The distribution of 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves with partial two-torsion
本文给出了任意数域K上椭圆曲线的二次扭族的2-Selmer秩分布的一个新结果，该数域K上有一个二阶点，且在其二除域上没有定义循环4-等距线.我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
2013-07-26 math.NT
Level raising mod 2 and arbitrary 2-Selmer ranks
证明了$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的一个升阶模$\ell=2$定理.它推广了Ribet和Diamond-Taylor的定理，并解释了与奇$\ell$不同的符号现象。我们用它来研究具有共同模2伽罗瓦表示的模交换簇的2-Selmer群.作为一个应用，我们表明，2-Selmer秩可以是任意的水平提高家庭。
2016-04-01 math.NT
On the Distribution of 2-Selmer Ranks within Quadratic Twist Families of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文给出了关于在二除域上没有循环4-等距线的二阶单点椭圆曲线的二次扭族中2-Selmer秩分布的一个新结果。我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
2012-03-14 math.NT
Kolyvagin systems of rank 0 and the structure of the Selmer group of elliptic curves over abelian extensions
通过放宽特定素数的秩0 Selmer结构，构造辅助Kolyvagin系统，描述Selmer群的Fitting理想，并用模符号刻画椭圆曲线在有限阿贝尔扩张上的Galois结构。
2026-06-08 math.NT
Selmer ranks under quadratic twists satisfying the Heegner hypothesis
本文研究满足 Heegner 假设的二次扭转下 Selmer 秩的变化，推导出基于 $\mathbb{F}_2$ 矩阵的显式公式，并证明其与奇偶猜想相容。
2025-10-27 math.NT
Quadratic Twists of Heronian Elliptic Curves with Arbitrarily Large 2-Selmer Rank
本文确定了面积为2mn的希罗三角形导出的椭圆曲线族的2-塞尔默群，明确其在二次扭转下的变化规律，推广了已有研究，构造出具有任意大2-塞尔默秩的希罗尼亚椭圆曲线显式族。
2026-08-04 math.NT
On 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves
研究了椭圆曲线的$2$ -Selmer秩.证明了对于任意数域$K$上的椭圆曲线$E$，如果$E$的二次扭转的2-Selmer秩的集合$A_E$包含一个整数$c$，则它包含所有大于$c$且与$c$具有相同奇偶性的整数.我们还找到了$A_E$上的充分条件，使得对于某些数目的$t_E$，$A_E$等于$\Z_{\ge t_E}$。当$E[2]$中的所有点都是有理数时，我们给出了$t_E$的一个上界.
2016-01-27 math.NT
Selmer Ranks of Quadratic Twists of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文研究了在数域K上定义的椭圆曲线E的二次扭族中，哪些整数可以作为2-Selmer秩出现，其中E（K）[2] = Z/2 Z.我们证明了如果E在K（E[2]）上没有定义的循环4-等距环，则只要满足常数2-Selmer奇偶性，每个非负整数都无限频繁地出现为E的二次扭曲的2-Selmer秩.如果E有一个定义在K（E[2]）上但不定义在K上的循环4-等距环，则当2-Selmer秩大于或等于r_2时，我们证明了同样的结果。我们还得到了关于E的秩为0的最小扭转数的结果，并且在标准拓扑下，秩为1的扭转数，只要E没有定义在K上的循环4-等距。
2012-02-09 math.NT
Ranks of Selmer groups in an analytic family
研究了在加细族中变化的数域的p-adic伽罗瓦表示的Bloch-Kato Selmer群的维数变化.我们表明，如果一个人限制自己的陈述，在每一个地方划分$p$，结晶，非临界精炼，并与一个固定数量的非负Hodge-Tate权重，那么塞尔默组的尺寸变化基本上是低半连续的。这允许证明下界塞尔默群"的连续性"，特别是证明一些预测的猜想布洛赫-加藤的模形式。
2009-06-08 math.NT
Bessel periods and Selmer groups over ordinary Rankin--Selberg eigenvariety
本文引入酉群及其Rankin--Selberg乘积的普通分布概念以重新定义普通特征簇，在定与不定情形下构造Bessel周期，并提出关联其消失除子与Selmer群特征除子的Iwasawa型猜想，证明了部分整除关系。
2024-12-25 math.NT
Density of Selmer ranks in families of even Galois representations, Wiles' formula, and global reciprocity
Cornell University（康奈尔大学）
本文通过Galois上同调方法研究偶Galois表示族中Selmer秩的分布，利用Wiles公式和全球互反律证明了Selmer秩增加的素数密度为1/192。
2023-08-24 math.NT
$\sqrt{-3}$-Selmer groups, ideal class groups and large $3$-Selmer ranks
本文研究了具有有理 $3$-同源映射的椭圆曲线族 $E_{a,b}$，利用特定二次扩张的理想类群的 $3$-部分给出了其 $φ$-Selmer 群秩的上下界，并据此构造出无穷多条具有任意大 $3$-Selmer 秩且无阶为 $3$ 的非平凡有理点的曲线。
2025-02-03 math.NT
A Markov model for Selmer ranks in families of twists
本文研究了任意数域K上椭圆曲线E的二次扭族中2-Selmer秩的分布。在Gal（K（E[2]）/K）= S_3的假设下，我们证明了对于所有正整数r，具有Selmer秩r的扭转的密度（以非标准的方式计数）是存在的，并且是通过某个本身独立于E和K的马尔可夫过程的平衡分布给出的，该分布只依赖于一个参数（“概率”）。更一般地，我们的结果也适用于K的绝对伽罗瓦群的二维自对偶F_p-表示的p阶特征标的p-Selmer扭曲秩。
2013-03-26 math.NT
A note on local formulae for the parity of Selmer ranks
该注记利用阿贝尔簇的算术对偶定理，研究p-进无穷Selmer群上自同态的行列式，为雅可比簇奇偶猜想的一类扭曲版本提供证据。
2024-09-12 math.NT
Construction of an infinite family of elliptic curves of 2-selmer rank 1 from heron triangles
给定任意正整数n，众所周知，总存在有理边为a、b、c的三角形，使得三角形的面积为n。假设有限的Shafarevich-Tate群，我们首先构造一族无穷多的Heron椭圆曲线的秩正好为1从某种类型的Heron三角形。我们还明确地产生一个单独的家庭的无限多Heronian椭圆曲线与2-Selmer秩介于1和3之间。
2022-06-06 math.NT
$2^\infty$-Selmer Rank Parities via the Prym Construction
该研究推导了带K-有理2-挠点的亏格2、3曲线雅可比簇的$2^\infty$-Selmer秩奇偶性局部公式，给出显式预测示例以检验2-奇偶性猜想，结果可应用于亏格3半稳定曲线的奇偶性猜想。
2023-07-24 math.NT
Selmer ranks in twists of CM abelian varieties
本研究证明CM阿贝尔簇的若干p次扭变族中Selmer秩服从辛或酉分布，借此推出含本原p次单位根的数域上扭变费马曲线大多无解，并探讨了素数次循环扩张中的秩增长。
2025-07-31 math.NT
p-Selmer ranks of CM abelian varieties
本文直接证明数域上复乘椭圆曲线的 p∞-Selmer 秩为偶数，并将该结果推广至阿贝尔簇。
2024-02-07 math.NT
Monsky Matrix and 2-Selmer rank
本文利用Monsky矩阵证明对应同余数椭圆曲线的2-Selmer秩为零，并建立量化结果，证明在模8余1,2,3的残差类中存在无限多个非同余数。
2026-04-29 math.NT
Finding large Selmer rank via an arithmetic theory of local constants
我们得到了数域上二面角扩张上椭圆曲线的Selmer秩的下界。设$K/k$是数域的二次扩张，$E$是定义在$k$上的椭圆曲线，$p$是奇素数.令$F$表示$K$的最大阿贝尔$p$ -扩张，该扩张在所有素数处都是非分歧的，其中$E$具有不良约化并且是具有二面体伽罗瓦群的$k$上的伽罗瓦（即，$Gal(K/k)$的生成器$c$通过-1作用于$Gal(F/K)$）。我们证明了（在对$p$的温和假设下）：如果前$p$ Selmer群$S_p(E/K)$的秩是奇数，则对于$F$中的$K$的每个有限扩张$L$，$S_p(E/L)$的秩至少是$[L:K]$.
2006-09-02 math.NT
The growth of fine Selmer groups
设A是数域F上的阿贝尔簇。本文研究了细Selmer群在三种情形下p-秩的增长性。特别是，在每一个这些情况下，我们表明，有一个很强的类比之间的增长的p-秩的细塞尔默组和增长的p-秩的类组。
2015-07-01 math.NT
Disparity in Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves
研究了任意数域K上任意椭圆曲线E的二次扭族中2-Selmer秩的奇偶性。我们证明了一个给定的椭圆曲线在一个固定的数域的扭曲的分数，甚至2-Selmer秩存在作为一个稳定的限制家庭的扭曲，我们计算这个分数作为一个明确的产品的本地因素。我们给出一个椭圆曲线E的例子，使得当K变化时，这些分数在[0，1]中是稠密的。更一般地，我们的结果也适用于K的绝对伽罗瓦群的二维自对偶F_p-表示的p阶特征标的p-Selmer扭曲秩。
2022-10-09 math.NT
Ranks, $2$-Selmer groups, and Tamagawa numbers of elliptic curves with $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$-torsion
2016年，Balakrishnan-Ho-Kaplan-Spicer-Stein-Weigandt创建了一个按高度排序的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线数据库，他们在其中计算了秩、$2$ -Selmer群的大小和其他算术不变量。他们观察到，在某一点之后，平均排名似乎随着身高的增加而下降。本文考虑$\mathbb{Q}$上有理挠子群同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$的椭圆曲线族.在GRH和BSD的条件下，我们计算参数高度小于$10^3$的$202461$曲线的$92\%$的秩。我们还计算了$2$ -Selmer群和玉川积的大小，并证明了它们的平均值趋于无穷大。
2018-06-27 math.NT
The $2$-Selmer group of a number field and heuristics for narrow class groups and signature ranks of units
本文详细研究了数域$K$的$2$ -Selmer群到非退化对称空间的一个同态映射，并证明了该映射是极大全迷向子空间.应用包括精确的预测密度的字段$K$与给定的窄类组2-秩和给定的单位群签名秩。除了理论上的证据，广泛的计算完全真实的三次和五次领域的预测非常匹配。在Richard Foote的附录中，我们对特征为2的完满域上两个非退化对称空间的正交直和的极大全迷向子空间进行了分类，并得到了一些结果，包括这类子空间的质量公式。
2018-03-29 math.NT
The rank of 2-Selmer group associate to $θ$-congruent numbers
研究了$2$ - ${\rm Selmer}$群与$π/3$和$2π/3$ -同余数的秩的奇偶性.第二个结果给出了$π/3$和$2π/3$非全等数的一些正密度，这些正密度可以支持Goldfeld猜想的偶数部分.对于Shafarevich-Tate群为非平凡的椭圆曲线$E_n$，给出了$n$为非$π/3$ -同余数的必要条件.在最后一节中，我们证明了对于$n=pq\equiv 5(resp. \ 11)\pmod{24}$，非$π/3$（$resp.$ $2π/3$）-同余数的密度至少为75%，其中$p,q$是素数.
2022-10-04 math.NT
Class number divisibility of $\mathbb{Q}(\sqrt{3p}, \sqrt{m-21pn^{2}})$ constructed from elliptic curves of $2$-Selmer rank exactly $1$
数域的类数整除问题是代数数论中的经典问题之一，它起源于Gauss的类数定理。椭圆曲线上的点与数域的类数整除性之间的关系，已经通过各种数学家的工作进行了探索。在这里，我们显式地构造了由某类椭圆曲线上的点生成的双二次域的非分歧阿贝尔扩张。此外，我们还将该椭圆曲线的$2$秩表示为$1$，从而构造了一类偶类数的双二次域.
2022-12-21 math.NT
Quadratic Twists of Elliptic Curves with 3-Selmer Rank 1
1979年戈德菲尔德猜想的一个较弱的形式指出，对于每一条椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它的二次扭曲$E^{(d)}$的秩为1。利用Galois上同调的工具，我们给出了E和d的准则，该准则使得E的二次扭曲的正比例具有3-Selmer秩1和整体根数-1。然后，我们给出了四个非同构的椭圆曲线的无限族$E_{m, n}$满足这些标准。在Birch和Swinnerton-Dyer猜想的秩部分的条件下，这证明了无限多条椭圆曲线的上述猜想。我们的椭圆曲线很容易明确地给出，我们精确地说明了使用哪些二次扭曲d。此外，我们的方法有可能被推广到其他数域上的椭圆曲线。
2013-11-21 math.NT
p-adic families of Galois representations and higher rank Selmer groups
这是一本书的最后版本的p进家庭的伽罗瓦表示，塞尔默群，本征品种和阿瑟的代数
2007-01-12 math.NT math.RT
The average size of the 3-isogeny Selmer groups of elliptic curves $y^2 = x^3 + k$
椭圆曲线$E_k \colon y^2 = x^3 + k$允许自然的3-等距$ϕ_k \colon E_k \to E_{-27k}$。当$k$在整数上变化时，我们计算$ϕ_k$ -Selmer群的平均大小。不同于以往的结果Bhargava和Shankar的$n$ -塞尔默群的椭圆曲线，我们表明，这个平均可以是非常敏感的同余条件$k$，这种敏感性可以精确地控制由玉川数的$E_k$和$E_{-27k}$。作为结果，我们证明了曲线$E_k$，$k\in\mathbb Z$的平均秩小于1.21和大于$23\%$（分别为）。$41\%$）的秩为0（分别为3-Selmer rank 1）。
2016-10-18 math.NT
Unbounded average Selmer ranks of elliptic curves in torsion families
本文研究了具有特定 torsion 子群的椭圆曲线的 p-塞勒尔群平均大小，证明在许多情况下该平均值是无界的。
2025-12-18 math.NT
Elliptic curves with p-Selmer growth for all p
众所周知，对于Q上的每一条椭圆曲线，都存在秩不上升的二次扩张。对于一个大类的椭圆曲线，同样是已知的秩取代2-塞尔默群。然而，我们发现，存在大量供应的半稳定椭圆曲线E/Q的2-Selmer组上升，在每一个双二次扩展和任何奇素数p，p-Selmer组上升，在每一个D_{2p} -扩展和每一个初等阿贝尔p-扩展的秩至少为2。我们提供了一个简单的准则，椭圆曲线在任意数域上表现出这种行为。我们还讨论了推广到其他伽罗瓦群。
2013-06-21 math.NT
Deformations of reducible Galois representations with large Selmer $p$-rank
本文推广 Hamblen–Ramakrishna 形变提升技术，对任意 $p\geq5$ 构造与模形式相关的 Galois 表示，证明其 Bloch-Kato Selmer 群可具有任意大的 $p$-秩。
2025-05-15 math.NT
A Family of Elliptic Curves with a Lower Bound on 2-Selmer Ranks of Quadratic Twists
对任意具有复数位的数域K，我们给出了定义在K上的椭圆曲线的无限族，使得对于该族中的每一条曲线E的每一个二次扭曲E^F，有$dim \mathbb{F}_2 Sel_2(E^F/K) \ge dim \mathbb{F}_2 E^F(K)[2] + r_2$，其中r_2是K的复数位数.这为Mazur和Rubin的工作中出现的一个猜想提供了一个反例。
2012-10-19 math.NT
Computing the Cassels-Tate pairing on 3-isogeny Selmer groups via cubic norm equations
本文介绍了一种计算椭圆曲线上3-等距Selmer群上的Cassels-Tate配对的方法。这将来自3-等距下降的椭圆曲线的秩的上界提高到来自全3-下降的秩的上界。我们的工作的一个组成部分是一个新的算法来解决三次范数方程，避免了任何S-单位计算的需要。作为应用，我们证明了Eroshkin所发现的扭子群阶为3且秩至少为13的椭圆曲线的秩正好为13。
2017-11-07 math.NT
2-Selmer groups of hyperelliptic curves with two marked points
研究了一类具有固定亏格的$\Q$上的超椭圆曲线族，以及一个标记有理Weierstrass点和一个标记有理非Weierstrass点.当这些曲线按高度排序时，我们证明了它们的雅可比矩阵的平均Mordell-Weil秩在5/2以上有界。我们证明了这一点，表明2-塞尔默群的平均秩是有界以上的6。我们还证明了与这个家族相关的同源家族的$ϕ$-Selmer群的平均大小正好是2。
2016-11-10 math.NT
The average size of the 5-Selmer group of elliptic curves is 6, and the average rank is less than 1
本文证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线按高度排序时的平均秩小于$1$（实际上是小于$.885$）.作为我们的方法的结果，我们还证明了至少五分之四的所有椭圆曲线在$\mathbb{Q}$有秩0或1;此外，至少五分之一的所有椭圆曲线实际上有秩0。在这些定理的证明的主要成分是一个确定的平均大小的$5$ -塞尔默组的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$，我们证明，这个平均大小是$6$。另一个关键的成分是一个新的下界根数的均匀分布的椭圆曲线，我们证明了有一个家庭的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$的密度至少$55\%$的根数是均匀分布的。
2013-12-30 math.NT
Increasing the p-Selmer rank by twisting
本文研究数域上椭圆曲线 p-扭转族的 p-Selmer 群，证明在特定同余与大小条件下，存在无穷多个特征使 p-Selmer 群维数达到任意给定值 d。
2025-07-21 math.NT
Three-isogeny Selmer groups and ranks of abelian varieties in quadratic twist families over a number field
对于数域$F$上的交换阿贝尔簇$A$，在假定$A$因子的乘3是$F$上的3-同构的合成的条件下，证明了$A$的二次扭曲的平均秩是有界的.这是第一个这样的有界性的结果，一个绝对简单的阿贝尔簇$A$的尺寸大于1。事实上，我们在任意大的维度和任何数域上展示了这样的扭曲族。在一维空间中，我们证明了如果$E/F$是一条允许3-等距的椭圆曲线，则它的二次扭曲的平均秩是有界的.如果$F$是完全真实的，我们还表明，一个积极的比例扭曲的秩为0和一个积极的比例有$3$ -塞尔默秩1。这些结果有界的平均秩在家庭的二次扭曲代表新的进展Goldfeld的猜想-这表明，平均秩在二次扭曲家庭的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$应该是$1/2$ -和第一个进展类似的猜想以外的其他领域$\mathbb{Q}$。我们的结果是从一个计算的平均大小的$ϕ$ -塞尔默群在家庭的二次扭曲的阿贝尔簇承认一个3-issues $ϕ$。
2017-11-30 math.NT
Bounding Selmer groups for the Rankin--Selberg convolution of Coleman families
本文通过构造协调sheaf，研究了Coleman族的Rankin-Selberg卷积的Selmer群在临界范围内的界限问题。
2020-08-21 math.NT
The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem
Harish-Chandra Research Institute（哈里什-钱德拉研究所）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国立研究所）
本文研究了 $\frac{π}{3}$-congruent 数问题中椭圆曲线的 $2$-Selmer 组的平均秩，并得出了相关密度结果。
2026-07-29 math.NT
On the Distribution of 2-Selmer ranks of Quadratic Twists of Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
本文提出带“洞”的随机交错矩阵模型，刻画了 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线二次扭的 2-Selmer 秩分布，推广了先前结果，并发现同一族中不同等价类可具有不同分布。
2025-03-27 math.NT
The 2-Selmer group of $S_n$-number fields of even degree
本文是Dummit和Voight关于2-Selmer数域群建模工作的推广。我们将他们的模型推广到偶数次的$S_n$数域，并对类群和窄类群的2秩差异进行了讨论。
2021-10-07 math.NT
Computing Selmer groups associated to mod p Galois representations
本文提出了一种计算与模 p Galois 表示相关的 Selmer 组的方法，并通过 Magma 实现，用于比较其秩与上同调类的周期，支持模 p Bloch-Kato 猜想的松散版本。
2025-12-21 math.NT
On the Mordell-Weil rank and $2$-Selmer group of a family of elliptic curves
BITS-Pilani（比拉尼理工学院）；Visva-Bharati（维斯瓦-巴拉蒂大学）
本文研究了一族椭圆曲线的Mordell-Weil秩下界和2-Selmer群，扩展了之前关于参数族椭圆曲线Mordell-Weil秩的研究。
2026-01-10 math.NT
Governing fields and statistics for 4-Selmer groups and 8-class groups
设A是数域k上具有全2-挠的阿贝尔簇，研究了二次挠A^d的4-Selmer秩随d的变化.我们证明了这个秩依赖于素数在某个数域L/k中整除d的分裂行为。在大黎曼假设下，我们证明了：给定一条具有完全有理2-挠率的椭圆曲线E/Q，E的二次挠率族通常具有Delaunay启发式预测的$4$ -Selmer群的分布.类似地，仍然受到大黎曼假设，我们证明了二次虚域的集合具有由Cohen-Lenstra启发式预测的8类群的分布。
2016-07-26 math.NT
Computing a Selmer group of a Jacobian using functions on the curve
一般来说，计算曲线雅可比矩阵的Selmer群的算法依赖于齐性空间或曲线上的函数。我们提出了一个理论分析的算法，使用函数的曲线，并展示了如何利用特殊性质的曲线，以产生新的Selmer组计算算法。这种算法的成功将基于我们讨论的两个标准。为了说明可以利用的属性的类型，我们开发了一个$(1-ζ_{p})$ -Selmer群计算算法的形式$y^{p}=f(x)$的曲线的雅可比矩阵，其中$p$是一个素数不划分的程度$f$。我们计算Mordell-Weil秩的雅可比矩阵的三个曲线的这种形式。我们还计算了一个2-Selmer群的雅可比矩阵的光滑平面四次曲线，使用该曲线的双切线，并用它来计算Mordell-Weil秩。
2015-07-29 math.NT
2-Selmer near-companion curves
设$E$和$A$是数域$K$上的椭圆曲线。设$χ$是$K$的二次特征标.在$n=2$情形下，证明了Mazur和Rubin关于$n$ -Selmer近伴曲线的猜想.也就是说，如果$E^χ$和$A^χ$的$2$ -Selmer秩差与$χ$无关，则存在$G_K$ -同构$E[2] \cong A[2]$ .
2016-11-08 math.NT
Parity-induced Selmer Growth For Symplectic, Ordinary Families
设$p$是奇素数，$K/K_0$是数域的二次扩张.用$K_\pm$表示$K$的最大$\mathbb{Z}_p$幂扩张，它们是$K_0$上的伽罗瓦扩张，其中$K_+$是$K_0$上的阿贝尔扩张，$K_-$是$K_0$上的二面角扩张。本文证明了对于满足一定假设的$K_0$上的Galois表示，如果它在$K$上具有奇Selmer秩，则对于其中一个$K_\pm$，它在$L$上的Selmer秩由$[L:K]$（对于$L$，在$K_\pm$中的$K$的有限子扩张上）有界.我们的方法或证明推广了马祖尔-鲁宾的方法，建立在结果的Nekovásness，并适用于阿贝尔品种的任意尺寸，（自对偶扭曲）模块形式的甚至重量，和（扭曲）Hida家庭。
2008-05-16 math.NT
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
2020-06-16 math.NT
Databases of elliptic curves ordered by height and distributions of Selmer groups and ranks
大多数与椭圆曲线的秩相关的系统数据表按导体对曲线进行排序。最近的事态发展，导致工作的Bhargava，Shankar研究的平均大小的$n$ -塞尔默群，已经给出了新上界的平均代数秩在家庭的椭圆曲线超过$\mathbb{Q}$有序的高度。我们描述的数据库中的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$排序的高度，我们计算的行列和$2$ -Selmer组的大小，其分布也可以比较这些理论结果。在这些数据库中观察到的一个引人注目的新现象是，随着身高的增加，平均排名最终会下降。
2016-05-19 math.AG math.NT
Computing the Cassels-Tate pairing on the 3-Selmer group of an elliptic curve
本文将计算椭圆曲线的2-Selmer群上Cassels-Tate配对的Cassels方法推广到3-Selmer群上.这需要对计算的局部和全局部分进行重大修改。我们的方法是实用的，在足够小的例子，并可用于提高上限的椭圆曲线的秩由3-下降。
2013-06-06 math.NT
On the Galois structure of Selmer groups
设A是数域k上的阿贝尔簇，F是k的有限Galois扩张.设p为素数。然后在A和F上的某些不太严格的条件下，我们研究了F上A的p-准素Selmer群的显式Galois结构。我们还使用这样得到的结果，以获得新的界限上的增长的Selmer秩的A超过扩展的k。
2015-05-18 math.NT
The distribution of $\ell^{\infty}$-Selmer groups in degree $\ell$ twist families II
我们继续研究上一篇论文中开始的数域上伽罗瓦模的度$\ell$扭曲族中的$\ell^{\infty}$ -Selmer群的分布。在这一部分中，我们建立了更高的塞尔默群的工作，我们找到了条件，在此条件下，我们可以计算分布的$\ell^{\infty}$ -塞尔默群为一个给定的程度$\ell$扭曲家庭。一路上，我们表明，在任何给定的阿贝尔簇在数域上的二次扭曲家庭的平均秩是有界的。
2023-02-08 math.NT
A formula for the Selmer group of a rational three-isogeny
给出了形如y^2=x^3+a（x-b）^2的椭圆曲线的有理三等距线的Selmer群的维数公式。该公式是根据二次数域Q（\sqrt{a}）和Q（\sqrt{-3a}）的三阶以及这些数域的算术的各个方面而得出的。此外，还利用对偶定理将三等距的Selmer群的维数与其对偶等距的Selmer群的维数联系起来。
1999-06-10 math.NT
