More on trees and Cohen reals
Giorgio Laguzzi, Brendan Stuber-Rousselle
本文分析了关于$κ$上的树的一些问题，包括可数树和不可数树，以及它们与Cohen实数的联系。特别是，我们提供了一个证明的影响左开放的\cite [问题5.2]{FKK 16}关于图的正则性。
In this paper we analyse some questions concerning trees on $κ$, both for the countable and the uncountable case, and the connections with Cohen reals. In particular, we provide a proof for one of the implications left open in \cite[Question 5.2]{FKK16} about the diagram for regularity properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Uncountable trees and Cohen $κ$-reals
我们研究了广义Cantor和Baire空间中树强迫的变形虫的一些版本。这回答了[10，问题3.20]，并概括了[11]，[13]和[7]中标准情况下的研究路线。此外，我们还回答了Friedman，Khomskii和Kulikov在[3]中提出的关于不可数基数的正则性之间关系的问题。我们显示$Σ_1^1$ -反例的一些规律性的性质有关的树没有俱乐部分裂。特别是，我们证明了一个强大的拉姆齐和Baire属性之间的关系，在轻微的对比与标准的情况下。
Laver Trees in the Generalized Baire Space
证明了Laver强迫在空间$ κ^κ$上的任何适当推广，对于不可数正则$κ$，必然增加一个Cohen $κ$ -实数.我们还研究了一个二分法和一个理想的自然相关的广义拉弗强迫。利用这种二分法，我们证明了以下更强的结果：如果$ κ^{<κ}=κ$，那么每一个$<κ$ -分配树强加在$κ^κ$添加一个占主导地位的$κ$ -真正的，这是在一个连续函数在地面模型的一般的图像，添加一个科恩$κ$ -真正的。这是对广义Baire空间研究的贡献，并回答了arXiv的一个问题：1611.08140
Small forcings and Cohen reals
我们证明了相对于ZFC，所有大小为$\aleph _1$的非平凡力加一个Cohen实数是一致的.
Adding a lot of Cohen reals by adding a few II
我们研究$(V, V_{1})$、$V \subseteq V_1$、$ZFC$的模型对，使得对于某些$λ> κ$，在$V_{1}$上添加$κ-$许多科恩实数，在$V$上添加$λ-$许多科恩实数。
Adding many random reals may add many Cohen reals
设$κ$是无限基数。然后，强制使用$\mathbb{R}(κ)$ $\times$ $\mathbb{R}(κ)$为$\mathbb{C}(κ);$添加泛型滤子，其中$\mathbb{R}(κ)$和$\mathbb{C}(κ)$分别是用于添加$κ$ -许多随机实数和添加$κ$ -许多科恩实数的力迫概念。
Cohen real or random real: effect on strong measure zero sets and strongly meager sets
我们表明，地面模型reals的集合有强措施零（是强烈微薄）后，增加了一个单一的科恩真正的（随机真实）。因此，我们证明了在增加一个Hechler实数后，地模型实数的集合具有强测度零。
Indestructibility of some compactness principles over models of PFA
我们证明了$\mathsf{PFA}$（Proper Forcing Axiom）意味着增加任意数量的$ω$的Cohen子集不会增加一棵$ω_2$ -Aronszajn树或一棵弱$ω_1$ -Kurepa树，而且没有$σ$ -中心强迫可以增加一棵弱$ω_1$ -Kurepa树（一棵高度和大小为$ω_1$且至少有$ω_2$共尾分支的树）.这部分地回答了ccc强迫是否可以添加$ω_2$ -Aronszajn或$ω_1$ -Kurepa树的一个开放问题。我们实际上证明了更多：我们表明，$\mathsf{PFA}$的一个后果，即猜测模型的原则，$\mathsf{GMP}$，这是相当于不可言喻的细长树属性，$\mathsf{ISP}$，被保存通过添加任何数量的科恩子集的$ω$。此外，$\mathsf{GMP}$还表明，没有$σ$中心强迫能增加一棵弱的$ω_1$ -Kurepa树.为了更一般性，我们研究的原则$\mathsf{GMP}$在任意正则基数$κ= κ^{<κ}$（我们表示这个原则$\mathsf{GMP}_{κ^{++}}$），并作为一个应用程序，我们表明，有一个模型，其中没有弱$\aleph_{ω+1}$ -Kurepa树和没有$\aleph_{ω+2}$ -Aronszajn树。
Adding a lot of Cohen reals by adding a few I
在本文中，我们产生的模型$V_1\subseteq V_2$的集合论，使添加$κ$ -许多科恩实数到$V_2$添加$λ$ -许多科恩实数到$V_1$，对于某些$λ>κ$。我们主要处理$V_1$和$V_2$具有相同基数的情况。
Specializing trees and answer to a question of Williams
我们证明了如果$cf(2^{\aleph_0})=\aleph_1,$，那么任何大小为$\leq 2^{\aleph_0}$的非平凡$\aleph_1$ -闭强制概念都是强制等价于增加$ω_1.$的新Cohen子集的$Add(\aleph_1, 1),$的Cohen强制。$ZFC$模型，其中$2^{\aleph_0}=\aleph_2$和所有$\aleph_1$ -大小的封闭强迫概念$\leq 2^{\aleph_0}$坍缩$\aleph_2,$，因此强迫等价于$Add(\aleph_1, 1).$这些结果回答了Scott Williams在1978年提出的一个问题。我们还推广了Todorcevic和Foreman-Magidor-Shelah的一个结果，证明了每一个添加$\aleph_2,$的新子集的偏序都是相容的，它使$\aleph_2$或$\aleph_3.$坍缩
Adding a lot of Cohen reals by adding a few
本文的目的是产生模型V_1 \subset V_2，使得在V_2上加kappa-许多Cohen实数在V_1上加λ Cohen实数。一些结果：1.设V满足GCH，kappa = \cup kappa_n= \cup o（kappa_n）.然后存在V的一个基数保持泛型扩张V_1，它满足GCH，并且具有与V相同的实数，因此在V_1上加上kappa许多Cohen实数就产生了V上的kappa^+ Cohen实数。假设V是GCH的一个模型。则存在一个保共尾扩张V_1满足GCH，使得在V_1上加一个Cohen实数产生V_1上的aleph_1 Cohen实数。存在L的一对（W，W_1）类属保共尾扩张，使得W包含在W_1中，且W_1包含一个不在W中的W-实的完满集.最后一个陈述是B.Velickovic和H.Woodin关于Prikry问题的结果的一个微小改进。
Adding $\aleph_ω$ many Cohen reals
本文研究了添加 $\aleph_ω$ 和 $\aleph_{ω+1}$ 多个 Cohen 实数后的扩展差异，并提出了一种数学原则来解释这种差异。
Some Banach spaces added by a Cohen real
我们研究某些巴拿赫空间，增加了一个科恩真正的扩展。具体来说，我们表明，增加一个科恩真正的任何模型增加了一个Banach空间的密度$\aleph_1$不嵌入到任何这样的空间在地面模型这样的Banach空间可以选择是UG这有后果的同构普适性数巴拿赫空间的密度$\aleph_1$，这是因此等于$\aleph_2$在标准科恩模型和UG空间也是如此。巴拿赫空间的类似普适性结果对其他基数也是正确的，但证明不同。
More notions of forcing add a Souslin tree
$\aleph_1$ -Souslin树是一种复杂的组合对象，其存在性不能仅根据ZFC来判定.但是，在Tennenbaum和Jech独立地设计出引入这样一棵树的强迫概念15年后，Shelah证明了已经是最简单的力迫概念-- Cohen强迫--增加了一棵$\aleph_1$ -Souslin树。在本文中，我们确定了一个相当大的一类强迫的概念，假设一个GCH型的假设，添加一个$λ^+$ -Souslin树。这类包括Prikry、Magidor和Radin强迫。
Strong measure zero sets without Cohen reals
如果ZFC是一致的，则以下每一个都与ZFC + 2^{aleph_0}= aleph_2：1一致。）X子集R具有强测度零当且仅当|X| <= aleph_1 +存在广义Sierpinski集. 2.）的情况。aleph_1多个强测度零集的并集是一个强测度零集+存在一个大小为aleph_2的强测度零集。
The Bristol Model: an abyss called a Cohen real
我们构造了ZF的一个模型$M$，它对于Cohen实数$c$位于$L$和$L[c]$之间，对于任何集合$x$都不具有$L(x)$的形式.这是松散的基础上所做的不成文的工作，在布里斯托尔研讨会上对伍德猜想在2011年。这里给出的构造允许对地面模型所需的假设进行更精细的分析，从而使我们更接近理解ZF模型，HOD猜想及其相关理论。这个模型也提供了一个肯定的答案，格里戈里耶夫的问题，关于ZF的中间模型，我们用它来说明Kinna-Wagner原则在ZF的失败。
Additivity of derived limits in the Cohen model
本文证明在添加足够多Cohen实数的模型中，导出极限在一大类系统上可加，推广了先前工作，并分离出划分原则，其可加性还蕴含强同调的可加性结果。
In Cohen generic extension, every countable OD set of reals belongs to the ground model
在L的科恩泛型扩张（可构造宇宙）中，每一个可数的序数可定义的实数集都属于L。
Properties of Laver forcing associated with a co-ideal expressed via the Katetov order
本文研究了与co-ideal相关的Laver forcing的性质，分析其在Katetov序下的组合特性，并探讨了添加半Cohen实数而不添加Cohen实数的问题。
Combinatorial principles from adding Cohen reals
在本文中，我们首先建立了关于Ω子集的kappa \times Ω矩阵的几个“组合原理”，并证明了它们在任意基模型V上加任意数量的Cohen实数所得到的泛型扩张中是有效的，只要参数kappa是V中的Ω不可达正则基数.然后我们给出了这些原理的大量应用，主要是在拓扑学中.这些结果中的一些已经在较早的一般扩展中建立起来，这些扩展是通过将ω_2科恩实数添加到满足CH的基础模型中获得的，主要是在kappa= ω_2的情况下。
Nontrivial automorphisms of $\mathcal P(ω)/\mathrm{Fin}$ in Cohen models
本文研究了在Cohen模型中$\mathcal P(ω)/\mathrm{Fin}$的非平凡自同构的存在性，并扩展了Shelah和Steprāns关于特定卡氏数的结果。
Infinite powers and Cohen reals
我们给出了一个零维可分可度量化空间$Z$的一致例子，使得$Z^ω$的每个同胚几乎处处都像坐标的置换。此外，这种排列不断变化。这表明Dow和Pearl的结果是尖锐的，并对Terada的一个公开问题给出了一些见解。我们的例子$Z$只是$ω_1$ Cohen实数的集合，被看作是$2^ω$的子空间。
Complete sigma-centered Boolean algebra not adding Cohen reals
证明了存在一个完备的、无原子的、以σ为中心的布尔代数，它不包含任何正则可数子代数当且仅当存在无处稠密超滤子。因此，在ZFC中这类代数的存在性是不可判定的。
Cardinal sequences and Cohen real extensions
我们证明，如果我们添加任何数量的科恩实数的地面模型，然后在泛型扩张，一个局部紧的散射空间最多有（2^{aleph_0}）^V许多水平的大小Ω。我们还给出了正则散布空间的基数序列的一个完全的ZFC刻画。虽然正则空间和0维散布空间的类不同，但我们证明了它们具有相同的基数序列。
How special are Cohen and random forcings i.e. Boolean algebras of the family of subsets of reals modulo meagre or null
认为这两个力迫概念--科恩和随机--（相当于相应的布尔代数波莱尔（R）/（贫集）、波莱尔（R）/（空集））是特殊的感觉，可能是古老而广泛的。一个合理的解释是显示他们独特的，或“最小的”或至少在一个家庭的“好强迫”像博雷尔的特点。我们将解释为Souslin“好”建议犹大Shelah [JdSh 292]。我们把Souslin强迫族分成两部分，并期望：在第一部分中，即那些添加一些非支配实数的部分中，Cohen是最小的（=低于每一个），而在其余部分中，随机是非常典型的，甚至是唯一的。关于第二类，我们有弱的结果，关于第一类，我们的结果看起来令人满意。我们有两个主要的结果：一个（1.14）说科恩强迫在第一类中是“最小的”，另一个（1.10）说所有的c.c.c. Souslin强迫具有Cohen强迫和Random实强迫共有的性质，因此它对随机强迫的特殊性问题给出了一个弱的答案，但对所有的c.c.c.苏斯林强迫。
Generalizing random real forcing for inaccessible cardinals
本文针对不可达基数$\u03bb$对应的$\u03bb^\u03bb$空间，在附加假设下构造了具备随机实数力迫性质的推广力迫，证明其保持基数与共尾性且不添加无支配实数，填补了随机实数力迫在高阶无穷空间的推广空白。
Cohen-like first order structures
本研究用力迫替代归纳法构造不可数泛型结构，证明其多为刚性，并给出自同构群为整数群的稠密实数集例子。
Hajnal--Máté graphs, Cohen reals, and disjoint type guessing
本文研究 Hajnal–Máté 图在添加单个 Cohen 实数模型中的存在性，证明此类模型必含无三角形 Hajnal–Máté 图，并提出独立于 ZFC 的不相交类型猜测，用于构造有限子图色数任意缓慢增长的 Hajnal–Máté 图。
No covering with nowhere dense \textsf{P}-sets in the Cohen model
本文证明了在向\textsf{CH}模型添加少于$\aleph_ω$个Cohen实数时，$ω^{\ast}$不能被无处稠密的\textsf{P}-集覆盖，即$ω$上存在不含塔的超滤。
Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory
证明了集合论可数传递模型的类属多重宇宙中关于向上闭包与合并的几个定理。每一个这样的模型$W$都通过添加一个科恩实数而具有力迫扩张$W[c]$和$W[d]$，这不能在任何进一步的扩展中合并，但是一些非平凡的力迫概念具有它们的所有扩展可合并。递增链$W[G_0]\subseteq W[G_1]\subseteq\cdots$有上界$W[H]$当且仅当在$W$中强迫有一致有界本质尺寸。每个链$W\subseteq W[c_0]\subseteq W[c_1]\subseteq\cdots$的扩展添加科恩实数是有界的$W[d]$上的某些$W$ -一般科恩实$d$。
Countable OD sets of reals belong to the ground model
在Cohen，Solovay-随机，支配和Sacks泛型扩张中，每个可数的序数可定义的实数集都属于基论域
How to have more things by forgetting how to count them
科恩的第一个模型是一个模型的策梅罗-弗伦克尔集合论，其中有一个戴德金有限集的实数，这也许是最著名的模型的选择公理失败。我们强迫在这个模型上从这个戴德金有限集向某个无限序数$κ$添加一个函数。在我们强制函数是单射的情况下，结果表明，所得到的模型与将$κ$ Cohen实数添加到基础模型相同，并且我们刚刚添加了规范Dedekind-有限集的枚举。在函数仅仅是满射的情况下，我们不添加任何实数、序数集或坍缩任何戴德金有限集。这激发的问题，如果有任何组合条件的戴德金有限集$A$的特点时，迫使将保持其戴德金有限性或不添加新的序数集。我们回答这个问题的情况下，“添加科恩子集”提出了一个不同的列表的条件，每个相当于维护戴德金有限性。例如，$2^A$是极端不连通的，或者$[A]^{<ω}$是戴德金有限的。
Complete Bipartite Partition Relations in Cohen Extensions
本文研究了添加 $ω_2$ 个 Cohen 实数对 $ω_2$ 上图的影响，证明了在 CH 模型中经力迫后 $ω_2 \to (ω_2, ω: ω)^2$ 成立，并指出该结果在某种意义上是最优的。
Combinatorial and number-theoretic properties of generic reals
讨论了Cohen和随机实的一些性质。我们证明了它们属于任何可定义的划分正则族，因此它们满足拉姆齐理论中研究的大多数“大”性质。我们确定了它们在Mahler实数分类中的位置，并利用它得到了Liouville数的一些信息。我们还表明，他们是野生的意义上的o-极小，即，它们定义了整数的集合。
Forcing over choiceless models and generic absoluteness
该研究开发了无选择集合论模型上的力迫工具，规避了可数链条件力迫坍缩ω₁的问题，还证明了特定力迫类下的通用绝对性原则蕴含无限基数均有可数共尾性。
The transcendence degree of the reals over certain set-theoretical subfields
本文研究了在添加有限个Cohen实数后，实数集相对于某些集合论子域的超越度问题，并证明其最大性。
Non-elementary proper forcing notions
我们提出的理由发展理论的力迫概念，满足适当的要求，可数模型，不一定是初等子模型的一些（H（chi），在）。这导致了力迫概念，而这些概念是“合理的”可定义的。我们提出了两个具体的属性实现这一直觉：nep（非初等适当性）和snep（苏斯林非初等适当性）。为此，我们考虑候选人（定义适用的可数模型），以及旧的Souslin。这里的一个主要主题是“通过迭代保持”，但我们也展示了一个二分法：如果这样的力迫概念保持了某些自然定义的c.c.c. c的旧实数集的正性。理想，那么它们保持了任何旧的正集合的正性。我们还证明，（在这些力迫概念中）唯一与科恩交换的是科恩本身。
Specializing Wide Aronszajn Trees without Adding Reals
我们表明，在某些情况下，广泛的Aronszajn树可以专门迭代不添加reals。然后，我们使用这个事实来研究强迫公理兼容CH和列出一些开放的问题。
Non-nesting actions of Polish groups on real trees
证明了若一个具有共轭类的Polish G在R-树上有非嵌套作用，则G的每个元素固定一个点。
Uniform, rigid branchwise-real trees
分支实树是一个偏序，它是一棵树，其中每个分支同构于一个实区间。我给这样的树都是刚性的（即没有非平凡的顺序自同构）和统一的（在两个不同的意义上）建设。具体来说，我表明，有一个刚性branchwise真正的树，其中每个分支点有相同的程度，一个在其中的每个点是分支和相同的程度，最后一个在其中的每个点是分支的相同程度，并承认没有保序函数到reals。树是迭代生长的阶段，一个关键的技术是建设（在ZFC）的一个家庭的着色$(0,\infty)$这是“足够的通用”，使用这些着色来确定如何进行建设。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。