Upper bounds on number fields of given degree and bounded discriminant
Robert J. Lemke Oliver, Frank Thorne
令$N_n(X)$表示具有由$X$界定的判别式的度$n$数域的数目。本文改进了$N_n(X)$的最佳上界，发现对于显式常数$c$，$N_n(X) = O(X^{ c (\log n)^2})$.
Let $N_n(X)$ denote the number of degree $n$ number fields with discriminant bounded by $X$. In this note, we improve the best known upper bounds on $N_n(X)$, finding that $N_n(X) = O(X^{ c (\log n)^2})$ for an explicit constant $c$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the number of integral quadratic polynomials with bounded heights and discriminants
本文给出了当高度的上界趋于无穷大时，具有有界高度的整二次多项式及其判别式的渐近数。
The asymptotic number of integral cubic polynomials with bounded heights and discriminants
本文部分地解决了三次整多项式判别式的分布问题。证明了具有有界高度和有界判别式的整三次多项式个数的渐近公式。所得到的公式的主项是最好的可能的多项式判别值的考虑范围。
Counting multi-quadratic number fields of bounded discriminant
证明了具有省电误差项的有界判别式的多二次数域个数的一个渐近公式。此外，我们明确地计算了首项系数，并将我们的结果推广到全实多重二次数域。
Enumeration of totally real number fields of bounded root discriminant
我们枚举了所有根判别式delta_F <= 14的全实数域F。有1229个这样的域，每个域的度[F：QQ] <= 9。
An improvement on Schmidt's bound on the number of number fields of bounded discriminant and small degree
我们证明了一个改进的Schmidt上界的次数$n$和绝对判别小于X $6 \leq n \leq 94$的数域的数目。我们进行这一改进和应用统一的界限上的monic整数多项式的数量，有界的高度和判别整除一个大的平方，我们证明了在以前的工作。
Solvable Number Field Extensions of Bounded Root Discriminant
令$K$为数字字段，$d_K$为$K/\mathbb{Q}$的离散量的绝对值。我们考虑扩展$L/K$的根判别式$d_L^{\frac{1}{[L:\mathbb{Q}]}}$。证明了对任意$N>0$和任意正整数n，根判别式小于$N$的$K$的长度为n的可解扩张集是有限的.这一结果是由对类场塔的研究所激发的。
The number of extensions of a number field with fixed degree and bounded discriminant
我们给出了一个上界的数量扩张的固定数域的规定程度和判别小于X，这些边界改善施密特的工作。我们还证明了各种相关的结果，如下界的扩展和上界的伽罗瓦扩展的数量。
On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems
对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。
Cubic Thue inequalities with positive discriminant
我们将给出三次不等式解的个数的一个明确的上界|F（x，y）|\leq h，其中F（x，y）是具有整数系数和正判别式D的三次二进制形式。只要h小于D^{1/4}，我们的上界与h无关。
Counting $G$-Extensions by Discriminant
用有界（相对）判别式分析域扩张$L/K$的个数的问题近年来又重新引起人们的兴趣，Schmidt、Ellenberg-Venkatesh、Bhargava、Bhargava-Shankar-Wang等人取得了重大进展。在本文中，我们使用几何数的几何和不变的理论有限群，在类似于Ellenberg和Venkatesh的方式，给一个上界的数量扩张$L/K$与固定度，有界的相对判别式，并指定伽罗瓦闭包。
Quaternary quadratic forms with prime discriminant
设$Q$是一个具有素判别式的正定四元二次型型.给出了正整数$n$的$Q$表示数的一个显式下界.这个问题与导出$Q$的θ级数的尖点部分的Petersson范数$\langle C, C \rangle$的上界有关。我们推导出一个上界$\langle C, C \rangle$依赖于最小的正整数不表示的对偶形式$Q^{*}$。另外，我们给出了除$Q$之外的整数$n$和的一个非平凡上界.
Discriminants of Fields Generated by Polynomials of Given Height
我们得到了一元不可约多项式的数量上界的$\mathbb Z$上的固定程度$n$和增长的高度$H$，它的根之一所产生的字段有一个给定的判别式。我们通过两种互补方法计算多项式判别式的无平方部分来接近它。进而，这导致由次数为$n$且高度至多为$H$的多项式的根生成的域的不同判别式的数目的下界。我们还给出了判别式中给定无平方部分的有界高三项式个数的一个上界，改进了I. E. Shparlinski（2010）.
A counter example to Malle's conjecture on the asymptotics of discriminants
本文给出了Malle猜想的一个反例，该猜想预言了在给定伽罗瓦群和有界判别式的条件下，域扩张的计数函数的渐近行为.
On the number of equivalence classes of binary forms of given degree and given discriminant
本文给出了具有给定次数、给定判别式和给定分裂域的有理整系数的二元形式的等价类个数的一个明确的上界。进一步，我们给出了一个明确的上界的数目的不可约二元形式的有理整系数，给定不变的顺序。我们的边界取决于尽可能少的参数。例如，我们证明了具有给定不变阶的r次有理整系数的不可约二元形式的等价类的个数有一个仅依赖于r的上界。我们证明了数域上S-整数环上系数的二元形式的更一般的结果。
Diagonalizable Quartic Thue Equations with Negative Discriminant
应用Thue-Siegel方法导出了Thue方程$F(x,y) = 1$解的个数的上界，其中$F$是具有负判别式的四次可对角化形式.在这个参数中使用计算来处理判别式的绝对值很小的形式。然后，我们将我们的结果，以界定的整数点的数量在某一家庭的椭圆曲线。
The number of $S_4$ fields with given discriminant
证明了对所有$\eps>0$，给定判别式$d$的有理数的四次扩张$S_4$的个数为$O_\eps(d^{1/2+\eps})$.对于素数$p$，我们导出了权为1的八面体模形式空间的维数和导体$p$或$p^2$的维数由$O(p^{1/2}\log(p)^2)$上界.
The density of discriminants of quintic rings and fields
我们确定，渐近，五次域的数量有界判别式。具体地说，我们证明了具有绝对判别式至多X的五次域的渐近数是一个常数乘以X。与四次域的情形相比，我们还证明了当密度为100%的五次域按绝对判别式排序时，具有全伽罗瓦群$S_5$的伽罗瓦闭包。这些结果的类似物也证明了五次域的订单。最后，我们给出了解释的各种常数出现在这些定理的局部质量的五次环和领域。
Probabilistic Galois Theory -- The Square Discriminant Case
本文在大盒模型下研究随机多项式伽罗瓦群为 $A_n$ 的概率，提出比 Bhargava 的 $O(L^{-1})$ 更强的猜想上界 $L^{-n/2+\epsilon}$，并证明了该概率及判别式为平方数的相关概率的强下界。
On the number of binary quadratic forms having discriminant $1-4p$, $p$ prime
本文研究了具有判别式1-4p的二元二次型数量，并提出了一种随机欧拉乘积模型来解释Hurwitz类数的分布。
On the number of products which form perfect powers and discriminants of multiquadratic extensions
本文研究了正整数$u_1, \ldots, u_n$的乘积的计数问题，这些正整数构成一个非零的完满平方，或者更一般地说，一个完全的$k$次幂。我们得到了这类有界整数个数的一个渐近公式，特别是改进和推广了D. I. Tolev（2011年）。我们还利用类似的思想计算了$\mathbb{Q}$的多重二次扩张数域的判别式，改进和推广了N.罗马（2017年）。
On small discriminants of number fields of degree 8 and 9
我们对所有具有特征码（4，2），（6，1），（1，4）和（3，3）的数域进行了分类，这些数域的判别式低于一个特定的上界.这完成了对8度场的最小判别式的搜索，并在9度的情况下继续搜索。我们回顾的理论工具和算法的步骤，我们的程序是基于，然后我们专注于新奇的，由于新的实现这一过程的计算机代数系统PARI/GP，最后，我们做一些评论的最终结果，其中存在的数字字段签名$(3,3)$和小判别式，这是以前不知道的。
Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders
利用Ekedhal筛法计数与判别式多项式密切相关的多项式的有界无平方因子值，并得到判别式有界数域数量的加权下界，其limsup远大于当前已知界。
On the Davenport-Heilbronn theorems and second order terms
本文给出了Davenport-Heilbronn定理的简单证明，该定理为具有有界判别式的三次域的个数和具有有界判别式的二次域的类群中的3-扭元的个数的渐近性提供了主要条件。我们还建立了这些定理的第二主项，从而证明了Roberts的一个猜想。我们的论点提供了自然的解释，在这些定理中出现的各种常数的局部质量的立方环。
Minimal Mahler Measure in Cubic Number Fields
数域$K$的极小积分Mahler测度，$M(\mathcal{O}_K)$，是$\mathcal{O}_K$的非挠本原元的极小Mahler测度。取决于判别式的上界和下界是已知的。我们表明，对于三次，下界是尖锐的，其增长作为一个函数的判别。我们构造了一个算法来计算$M(\mathcal{O}_K)$的判别式的绝对值由$N$界定的所有三次。
Power-saving error terms for the number of $D_4$-quartic extensions over a number field ordered by discriminant
研究了定数域上相对判别式范数有界的二面体四次扩张的渐近计数问题。这个计数的主项（包括常数的求和公式）可以在文献中找到（参见Cohen--Diaz y Diaz--Olivier的声明，没有证明，参见Klüners的证明），但是除了基场是$\mathbb{Q}$的情况外，还没有明确确定误差项的节能。在这篇文章中，我们描述的参数获得显式的主项和节能的错误项的数量$D_4$-四次扩展在一个一般的底数字段排序的范数，其相对的判别式。我们也给出了一个广泛的概述的历史和发展的数域渐近。
On quadratic irrationals with bounded partial quotients
证明了对于某些显式常数$c>0, A>0$，若要求$\mathbb Q(\sqrt D)$包含一个无理数，且部分有理元以$A$为界，则正的非方判别式$D<x$的基本解为$\varepsilon_D< x^{\frac 12+α}, 0<α<c$的个数渐近性保持不变.
Averages and higher moments for the $\ell$-torsion in class groups
我们证明了上界的平均大小的$\ell$ -扭转$\text{Cl}_K[\ell]$的类组的$K$，$K$贯穿某些自然家庭的数域和$\ell$是一个正整数。我们完善了一个关键的参数，在几乎所有的结果中使用这种类型的，其中链接上界$\text{Cl}_K[\ell]$的存在，许多素数分裂完全在$K$是小的判别式相比，$K$。我们的改进是通过引入一个新的家庭的专门的不变量的数域，以取代在这一论点的判别式，结合新的计数结果，这些不变量。对于文献中考虑的许多数域$K$族，例如，对于$d\in\{2,3,4,5\}$的所有度- $d$ -域族（以及如果是$d=4$，则为非$D_4$），这导致$\text{Cl}_K[\ell]$的平均和有时甚至更高的矩的上界显著改进。作为$d=2$情形的应用，我们得到了素数$p>3$的有界判别式的$D_p$ -域个数的最佳上界.
On the sparsity of non-diagonalisable integer matrices and matrices with a given discriminant
研究整数矩阵集合中特征多项式具有固定判别式d的矩阵数量，对d=0的情况改进了之前的结果，对d≠0的情况提供了上界估计。
On the Ekedahl sieve for the singular locus of the discriminant polynomial
针对判别式多项式奇异点，提出一种改进的Ekedahl筛法变体，通过利用判别式非退化性质简化筛法步骤，获得更优的误差项和模量范围。
An explicit upper bound for Siegel zeros of imaginary quadratic fields
对于任意整数$d\geq 3$，使得$-d$是基本判别式，我们证明了与实本原特征标$χ(\cdot)=(\frac{-d}{\cdot})$相关的Dirichlet $L$ -函数在区间$[1-6.5/\sqrt{d},\ 1]. $的正部分上不为零
Primes represented by positive definite binary quadratic forms
设$f$是判别式$-D$的本原定积分二元二次型，$π_f(x)$是由$f$表示的直到$x$的素数的个数.我们证明了几种类型的上界$π_f(x)$在一个常数因子的渐近大小：无条件的，有条件的广义黎曼假设（GRH），几乎所有的判别式。这些估计值的关键特征是，只要$x$超过$D$的一个小幂，它们就成立，并且在某些情况下，$x$的这个范围基本上是最佳的。特别地，如果减小$f$，则对于几乎所有判别式或通过假设GRH，都实现了$x$的该最佳范围。我们还展示了一个上限的数量由$f$表示的素数在一个短的时间间隔和下限的数量由$f$表示的小整数，其中有几个素因子。
Enumerating number fields
我们构造了数域的小模型，并推导出了给定度和有界判别式的数域个数的一个较好界。
Upper bounds on class numbers of real quadratic fields
该研究针对实二次域类数上界问题，改进Yamamoto1971年的结果，建立m元判别式组的类似估计，推广Yamamoto基本单位下界准则并修正Halter-Koch的工作。
Squarefree values of polynomial discriminants II
本文确定具有无平方因子判别式及截出极大序的整系数二元型密度，证明算术 Bertini 猜想，并改进 $S_n$ 数域计数下界、修复 Nakagawa 的相关结果。
p-adic root separation and the discriminant of integer polynomials
研究固定次数和有界高度的整数多项式的p-adic根分离问题，以及判别式被素数幂整除的计数问题，证明了存在大量具有几乎素数幂判别式的不可约多项式。
The growth of the discriminant of the endomorphism ring of the reduction of a rank 2 generic Drinfeld module
设$ψ: A \to F\{τ\}$是$F$上秩为2且无复数乘法的Drinfeld $A$ -模，其中$A = {\mathbb{F}}_q[T]$，$F = {\mathbb{F}}_q(T)$和$q$是奇素数幂.对于$A$的一个素数$\mathfrak{p} = p A$，若$ψ$具有良好的约化，且其剩余域为${\mathbb{F}}_{\mathfrak{p}}$，我们研究了$ψ$模$\mathfrak{p}$约化的${\mathbb{F}}_{\mathfrak{p}}$ -自同态环的判别式的绝对值$|Δ_{\mathfrak{p}}|$的增长性.我们证明了对于所有的$\mathfrak{p}$，$|Δ_{\mathfrak{p}}|$随着$|p|$增长。此外，我们还证明了对于素数$\mathfrak{p}$的密度为1，$|Δ_{\mathfrak{p}}|$尽可能接近其上界$|a_{\mathfrak{p}}^2 - 4 μ_{\mathfrak{p}}p|$，其中$X^2+a_{\mathfrak{p}}X+μ_{\mathfrak{p}} p \in A[X]$是$τ^{\text{deg} \ p}$的特征多项式.
Counting problems: class groups, primes, and number fields
每个数域都有一个相关联的有限阿贝尔群，即类群，它记录了该数域的整数环内的某些算术性质。这个班级群被研究得很好，但仍然很神秘。Brumer和Silverman的一个中心猜想指出，对于每个素数$\ell$，每个数域都有一个性质，即它的类群有非常少的$\ell$阶元素，其中“非常少”是相对于域的绝对判别式来测量的。本文综述了这一猜想的最新进展，并概述了它与计数素数、计数固定判别数域和计数有界判别数域的密切联系。
Integral polynomials with small discriminants and resultants
设$n\in\mathbb{N}$是固定的，$Q>1$是实参数，并且$\mathcal{P}_n(Q)$表示次数为$n$且高度至多为$Q$的$\mathbb{Z}$上的多项式的集合。在本文中，我们研究了以下关于具有小判别$D(P)$的多项式和具有小结果$R(P_1,P_2)$的多项式对的计数问题：（i）给定$0\le v\le n-1$和足够大的$Q$，估计多项式$P\in\mathcal{P}_n(Q)$的数目，使得$$0<|D(P)|\le Q^{2n-2-2v};$$（ii）给定$0\le w\le n$和足够大的$Q$，估计多项式$P_1,P_2\in\mathcal{P}_n(Q)$的对数，使得$$0<|R(P_1,P_2)|\le Q^{2n-2w}.$$我们的主要结果提供了上述问题的范围内的下界。我们相信，这些界限是最好的，因为它们对应于自然产生的线性优化问题的解决方案。利用R.C.Vaughan和S.Velani关于平面曲线附近有理点数的一个计数结果，我们还得到了关于二次多项式判别式的互补最优上界。
Escape and Non-Escape of Mass for Monogenic Binary Cubic Forms
本文研究单基因整二元三次形式在基本域中的分布，证明当单基因子为特定值时质量集中于尖点，排除后无逃逸但非等分布。
On Splitting Types, Discriminant Bounds, and Conclusive Tests for the Galois Group
利用数域正规扩张的伽罗瓦群的作用，我们推广和对称了代数和代数数论中关于素理想的分裂类型、多项式模素数的因子分解类型和多项式的伽罗瓦群的循环类型的各种基本陈述.一个显著的例子是从库默-戴德金定理中删除了所有人为的约束，该定理涉及分裂和因子分解模式。最后，给出了一个初等证明，证明了整系数一元不可约多项式的分裂域的判别式有一个可计算的系数上界.这一结果与Lagarias等人的结果相结合，表明，测试多项式的周期类型的伽罗瓦群是决定性的。特别是，整系数的一元不可约三次群、四次群和五次群的伽罗瓦群可以在许多步骤中完全确定（尽管不一定在一生中）。
Counting extensions of number fields with Frobenius Galois group
设$G$是具有交换Frobenius核$F$的Frobenius群，$k$是$\mathbb{Q}$的有限扩张.我们得到了具有伽罗瓦群$G$的$|F|$代数扩张$K/k$的次数的一个上界，其判别式$\mathcal{N}_{k/\mathbb{Q}}(d_{K/k})$的范数由$X$上界.我们将此方法推广到任何具有阿贝尔正规子群的群$G$。若$G$有一个阿贝尔正规子群，则我们得到了判别式范数有界的伽罗瓦群$G$的$|G|$扩张次数的上界.马勒提出了一个猜想，这个数量的数量级应该是什么程度的扩展$d$和基础伽罗瓦群$G$变化。我们表明，根据$\ell$ -扭转猜想，上界，我们实现了某些对$d$和$G$同意与预测的Malle。无条件地证明了伽罗瓦群$A_4$的6次扩张数的上界也满足Malle的弱猜想.
The Distribution of Number Fields with Wreath Products as Galois Groups
令$G$是形式为$C_2 \wr H$的圈积，其中$C_2$是2阶循环群。在较弱的条件下，我们确定了数域$H$的计数函数的渐近性态，该数域具有Galois群$G$和有界判别式.这些计数函数与判别式的范数线性增长，这一结果与Malle的一个猜想相吻合。直到一个常数因子，这些群有相同的渐近行为作为对称群的限制。
Counting extensions of imaginary quadratic fields
目的是得到一类具有奇类数的二次数域的有界判别式的二次扩张个数的渐近公式。这推广了Q的一个已知结果。
Norm-Euclidean Galois fields
设K是素度Galois数域$\ell$ .海尔布隆表明，对于一个给定的$\ell$只有1000多个这样的领域是正常的欧几里德。在$\ell=2$的情况下，所有这样的范欧几里德域都已被确定，但对于$\ell\neq 2$，几乎没有其他的信息。当$\ell>2$ .我们的方法导致一个简单的算法，它允许一个候选人产生一个列表的范数欧几里德字段到一个给定的判别式，我们提供了一些计算结果。
Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves with rational Weierstrass points
设$C$是离散赋值环$R$的分式域$K$上亏格为$g$的超椭圆曲线.假设$R$的剩余字段$k$是完美的，并且$\mathop{\textrm{char}} k \neq 2$ .假设$C$的Weierstrass点是$K$ -有理数。让$S = \mathop{\textrm{Spec}} R$。设$\mathcal{X}$是$S$上的$C$的最小真正则模型.令$\mathop{\textrm{Art}} (\mathcal{X}/S)$表示$S$ -方案$\mathcal{X}$的Artin导体，令$ν(Δ)$表示$C$的最小判别式。我们证明了$-\mathop{\textrm{Art}} (\mathcal{X}/S) \leq ν(Δ)$ .作为推论，我们得到了$\mathcal{X}$的特殊纤维的分支数上界于$ν(Δ)+1$ .
The Hasse Norm Principle For Biquadratic Extensions
我们给出了有界判别式的有理数的双二次扩张不满足Hasse范数原理的个数的渐近公式。
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
The Hasse norm principle for abelian extensions
该研究聚焦数域上判别式有界且不满足哈塞范数原理的阿贝尔扩张分布，分类了对应正比例失效的有限阿贝尔群，还得到范数一环面弱逼近失效的类似分类，借助调和分析工具完成带无穷多局部条件的阿贝尔扩张计数。
Representation of Small Integers by Binary Forms
建立了Thue不等式$|F(x , y)| \leq m$的整数解个数的上界，其中$F$是二进制形式的次数$n \geq 3$和非零判别式$D$，$m$是一个整数.当$m$小于$|D|^{\frac{1}{4(n-1)}}$时，我们的上界与$m$无关。我们还考虑了Thue方程$|F(x , y)| = m$，并给出了其积分解个数的一些上界.在方程的情况下，我们的上界将与整数$m$无关，当$ m < |D|^{\frac{1}{2(n-1)}}$。
The mean number of 3-torsion elements in ray class groups of quadratic fields
我们确定了按绝对判别式排序的二次域的固定（积分）导体$3$的束类群中$3$ -扭元的平均数，推广了达文波特和海尔布隆关于类群的定理。这个结果的一个结果是，一个积极的比例，这样的束类群的二次域有平凡的3-扭转子群，只要导体$c$被视为是一个平方的整数，有很少的素因子，其中没有一个是全等的$1 \bmod 3$。此外，我们还计算了二次域上具有有界判别式的固定导体的束类群中$3$ -扭元个数的第二主项。
Extreme values of class numbers of real quadratic fields
改进了H. L. Montgomery和J.P.Weinberger通过建立无穷多个基本判别式$d>0$的存在性，使得实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的类数超过$(2e^γ+o(1)) \sqrt{d}(\log\log d)/\log d$ .我们相信这是最好的办法。我们还获得了几乎相同数量级的上限和下限，判别式$d\leq x$的实二次域的数量有这样一个极端的类数。
Upper tail distributions of central $L$-values of quadratic twists of elliptic curves at the variance scale
本文研究判别式有界的椭圆曲线二次扭族的$L$-函数中心值在方差量级的大偏差，通过调整黎曼ζ函数大偏差技术得到密度上界，改进了已有结果。
Enumerating Galois extensions of number fields
本文研究数域伽罗瓦扩张的计数问题，通过给出具有给定伽罗瓦群且判别式有界的扩张数量的新上界，得到了判别式不超过X的伽罗瓦扩张数量的渐近公式，改进了Ellenberg和Venkatesh的已有结果。
Upper bound on the number of extensions of a given number field
本文改进了数域$K$的绝对判别式以$X$为界的次数$n$扩张的数$N_{K, n}(X)$的上界.这是通过给出$K$的扩展$L$的阶的短$\mathcal{O}_K$ -基来实现的。我们的结果将Lemke Oliver和Thorne关于$N_{\mathbb{Q}, n}(X)$的最著名的上界推广到所有数域$K$ .精确地说，我们证明了对于一个显式常数$c$，$N_{K, n}(X) \ll_{K, n} X^{c (\log n)^2}$独立于$K$和$n$。我们还改进了某些连通半单李群中极大算术子群个数的上界。
Bounds on entries in Bianchi group generators
在双曲空间的上半空间模型中，给出了$PSL_2(O)$的Bianchi基本多面体面间最大欧氏曲率的上、下界，其中$O$是具有判别式$Δ$的虚二次整数环.我们证明了这些界限是渐近的$(\log |Δ|)^{8.54}$内的另一个。这改进了先前的最佳上限，其大致偏离$Δ^2$和$|Δ|^{5/2}$之间的因子，这取决于最小素数划分$Δ$。我们的上限和下界之间的差距是由Jacobsthal的功能，这里介绍了虚二次域的模拟。
Unramified Iwasawa module of $\mathbb{Z}_2$-extension of certain quadratic fields with a bounded quotient
针对判别式含三个奇素因子且 2 分裂的实二次域，本文证明其 $\mathbb{Z}_2$-扩张的非分歧 Iwasawa 模具有有界商，从而验证 Greenberg 猜想并细化模结构。
Counting elliptic curves of bounded Faltings height
给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。
Discriminant and root separation of integral polynomials
考虑一个随机多项式$$ G_Q(x)=ξ_{Q,n}x^n+ξ_{Q,n-1}x^{n-1}+...+ξ_{Q,0} $$，其独立系数均匀分布在$2Q+1$整数点$\{-Q, ..., Q\}$上。用$D(G_Q)$表示$G_Q$的判别式。我们发现，存在一个常数$C_n$，仅依赖于$n$，使得对于所有的$Q\ge 2$的$D(G_Q)$的分布可以近似如下$$ \sup_{-\infty\leq a\leq b\leq\infty}|\mathbb{P}(a\leq \frac{D(G_Q)}{Q^{2n-2}}\leq b)-\int_a^bφ_n(x)\, dx|\leq\frac{C_n}{\log Q}, $$其中$φ_n$表示随机多项式的判别式的分布函数的程度$n$与独立的系数是均匀分布在$[-1,1]$。令$Δ(G_Q)$表示$G_Q$的复数根之间的最小距离。作为一个应用，我们证明了对于任何$\varepsilon>0$，存在一个常数$δ_n>0$，使得对于所有足够大的$Q$，$Δ(G_Q)$是从下/上随机有界的，其意义如下：$$ \mathbb{P}(δ_n<Δ(G_Q)<\frac1{δ_n})>1-\varepsilon . $$
Sparse Distribution of Coefficients of $\ell$-fold Product $L$-functions at Integers Represented by Quadratic Forms
本文研究了ℓ折乘L函数在由二次型表示的整数上的稀疏分布系数，建立了系数累加函数的上界，并探讨了首次符号变化的界。
Large moments and extreme values of class numbers of indefinite binary quadratic forms
设$h(d)$为判别式$d$的不定二元二次型的类数，$\varepsilon_d$为相应的基本单位.本文得到了$h(d)$在正判别式$d$上的$k$阶矩的渐近公式，对$0<k\leq (\log x)^{1-o(1)}$范围内的实数$k$是一致的.这改进了Raulf的工作，他得到了一个固定正整数$k$的渐近解。我们还研究了$h(d)$的大值的分布时，$d$的根据其基本单位$\varepsilon_d$的大小排序。特别是，我们表明，这种分布的尾部具有相同的形状，类数的虚二次域的大小排序的判别式。作为这些结果的一个应用，我们证明了有许多正判别式$d$与类数$h(d)\geq (e^γ/3+o(1))\cdot\varepsilon_d (\log\log \varepsilon_d)/\log \varepsilon_d$，一个界限，我们认为是最好的可能。我们还得到了一个上限为$h(d)$是两倍大，假设广义黎曼假设。
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