Adding a lot of Cohen reals by adding a few II
Moti Gitik, Mohammad Golshani
我们研究$(V, V_{1})$、$V \subseteq V_1$、$ZFC$的模型对，使得对于某些$λ> κ$，在$V_{1}$上添加$κ-$许多科恩实数，在$V$上添加$λ-$许多科恩实数。
We study pairs $(V, V_{1})$, $V \subseteq V_1$, of models of $ZFC$ such that adding $κ-$many Cohen reals over $V_{1}$ adds $λ-$many Cohen reals over $V$ for some $λ> κ$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Adding a lot of Cohen reals by adding a few I
在本文中，我们产生的模型$V_1\subseteq V_2$的集合论，使添加$κ$ -许多科恩实数到$V_2$添加$λ$ -许多科恩实数到$V_1$，对于某些$λ>κ$。我们主要处理$V_1$和$V_2$具有相同基数的情况。
Adding many random reals may add many Cohen reals
设$κ$是无限基数。然后，强制使用$\mathbb{R}(κ)$ $\times$ $\mathbb{R}(κ)$为$\mathbb{C}(κ);$添加泛型滤子，其中$\mathbb{R}(κ)$和$\mathbb{C}(κ)$分别是用于添加$κ$ -许多随机实数和添加$κ$ -许多科恩实数的力迫概念。
Adding a lot of Cohen reals by adding a few
本文的目的是产生模型V_1 \subset V_2，使得在V_2上加kappa-许多Cohen实数在V_1上加λ Cohen实数。一些结果：1.设V满足GCH，kappa = \cup kappa_n= \cup o（kappa_n）.然后存在V的一个基数保持泛型扩张V_1，它满足GCH，并且具有与V相同的实数，因此在V_1上加上kappa许多Cohen实数就产生了V上的kappa^+ Cohen实数。假设V是GCH的一个模型。则存在一个保共尾扩张V_1满足GCH，使得在V_1上加一个Cohen实数产生V_1上的aleph_1 Cohen实数。存在L的一对（W，W_1）类属保共尾扩张，使得W包含在W_1中，且W_1包含一个不在W中的W-实的完满集.最后一个陈述是B.Velickovic和H.Woodin关于Prikry问题的结果的一个微小改进。
Adding $\aleph_ω$ many Cohen reals
本文研究了添加 $\aleph_ω$ 和 $\aleph_{ω+1}$ 多个 Cohen 实数后的扩展差异，并提出了一种数学原则来解释这种差异。
Cohen real or random real: effect on strong measure zero sets and strongly meager sets
我们表明，地面模型reals的集合有强措施零（是强烈微薄）后，增加了一个单一的科恩真正的（随机真实）。因此，我们证明了在增加一个Hechler实数后，地模型实数的集合具有强测度零。
Adding a lot of random reals by adding a few
我们研究$ZFC$的模型对$(V, V_1)$，使得在$V_1$上添加$κ$ -许多随机实数在$V$上添加$λ$ -许多随机实数，对于某些$λ> κ.$，
Combinatorial principles from adding Cohen reals
在本文中，我们首先建立了关于Ω子集的kappa \times Ω矩阵的几个“组合原理”，并证明了它们在任意基模型V上加任意数量的Cohen实数所得到的泛型扩张中是有效的，只要参数kappa是V中的Ω不可达正则基数.然后我们给出了这些原理的大量应用，主要是在拓扑学中.这些结果中的一些已经在较早的一般扩展中建立起来，这些扩展是通过将ω_2科恩实数添加到满足CH的基础模型中获得的，主要是在kappa= ω_2的情况下。
Complete sigma-centered Boolean algebra not adding Cohen reals
证明了存在一个完备的、无原子的、以σ为中心的布尔代数，它不包含任何正则可数子代数当且仅当存在无处稠密超滤子。因此，在ZFC中这类代数的存在性是不可判定的。
Some Banach spaces added by a Cohen real
我们研究某些巴拿赫空间，增加了一个科恩真正的扩展。具体来说，我们表明，增加一个科恩真正的任何模型增加了一个Banach空间的密度$\aleph_1$不嵌入到任何这样的空间在地面模型这样的Banach空间可以选择是UG这有后果的同构普适性数巴拿赫空间的密度$\aleph_1$，这是因此等于$\aleph_2$在标准科恩模型和UG空间也是如此。巴拿赫空间的类似普适性结果对其他基数也是正确的，但证明不同。
Additivity of derived limits in the Cohen model
本文证明在添加足够多Cohen实数的模型中，导出极限在一大类系统上可加，推广了先前工作，并分离出划分原则，其可加性还蕴含强同调的可加性结果。
Properties of Laver forcing associated with a co-ideal expressed via the Katetov order
本文研究了与co-ideal相关的Laver forcing的性质，分析其在Katetov序下的组合特性，并探讨了添加半Cohen实数而不添加Cohen实数的问题。
Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory
证明了集合论可数传递模型的类属多重宇宙中关于向上闭包与合并的几个定理。每一个这样的模型$W$都通过添加一个科恩实数而具有力迫扩张$W[c]$和$W[d]$，这不能在任何进一步的扩展中合并，但是一些非平凡的力迫概念具有它们的所有扩展可合并。递增链$W[G_0]\subseteq W[G_1]\subseteq\cdots$有上界$W[H]$当且仅当在$W$中强迫有一致有界本质尺寸。每个链$W\subseteq W[c_0]\subseteq W[c_1]\subseteq\cdots$的扩展添加科恩实数是有界的$W[d]$上的某些$W$ -一般科恩实$d$。
How to have more things by forgetting how to count them
科恩的第一个模型是一个模型的策梅罗-弗伦克尔集合论，其中有一个戴德金有限集的实数，这也许是最著名的模型的选择公理失败。我们强迫在这个模型上从这个戴德金有限集向某个无限序数$κ$添加一个函数。在我们强制函数是单射的情况下，结果表明，所得到的模型与将$κ$ Cohen实数添加到基础模型相同，并且我们刚刚添加了规范Dedekind-有限集的枚举。在函数仅仅是满射的情况下，我们不添加任何实数、序数集或坍缩任何戴德金有限集。这激发的问题，如果有任何组合条件的戴德金有限集$A$的特点时，迫使将保持其戴德金有限性或不添加新的序数集。我们回答这个问题的情况下，“添加科恩子集”提出了一个不同的列表的条件，每个相当于维护戴德金有限性。例如，$2^A$是极端不连通的，或者$[A]^{<ω}$是戴德金有限的。
Laver Trees in the Generalized Baire Space
证明了Laver强迫在空间$ κ^κ$上的任何适当推广，对于不可数正则$κ$，必然增加一个Cohen $κ$ -实数.我们还研究了一个二分法和一个理想的自然相关的广义拉弗强迫。利用这种二分法，我们证明了以下更强的结果：如果$ κ^{<κ}=κ$，那么每一个$<κ$ -分配树强加在$κ^κ$添加一个占主导地位的$κ$ -真正的，这是在一个连续函数在地面模型的一般的图像，添加一个科恩$κ$ -真正的。这是对广义Baire空间研究的贡献，并回答了arXiv的一个问题：1611.08140
Convergence of measures after adding a real
证明了如果$\mathcal{A}$是基模型$V$中的一个无限布尔代数，且$\mathbb{P}$是一个强制添加任意下列实数的概念：一个Cohen实数，一个不可分裂实数，或一个随机实数，那么，在任何$\mathbb{P}$类泛型扩张$V[G]$中，$\mathcal{A}$既不具有Nikodym性质，也不具有Grothendieck性质.对于支配实数和Nikodym性质也证明了类似的结果。
Complete Bipartite Partition Relations in Cohen Extensions
本文研究了添加 $ω_2$ 个 Cohen 实数对 $ω_2$ 上图的影响，证明了在 CH 模型中经力迫后 $ω_2 \to (ω_2, ω: ω)^2$ 成立，并指出该结果在某种意义上是最优的。
How special are Cohen and random forcings i.e. Boolean algebras of the family of subsets of reals modulo meagre or null
认为这两个力迫概念--科恩和随机--（相当于相应的布尔代数波莱尔（R）/（贫集）、波莱尔（R）/（空集））是特殊的感觉，可能是古老而广泛的。一个合理的解释是显示他们独特的，或“最小的”或至少在一个家庭的“好强迫”像博雷尔的特点。我们将解释为Souslin“好”建议犹大Shelah [JdSh 292]。我们把Souslin强迫族分成两部分，并期望：在第一部分中，即那些添加一些非支配实数的部分中，Cohen是最小的（=低于每一个），而在其余部分中，随机是非常典型的，甚至是唯一的。关于第二类，我们有弱的结果，关于第一类，我们的结果看起来令人满意。我们有两个主要的结果：一个（1.14）说科恩强迫在第一类中是“最小的”，另一个（1.10）说所有的c.c.c. Souslin强迫具有Cohen强迫和Random实强迫共有的性质，因此它对随机强迫的特殊性问题给出了一个弱的答案，但对所有的c.c.c.苏斯林强迫。
Combinatorial properties of classical forcing notions
我们讨论了添加一个实数（对于添加实数的各种力迫概念）对与连续统相关的基数不变量（如无界数或支配数或与实数线上的测度和范畴相关的基数）的影响。对于随机强迫和科恩强迫，这个问题由Cicho 'n和Pawlikowski研究;对于Hechler强迫，由Judah，Shelah和我自己研究。我们在这里展示：（1）增加一个最终不同的或局部化的实数邻接一个大小为连续统的Luzin集和一个大小为ω_1的mad族;（2）Laver和Mathias迫使控制数坍缩到ω_1-结果：（A）CON（d=omega_1 + unif（L）= unif（M）= kappa = 2^omega）;（B）两个拉弗或马蒂亚斯实数迭代相加总是强制CH（偶菱形）;（C）Sigma^1_4-Mathias绝对性蕴含Sigma^1_3- Ramsey性质;（3）米勒有理完满集强制保持公理MA（以sigma为中心）。
The grounded Martin's axiom
我们引入了马丁公理的一个变种，称为接地马丁公理，它断言宇宙是一个ccc力迫扩张，其中马丁公理持有偏序集在地面模型。这个原理已经包含了马丁公理的几个组合推论。新的公理被证明是一致的马丁的公理和奇异连续的失败。我们证明了接地马丁的公理是保留在一个强大的方式时，增加一个科恩真正的，并增加一个随机的真正的模型马丁的公理保留接地版本（即使它破坏了马丁的公理本身）。我们也考虑适当的强制公理的类似的变体。
Hajnal--Máté graphs, Cohen reals, and disjoint type guessing
本文研究 Hajnal–Máté 图在添加单个 Cohen 实数模型中的存在性，证明此类模型必含无三角形 Hajnal–Máté 图，并提出独立于 ZFC 的不相交类型猜测，用于构造有限子图色数任意缓慢增长的 Hajnal–Máté 图。
Forcing over choiceless models and generic absoluteness
该研究开发了无选择集合论模型上的力迫工具，规避了可数链条件力迫坍缩ω₁的问题，还证明了特定力迫类下的通用绝对性原则蕴含无限基数均有可数共尾性。
Discontinuous Homomorphisms of $C(X)$ with $2^{\aleph_0}>\aleph_2$
假设$M$是一个c.t.m.的$ZFC+CH$包含一个简化的$(ω_1,2)$ -morass，$P\in M$是偏序集添加$\aleph_3$泛型实数和$G$是$P$ -generic在$M$。在$M$中，我们在强迫语言中的术语集之间构造一个函数，在$M[G]$中解释为从实数的超幂的有限元素到$ω$上的非主超滤子到形式幂级数的Esterle代数的$\mathbb R$ -线性保序单态。因此，$2^{\aleph_0}=\aleph_3$和，对于任何无限紧Hausdorff空间$X$，存在$C(X)$的不连续同态是一致的，$X$上的连续实值函数代数。对$n\in \mathbb N$，若$M$包含一个简化的$(ω_1,n)$ -morass，则对任意的无限紧Hausdorff空间$X$，在$M$的Cohen扩张中加上$\aleph_n$一般实存在$C(X)$的一个不连续同态.
The transcendence degree of the reals over certain set-theoretical subfields
本文研究了在添加有限个Cohen实数后，实数集相对于某些集合论子域的超越度问题，并证明其最大性。
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