共轭。这种共轭关系在群论中起着重要的作用，它可以以一种自然的方式推广到逆半群：对于逆半群$S$中的元素$a$和$b$，如果存在$g\in S^1$使得$g^{-1} ag=b$和$gbg^{-1} =a$，则$a$与$b$共轭，我们将其写作$a\sim_{\mathrm{i}} b$。本文研究了几类逆半群的共轭性$\sim_{\mathrm{i}}$：对称逆半群，自由逆半群，McAllister $P$ -半群，可分解逆幺半群，Clifford半群，双循环幺半群和稳定逆半群.
Congruences on graph inverse semigroups
逆图半群是由Ash和Hall在1975年定义的。他们找到了半群是同余自由的充要条件。本文给出了图逆半群上同余的一个刻画。作为结果，我们证明了有限图的逆图半群是同余Noether的。
Fiat categorification of the symmetric inverse semigroup IS_n and the semigroup F^*_n
从对称群$S_n$出发，构造了两个平坦的$2$ -范畴.其中之一可以看作是与对称逆半群（被认为是关于自然序的序半群）相关联的自然$2$范畴的平坦“扩张”。这个$2$ -范畴为对称逆半群的整半群代数提供了一个平坦的范畴化。另一个$2$ -范畴可以看作是与对偶对称逆半群的最大可因子分解子半群相关联的$2$ -范畴的平坦“扩张”（同样，被认为是关于自然序的有序半群）。这个$2$ -范畴为对偶对称逆半群的极大可因子分解子半群的整半群代数提供了一个平坦的范畴化。
The word problem for some classes of Adian inverse semigroups
我们证明了Adian逆半群的所有Schützenberger复形都是有限的，如果每个正字的Schützenberger复形都是有限的。这使我们能够解决某些类别的Adian逆半群的字问题（并因此为相应的Adian半群和Adian群）。
A structural property of Adian inverse semigroups
证明了Adian表示上的逆半群是E-酉的。
On lattice of congruences on graph inverse semigroups
图逆半群上的同余是最近用下划线图描述的。在此基础上，我们证明了图逆半群上的同余格是上半模的而不是下半模的。
Involution matchings, the semigroup of orientation-preserving and orientation-reversing mappings, and inverse covers of the full transformation semigroup
我们继续研究置换的有限正则半群，每个元素映射到它的逆之一，提供了一个完整的描述的情况下，半群的幂等元生成的子半群是一个联盟的群体。我们展示了，在两种方式，如何构建一个对合匹配的半群上的所有变换，无论是保持或反转方向的有限周期。最后，作为应用，证明了有限全变换半群不被交闭的逆半群覆盖。
E-disjunctive inverse semigroups
研究E-反链逆半群的结构、自然例子、稀有性及一般结构定理，探讨其逆半群理论特性。
Embedding ample semigroups as (2,1,1)-subalgebras of inverse semigroups
本文研究了将特定类别的充分半群嵌入到逆半群中的(2,1,1)-型子代数问题，并给出了左(右)但非右(左)充分的半群例子。
Transitive representations of inverse semigroups
虽然每个群同构于置换的传递群，但逆半群的类似性质失败：并非所有逆半群同构于集合的一对一部分变换的传递逆半群。我们描述那些逆半群。
Symmetric inverse topological semigroups of finite rank $\leqslant n$
研究了秩为$\leqslant n$的有限变换对称逆拓扑半群$\mathscr{I}_λ^n$的拓扑性质.证明了拓扑逆半群$\mathscr{I}_λ^n$在拓扑逆半群类中是代数$h$ -闭的.证明了具有可数紧平方$S\times S$的拓扑半群$S$不包含无限基数$λ$的半群$\mathscr{I}_λ^n$，并证明了秩为$\leqslant n$的有限变换的无限拓扑对称逆半群$\mathscr{I}_λ^n$的Bohr紧化是平凡半群.
A combinatorial approach to the structure of locally inverse semigroups
本文引入了局部逆半群的表示概念，并给出了一种图结构来描述由这些表示给出的局部逆半群的元素。这些图的作用类似于凯莱图在群表示中的作用，或者Schützenberger图在逆幺半群表示中的作用。然而，我们的图与后两者有相当大的差异，即使局部逆半群推广了群和逆半群。例如，这里介绍的图不是“逆字图”。相反，它们是具有定向边和非定向边的二部图，并且仅在定向边上具有标签。这里发展的理论的一个副产品是介绍了一个图解法处理一般局部逆半群。这些图是能够描述，为一个局部逆半群的介绍，许多常用的概念，用于研究结构的半群，如幂等元，逆的一个元素，格林的关系，和自然偏序。最后，利用这些图的性质刻画了局部逆半群的几个常见子类的半群。
A note on the Howson property in inverse semigroups
一个代数具有Howson性质，如果任意两个n-生成子代数的交是n-生成的。给出了幂等元个数为1/2的逆半群的Howson性质成立的一个简单的充要条件。此外，还证明了任何单演逆半群都具有Howson性质。
Pseudocompact primitive topological inverse semigroups
本文研究伪紧本原拓扑逆半群。给出了伪紧本原拓扑逆半群的结构，证明了伪紧本原拓扑逆半群族的Tychonoff积是伪紧拓扑空间.证明了伪紧本原拓扑逆半群的斯通-切赫紧化是紧本原拓扑逆半群。
Partial actions and an embedding theorem for inverse semigroups
我们给出了一个简单的结构，涉及部分行动，使我们能够获得一个简单的证明削弱版本的L。关于逆半群的幂等纯扩张的O'Carroll定理。
Amalgamating inverse semigroups over ample semigroups
本文研究半群融合的嵌入性问题，给出当两个分量半群为逆半群而公共子半群不是逆半群时的不可嵌入条件，并建立使逆包同构从而实现弱可嵌入的充分条件。
Abelianness and centrality in inverse semigroups
本文研究了逆半群中交换性和中心性的概念，证明了可解和 nilpotent 逆半群实际上为群
Howson property and finitely generated intersection problem for monogenic inverse semigroups
研究单演逆半群作为半群时的豪森性质，除单演自由逆半群外都具有该性质，且对于此特殊情况，判定两个有限生成子半群的交是否有限生成的问题可算法求解。
Groebner-Shirshov bases for free inverse semigroups
Poliakova和Schein在2005年得到了自由逆半群的一个新构造。在此基础上，我们找到了一个自由逆半群的Groebner-Shirshov基，它与词的deg-lex序有关.特别地，我们给出了自由逆半群的等价字类中的（唯一的、最短的）Groebner-Shirshov规范形，以及将任意字变换成其规范形的Groebner-Shirshov算法.
Ordered groupoids and the holomorph of an inverse semigroup
给出了逆半群的全形的一个构造，它是由序群胚范畴的Carnival闭结构导出的。我们比较的全形与幺半群的映射，保持三进制堆操作的逆半群：这两个结构相吻合的群体。我们提出了详细的计算半格的群体和多环幺半群。
On countably compact 0-simple topological inverse semigroups
给出了0-单可数紧拓扑逆半群的结构和无同余可数紧拓扑逆半群的结构。
On zigzag maps and the path category of an inverse semigroup
研究了具有唯一极大幂等元的逆半群的路范畴，给出了左可消范畴上之字形映射所产生的逆半群的一个抽象刻画。作为应用，我们证明了每一个逆半群都与Z形映射的逆半群Morita等价，从而单对齐范畴的Cuntz-Krieger $C^*$ -代数类包含了所有可数逆半群的紧$C^*$ -代数，直到Morita等价.
Some conditions from a finite regular semigroup to a finite inverse semigroup
1978年，Munn证明了逆半群的有界复表示是半酉的和完全可约的。我们考虑有限情形下的逆问题。给出了有限正则半群成为有限逆半群的若干充分条件。
A note on Morita equivalence to graph inverse semigroups
该研究刻画了与图逆半群Morita等价的逆半群，并将相关结论推广到与左可消范畴关联的逆半群情形。
Classes of semigroups modulo Green's relation H
逆半群和纯正半群要么用逆定义，要么用幂等元集E（S）定义。在这篇文章中，我们研究了这些半群的类似物定义在逆模格林关系H，或在一组群可逆元素H（S），允许研究非正则半群。然后，我们研究了这些新的半群类之间的相互作用，以及与已知的半群类（特别是逆，正统和隐半群）
On the complexity of inverse semigroup conjugacy
本文研究有限逆半群共轭判定问题的计算复杂度，给出若干多项式时间算法，证明多种共轭关系具有划分覆盖性质，并证明部分双射半群中幂零性等判定为NL-完全，同时将相关复杂度结果推广到逆半群。
An alternative look at the structure of graph inverse semigroups
对于任意图逆半群$G(E)$，我们刻画了$G(E)$的子半群$D^0=D\cup\{0\}$和$J^0=J\cup\{0\}$，其中$D$和$J$分别是$G(E)$的任意$\mathcal{D}$ -类和$\mathcal{J}$ -类.特别地，我们证明了对于无圈图上的图逆半群的每个$\mathcal{D}$类$D$，该半群$D^0$同构于矩阵单位半群.证明了对图的逆半群$G(E)$，$J_a\cdot J_b\cup J_b\cdot J_a\subset J_b^0$的任意元素$a,b$，如果存在一条路$w$使得$s(w)\in J_a$和$r(w)\in J_b$ .
Semigroup Closures of Finite Rank Symmetric Inverse Semigroups
引入了具有紧理想级数的半群的概念，研究了它们在拓扑半群，特别是具有连续逆的逆半群中的闭包。作为推论，我们证明了秩为$\leqslant n$的有限变换$\mathscr{I}_λ^n$的对称逆半群在具有连续逆的（半）拓扑逆半群类中是代数闭的.我们还得到了相关的结果不存在的（部分）紧化类的半群，我们认为。
Distributivity in congruence lattices of graph inverse semigroups
设Γ是一个有向图，Inv（Γ）是Γ的图逆半群. Luo和Wang [7]证明了任意图逆半群Inv（Γ）的同余格C（Inv（Γ））是上半模的，但一般不是下半模的. Anagnostopoulou-Merkouri，Mesyan和Mitchell刻画了C（Inv（Γ））是下半模的有向图Γ [2].本文证明了任意图逆半群Inv（Γ）的同余格C（Inv（Γ））的下半模性、模性和分配性是等价的.
Anisimov's Theorem for inverse semigroups
逆生成逆半群的幂等问题是生成元上表示幂等元的所有词的形式语言。本文证明了具有正则幂等问题的逆生成逆半群必然是有限的。这回答了吉尔伯特和努南·黑尔的一个问题，并建立了一个推广到逆半群的阿尼西莫夫定理的群体。
Reccurence Sets for Partial Inverse, Semigroup Actions and Related Structures
在拓扑空间中引入了逆半群部分作用的两类递归集。我们探讨了它们与相关类型的不完美对称性（前缀逆半群扩张，部分群和广群作用）的类似概念的联系。
Semiring and involution identities of powers of inverse semigroups
该研究探讨逆半群子集构成的对合半环的恒等式基问题，给出了有限逆半群的结构条件，可判定其对应的对合半环的半环与对合恒等式是否无有限基。
Semiring identities of finite inverse semigroups
本研究针对乘法约简为逆半群的有限加法幂等半环的有限基问题展开，证明了乘法约简为非平凡rook monoid的这类半环无有限恒等基，且几乎所有乘法约简为组合逆半群的该类半环同样如此。
Invariant sets and normal subgroupoids of universal étale groupoids induced by congruences of inverse semigroups
对于一个给定的逆半群，人们可以联系一个称为泛广群的étale广群。我们的动机是研究逆半群和相关的Etale群胚之间的关系。逆半群的同余是研究逆半群的同余的一个基本概念。证明了逆半群的同余导出闭不变集和泛广群的正规子群。然后证明了商逆半群所对应的泛广群是由原泛广群的限制和商所描述的。最后计算了包含阿贝尔化的特殊同余所诱导的不变集和正规子群胚。
Nil-extensions of simple and right $π$-inverse ordered semigroups
本文研究了单与右$π$-逆序半群的nil-扩张，证明了在$t$-Archimedean序半群中右$π$-逆与$π$-逆的等价条件，并刻画了其nil-扩张的完全半格。
Semitransitive and transitive subsemigroups of the inverse symmetric semigroups
本文以有限对称群的极小传递子群和最小基数传递子群的分类为模，分别刻画了有限性逆对称半群的极小传递子半群和有限逆对称半群中最小基数的半传递子半群。
On universal objects in the class of graph inverse semigroups
本文证明了多环幺半群是图逆半群类中的泛对象。特别地，我们证明了有向图$E$上的图逆半群$G(E)$嵌入到多环幺半群$\mathcal{P}_λ$中，其中$λ=|G(E)|$ .证明了每个图逆半群$G(E)$都有粗逆半群拓扑$τ$ .此外，每个从$(G(E),τ)$到$(\mathcal{P}_{|G(E)|},τ)$的单同态都是一个拓扑嵌入。
Algebra in superextensions of inverse semigroups
本文给出了（逆）半群$X$上的极大连通系统$λ(X)$、滤子$ϕ(X)$、连通上族$N_2(X)$和上族$\upsilon(X)$的半群是逆的充要条件.
Inverse semigroups with idempotent-fixing automorphisms
J. Thompson的一个著名结果是：如果有限群$G$有一个素数阶的不动点自由自同构，则$G$是幂零群。本文的主要目的是将这一结果推广到有限逆半群。B. H.诺伊曼说，一个唯一的2-可除群，其自同构为2阶不动点自由，是阿贝尔群。我们同样地把这个结果推广到唯一2-可分逆半群。
Schur-Weyl dualities for symmetric inverse semigroups
我们得到了Schur-Weyl对偶，其中作用在两边的代数是各种对称逆半群及其变形的半群代数。
A new approach to a network of congruences on an inverse semigroup
本文从泛关系出发，依次执行下$k$和下$t$算子，丰富了同余序列的已知性质列表.研究了两类逆半群，即$\ker{α_n}$ -is-Clifford半群和$β_n$ -is-over- $E$ -酉半群.在$S$上发现两个同余，即$α_{n+2}$和$β_{n+2}$，分别是最小$\ker{α_n}$ -is-Clifford和最小$β_n$ -is-over-$E$ -酉同余.建立了由min网络诱导的逆半群的拟簇的一个新的蕴涵系统。
The Inverse Monoid of Partial Inner Automorphisms of a Semigroup
研究半群的偏内自同构逆单群结构，分析其在群、完全简单半群、全变换单群及有限Abel群作用下的有限G集的内单群中的表现，并提出开放问题。
Labelled graphs as Morita equivalence invariants for a class of inverse semigroups
本文提出用标记图刻画一类组合逆半群及 Markov 移位逆包的 Morita 等价类，证明其可由标记图重建并加以区分。
Maximal subgroups of amalgams of finite inverse semigroups
我们利用Cherubini，Meakin，Piochi给出的有限逆半群混合的Schutzenberger自动机的描述，得到了这种混合的结构结果。Schutzenberger自动机，在有限逆半群混合的情况下，是具有特殊结构的自动机，它具有有限的子图，包含了与整个自动机有关的所有基本信息。利用这一重要事实和Bass-Serre理论，我们证明了一个合并自由积的极大子群要么同构于原半群的某些子群，要么可以描述为由原半群的极大子群构成的特殊有限群的基本群.
Ordered groupoid quotients and congruences on inverse semigroups
在逆半群$S$上引入一个预序，它与任意正规逆子半群$N$相关联，且介于自然偏序和Green ${\mathscr J}$ -关系之间.相应的等价关系$\simeq_N$不一定是$S$上的同余，但是商集继承了一个自然的有序广群结构。我们表明，这种建设允许因式分解的任何逆半群同态成一个组成的商映射和一个明星内射函子，这种分解意味着分类的同余$S$。给出了逆幺半群表示对应的同余和某些正规逆子半群的一个应用。
On feebly compact inverse primitive (semi)topological semigroups
研究了逆本原弱紧拓扑半群的结构。给出了逆本原弱紧拓扑半群$S$的极大子群是$S$的闭子集的条件，并刻画了这类半正则拓扑半群的拓扑结构.随后我们描述了拓扑半群和半正则（拟正则）本原逆拓扑半群的弱紧拓扑Brandt $λ^0$ -扩张的结构。特别地，我们证明了拟正则本原逆弱紧拓扑半群中的逆是连续的。证明了Comfort-Ross定理的一个类似定理：任意一族具有闭极大子群的本原逆半正则弱紧拓扑半群的Tychonoff积是弱紧的.本文描述了Hausdorff本原逆可数紧拓扑半群$S$的斯通-切赫紧化的结构，使得$S$的每个极大子群是一个拓扑群.
The structure of two generalization of the symmetric inverse semigroups
本文引入了全对称逆半群${\mathcal{I}}_X$及其对偶半群${\mathcal{I}^{\ast}}_X$的两个推广--逆半群${\mathcal{PI}^{\ast}}_X$和${\overline{\mathcal{PI}^{\ast}}}_X$ .两者都具有相同的载体，并含有$\IS_X$。${\mathcal{PI}^{\ast}}_X$和${\overline{\mathcal{PI}^{\ast}}}_X$上的二元运算让人想起${\mathcal{I}}_X$中的乘法。我们用一种方便的几何方法来实现这两个半群的元素。这使得我们能够有效地研究它们的内部性质，并将它们与$\IS_X$和${\mathcal{I}^{\ast}}_X$的相应性质进行比较。
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