Ratios conjecture for primitive quadratic Hecke $L$-functions
本文在广义黎曼假设下利用多重Dirichlet级数，对类数为1的虚二次域原始二次Hecke $L$-函数族建立了含单位移的比值猜想，并给出中心值一阶矩的无条件渐近公式。
2023-09-25 math.NT
Primitive roots in quadratic fields
考虑实二次域中单位元的Artin原根猜想的一个类似结果.给定这样一个非平凡单位，对于一个在域中惰性的有理素数p，该单位模p的极大序模是p+1。阿丁猜想的一个扩展是，有无穷多个这样的惰性素数，对于这些素数，这个阶是最大的。这是已知目前只有在广义黎曼假设。无条件地，我们证明了在满足某种简单限制的不同实二次域中，对任意7个单位的选择，至少有一个单位满足上述的Artin猜想.
2003-10-14 math.NT
Primitive root producing quadratics
D.H.莱默发现了一个二次多项式，使326是一个原根的第一个206素数表示这个多项式。证明了这与类数一问题和素生成二次型有关。描述了一种算法，以同样的精神找到更令人印象深刻的例子。Y.加洛用它来建立目前的记录，其中206被31082取代。
2004-06-07 math.NT
The existence of primitive normal elements of quadratic forms over finite fields
对于$q=3^r$（$r>0$），用$\mathbb{F}_q$表示$q$阶的有限域，对于正整数$m\geq2$，设$\mathbb{F}_{q^m}$是它的次数$m$的扩张域.本文建立了本原正规元$α$存在的一个充分条件，使得$f(α)$是本原元，其中$f(x)= ax^2+bx+c$，除了至多9个例外对$(q,m)$之外，$a,b,c\in \mathbb{F}_{q^m}$满足$\Fm$中的$b^2\neq ac$.
2020-01-20 math.NT
Quadratic non-residues and non-primitive roots satisfying a coprimality condition
令$q\geq 1$为任意整数，令$ ε\in [\frac{1}{11}, \frac{1}{2})$为给定的实数。本文证明了对所有满足$$ p\equiv 1\pmod{q}, \quad \log\log p > \frac{\log 6.83}{\frac{1}{2}-ε} \mbox{ and } \frac{ϕ(p-1)}{p-1} \leq \frac{1}{2} - ε, $$的素数$p$，存在一个二次非剩余$g$，它不是模$p$的原根，使得$gcd\left(g, \frac{p-1}{q}\right) = 1$ .
2018-09-13 math.NT
Zsigmondy's theorem and primitive divisors of the Lucas and Lehmer sequences in polynomial rings
本文得到了多元多项式环中Lucas序列和Lehmer序列的Zsigmondy定理和原因子结果的类似结果。
2021-08-26 math.NT
The Optimal Coefficients-Based Criterion for Primitive Quadratic Polynomials over Finite Fields
College of Science, North China University of Technology（华北理工大学理学院）；School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University（贵州师范大学数学科学学院）
本文证实Vega关于Lucas序列首零项决定二项式阶与多项式阶的猜想，分类Vega系数判据$b^2\neq2c$成立的有限域，还建立满足$q+1=2^m\pi$的有限域上本原二次多项式的统一系数判据。
2026-09-01 math.NT
A New Proof of Fitzgerald's Characterization of Primitive Polynomials
给出了有限域上本原多项式的Fitzgerald判别法的一个新证明。现有的证明基本上使用有限域上的线性递归理论。在这里，我们给出了一个更短的和独立的证明，它不使用线性递归理论。
2014-01-16 math.NT
Proof of a Conjecture on Primitive Quartic Polynomials over Finite Fields
针对有限域上本原四次多项式的猜想，本文在q足够大时，借助Fu和Wan的定理，通过AI辅助完成了证明。
2026-08-18 math.NT
$r$-primitive $k$-normal polynomials over finite fields with last two coefficients prescribed
本文研究有限域上最后两个系数给定的r-本原k-正规多项式的存在性，证明了其存在的充分条件，并计算了m≥7时3-本原1-正规多项式的所有例外对(q,m)。
2025-04-16 math.NT
Existence of primitive polynomials with three coefficients prescribed
我们用特征和论证了在给定x^（n-1），x^（n-2）和x^（n-3）的系数的有限域GF（q）上n次本原多项式的存在性，只要char（GF（q））至少为5，n至少为9.还考虑了n=7、8的情况。
2003-05-27 math.NT
The translate and line properties for 2-primitive elements in quadratic extensions
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的线性质，如果对于每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$。同样，如果在上面的定义中，$α$被限制为值$1$，我们说$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$拥有translate属性。本文以$r=n=2$为例，证明了$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$对2-本原元具有平移性质，除非$q \in \{5,7,11,13,31,41\}$ .通过一些额外的理论和计算工作，我们还表明，$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$具有线性质的2-本原元，除非$q \in \{3,5,7,9,11,13,31,41\}$。
2019-10-18 math.NT
New observations on primitive roots modulo primes
我们对原根模素数作了许多新的观察。对于奇素数$p$和整数$c$，我们建立了一个关于$\sum_g(\frac{g+c}p)$的定理，其中$g$遍历$1,\ldots,p-1$中所有模$p$的原根，$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号.在数值计算的基础上，我们给出了35个涉及原根模素数的代数式。例如，我们猜想，对于任何素数$p$，都有一个原根$g<p$模$p$，$g-1$是平方，对于任何素数$p>3$，都有一个素数$q<p$，伯努利数$B_{q-1}$是原根模$p$。我们还对一些组合序列的模素数和本原素因子的二次非剩余作了相关的观察。例如，基于启发式的论点，我们推测，对于任何素数$p>3$存在一个斐波那契数$F_k<p/2$，这是一个二次非剩余模$p$ ;这意味着有一个确定性的多项式时间算法来找到平方根的二次剩余模一个素数$p>3$。
2020-02-28 math.NT
Necessary and sufficient conditions on the order of a finite field $\mathbb{F}_q$ for the easy identification of primitive polynomials of degree 2
Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）
给出有限域阶 $q$ 的充要条件，使得形如 $x^2+bx+c$ 的不可约多项式（$b\neq0$，$c$ 为本原元）必为本原多项式，并由此得到一个新的无限族有限域，其中二次不可约多项式的本原性易于判定。
2026-07-03 math.NT
Bounded gaps between prime polynomials with a given primitive root
阿廷的一个著名猜想指出，存在无穷多个素数，其中一个固定整数$g$是原根，只要$g \neq -1$和$g$不是完全平方。由于胡利的工作，我们知道这个猜想是正确的，条件是广义黎曼假设的真理。结合胡利的分析和梅纳德-陶用来证明素数之间存在有界间隙的技术，波拉克证明了（以GRH为条件）具有指定原根的素数之间存在有界间隙。在本文中，我们提供了一个无条件的证明类似的波拉克的工作，在函数域的情况下;即，给定一个一元多项式$g(t)$，它不是任何素数$v$除以$q-1$的$v$次幂，在$\mathbb{F}_q[t]$中的一元不可约多项式$P(t)$之间存在有界间隙，其中$g(t)$是其原根（也就是说，$g(t)$生成以$P(t)$为模的单元组）。特别是，我们得到有界的原始多项式之间的差距，相应的选择$g(t) = t$。
2015-04-15 math.NT
On the Coefficients of Primitive Normal polynomials
文[4]证明了在有限域GF（q）中，对任意大的q，存在n次的具有k个给定系数的本原多项式和本原正规多项式。本文给出了关于本原正规多项式的一个结果的更好的形式。
2005-10-01 math.CO math.NT
Classification of one-class spinor genera for quaternary quadratic forms
一个二次型有一个单类旋量亏格，如果它的旋量亏格由一个等价类组成。本文确定了只有一个原始四元亏格具有单类旋量亏格而不是单类亏格。在所有其他情况下，原始四元格的亏格要么有一个亏格和旋量亏格重合，要么亏格分裂成多个旋量亏格，而旋量亏格又分裂成多个等价类。
2019-04-16 math.NT
Iterated primitives of logarithmic powers
迭代基元的幂的计算以封闭形式表示。这些表达式包含多项式，其系数以调和数及其推广形式给出。这些多项式的对数建立。
2010-03-11 math.NT
Primitive Polynomials of the Form $g(x)+λ$ over Finite Fields: Non-Existence Results and Conjectures
Department of Mathematics, Shri Ram College of Commerce, University of Delhi（德里大学斯里拉姆商业学院数学系）
本文研究有限域上形如 $f(x)=g(x)+λ$ 的本原多项式的存在性，构造反例证明相关猜想不成立，在特征不整除 $m$ 的条件下推导了该类本原多项式存在的充分条件。
2026-10-20 math.NT
Enumerating maximal definite quadratic forms of bounded class number over Z in n >= 3 variables
本文给出了一个计数n ≥ 3元本原（正）定极大Z值二次型Q且有界类数h（Q）<= B的算法。我们通过分析精确的质量公式[GHY]来做到这一点，并将所有相关的局部不变量绑定到只给出200多种可能性。我们还简要地描述了这个算法的开源实现，我们已经写在Python/Sage显式枚举所有这样的二次型的有界类数n >= 3个变量。利用这一点，我们确定了类数为1的n ≥ 3元的极大Z值二次型的本原正定数为115，并给出了它们的一个列表。在以后的文章中，我们将通过扩展这些算法来完成这一思想链，从而允许枚举所有秩n >= 3的本原极大全定O_F-值二次格，其中O_F是任何全实数域F的整数环。
2011-10-09 math.NT
The Exact Enumeration of $4$-nomial and $5$-nomial Multiples of the Product of Primitive Polynomials over GF(2)
本文针对 GF(2) 上本原多项式乘积，精确计数其 4 项式与 5 项式倍式，并反驳既有猜想，为抗相关攻击的 LFSR 连接多项式选择提供依据。
2025-07-24 math.NT
Primitive prime divisors and the $n$-th cyclotomic polynomial
本原素除子在群论和数论中起着重要的作用。研究了一个数论量$Φ^*_n(q)$，它与分圆多项式$Φ_n(x)$和$q^n-1$的本原素除子密切相关.我们给出了$Φ^*_n(q)$的新定义，并证明了它与Hering给出的定义是等价的.给定正常数$c$和$k$，我们给出了一个确定所有$(n,q)$与$Φ^*_n(q)\le cn^k$对的算法.这个算法是用来推广（和纠正）的结果，这是有用的分类某些家庭的有限线性群的子群。
2016-10-09 math.NT
Primitive and totally primitive Fricke families with applications
本文介绍了Replike族的连续性，并给出了一些例子。作为其应用，我们首先构造了水平$N$的模曲线的函数域的生成元，分别用Sparke函数和Siegel函数表示.此外，我们利用水平$N$的一个全本原的Schlemke族中的某个函数的特殊值，来生成虚二次域的束类域。
2016-11-11 math.NT
Primitive Divisors of some Lehmer-Pierce Sequences
本文研究了$(Δ_n)_{n \geq 1}$的各项的本原因子，其中$Δ_n=N_{K/ \mathbb{Q}}(u^n-1)$对$K$是实二次域，$u>1$是它的整数环的单位元.所使用的方法允许我们找到序列中没有原始素除子的项。
2007-08-16 math.NT
On $r$-primitive $k$-normal polynomials with two prescribed coefficients
本文研究了有限域上具有指定次数和两个给定系数的 $r$-本原 $k$-正规多项式的存在性，建立了充分条件并利用SageMath计算验证了特定参数下的存在情况与不确定对数量。
2024-05-31 math.NT
Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues
本文研究了乘法定义的集合，如无平方整数，二次非剩余或原根，在加法描述的集合，如和集或希尔伯特立方体中的等分布.特别是，我们表明，如果一个固定的任何比例小于$40\%$的所有数字的一个给定的二进制位长度的数字，那么剩余的一组仍然具有渐近预期的squarefree整数的数量。其次，我们研究了模大素数$p$的原根的分布，建立了Hilbert立方体在原根集中的最大维数的一个新的上界，改进了作者以前的一个结果.最后，我们研究了有限域上的和集，并在基数足够大的情况下，渐近地找到了这种和集中的二次剩余和非剩余的期望个数。这大大改进了Dartyge，Mauduit和Sárközy最近的结果。我们的方法引入了一些新的思想，结合了各种方法，如指数和特征和的界，数的几何和加法组合。
2016-01-18 math.NT
Binary quadratic forms as dessins
我们证明了每一个本原不定二元二次型的类都可以自然地表示为一个无限图（名为çark），该无限图具有嵌入在共形环上的唯一圈。这个循环被称为方舟的脊柱。每一个选择一个固定的方格的边指定一个不定二元二次型在由方格表示的类中。在由一个çark表示的类中的约化形式对应于它的脊上的一些显著的边。高斯归约是将边缘向柜脊方向移动的过程。互反类和互反类由具有对称性的类表示。周期性夸克代表非原始形式的类。
2015-08-07 math.NT
Composition laws of binary quadratic forms and isolations of quadratic forms
本文证明了任何一元和二元二次型分别不存在二元和三元孤立，并利用本原二元二次型的复合律证明了在形式类群无阶4元素时四元孤立判别式的整数平方性质。
2025-08-11 math.NT
Diagonal odd-regular ternary quadratic forms
一个（正定本原积分）二次型称为奇正则的，如果它表示每一个局部表示的奇正整数。本文证明了最多存在147个对角奇正则三元二次型，并证明了除6个候选形式外的所有候选形式的奇性。
2020-07-09 math.NT
Nonvanishing of quadratic Dirichlet L-functions at s=1/2
我们证明，对于正比例的基本判别式d，L（1/2，chi_d）！0.这里chi_d是导体d的本原二次狄利克雷特征标。
2000-09-01 math.NT
Primitive prime divisors in zero orbits of polynomials
令$(b_n) = (b_1, b_2, ...)$为整数序列。项$b_k$的本原素因子是除$b_k$但不除序列的任何先前项的素数。多项式$f(z)$的零轨道是整数序列$(c_n)$，其中第$n$项是$f$在0处的第$n$项。我们考虑多项式零轨道的本原素除子。本文证明了：对于整数$c$和$d$，其中$d > 1$和$c \neq \pm 1$，当0有无穷轨道时，$f(z) = z^d + c$的零轨道中的每个素数都包含一个本原素数.如果是$c = \pm 1$，则第一个素数之后的每个素数都包含一个本原素数。
2011-06-02 math.DS math.NT
A characterization of almost universal ternary quadratic polynomials with odd prime power conductor
一个整二次多项式（具有正定二次部分）称为几乎泛多项式，如果它表示除1/2个正整数以外的所有正整数。本文引入了二次多项式的导体，并给出了几乎泛三元二次多项式具有奇素数幂导体的一个有效刻画。
2014-02-07 math.NT
A Characterization of almost universal ternary inhomogeneous quadratic polynomials with conductor 2
一个整二次多项式（具有正定二次部分）称为几乎泛多项式，如果它表示除1/2个正整数以外的所有正整数。本文给出了导体为2的几乎泛三元二次多项式的一个刻划。
2015-01-07 math.NT
A Note on Stable Quadratic Polynomials over Fields of Characteristic Two
本文首先证明了特征为2的有限域上不存在稳定的二次多项式，然后证明了特征为2的函数域上存在稳定的二次多项式。
2009-10-23 math.NT
Representations of integral quadratic polynomials
本文研究整二次多项式的表示。特别地，证明了正三元泛整二次多项式的等价类只有1000个，正则三元三角形的等价类只有1000个。对整体域内戴德金整环上的积分二次多项式也作了更一般的讨论。
2012-08-30 math.NT
A lower bound for the rank of a universal quadratic form with integer coefficients in a totally real number field
我们证明了，如果$K$是一个单演的，原始的，全实数域，其中包含每个签名的单位，那么存在一个下界的秩定义在$K$的整数泛二次型。特别是，我们扩展了Blomer和Kala的工作，证明了存在无穷多个完全实立方数域，它们没有一个给定秩的通用二次型。对于单位范数为负的实二次数域，证明了泛二次型的最小秩随数域判别式的增长而趋于无穷大。这些结果来自于对交错多项式的研究。具体来说，我们表明，只有1000多个不可约的首一多项式有关的原始数字段的一个给定的程度，有界数量的交错多项式。
2018-08-04 math.NT
On the size of primitive sets in function fields
一个集合是本原的，如果没有一个集合的元素能整除另一个集合。我们考虑本原集的首一多项式在有限域，并找到自然的推广许多结果的原始集的整数。特别地，我们推广了Besicovitch的一个结果，证明了在$\mathbb{F}_q[x]$中存在上密度任意接近于$\frac{q - 1}{q}$的本原集.然后，对于一个原始的集合$A$，我们考虑的总和$\sum_{a \in A} \frac{1}{q^{°a}°a}$，自然的模拟在这个设置的总和认为Erdens的原始子集的整数，并表明，它是一致有界的所有原始集$A$。最后，我们概括了马丁和Pomerance的工作的渐近增长率的计数函数的原始集。一路上，我们证明了一个定量模拟的Hardy-Ramanujan定理的功能领域，以及界的大小的$k$第不可约多项式。
2020-01-24 math.NT
A general approach to permutation polynomials from quadratic forms
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
本文研究特征2有限域上的置换多项式，通过建立其与二次型的联系，提出一般刻画方法，并利用特征和的确定明确描述了几类置换多项式。
2026-10-28 math.NT
Counting solutions to quadratic polynomials
本文利用圆法，对一类二次多项式建立了关于系数一致的整数解数量渐近公式。
2024-05-07 math.NT
Class numbers of binary quadratic polynomials
本文给出了二元二次多项式真类数的公式，并以此研究全正二元二次多项式真类数的增长，证明了具有固定二次部分和固定真类数的全正二元二次多项式的有限性结果。
2025-01-28 math.NT
Primes represented by quadratic polynomials via exceptional characters
本文利用判别式$Δ$估计了一般二次多项式所表示的素数的个数，并假设相应的实特征是例外的。
2020-11-10 math.NT
Primes Generated by Recurrence Sequences
考虑由二次多项式定义的整数序列的项的本原因子。除了一些小的反例，当一个项有一个本原因子时，这个本原因子是唯一的。看起来有一个原始因子的项数有一个自然密度。我们讨论了两个启发式的参数，建议该密度的值，一个使用最近的进展多项式同余的根的分布。
2006-03-02 math.NT
Irreducible quadratic polynomials and Euler's function
令$P(x)$是$\mathbb{Z}[x]$中的不可约二次多项式。我们证明了对于几乎所有的$n$，$P(n)$不位于Euler函数的值域内.
2018-10-30 math.NT
Benedetto's trick and existence of rational preperiodic structures for quadratic polynomials
我们改进了R. Benedetto在p-adic分析，以展示无穷多个二次多项式与合理的系数，有一个特定的图形的合理preperiodic点。
2013-05-01 math.NT
Primitive Divisors of Lucas Sequences in Polynomial Rings
本文研究多项式环中 Lucas 序列的本原除子，建立与经典正则 Lucas 序列相对应的结果，并纠正既有定理。
2025-03-13 math.AC math.NT
On the number of integral quadratic polynomials with bounded heights and discriminants
本文给出了当高度的上界趋于无穷大时，具有有界高度的整二次多项式及其判别式的渐近数。
2013-08-09 math.NT
Polynomials Consisting of Quadratic Factors with Roots Modulo Any Positive Integer
本文给出了一类多项式的无穷族，它们的根模为每一个正整数，但没有有理根。这个族中的每个多项式都是由一元二次因子组成的，没有线性项。
2021-02-17 math.NT
On the Moments of Certain Families of Dirichlet $L$-functions
本文讨论了当$ψ$是奇数模$q$的固定偶本原非二次特征标，$χ_{8d}$是本原二次特征标，$d\equiv h\pmod r$是奇数无平方数，$r\equiv0\pmod q$是偶数时，本原Dirichlet $L$ -函数$L(1/2,χ_{8d}\otimesψ)$中心值的期望值和二阶矩的渐近公式的计算问题.限制于这些等差数列确保了所得到的$L$ -函数的集合各自形成由Conrey、Farmer、Keating、Rubinstein和Snaith定义的特定意义上的“原始$L$ -函数族”。Soundararajan以前计算过这些量，但没有将它们限制在等差数列中。事实证明，对等差数列的限制引入了非对角项，这需要我们在本文中进行更详细的分析。
2022-01-27 math.NT
Some results on integer solutions of quadratic polynomials in two variables
我们使用我们以前的工作中的思想来获得一些定理，这些定理将允许我们获得表示自然数的二元二次多项式的整数解
2020-06-04 math.NT
Smooth values of some quadratic polynomials
本文利用Luca和作者的方法，求出了使二次多项式$x^2+1,$ $x^2+4,$ $x^2+2$和$x^2-2$为200-光滑的所有$x$值和使二次多项式$x^2-4$为100-光滑的所有$x$值.
2010-05-10 math.NT
Local densities of quadratic polynomials over non-dyadic fields and unramified dyadic fields
本文为非二进域和非分歧二进域上的二次多项式建立了局部密度的精确公式。
2024-07-19 math.NT
Quartic and Octic Characters Modulo n
模n的本原二次Dirichlet特征标的平均数随着n->infty趋于常数。对于原始立方字符也是如此。因此令人惊讶的是，当n->infty时，模n的原四次特征标的平均数随ln（n）而增长，模n的原八次特征标的平均数随ln（n）^[2]而增长。计算了渐近表达式中的首项系数。
2016-03-25 math.NT
Efficient polynomial time algorithms computing industrial-strength primitive roots
E.巴赫，遵循T。Itoh，已经展示了如何构建一个小的数字集合模一个素数p，使得这个集合中至少有一个元素是$\pF{p}$ \cite{Bach:1997:sppr,Itoh:2001:PPR}的生成元。E.巴赫还建议，他的作品集至少有一半应该是发电机。我们在这里表明，一个轻微的变化，这一套确实可以包含一个比率的原始根接近1的必要。因此，我们推导出几个算法计算原根正确的概率非常高，在多项式时间。特别是，我们提出了一个渐进的$O^{\sim}(\sqrt{\frac{1}ε}log^1.5(p) + \log^2(p))$算法提供原始根的$p$的正确性概率大于$1-ε$和几个$O(log^α(p))$，$α\leq 5.23$算法计算“工业强度”原始根的概率，例如大于“硬件故障”的概率。
2008-12-09 cs.SC math.NT
A Refined Conjecture For Factoring Iterates Of Quadratic Polynomials Over Finite Fields
Jones和Boston证明了有限域上不可约二次多项式迭代的因式分解过程可用Markov模型来近似。在本文中，我们发现了一些二次多项式，特别是尾部大小为1的二次多项式的意外和复杂的行为。我们还提出了一个多步马尔可夫模型，比琼斯和波士顿的模型更好地解释了这些新的观察。
2013-12-25 math.NT
