Counting algebraic integers of fixed degree and bounded height
Fabrizio Barroero
设$k$为数字字段。对于$\mathcal{H}\rightarrow \infty$，我们给出了$k$上固定次数且以$\mathcal{H}$为界的绝对Weil高度的代数整数个数的一个渐近公式.
Let $k$ be a number field. For $\mathcal{H}\rightarrow \infty$, we give an asymptotic formula for the number of algebraic integers of absolute Weil height bounded by $\mathcal{H}$ and fixed degree over $k$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Counting points of fixed degree and bounded height
考虑射影$n$ -空间中在给定数域$k$上生成度扩张$e$的点的集合，当$X$趋于无穷大时，导出绝对高度至多为$X$的点的个数的渐近公式.我们推导出一个类似的这样的公式，而不是绝对高度，一个所谓的阿德利克-利普希茨高度。
Counting Algebraic Integers of Bounded Height in Cyclotomic Fields
本文针对素数幂阶分圆域，给出绝对高度不超过B的代数整数和单位个数的渐近上界。
Counting points of fixed degree and given height over function fields
设$k$是函数域$\bfF_p(T)$的有限域扩张，$\bar{k}$是它的代数闭包.我们计算点在射影空间$\Bbb P ^{n-1}(\bar{k})$具有给定的高度和固定程度$d$在字段$k$。如果$n>2d+3$，我们推导出当高度趋于无穷大时它们的数量的渐近估计。作为一个应用，我们还推导出某些可分解形式的渐近估计。
Counting degenerate polynomials of fixed degree and bounded height
本文给出了整系数固定次数为$n \ge 2$且高度以$H \ge 2$为界的退化一元多项式（以及任意的，不一定是一元多项式）个数的精确上界和下界.如果多项式有两个不同的根，而这两个根的商是一个单位根，则该多项式称为退化多项式。特别是，我们的界限意味着非退化线性递归序列可以随机生成。
Counting quaternion extensions by multi-heights
该研究证明了Gundlach关于Q₈群的伽罗瓦扩张数量猜想的一个情形，得到狂分歧位加局部条件的结果，并应用得出有界分歧素数乘积的Q₈扩张数量的渐近性。
Counting primitive points of bounded height
设$k$是数域，$K$是$k$的有限扩张.我们在生成扩展$K/k$的域$K$上计算射影空间中有界高度的点。随着高度变大，我们得到一个特别好的误差项尊重扩展$K/k$的渐近估计。在以后的文章中，我们将使用这些结果得到的固定度的点的数量在$k$的渐近估计。我们还介绍了一个adelic Lipschitz高度的概念，推广了Masser和Vaaler。这将导致进一步的应用涉及点的固定度的线性簇和代数数的固定度满足一定的子域条件。
Slicing the stars: counting algebraic numbers, integers, and units by degree and height
Masser和Vaaler给出了给定次数$d$和递增高度的代数数的个数的渐近公式。这个问题是通过计算$\mathbb{R}^{d+1}$中均匀膨胀星体的格点（对应于$\mathbb{Z}$上的极小多项式）来解决的。这颗恒星的体积是由陈省身和Vaaler计算的，他们还计算了余维的体积--对应于首一多项式的一个“切片”--这导致了Barroero关于计算代数整数的结果。我们展示了如何估计高余维切片的体积，这使我们能够计算单位，给定范数，迹，范数和迹的代数整数等等。我们还完善了晶格点计数参数的陈-Vaaler获得明确的误差项，更好的节能，这导致明确的版本的一些结果的Masser-Vaaler和Barroero。
Lehmer-Type bounds and counting rational points of bounded heights on Abelian varieties
本文研究了数域K上阿贝尔簇A的$\bar{K}$-点Néron-Tate高度的Lehmer型界，估计了高度$\leq \log B$的K-有理点数量，并针对椭圆曲线及其乘积将估计中的常数C变为显式可计算。
Counting elliptic curves of bounded Faltings height
给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。
Lattice point counting and height bounds over number fields and quaternion algebras
在分析和几何组合学中，一个重要的问题是估计欧几里得空间中紧致凸集上的格点个数。这种估计在整个数学中有许多应用。在这篇文章中，我们展示了这种特殊估计在数论中的几个计数问题中的应用：数域上有界高度的整数点和单位的计数，正定四元数代数上有界高度的计数，以及全局函数域上有固定支撑的有界高度的计数。我们的论点使用高度比较不等式的集合高度在数域和四元数代数。我们还展示了如何使用这些不等式可以得到存在性结果的点的有界高度在四元数代数，这构成了非交换类似物的变化的经典西格尔引理和卡塞尔定理的小零点的二次型。
Computing algebraic numbers of bounded height
我们描述了一个算法，列出所有元素的有界高度在一个给定的数字字段。
Height zeta functions of equivariant compactifications of semi-direct products of algebraic groups
利用高度zeta函数理论研究了半直积的射影等变紧化上有界高度有理点的渐近分布。
Counting intrinsic Diophantine approximations in simple algebraic groups
在任意小尺度下，我们建立了单连通单代数群上的内在丢番图不等式的有理解的个数的显式渐近公式。
Counting points by height in semigroup orbits
针对极化动力系统半群轨道中高度有界点的计数问题，本文利用 Wiener-Ikerhara Tauberian 定理改进已有估计，并得到射影直线上一般半群的精确渐近式。
Counting points of bounded height in monoid orbits
给定$\mathbb{P}^N$上的一组自同态，我们建立了相应幺半群轨道上有界高点数的上界。此外，当幺半群是自由的时，我们给出了一个更精确的估计及其下界。最后，我们表明，大多数集的有理函数在一个变量满足这些更精细的界限。
Effective Height Upper Bounds on Algebraic Tori
重点是代数环面G^{n}_{m}的高度上界。高度是指绝对对数Weil高度。第3.2节包含了这个函数和其他更一般的高度函数的精确定义。第一个附录给出了一个简短的概述已知的结果在阿贝尔的情况下。第二个附录包含了Shimura变种的一些高度界限。
An algebraic proof of the duality of multiple zeta-star values of height one
本研究针对高度为1的多重星Zeta值对偶定理的证明问题，采用洗牌代数方法给出该定理的代数证明，为数论领域的相关研究提供了代数推导思路。
Counting integral points of bounded height on varieties with large fundamental group
本说明专门讨论对Ellenberg、Lawrence和Venkatesh最近的一份文件的修正。粗略地说，这里的主要结果表明，在一个基本群较大的数域上，簇的有界高度的整点数的次多项式增长。这样的改进，即需要大的基本群，而不是纯霍奇结构的几何变化的存在，已经问在同前。
Heights on algebraic curves
在这些讲座中，我们涵盖了基本理论的高度开始的高度在射影空间，高度的多项式和高度的代数曲线。定义了二元形式的最小高度和代数曲线的模高，证明了超椭圆曲线的模高为$\mathcal H (f) \leq c_0 \tilde H (f)$，其中$c_0$为常数，$\tilde H$为相应二元形式的最小高度.对于亏格$g=2$和3，这样的常数是明确确定的。进而计算了亏格为2和亏格为3的高度为1的超椭圆曲线的完整曲线表。
An effective lower bound for the height of algebraic numbers
本文证明了：如果$α$是一个非零的$d \geq 2$次代数数且不是单位根，则$dh（α）>（1/4）（\log（\log（d））/ \log（d））^3.
Lower bounds on the projective heights of algebraic points
如果$α_1,\ldots,α_r$是代数数，使得对于某个整数$N$，$$N=\sum_{i=1}^rα_i \ne \sum_{i=1}^rα_i^{-1}$$，则Beukers和Zagier的定理给出了$$\sum_{i=1}^r\log h(α_i)$$的最佳可能下界，其中$h$表示Weil高度。我们将这个结果推广到允许$N$是任何全实代数数。我们的推广包括Schinzel定理的一个后果，它限制了一个全实代数整数的高度。
Counting elliptic curves with an isogeny of degree three
我们用高度来计算有理数上具有三次等距的椭圆曲线的个数。
Height bounds for algebraic numbers satisfying splitting conditions
在早期的工作中，第一作者和Petsche解决了局部域的能量最小化问题，并利用该结果获得了代数数高度的下界，这些代数数的共轭都位于各种局部域中，例如全实数和全p进数。在本文中，我们将这些技术和解决相应的极小化程序的实区间和p-adic盘，获得了几个新的下界的高度的代数数的共轭都在这样的集合。
Cantor's List of Real Algebraic Numbers of Heights 1 to 7
该研究延续Cantor关于实代数数可数性的工作，系统给出了高度1到7、对应次数为k的整系数不可约多项式的实代数数列表，补充了Cantor仅给出前三个高度实例的研究内容。
Counting decomposable polynomials with integer coefficients
环上的多项式称为可分解的，如果它是两个非线性多项式的合成。本文给出了整系数整系数多项式可分解次数的精确上、上界。此外，我们还得到了偶数次可分解首一多项式个数的渐近公式。例如，可分解的且高度至多为$H$的一元六次整数多项式的数目渐近于$(16ζ(3)-5/4)H^3$为$H \to \infty$。
Height growth on semisimple groups
给出了一般格点计数函数渐近于相应球体积增长函数的条件。然后，这是用来给高度渐近的风格的Batyrev-Manin猜想某些内在定义的高度上半简单的群体。
Uniformly counting rational points on conics
本文给出了有理数域上非奇异二次曲线上有界高的有理点个数的一个渐近估计。该估计在基本二次型的系数中是一致的。
Algebraic $S$-integers of fixed degree and bounded height
设$k$是数域，$S$是$k$中包含阿基米德数的有限位集.我们计数的代数点的有界高度的坐标位于环的$S$ -整数的$k$。此外，我们还给出了$k$上有界高度和固定次数的$\bar{S}$ -整数个数的一个渐近公式，其中$\bar{S}$是$\bar{k}$位于$S$上的位置的集合.
Counting rational points in non-singular curves
本文应用全局行列式法，给出了非奇异曲线中高度有界的有理点数量的统一上界。
Counting rational points on affine hypersurfaces
该研究通过量化Hilbert不可约定理，给出了不可约仿射超曲面上有理点有界高度数目的上界，为数论中的点计数问题提供了新的理论工具。
Counting torsion points on subvarieties of the algebraic torus
我们估计了在某些代数闭域上的代数环面$\mathbb G_m^n$的代数子簇上的最多$T$阶扭点数的函数的增长率。我们证明了一个一般的上界，这是尖锐的，并刻画了子簇的增长率是最大的。对于所有其他子品种有一个更好的界，这是节能相比，一般的。我们的结果包括渐近公式的特征零，我们使用劳伦特定理，Manin-Mumford猜想。然而，我们也得到了有限域的代数闭包$K$的新的上界。
Counting rational points on biquadratic hypersurfaces
建立了充分多变量的任意光滑双二次超曲面的某个Zebrski开子集上有界反正则高的有理点个数的渐近公式.证明使用Hardy-Littlewood圆方法。
Counting elliptic curves with a rational $N$-isogeny for small $N$
对于$N$，我们计算具有有界朴素高度的有理椭圆曲线的个数。对于某些$N$，这是通过推广Harron和Snowden的方法来完成的。对于其余情况，我们使用Ellenberg，Satriano和Zureick-Brown的框架，其中椭圆曲线的原始高度是模栈上对应点的高度。
Counting elliptic curves over the rationals with a 7-isogeny
本文按高度计数了有理数域上具有7次循环同源的椭圆曲线数量，分别考虑了有理数域及其代数闭包上的同构类。
Counting rational points on the Cayley ruled cubic
我们计数有理点的有界高度的凯莱规则的三次曲面和解释的背景下，由于Batyrev和Tschinkel的一般结构的结果。
Counting rational points on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties over global function fields
受Bourqui工作启发，本文研究了全局函数域上Picard秩为2的分裂环面簇的高度zeta函数，将其分解为子簇并给出精确解析性质，进而得到各子簇上大高度有理点计数的渐近公式。
Counting rational points on del Pezzo surfaces with a conic bundle structure
对任意数域k，给出了定义在k上的非奇异del Pezzo曲面上有界高的k-有理点个数的上界，这些曲面具有适当的锥丛结构.
Counting Multiplicities in a Hypersurface over a Number Field
在数域上的射影超曲面中，我们确定了代数点重数的计数函数，并对所有高度有界且次数固定的代数点求和。关于这个计数函数的和的上界将根据超曲面的次数、奇异轨迹的维数、高度的上界和定义域的次数给出。
Counting Polynomial-type Exceptional Units on Algebraic Varieties over Number Fields
本文研究了代数数域上代数簇上的多项式型例外单位的计数问题，通过中国剩余定理和Hensel提升技术，推导出在良好降解条件下精确计数公式，并利用Lang-Weil不等式建立渐进行为估计，特别是对二次度数以下的簇改进了误差项。
Counting Multisections in Conic Bundles over a Curve defined over F_q
对于定义在F_q上的曲线C上的锥丛X，我们计算了C在X中的d次且高度e>>1的不可约分支覆盖。作为一种特殊情况，我们得到了函数域F_q（C）上d次高e的代数数的个数。
Counting torsors for wild abelian groups
本文针对特征p>0的整体域F与有限阿贝尔p-群G，开展[DY25]所定义特定高度下F上G-torsor的计数问题研究。
Lower bound on height of algebraic numbers and low lying zeros of the Dedekind zeta-function
本文借助 Dedekind zeta 函数低位零点建立代数整数 Weil 高度下界，并在 GRH 条件下证明特定无限非 Galois 扩张中的 Lehmer 猜想。
Counting rational points on quadric surfaces
给出了由二次型$Q$定义的曲面上高度至多为$B$的有理点个数的上界。该界限显示出对$Q$的显式依赖性。它相对于$B$是最优的，并且对于典型形式$Q$也是最优的。
Totally real algebraic integers of arboreal height 2
在arXiv：1302.4423中，Salez证明了每一个全实代数整数都是某棵树的特征值。我们定义一个全实代数整数$λ$的“树高”为以$λ$为特征值的有根树的最小高度。本文证明了树高为$2$的全实代数整数的几个结果：证明了所有实二次整数都有树高$\le 2$。我们刻画了树高的全实三次整数$2$。最后，证明了每个全无理实数域（作为$\mathbb{Q}$上的环）都是由树高为$2$的$λ$生成的.
An upper bound for counting algebraic tori over $\mathbb{Q}$ by Artin conductor
该研究给出Q上n维代数环面同构类数的上界，其证明借助ChatGPT 5.6 Pro的迭代对话完成。
Distribution of real algebraic integers
本文研究了固定次数实代数整数的朴素高度趋于无穷大时的渐近分布.对于任意区间的$I \subset \mathbb{R}$和足够大的$Q>0$，我们得到了固定次数$n$和朴素高度$H(α)\le Q$的代数整数$α\in I$个数的一个渐近公式.特别是，我们表明，真正的代数整数的程度$n$，随着他们的高度增长，往往是分布像真正的代数数的程度$n-1$。然而，我们揭示了两个对称的“高原”，真正的代数整数的分布在统计上类似的合理整数。
Algebraic points of small height missing a union of varieties
令$K$为数域$\overline{\mathbb Q}$，或完美域上光滑投影曲线上的有理函数域，令$V$为$K^N$的子空间，$N \geq 2$。令$Z_K$是定义在$K$上的变种的联合，使得$V \nsubseteq Z_K$。我们证明了在$V \setminus Z_K$的小高度点的存在，提供了一个明确的上限，这样一个点的高度方面的高度$V$和程度的超曲面包含$Z_K$，其中依赖于两者都是最佳的。这推广和改进了作者以前的结果。作为我们的论点的一部分，我们提供了一个基本的扩展的西格尔的引理的J.雷霆的高度不等式的功能字段版本。作为该方法的一个推论，我们得到了固定数域上有界高的代数整数个数的一个显式下界。
Counting rational points on a Grassmannian
证明了有界扭曲高度的Grassmannian簇上的有理点个数的一个估计，改进了Schmidt（[12]）和Thunder（[20]）在有理域上的经典结果：最重要的是，我们的公式计算了所有的点.在这些结果中，有几个新的含义，对经典的计算旗品种上的有理点的问题。
Distribution of real algebraic integers
本文研究了固定次数实代数整数的朴素高度趋于无穷大时的渐近分布。设$I \subset \mathbb{R}$为任意有界区间，$Q$为充分大的数.得到了固定次数$n$和朴素高度$H(α)\le Q$位于$I$中的代数整数$α$的计数的一个渐近公式.在这个公式中，我们估计误差项的阶从上到下。我们证明了当高度的上界$Q$趋于无穷大时，次数$n$的代数整数的分布与次数$(n-1)$的代数数的分布类似.
Explicit height bounds for $K$-rational points on transverse curves in powers of elliptic curves
令$C$是横向嵌入椭圆曲线$E$的幂$E^N$中的代数曲线。本文给出了包含在$E^N$的所有真代数子群之并中的$C$上所有代数点的高度的一个很好的显式界。该方法给出了一个完全明确的版本的Manin-Dam'janenko定理在椭圆形的情况下，它是以前的结果证明时，$E$没有复乘的推广。
Counting Rational Points on Ruled Varieties
本文证明了一个计算被直线覆盖的射影簇$V$上有界高的有理点个数的一般结果。用于实现这一点的主要技术结果是一个上限的有理点的数量有界的高度线。该上界是这样的，即当线变化时，它可以容易地控制，并因此用于对覆盖原始品种$V$的线的计数函数求和。
Points of bounded height in images of morphisms of weighted projective stacks with applications to counting elliptic curves
研究有界高度点在加权投射堆映射中的渐进行为，并应用于计数具有指定水平结构的椭圆曲线，包括Γ(N)、Γ₁(N)和Γ₀(N)等情形。
Counting points in thin sets: A survey
综述薄集上有界高度点的计数进展，探讨统一性问题及开放性问题。
Counting algebraic points of bounded degree on curves
本文研究数域上光滑射影曲线中满足次数为ν、函数域与基域经gonality态射一致且高度不超过T的代数点数量的增长速率。
Counting rational points on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties over number fields
本文研究了数域上 Picard 秩为 2 的光滑射影分裂环面簇在 Arakelov 高度下的有理点渐近增长，证明其可分解为有限个不相交子簇并给出显式渐近公式，同时提供了包含 Hirzebruch 曲面的实例。
The Weil height in terms of an auxiliary polynomial
Dubickas和Mossinghoff最近的定理使用辅助多项式给出了代数数$α$在$α$的某些假设下的Weil高度的下界。本文证明了一个定理，它引入了一个辅助多项式来给出任何代数数的高度下界。作为推论，我们的定理包含了上述结果的一个轻微的推广，以及在其他特殊情况下的一些新的下界。
Counting real algebraic numbers with bounded derivative of minimal polynomial
本文考虑了定次数$n$和有界高度$Q$的代数数$α$的计数问题，使得$α$的极小多项式$P_α(x)$的导数$|P_α'(α)| < Q^{1-v}$有界.这个问题在丢番图逼近的度量理论问题上有许多应用。我们证明了在$\left(-\frac12, \frac12\right)$上定义的$α$的个数对于$Q>Q_0(n)$和$1.4 \le v \le \frac{7}{16}(n+1)$不超过$c_1(n)Q^{n+1-\frac{1}{7}v}$。我们的结果是基于对A的整数多项式的不可约因子逼近零阶引理的改进。Gelfond的专著“超越数和代数数“。该改进基于两个多项式的结式表示为移位多项式的Sylvester矩阵的行列式，对距离所有有界次数和高度的代数数足够远的实点上的除数的绝对值提供了更强的估计.保留字：丢番图逼近，豪斯多夫维数，超越数，结式，西尔维斯特矩阵，不可约因子，格尔方引理。
Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point
研究有理数域上特定条件的亏格2曲线，通过朴素高度排序计数，核心方法是基于曲线的首一魏尔斯特拉斯模型及雅可比行列式的有理3 - 挠点条件。
Comments on the height reducing property II
一个复数$α$被称为满足高度减少性质，如果存在一个有限集$F\subset \mathbb{Z}$使得$\mathbb{Z}[α]=F[α]$，其中$\mathbb{Z}$是有理数的环。很容易看出，当$α$满足高度减少性质时，它是一个代数数。证明了关系式$\operatorname{Card}(F)\geq \max\{2,\left\vert M_α(0)\right\vert \},$，其中$M_α$是有理数域上$α$的极小多项式，并讨论了几类代数数$α$的最优情形.此外，我们证明了有一个算法来确定一个给定的代数数的最小高度多项式，只要它没有共轭模1。
Lectures on height zeta functions: At the confluence of algebraic geometry, algebraic number theory, and analysis
这是2008年1月在三浦（神奈川，日本）举行的法日冬季学校之际撰写的关于高度zeta函数理论的综述。它并不需要代数几何方面的很多知识。最后一章的调查解释了最近取得的成果与尤里Tschinkel合作有关渐近量的高度球解析几何超过局部域，或在adelic空间。
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