Minimal Niven numbers
定义a（k，q）为k的最小正倍数，使得它在基q中的位数之和等于k。研究了a（k，q）的渐近性态、上下界上界估计.最小条件的特征也被认为是。
2008-03-04 math.CO math.NT
On the p-adic valuation of Stirling numbers of the first kind
对于所有整数$n \geq k \geq 1$，定义$H(n,k) := \sum 1 / (i_1 \cdots i_k)$，其中和扩展到所有正整数$i_1 < \cdots < i_k \leq n$。这些量通过恒等式$H(n,k) = s(n + 1, k + 1) / n!$与第一类斯特林数密切相关。受Erdens-Niven和Chen-Tang工作的启发，我们研究了$H(n,k)$的$p$ -adic赋值。特别是，对于任何素数$p$，整数$k \geq 2$，$x \geq (k-1)p$，我们证明了$ν_p(H(n,k)) < -(k - 1)(\log_p(n/(k - 1)) - 1)$的所有正整数$n \in [(k-1)p, x]$的基础$p$表示开始的基础$p$表示的$k - 1$，但最多$3x^{0.835}$例外。我们还推广了Lengyel的一个结果，给出了$ν_2(H(n,2))$的无限二元序列的描述。
2016-06-04 math.CO math.NT
Degrees of isogenies over prime degree number fields of non-CM elliptic curves with rational $j$-invariant
本文确定了具有有理 $j$-不变量的非CM椭圆曲线在素数次数数域上所有可能的循环同源次数，并完成了该分类。
2024-11-05 math.NT
Approximation of complex algebraic numbers by algebraic numbers of bounded degree
本文研究了次数至多为 n 的代数数和次数至多为 n+1 的代数整数对复代数数的逼近问题，发现存在某些高次复代数数能被低次代数数更好地逼近，但被相应代数整数逼近的效果更差。
2007-09-11 math.NT
Minimal Degrees of Algebraic Numbers with respect to Primitive Elements
给定数域$L$，我们定义了代数数$v \in L$关于$L$的本原元的选择的次数.我们提出的问题，计算最小程度的$L$代数数，并检查这些值的程度$4$伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$和三次数域。证明了计算三次数域上非有理元的最小次数与求解经典丢番图问题（如全等数问题）以及理解椭圆曲线的各种算术性质密切相关.
2021-06-18 math.NT
The number of extensions of a number field with fixed degree and bounded discriminant
我们给出了一个上界的数量扩张的固定数域的规定程度和判别小于X，这些边界改善施密特的工作。我们还证明了各种相关的结果，如下界的扩展和上界的伽罗瓦扩展的数量。
2003-09-08 math.NT
The number of ramified primes in number fields of small degree
本文研究了d <= 5度数域中分歧素数的个数分布。类似于经典的Erdos-Kac定理，我们证明了对于S_d-扩张，这类素数的个数服从均值和方差loglogX的正态分布。
2016-09-02 math.NT
Effective Approximation to Complex Algebraic Numbers by Algebraic Numbers of Bounded Degree
本文首次建立了 Liouville 不等式的有效改进，用于以次数至多为4的复代数数逼近复非实代数数。
2024-11-14 math.NT
A class number problem for imaginary cyclic number fields of 2-power degrees
本文将M. K. Ram关于虚循环四次数域类数不等于特定素数的结论，大幅推广至2的幂次阶非二次虚循环数域且类数非素数的情形。
2025-08-14 math.NT
Class numbers of large degree nonabelian number fields
当数域的度和判别式都很大时，类数的计算变得相当困难，特别是在没有GRH假设的情况下。本文将无条件地证明某个120次非交换数域的类数为1。这个域是有理数唯一的$A_5 \times C_2$扩张，它只在653处分支，分歧指数为2。它是无条件证明类数为类数1的最大度数域。证明使用Guàrdia，Montes和Nart的算法计算一个整基，然后找到小素数幂范数的整元，建立类数的上界;进一步的代数论证证明了类数为1。这些技巧也可以应用于其他非阿贝尔数域。
2016-06-30 math.NT
Upper bounds on number fields of given degree and bounded discriminant
令$N_n(X)$表示具有由$X$界定的判别式的度$n$数域的数目。本文改进了$N_n(X)$的最佳上界，发现对于显式常数$c$，$N_n(X) = O(X^{ c (\log n)^2})$.
2020-06-23 math.NT
The 2-Selmer group of $S_n$-number fields of even degree
本文是Dummit和Voight关于2-Selmer数域群建模工作的推广。我们将他们的模型推广到偶数次的$S_n$数域，并对类群和窄类群的2秩差异进行了讨论。
2021-10-07 math.NT
An improvement on Schmidt's bound on the number of number fields of bounded discriminant and small degree
我们证明了一个改进的Schmidt上界的次数$n$和绝对判别小于X $6 \leq n \leq 94$的数域的数目。我们进行这一改进和应用统一的界限上的monic整数多项式的数量，有界的高度和判别整除一个大的平方，我们证明了在以前的工作。
2022-10-01 math.NT
On the co-factors of degree 6 Salem number beta expansions
对于$β> 1$，如果$x = \sum_{n = 1}^\infty c_nβ^{-n}$，则具有$0 \leq c_n < β$的序列$(c_n)_{n \geq 1} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}^+}$是$x$相对于$β$的\emph{beta expansion}。将$d_β(x)$定义为$x$相对于$β$的贪婪β扩展，已知只要$β$是皮索数，则$d_β(1)$最终是周期性的。这一点也适用于Salem数，但目前只知道4次Salem数也是如此。启发式的论点表明，几乎所有的度6塞勒姆号码承认定期扩张，但一个积极的比例度8塞勒姆号码不。在本文中，我们研究了度6的情况。我们提出了计算方法，寻找家庭的度6数与最终周期贪婪的扩张，通过研究他们的扩张的余因子。我们还证明了6度Salem数的贪婪展开可以有任意大的周期。此外，还利用$\text{trace}(β) \leq 15$对6次Salem数集进行了计算.我们给出了具有$\text{trace}(β) \leq 15$的数的例子，这些数的展开式具有超过$10^{10}$的周期和前周期长度，但最终仍然是周期的。
2019-12-22 math.NT
Number fields without universal quadratic forms of small rank exist in most degrees
该研究证明，凡次数可被2或3整除时，均有无穷多个全实数域使其通用二次型的秩必须任意大。
2021-01-25 math.NT
Totally p-adic Numbers of Degree 3
代数数$α$的高度是$α$算术复杂度的度量。如果$α$的极小多项式在$p$-adic数的域$\mathbb{Q}_p$上完全分裂，我们说$α$是完全$p$-adic的.在本文中，我们研究了什么可以说的最小非零高度的程度$3$完全$p$ -进数。特别是，我们提供了一个算法来确定，给定一个素数$p$，$3$度的最小高度完全$p$ -进数。
2020-09-03 math.NT
The number of roots of polynomials of large degree in a prime field
我们建立了整系数多项式的零模$p$的个数的渐近上界，其中$p$素数任意大。我们考虑的多项式的次数大小为$p$，并通过截断满足简单微分方程的具有有理系数的幂级数得到。
2012-10-05 math.NT
On unit signatures and narrow class groups of odd degree abelian number fields
对于奇次交换数域，研究了它的2-Selmer群作为双线性空间和Galois模的结构。我们证明了结构的结果，并作出预测的单位签名秩和窄类群的家庭的程度和伽罗瓦群是固定的分布。
2021-04-11 math.NT
Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization
本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。
2011-12-31 math.NT
There are Salem numbers with trace $-3$ and every degree at least $34$
本文证明了存在迹为 $-3$ 且度数为所有 $\geq 34$ 的偶数的 Salem 数，结合理论方法与数值搜索，除度数 $32$ 外结果达到最优。
2024-03-25 math.NT
Number of Irreducible Polynomials and Pairs of Relatively Prime Polynomials in Several Variables over Finite Fields
讨论了有限域上多元给定次数的不可约多项式和给定次数的互素多项式对的计数结果。考虑了度的两个概念，{ \em全次数}和{ \em向量度}。我们证明了不可约数可以递归地按度计算，并且互素对的数目可以用不可约数来表示。我们还得到了不可约数和互素对数的渐近公式。不可约数的渐近公式推广和改进了Carlitz，Cohen和Bodin的一些结果.
2008-11-24 math.NT
The Density of Numbers Represented by Diagonal Forms of Large Degree
设$s \geq 3$为固定正整数，$a_1,\dots,a_s \in \mathbb{Z}$为任意整数。我们表明，在$k$上平均，由度$k$对角形式\[ a_1 x_1^k + \cdots + a_s x_s^k \]表示的数的密度相对于$k$迅速衰减。
2017-06-13 math.NT
Mixed degree number field computations
本文给出了一种计算数域完备表的方法，当作为抽象群的伽罗瓦群在较小的次数下表现为伽罗瓦群时，给出了一种计算数域完备表的方法。我们用这种方法求出了25个具有伽罗瓦群$\textrm{PSL}_2(7)$和最小绝对判别式的八度域。我们进行了一些相关的计算，包括确定八度域的最小绝对判别的伽罗瓦群$2^3{:}\textrm{GL}_3(2)$。
2016-11-10 math.NT
The smallest regulator for number fields of degree 7 with five real places
2016年，Astudillo、Diaz y Diaz和Friedman发表了所有七阶以下签名的数域监管者的精确下界，除了七阶有五个实数位的数域。我们处理这个签名，证明了第一个判别式的字段具有最小调节器。证明中的新元素是Pohst的几何方法从完全真实的情况下，具有一个复杂的地方领域的延伸。
2018-10-08 math.NT
Distribution of residues of an algebraic number modulo ideals of degree one
设$f(x)$是一个不可约多项式，其整数系数的次数至少为2。Hooley证明了同余方程$f(x)\equiv 0\mod n$的根是均匀分布的。作为Hooley定理在理想理论背景下的一个平行定理，我们证明了模1次理想的代数数的剩余分布的一致性。然后利用这个结果，我们证明了多项式同余系的根是均匀分布的。最后讨论了代数数的n进展开式的位数分布。
2021-08-12 math.NT
Monogenic fields with odd class number Part II: even degree
1801年，高斯证明了存在无穷多个类数为奇数的二次域。我们推广这一结果表明，有无穷多个$S_n$领域的任何给定的偶数度和签名，有奇数类数。此外，我们证明了有无穷多个领域的任何偶数度至少$4$和至少有一个真正的嵌入，有单位的每个签名。为此，我们使用Wood的参数化来约束均匀度的单齐化域的类群、窄类群和定向类群中的$2$ -扭元的平均数（并精确地计算这些平均值以尾部估计为条件）。这些平均值是第一个计算的$p$ -挠平均值，用于$p$不与度互质（在度上至少$3$），阐明了在“坏”素数下类群和窄类群的Cohen-Lenstra-Martinet-Malle型概率问题。
2020-11-17 math.NT
On the unit equation over cyclic number fields of prime degree
设$\ell \ne 3$为素数。证明了单位方程$$λ+ μ= 1, \qquad λ,~μ\in \mathcal{O}_F^\times$$有解的次数为$\ell$的循环数域$F$只有1000个.我们的结果是有效的。例如，我们推导出单位方程有解的唯一循环五次数域是$\mathbb{Q}(ζ_{11})^+$。
2020-12-11 math.NT
Torsion of $\mathbb Q$-curves over number fields of small odd prime degree
Faculty of Science, Department of Mathematics（理学院数学系）
本文研究了小奇素数次数数域上$\mathbb Q$-曲线的torsion子群，证明其与有理$j$-invariant椭圆曲线的torsion子群等价，并完成相关分类。
2026-02-24 math.NT
$\mathbb Q$-curves over odd degree number fields
通过重新表述和推广Elkies的结果，证明了奇次数域上的$\mathbb Q$ -曲线的一些结果。我们表明，在这样的领域，唯一的素数isolation度~ $\ell$没有CM的椭圆曲线可能有那些度已经是可能的~ $\mathbb Q$本身（特别是，$\ell\le37$），我们表明存在一个界的程度循环isogenies之间的$\mathbb Q$ -曲线只依赖于该领域的程度。我们还证明了，唯一可能的扭转群的$\mathbb Q$ -曲线在数域的度不能整除由一个素数$\ell\leq 7$是$15$群，出现作为扭转群的椭圆曲线在$\mathbb Q$。补充这些理论结果，我们给出了一个算法，用于建立任何给定的椭圆曲线$E$是否是一个$\mathbb Q$ -曲线，它涉及到工作只在$\mathbb Q(j(E))$。
2021-09-14 math.NT
An asymptotic on the logarithms of the relative class numbers of imaginary abelian number fields of prime conductor and large degree
本文研究了具有素数导子 $p$ 和大次数的虚阿贝尔数域，给出了其相对类数对数的渐近性质，并证明了在稍放宽限制条件下该渐近性质不再成立。
2025-01-31 math.NT
Simultaneous approximation by conjugate algebraic numbers in fields of transcendence degree one
本文给出了同时逼近多个超越实数、复数或p-adic数xi_1，…，xi_t由Q上有界次数的共轭代数数表示，条件是给定的超越数xi_1，.，xi_t在Q上生成超越度为1的域。例如，当xi_1，.，xi_t形成具有非零代数差的等差数列，或者形成具有不同于单位根的非零代数比的等比数列。在这种情况下，我们还通过对偶得到了一个形式的Gel'fond超越准则，该准则用在xi_1，.，xi_t.
2005-08-04 math.NT
Small degree Salem numbers with trace -3
本文通过构造满足特定根分布与迹条件的全正多项式，给出了迹为 -3、次数为 34 至 40 的 Salem 数表。
2024-04-04 math.NT
The Equidistribution of Grids of Rings of Integers in Number Fields of Degrees 3,4 and 5
这是由M。Bhargava和P. Harron证明了对于$n=3,4,5$，当$S_n$ -度为$n$的数域按判别式排序时，这些数域的整数环的形状在形状空间中变得均匀分布。代替形状，我们将网格对应到每个数字字段，这保留了更多的数字字段的数据。网格空间是形状空间上的纤维丛。我们通过证明$S_n$ -数域的整数环的格在格空间中成为等分布的，加强了Bhargava-Harron的结果.
2022-08-21 math.NT
On the shapes of pure prime degree number fields
对于$p$素数和$\ell = \frac{p-1}{2}$，我们证明了纯素度数域的形状位于形状空间的两个$\ell$维子空间之一，而这两个子空间中的哪一个取决于$p$是否广分歧.当领域的绝对判别排序，我们表明，形状是均匀分布的，在正规化的意义上，在这些子空间。我们还表明，形状是一个完整的家庭内的纯素度域的不变量。这扩展了Harron的结果，在[Har 17]中，他研究了纯立方数域的形状。进一步，我们将纯素度数域的陈述转化为关于Frobenius数域$F_p = C_p\rtimes C_{p-1}$的陈述，并给出了一个固定的预解式域。具体来说，我们表明，这项研究是等价的研究$F_p$ -数域与固定的预解式字段$\mathbb{Q}(ζ_p)$。
2022-09-21 math.NT
Explicit counting of ideals in number fields of arbitrary degree
University of Copenhagen（哥本哈根大学）
本文利用数论几何方法，研究数域中积分理想数量的显式估计，通过最小化次数对误差项的影响，避免高阶项，并利用刘维尔空间中的基本域理论和施密特的分拆技巧改进误差估计。
2026-04-21 math.NT
On the number of equivalence classes of binary forms of given degree and given discriminant
本文给出了具有给定次数、给定判别式和给定分裂域的有理整系数的二元形式的等价类个数的一个明确的上界。进一步，我们给出了一个明确的上界的数目的不可约二元形式的有理整系数，给定不变的顺序。我们的边界取决于尽可能少的参数。例如，我们证明了具有给定不变阶的r次有理整系数的不可约二元形式的等价类的个数有一个仅依赖于r的上界。我们证明了数域上S-整数环上系数的二元形式的更一般的结果。
2003-12-11 math.NT
A Gel'fond type criterion in degree two
建立了一个复数是Q上次数至多为2的代数数的判别准则。它要求，对于任何足够大的实数X，存在一个非零多项式，其系数为整数，次数至多为2，高度至多为X，其绝对值在该复数处至多为（1/4）X^{-（3+sqrt{5}）/2}。我们证明了在这种条件下指数（3+sqrt{5}）/2是最优的，并由此推出了用共轭代数数同时逼近实数的一个结果.
2002-12-16 math.NT
Average Frobenius distribution for the degree two primes of a number field
设$K$为数字字段，$r$为整数。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑Frobenius迹等于$r$的$K$的二次素理想的个数问题.在$K$的某些限制下，我们证明了“平均”这样的素理想的范数小于或等于$x$的数量满足一个渐近恒等式，这是按照标准的代数。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2013-07-05 math.NT
Diophantine approximation in prescribed degree
本文研究了用代数数和指定次数的代数整数逼近给定实数的问题。我们处理最好的和一致逼近，并突出的相似性和差异相比，深入研究的问题，逼近的代数数（和整数）的有界程度。我们建立了一个问题的答案Bugeaud关于近似超越实数的二次无理数，从而我们完善了达文波特和施密特从1967年的结果。我们还得到了Liouville数的几个新的刻画，以及对非齐次丢番图逼近的一些新的认识.作为一个辅助的边的结果，我们提供了一个上界的数量的某些线性组合的两个给定的互素整数多项式的线性因子。最后，我们提出几个悬而未决的问题。
2017-12-19 math.NT
Explicit isogenies of prime degree over number fields
本研究实现了数域上椭圆曲线素次数同源分类的显式算法，结合最新工作确定了多类数域的首批素次数同源实例，且半稳定椭圆曲线场景下算法无需依赖广义黎曼假设。
2024-10-29 math.NT
Torsion groups of Mordell curves over number fields of higher degree
数域$K$上的莫德尔曲线是$ y^2 = x^3 + c$形式的椭圆曲线，其中$c \in K \setminus \{ 0 \}$。设$p \geq 5$是素数，$K$是数域，使得$[K:\mathbb{Q}] \in \{ 2p, 3p \}$，并且设$E$是定义在$K$上的Mordell曲线。当$[K: \mathbb{Q}] \in \{2p, 3p \}$定义在$\mathbb{Q}$上的所有Mordell曲线$E$，我们对所有可能的挠子群$E(K)_{\text{tors}}$进行分类。
2021-05-11 math.NT
Counting algebraic integers of fixed degree and bounded height
设$k$为数字字段。对于$\mathcal{H}\rightarrow \infty$，我们给出了$k$上固定次数且以$\mathcal{H}$为界的绝对Weil高度的代数整数个数的一个渐近公式.
2013-11-12 math.NT
Fields of algebraic numbers with bounded local degrees and their properties
我们给出了具有一致有界局部度的有理数的无限代数Galois扩张的一个刻画，并详细地证明了Albercoli和Zannier在一篇论文中所宣布的所有结果，并得到了相应的推广.特别地，我们证明了对于有理数的无限Galois扩张，以下三个性质是等价的：在每个素数处具有一致有界的局部度;在几乎每个素数处具有一致有界的局部度;具有有限指数的伽罗瓦群.证明这一结果启发有趣的连接与Zelmanov的工作限制伯恩赛德问题。在某些特殊情况下，我们给出了一个计算无限扩张局部度的界的公式。我们涉及的统一有界性的地方度的其他属性：作为一个子字段的合成的所有领域的有界度;被生成的元素的有界度。我们证明了上述性质是等价的阿贝尔扩展，但不是一般的，我们提供了反例的基础上群论建设与extrasspecial群及其模块，我们给出明确的实现。
2011-09-30 math.NT
On small discriminants of number fields of degree 8 and 9
我们对所有具有特征码（4，2），（6，1），（1，4）和（3，3）的数域进行了分类，这些数域的判别式低于一个特定的上界.这完成了对8度场的最小判别式的搜索，并在9度的情况下继续搜索。我们回顾的理论工具和算法的步骤，我们的程序是基于，然后我们专注于新奇的，由于新的实现这一过程的计算机代数系统PARI/GP，最后，我们做一些评论的最终结果，其中存在的数字字段签名$(3,3)$和小判别式，这是以前不知道的。
2019-12-16 math.NT
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields of prime degree
令$[K:\mathbb{Q}]=p$为素数，令$E/K$为具有$j(E) \in \mathbb{Q}$的椭圆曲线。我们确定了$E(K)_{tors}$的所有可能性。我们通过研究$E$及其二次扭曲的伽罗瓦表示得到了这些结果。
2019-12-09 math.NT
The minimum discriminant of number fields of degree 8 and signature (2,3)
本文描述了如何利用Hunter和Pohst提供的算法方法，给出8次数域和签名（2，3）数域的完全分类，其绝对判别式小于某一界.这个界限的选择来自于素理想对用Odlyzko-Poitou-Serre方法得到的判别式的下估计给出的局部修正。
2018-09-06 math.NT
The Minimal Degree of Salem Numbers with Negative Trace
Charles University Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
该研究改进了Salem数最小次数的上界，证明其最小次数与迹的绝对值的平方相关，且对每个指定负迹，超过某偶次时均存在对应Salem数。
2026-08-04 math.NT
Forms of differing degrees over number fields
考虑数域$K$的整数环上的多元多项式系。我们证明了一个渐近公式的整数零点的数目，该系统在均匀扩展盒。因此，任何光滑的几何整的簇$X\subseteq \mathbb{P}_K^m$满足Hasse原理，弱逼近和Manin-Peyre猜想，只要它的维数与它的次数相比足够大。这概括了斯金纳的工作，他认为所有多项式的情况下，有相同的程度，以及最近的工作布朗宁和希斯布朗，谁认为的情况下，$K=\mathbb{Q}$。我们的主要工具是斯金纳的数域版本的哈代-利特尔伍德圆方法。作为副产品，我们指出并纠正了斯金纳的奇异积分的处理错误。
2016-06-27 math.NT
A local-global principle for isogenies of prime degree over number fields
本文给出数域$K$的例外偶集的描述，即$(\ell, j(E))$偶集，其中$\ell$是素数，$j(E)$是$K$上椭圆曲线$E$的$j$ -不变量，它允许$\ell$ -局部几乎处处但不允许全局等距.根据$K$的度和判别式，我们得到了这种对中$\ell$的上界.此外，我们还证明了例外对个数的有限性结果。
2014-01-13 math.NT
Linear independence of powers of singular moduli of degree 3
我们证明了两个不同的奇异模$j(τ),j(τ')$，使得对于某些正整数$m, n$，数$1,j(τ)^m$和$j(τ')^n$在$\mathbb{Q}$上线性相关，生成相同的次数域至多$2$。这就完成了Riffaut的一个结果，Riffaut证明了上述定理，除了两个由次数$3$组成的明确的例外对。这篇文章的目的是处理这两个剩余的情况。
2017-12-19 math.NT
The Northcott Property for Composites of Number Fields of Bounded Degree
本文通过应用Segal关于profinite群的定理，证明了Galois群指数有限的无限Galois数域扩张具有Northcott性质。
2026-06-02 math.NT
On the number of elliptic curves with prescribed isogeny or torsion group over number fields of prime degree
设$p$是素数，$K$是次数为$p$的数域.我们计数的椭圆曲线，直到$\bar{K}$ -同构，具有规定的性质，其中该性质是曲线包含一个固定的扭转群作为一个子群，或它有一个规定的程度的同构的数量。
2014-02-26 math.AG math.NT
On the Belyi degree of a number field
本文引入数域K的Belyi度，它是以K为模域的dessin d'enfant的最小度。在描述了一些一般性质（如存在许多有界Belyi度数域）之后，我们给出了这类不变量的一个下界和一个上界.最后给出了二次域的一些具体例子。
2006-11-06 math.AG math.NT
Torsion for CM elliptic curves defined over number fields of degree 2p
对于素数p，我们刻画了在2p度数域上定义的具有复乘的椭圆曲线的扭子群。特别是，我们的工作表明，最强意义上的分类是联系在一起的，以确定是否存在无限多个苏菲·热尔曼素数。
2022-06-07 math.AG math.NT
