Enumeration of totally real number fields of bounded root discriminant
John Voight
我们枚举了所有根判别式delta_F <= 14的全实数域F。有1229个这样的域，每个域的度[F：QQ] <= 9。
We enumerate all totally real number fields F with root discriminant delta_F <= 14. There are 1229 such fields, each with degree [F:QQ] <= 9.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the distribution of polynomial discriminants: totally real case
本文研究了多项式$P$的判别式$D(P)$在所有次数为$n$且高度至多为$Q$的整数多项式类$\mathcal{P}_{n}(Q)$中的分布.本文给出了满足不等式$|D(P)|\le X$的所有根均为实数的多项式$P\in \mathcal{P}_{n}(Q)$的渐近数为$Q\to\infty$和$X/Q^{2n-2}\to 0$。
Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem
确定全实域的大判别式的类数是一个困难的问题。闵可夫斯基界太大而没有用处，而域的根判别式可能太大而不能用奥德利兹科判别界来处理。我们描述了一种新的技术，用于确定这些字段的类数，使我们能够攻击的类数问题的一大类的号码字段不能治疗以前已知的方法。我们给出了Weber的类数问题的一个应用，这个问题是关于所有2导体幂的实分圆域都有类数1的猜想。
Gauss periods are minimal polynomials for totally real cyclic fields of prime degree
我们报告了大量的计算证据表明，高斯周期方程是最小的判别多项式的本原元表示阿贝尔（循环）多项式的素数度$p$。通过计算多达$p=97$的200个周期方程，我们显著地扩展了Klüners和Malle的简明数域数据库中的表。直到$p=7$，周期方程重现已知的结果证明有最小的判别式。对于$11\leq p\leq 23$，周期方程与数据库中53个已知但未经证明的最小判别式相吻合，并填补了19个缺失案例的空白。对于$29\leq p\leq 97$，我们报告了128个以前未知的情形，其中16个证明是伽罗瓦群$pT1$的最小判别多项式.周期方程的显著优点是，它们都可以用一种适用于任意度场的程序解析地得到，而这种程序很难用系统的数值搜索来检测。
Counting multi-quadratic number fields of bounded discriminant
证明了具有省电误差项的有界判别式的多二次数域个数的一个渐近公式。此外，我们明确地计算了首项系数，并将我们的结果推广到全实多重二次数域。
A space of weight one modular forms attached to totally real cubic number fields
设$d$是正的基本判别式，$\mathcal{C}_{d}$是判别式$d$的立方数域的同构类的集合.对于每个$K \in \mathcal{C}_{d}$，我们构造了一个权重为1的模块形式$f_{K}$与水平$3^{\pm 1}d$和nephropus $\left( \frac{-3^{\pm 1}d}{\cdot} \right)$。我们表明，形式$f_{K}$完全确定字段$K$。证明了$\{f_{K} : K \in \mathcal{C}_{d}\}$是一个线性无关集.
Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders
利用Ekedhal筛法计数与判别式多项式密切相关的多项式的有界无平方因子值，并得到判别式有界数域数量的加权下界，其limsup远大于当前已知界。
Potential energy of totally positive algebraic integers
对于正实数，证明了两个涉及势能与幂和的不等式。我们还证明了一个包含能量和判别式的不等式，并应用它导出了关于全正不可约多项式的一个结果。
Counting wildly ramified quartic extensions with prescribed discriminant and Galois closure group
本文针对2进数域上具有指定判别式赋值与Galois闭包群的完全分歧四次扩张建立计数公式，并据此改进Serre质量公式，为数域算术统计提供工具。
On Mahler's inequality and small integral generators of totally complex number fields
本文针对复首一多项式改进马勒测度下界，将判别式指数从 1/(2d-2) 提升至 1/(2d-3) 并证明其精确性，进而推广 Ruppert 的观察，改进全复代数数域整生成元的下界。
Composition of Binary Quadratic Forms over Number Fields
本文把二次数域理想类群与二元二次型等价类的经典对应推广至窄类数为一的任意数域，显式刻画该对应，并给出全负判别式下全正定型的等价条件。
On the conical zeta values and the Dedekind zeta values for totally real fields
锥zeta值是由凸锥上的某些多重和定义的多重zeta值的推广。本文给出了全实域的戴德金ζ函数的值与某些代数锥的锥ζ值之间的关系。更准确地说，我们表明，部分zeta函数的值为全实字段可以表示为一个合理的线性组合的锥形zeta值与某些代数锥的平方根的判别式。
Numerical Invariants of Totally Imaginary Quadratic $\mathbb{Z}[\sqrt{p}]$-orders
令$A$是判别式$p$或$4p$的实二次阶，其中$p$是素数。本文分类了所有真全虚二次$A$ -阶$B$，其指数为$w(B)=[B^\times: A^\times]>1$ .我们还计算了这些阶的数值不变量，包括类数，指数$w(B)$和这些阶的局部最优嵌入到四元数阶的数目。这些数值不变量对于计算全定四元数代数的类数是有用的。
Classifying multiplets of totally real cubic fields
具有一个共同判别式d（L）= d的非同构三次域L的个数称为d的重数m = m（d）。对于d的指定值，这些字段被收集在多重峰M（d）=（L（1），.，L（m））。本文通过计算中的微分主因子分解类型τ（L），推广了所有正判别式d（L）< 10000000的全实立方数域L的表中的信息。- 非循环域的每个多重态M（d）的成员L的（α 1，α 2，α 3，β 1，β 2，γ，δ 1，δ 2，γ），一类新的算术不变量，它提供了非Galois三次域L的正规闭包N中的模糊主理想和投降的简洁信息.这种分类是根据S ~ 3-域N的二次子域K的3类秩的递增和N/K的导体f的素除子的递增数目来安排的。改进并验证了关于导子f > 1的分歧扩张N/K的子域单位区分指数（U（N）：U（0））= 1的Scholz猜想.
On number fields with equivalent integral trace forms
设$K$为数字字段。\textit{integral trace form}是$\text{tr}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)|_{O_{K}}.$给出的整二次型。本文研究了具有等价积分迹形式的非共轭数域的存在性。作为本文主要结果之一的推论，我们证明了任何两个具有相同签名和相同素判别式的非全实数域具有等价的积分迹形式。另外，基于作者以前的结果和本文给出的证据，我们猜想：任意两个基本判别式的全实四次域具有等价的迹零形式当且仅当它们是共轭的.
On counting totally imaginary number fields
该研究定义了CM型与TR型全虚数域，得出四次全虚数域中两类的占比，还依据伽罗瓦群及复共轭位置完成了六次全虚数域的类型分类。
On Hilbert modular threefolds of discriminant 49
设K是判别式49的全实三次域，O是它的整数环，p是7上的素数。设Gamma（p）\subset Gamma = SL_2（O）是水平p的主同余子群，本文研究了Gamma（p）上的Hilbert模三重子群及其相关簇的几何.特别地，我们发现了P^3中的一个八度图，它具有84个A_2型孤立奇点。
On ideal class groups of totally degenerate number rings
本文研究了完全退化数环的理想类群和单oid，推导了其阶数公式并分析了渐进行为，特别探讨了次数为2或3时的结构特性。
On the Arithmetic determination of the trace
设$K$是一个驯服的非全实数域.本文给出了一个仅依赖于$K$中分歧素数的分歧行为来判定$K$的积分迹与另一数域$L$的积分迹是否等距的数值判据。作为副产品，我们的证明在这里，并与我们以前的结果相比，立方领域的正判别式，我们表明，立方领域的负判别式isometry之间的积分迹是等价于平等的判别式。
Kitaoka's Conjecture and sums of squares
本文建立了全实域上三元经典万有二次型存在性与2的所有全正倍数为平方和之间的联系，并证明了Kitaoka猜想对奇判别域成立。
Calculating relative power integral bases in totally complex quartic extensions of totally real fields
前一段时间，我们将幂整基生成元的单调性研究和计算推广到相对情形。到目前为止，我们考虑（通常是全实）复四次域的扩张。本文考虑全实域的相对扩张中的幂整基。全实数域的全复四次扩张似乎是最简单的情况，我们在这里详细介绍。正如我们将看到的，即使在这种情况下，我们也必须克服几个意想不到的困难，然而，我们可以通过适当地（但不是微不足道地）调整标准方法来解决这些困难。我们证明了我们的一般算法上一个明确的例子。我们描述了如何在这种情况下，四次相对扩张的相对指数形式方程的一般方法进行修改。作为一个副产品，我们表明，相对图厄方程在全复扩张的全实领域只能有小的解决方案，我们构建了一个特殊的方法，特殊的单位方程的小的解决方案的计数。这些陈述可以适用于其他丢番图问题，以及。
An Upper Bound on the Number of Classes of Perfect Unary Forms in Totally Real Number Fields
设$K$是$\mathbb{Q}$上的度为$n$的全实数域，分别具有判别式和调节式$Δ_K, R_K$.在本文中，使用类似的方法，范Woerden，我们证明了类的完美一元形式的数量，直到等价和缩放，可以有界以上的$O( Δ_K \exp(2n \log(n)+f(n,R_K)))$，其中$f(n,R_K)$是一个有限的值，满足$f(n,R_K)=\frac{\sqrt{n-1}}{2}R_K^{\frac{1}{n-1}}+\frac{4}{n-1}\log(\sqrt{|Δ_K|})^2$，如果$n \leq 11$。此外，如果$K$是一个单位可约域，则完全一元形式的类数由$O( Δ_K \exp(2n \log(n)))$上界。
A lower bound for the rank of a universal quadratic form with integer coefficients in a totally real number field
我们证明了，如果$K$是一个单演的，原始的，全实数域，其中包含每个签名的单位，那么存在一个下界的秩定义在$K$的整数泛二次型。特别是，我们扩展了Blomer和Kala的工作，证明了存在无穷多个完全实立方数域，它们没有一个给定秩的通用二次型。对于单位范数为负的实二次数域，证明了泛二次型的最小秩随数域判别式的增长而趋于无穷大。这些结果来自于对交错多项式的研究。具体来说，我们表明，只有1000多个不可约的首一多项式有关的原始数字段的一个给定的程度，有界数量的交错多项式。
Squarefree values of polynomial discriminants II
本文确定具有无平方因子判别式及截出极大序的整系数二元型密度，证明算术 Bertini 猜想，并改进 $S_n$ 数域计数下界、修复 Nakagawa 的相关结果。
Integral trace forms associated to cubic extensions
给定一个非零整数$d$，由Hermite定理可知，判别式$d$的立方数域只存在1/2个.然而，可能发生的是，两个非同构的立方域具有相同的判别式。因此很自然地要问，是否存在判别式的自然精化，它完全决定了立方域的同构类。这里我们考虑迹形式$q_K:\text{tr}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)|_{O^{0}_{K}}$作为这样的细化。对于基本判别式$d$的三次域，我们证明了Bhargava类群$\Cl(\mathbb{Z}^{2}\otimes\mathbb{Z}^{2}\otimes\mathbb{Z}^{2}; -3d)$中元素$T_K$的存在性，使得$q_K$完全由$T_K$决定.利用Bhargava的一个复合律，证明了当$K$是全实的且具有基本判别式时，$q_K$是完全不变量
A proof of a conjecture on trace-zero forms and shapes of number fields
在2012年，第一位署名的作者证明了基本判别式的全实四次域是由积分迹零形式的等距类决定的;这样的猜想是基于计算证据和立方域的类比陈述，这是使用Bhargava的立方上的高等合成定律证明的。在这里，使用Bhargava的参数化的四次字段，我们证明了猜想推广的想法中使用的立方的情况下。由于目前，对于任意的度，没有什么像Bhargava的参数化，我们不能以类似的方式处理度$n > 5$。然而，使用我们以前的一些工作的迹形式，我们推广这一结果更高的程度，我们表明，如果$n \ge 3$是一个整数，使$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$是一个循环群，然后形状是一个完整的不变量的完全实度$n$数域的基本判别式。
Statistics of genus numbers of cubic fields
证明了判别式排序的三次域的近似$96.23\%$具有亏格数1，并计算了具有给定亏格数的三次域的精确比例。我们还计算了平均亏格数。最后，我们证明了亏格数为1的全实三次域的正比例不能是范数欧几里德域。
Constructing and counting number fields
本文综述了近年来关于给定Galois闭包的伽罗瓦群的数域的渐近计数和精确计数的方法。特别是，在理论和实践中，学位最高为4的领域的问题现在几乎完全解决了。同样的方法也允许建设相应的完整的数域表的判别式到一个给定的界限。
Cutting towers of number fields
给定一个素数$p$，一个数域$\K$和$\K$的一个有限位置集$S$，设$\K_S$是$\K$在$S$外未分歧的最大pro-$p$扩张.使用Golod-Shafarevich准则，人们经常可以证明$\K_S/\K$是无限的。在驯服和野生的情况下，我们构造无限子扩张与有界分支使用的改进的Golod-Shafarevich准则。在驯服设置，我们实现了新的记录Martinet常数（根判别界）在完全真实的和完全复杂的情况下。我们也能够回答一个问题的伊原生产无限渐近良好的扩展，其中无限多个素数完全分裂。
Quaternary quadratic lattices over number fields
我们将具有平凡判别式的全定四元二次空间（V，q）中极大格的真等距类与表示（V，q）的Clifford不变量的四元数代数中的理想的某些等价类联系起来.这产生了一个很好的算法，以枚举系统的代表正常等距类的格在一般的极大格（V，q）。
On Kitaoka's conjecture and lifting problem for universal quadratic forms
本文研究了全实数域上泛值二次型的提升问题，证明了对于固定次数扩张仅有有限个使得二次型泛值，给出了秩以$D(\log D)^{d-1}$为界的泛值型构造，并证明了弱形式的Kitaoka猜想。
$p$-adic Gross-Zagier Formula for Heegner Points on Shimura Curves over Totally Real Fields
本文的主要结果是将Perrin-Riou的p-adic Gross-Zagier公式推广到全实数域上的Shimura曲线的情况。设$F$是一个全实数域。设$f$是$F$上的Hilbert模形式，它具有平行权$2$，是一种新的模形式，在$p$上是普通的.设$E$是判别素数的$F$到$p$和$f$的导子的全虚二次扩张.我们可以构造$p$ -adic $L$函数，其内插与$f$、$E$和$E$的有穷级Hecke特征标相关联的复$L$函数的特殊值。$p$ -adic Gross-Zagier公式将该$p$ -adic $L$函数的中心导数与特定Shimura曲线上Heegner因子的$p$ -adic高度相关联。证明的策略接近于Perrin-Riou的原始工作。在解析部分，我们通过代数计算构造解析核;在几何部分，我们将几何核分解为两部分：$p$外的位置和划分$p$的位置。对于$p$之外的地方，$p$ -adic高度本质上是相交数，并在S.这一部分与分析的核心密切相关。对于划分$p$的地方，我们使用J. Nekovásniness工作中的方法来证明这部分的贡献为零。
A robust implementation for solving the $S$-unit equation and several applications
设$K$是一个数域，$S$是$K$中包含所有无限位置的有限集.我们提出了一个实现解决$S$ -单位方程$x + y = 1$，$x,y \in\mathscr{O}_{K,S}^\times$在计算机代数软件包SageMath。本文概述了实施的数学基础。我们讨论和参考广泛的计算结果，包括指数界的解决方案，在许多领域的小程度的小集合$S$。作为应用，我们证明了具有有界判别式的全实立方数域上的费马大定理的一个渐近形式，其中2是全分歧的。此外，我们使用的实现，以找到所有的解决方案，一些立方Ramanujan-Nagell方程。
A table of elliptic curves over the cubic field of discriminant -23
设F是判别式-23的三次域，O是其整数环.设Gamma是算术群GL_2（O），对任意n阶理想子集O，Gamma_0（n）是n阶同余子群.在以前的论文中，我们中的两个人（PG和DY）计算了各种Gamma_0（n）的上同调，以及Hecke算子的作用。那篇论文的目的是检验F上椭圆曲线的模性。在本文中，我们补充和扩展这一先前的工作在两个方面。首先，我们列出了更多的椭圆曲线比我们以前的工作中发现的使用不同的几何学（“旧的和新的”上同调类，爱森斯坦子空间的尺寸）来预测各种导体的椭圆曲线的存在，然后通过使用更复杂的搜索技术（例如，扭转子群，扭曲，和克雷莫纳-林厄姆算法）来找到它们。然后，我们计算这些曲线的进一步不变量，例如它们的秩和所有Islam类的代表。我们的枚举包括在该域上秩为1和2的第一条椭圆曲线，它们分别出现在范数719和9173的水平上。
Kitaoka's Conjecture for quadratic fields
本文证明了至多存在13个实二次域允许三元通用二次格，确立了二次域的Kitaoka猜想强版本，并给出了秩至多为7的实二次域判别式的显式上界。
The smallest regulator for number fields of degree 7 with five real places
2016年，Astudillo、Diaz y Diaz和Friedman发表了所有七阶以下签名的数域监管者的精确下界，除了七阶有五个实数位的数域。我们处理这个签名，证明了第一个判别式的字段具有最小调节器。证明中的新元素是Pohst的几何方法从完全真实的情况下，具有一个复杂的地方领域的延伸。
Growth of the analytic rank of modular elliptic curves over quintic extensions
给定$F$是全实域，$E_{/F}$是模椭圆曲线，我们用$G_5(E_{/F};X)$表示$F$的五次扩展$K$的数量，使得相对判别式的范数最多为$X$，并且$E$的分析秩超过$K$，即，$r_\mathrm{an}(E/K)>r_\mathrm{an}(E/F)$。本文证明了当椭圆曲线$E_{/F}$具有奇导体且至少有一个乘法约化素数时，$G_5(E_{/F};X)\asymp_{+\infty} X$是可约化的. Bhargava，Shankar和Wang \cite{BSW}证明了对于某些正的常数$c_{5,F}$，相对判别式的范数至多为$X$的$F$的五次扩张的数目渐近于$c_{5,F} X$，我们的结果揭示了分析秩的增长是五次扩张的一个非常常见的情况.
The existence of small defining polynomials for number fields
该研究证明了次数为$n$、绝对判别式为$D$的数域存在系数大小为$O_n(\sqrt{D})$的$n$次定义整多项式，解决了Ruppert1998年的猜想，通过比较理想格与其迹对偶及爱森斯坦ζ函数平均等方法完成，未使用拟黎曼假设。
Arithmetic of Hecke L-functions of quadratic extensions of totally real fields
本文解决了 Shintani 方法在高维全实域上的无效性，为窄类数为1的全实域中导子为惰性有理素数的特征提供了 Shintani sets 的组合描述，简化了相关 Hecke L-函数，并将组合类数公式推广至全实域的二次扩张，有效肯定了 Hecke 猜想。
A classical approach to relative quadratic extensions
我们表明，我们可以从头开始，只使用经典的语言理论的相对二次扩展的一个给定的数域$K$这是明确的和容易的众所周知的情况下，$K$是该领域的有理数。作为应用，我们证明了一个互易律，它表示一个给定的二次方程模$K$的一个整理想$\mathfrak{a}$的解的个数，用$\mathfrak{a}$模方程的判别式表示.研究了与相对二次扩张相关的各种$L$ -函数。特别是，我们定义，为全负的代数整数$Δ$的全实数域$K$是平方模~ $4$，数$H(Δ,K)$，共享的重要性质的经典Hurwitz类数。在附录中，我们给出了一个快速的初步证明某些更深层次的性质的希尔伯特符号的高单位群的并矢局部数域。
Universal quadratic forms, small norms and traces in families of number fields
本文研究多类全实数域上通用二次型的秩，通过刻画不可分解整数与余微分中小迹元素，并估计小范数主理想数量，给出秩的良好界。
Inhomogeneous minima of mixed signature lattices
我们建立了一个明确的上界的欧氏最小的数域，它依赖于，在一个精确的方式，只有它的判别式和数量的真实和复杂的嵌入。达文波特和斯温纳顿-戴尔证明了这种界限的存在。在全实域的情形下，Minkowski给出了一个最优界，并证明了它在小次域上的存在性。本文将McMullen方法推广到混合签名情形，得到了欧氏最小值的显式界。
Sails for universal quadratic forms
本文建立广义连分数中的帆与全实数域算术的新联系，并用于双二次域，刻画通用二次型秩和不可分解整数数量随判别式的幂次或对数增长。
Enumerating maximal definite quadratic forms of bounded class number over Z in n >= 3 variables
本文给出了一个计数n ≥ 3元本原（正）定极大Z值二次型Q且有界类数h（Q）<= B的算法。我们通过分析精确的质量公式[GHY]来做到这一点，并将所有相关的局部不变量绑定到只给出200多种可能性。我们还简要地描述了这个算法的开源实现，我们已经写在Python/Sage显式枚举所有这样的二次型的有界类数n >= 3个变量。利用这一点，我们确定了类数为1的n ≥ 3元的极大Z值二次型的本原正定数为115，并给出了它们的一个列表。在以后的文章中，我们将通过扩展这些算法来完成这一思想链，从而允许枚举所有秩n >= 3的本原极大全定O_F-值二次格，其中O_F是任何全实数域F的整数环。
Real cyclotomic fields of prime conductor and their class numbers
令人惊讶的是，分圆域的类数仅针对小导体的域确定，例如，针对高达67的素导体，这是由于找到“正部分”的问题，即最大实子域的类数。我们的成果改善了情况。我们证明了在71和151之间的素导体的类数的正部分是1。在广义黎曼假设的假设下，我们确定了素导体的类数在167和241之间。这种技术推广到任何完全真实的领域的中等大的判别式，使我们能够面对一个大类的数字字段以前无法处理。
The integral trace form as a complete invariant for real $S_n$ number fields
在过去的第一个命名的作者研究了在何种程度上的积分迹可以表征一个数域超越什么判别式。循环数域和非全实数域的情况或多或少得到了解决，得出的结论是，对于这样的域，积分迹并不总是表征域。本文证明了满足一定分歧界的度$n$，$S_n$实数数域的积分迹是完全不变量.在我们的结果所覆盖的实$S_n$域中，有平方自由的不同理想。此外，对于这样的领域，我们发现一个明确的描述等距群的积分迹。
Bounds for 2-Selmer ranks in terms of seminarrow class groups
设$E$是由一元不可约三次多项式$F(x)$定义的数域$K$上的椭圆曲线.当$E$在$K$的所有有限素数处都是\textit{nice}时，我们用域$L=K[x]/{(F(x))}$的一个修改的理想类群的$2$ -秩来约束它的$2$ -Selmer秩，我们称之为$L$的\textit{semi-narrow class group}.然后，我们提供了几个充分条件$E$是好的有限素数。作为应用，当$K$是实二次域，$E/K$是半稳定的且$F$的判别式是全负的时，我们常常通过计算$E$的根数和$L$的窄类群的$2$ -秩来确定$E$的$2$ -Selmer秩.
Fourier non-uniqueness sets from totally real number fields
设$K$是$n \geq 2$度的全实数域. $K$的逆差在$\mathbb{R}^n$中产生晶格。我们证明了在$\mathbb{R}^n$上的Schwartz Fourier本征函数空间是无穷维的，它在这个格的“分量平方根“上消失。这样得到的傅立叶非唯一性集是所有球体$\sqrt{m}S^{n-1}$的并集的离散子集，对于整数$m \geq 0$，并且作为$m \rightarrow \infty$，对于一些显式常数$c_{K}$，$K$的判别式的平方根成比例，在$m$ -th球体上有$\sim c_{K} m^{n-1}$许多点。这与Stoller最近的傅立叶唯一性结果形成对比。使用不同的建设涉及协差的$K$，我们证明了我们的结果的离散子集的椭球体的模拟。在特殊情况下，这些集合也位于半径更密集的球面上，但每个球面上的点更少。我们还研究了一般格$Λ\subset \mathbb{R}^n$上以“$\sqrtΛ$“为结点的Fourier插值公式的存在性问题。利用高阶李群格的有关结果，证明了若$n \geq 2$和某个群$Γ_Λ \leq \operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})^n$是离散的，则这种插值公式不存在.出于这些更一般的考虑，我们重新审视的情况下，一个径向变量和证明，所有$n \geq 5$和所有真正的$λ> 2$，傅立叶插值结果的领域$\sqrt…
Numerical evidence for higher order Stark-type conjectures
我们给出了一个系统的方法，提供数值证据高阶斯塔克型代数，如（按时间顺序）斯塔克的猜想在$\mathbb{Q}$，鲁宾的猜想，Popescu的猜想，和一个猜想，由于伯恩斯，构成了一个推广的Brumer的经典猜想湮灭的类群。我们的方法是一般的，可以用于任何阿贝尔扩展的数域，独立的签名和类型的地方（有限或无限），完全分裂的扩展。然后，我们采用我们的技术的情况下，$K$是一个完全真实的，阿贝尔，分歧的三次扩展的实二次域。我们用数字验证了以上列出的所有字段$K$的这种类型的绝对判别式小于$10^{12}$，总共$19197$的例子。在这些扩展中完全分裂的地方总是被认为是$k$的两个真正的阿基米德位置，并且我们处于所有$S$截断的$L$函数的消失阶至少为2的情况。
Generalized Pohst inequality and small regulators
本文改进超立方体上特定多项式的上界，将全实数域策略推广至含一个复嵌入、次数5至9的情形，从而识别最小调节子数域并扩充相关列表。
An elementary proof for a generalization of a Pohst's inequality
设$P_n(y_1,\ldots,y_n):= \prod_{1\leq i<j\leq n}\left( 1 -\frac{y_i}{y_j}\right) $和$P_n:= \sup_{(y_1,\ldots,y_n)}P_n(y_1,\ldots,y_n) $，其中上确界取在满足$0 <|y_1| < |y_2|< \cdots < |y_n|$的实数的$n$上.我们证明了对于每个$n$，即，我们推广到所有的$n$的界限，Pohst证明了$n\leq 11$。因此，现在证明了一个完全真实的领域的绝对判别式在其监管机构方面的限制，为每一个度的领域。
Some remarks on the non-real roots of polynomials
令$f \in { \mathbb R} ( t) [x]$由$ f(t, x) = x^n + t \cdot g(x) $和$β_1 < \dots < β_m$给出，$ f(t, x) = x^n + t \cdot g(x) $和$β_1 < \dots < β_m$是$f(t, x)$关于$x$的判别式$Δ_{(f, x)} (t)$的不同实根。令$γ$为$g(x)=\sum_{k=0}^s t_{s-k} x^{s-k}$的实根的个数。对于任何$ξ> | β_m |$，如果$n-s$是奇数，则$f(ξ, x)$的实根的数目是$γ+1$，并且如果$n-s$是偶数，则$f(ξ, x)$的实根的数目分别是$γ$，$γ+2$，如果$t_s>0$或$t_s < 0$。上述结果的一个特例是构造一族在$\mathbb Q$上可约的全复多项式。
Oeljeklaus-Toma manifolds and arithmetic invariants
Oeljeklaus-Toma（OT）流形是一类由数域构造的紧致复流形。相反，我们表明，基本群往往牵制的数域唯一。我们把第一个同调与一些有趣的理想联系起来。OT流形从来不是Kähler，但带有LCK度量（局部共形Kähler）。Oeljeklaus和Toma用它们来反驳一个关于携带LCK度量的空间的贝蒂数的猜想。不幸的是，这个度量的体积给出了数域的判别式和狄利克雷调节器。完全不同于上述拓扑方面，似乎没有一个概念上的原因，为什么这应该是预期的。是巧合吗？我们探索这一点，看看会发生什么，如果我们（完全实验！）把它们看作是来自数域的双曲流形的“小兄弟”。我们问同样的问题，得到类似的答案，但最终我们仍然不清楚我们是否在追逐鬼魂。
Probability Estimates for Fading and Wiretap Channels from Ideal Class Zeta Functions
本文利用理想类Dedekind zeta函数，从全实数域导出理想格码的新的概率估计。与以前关于这个问题的工作相反，它并不假设所讨论的理想是主要的。特别地，证明了相应的逆范数和不仅依赖于数域的调节器和判别式，而且依赖于理想类Dedekind zeta函数的值.一路上，我们推导出有限超立方体内具有一定代数范数的给定理想中元素数量的估计。我们提供了几个例子来衡量我们的定理的准确性和预测能力。
Simultaneous indivisibility of class numbers of pairs of real quadratic fields
对于一个无平方的整数$t$，Byeon \cite{byeon}证明了存在无穷多对二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{tD})$与$D > 0$，使得它们的类数都不可被$3$整除。在同样的精神，我们证明了，对于一个给定的整数$t \geq 1$与PDMATHAMT，一个积极的比例的基本判别PDMATHAMQ存在的类数的实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{D + t})$是不可分的PDMATHAMR。这也解决了补充的一个弱形式的猜想饭冢在\cite{iizuka}。作为我们的主要结果的应用，我们得到，对于任何整数$t \geq 1$与$t \equiv 0 \pmod{12}$，有无穷多对的实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{D + t})$，使Iwasawa $λ$ -不变量与$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{D + t})$的基本$\mathbb{Z}_{3}$ -扩展是$0$。对于$p = 3$，这支持Greenberg猜想，该猜想断言$λ_{p}(K) = 0$对于任何素数$p$和任何全实数域$K$。
NP-hardness of ideal lattice problems
本文通过保维确定性多项式时间归约，证明了理想格问题（如SVP、CVP）在ℓ2范数下的最坏情况NP困难性，构造了可逆理想与单生成全实环，并给出量子多项式时间的猜想性扩展。
Heuristics in direction of a p-adic Brauer--Siegel theorem
设p是一个固定的素数。设K是判别式DK的全实数域，T K是K的极大交换p-分歧pro-p-扩张的伽罗瓦群的扭群（Leopoldt猜想下）.我们猜想存在一个常数Cp>0，使得当K在某些特定的族中变化时（例如，固定度数的领域）。在某种意义上，我们认为存在经典的Brauer-Siegel定理的p-adic类似物，在这里磨损在s=1处的剩余的赋值（基本上等于T K）的p-adic zeta函数zeta p（s）。我们将使用华盛顿在20世纪80年代给出的不同定义，由于zeta p（s）可能存在大量的“Siegel零点”，使得p-adic分析失效，与经典框架相反，我们对二次和三次域给出了广泛的数值验证（循环或不）和出版的PARI/GP程序直接使用的读者的数字改进。这样的猜想（如果是精确的）加强了我们的猜想，即任何固定数域K都是p-有理数的（即，对于所有p >> 0，T_K=1）。
For which real quadratic fields is Kim's octonary form universal?
研究实二次域上 Kim 八元对角形式万有性的充要条件，通过 Blomer-Kala 不变量和连分数方法，给出两类平方自由判别式的完整分类。
Sparsity of rational points on torsion level covers of Hilbert modular varieties
本文证明 Hilbert 模簇挠点层覆盖上有理点随水平范数增大而稀疏，给出对数典范度下界，并推广了几何挠点定理。
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