发表机构
Department of Mathematics, Shri Ram College of Commerce, University of Delhi（德里大学斯里拉姆商业学院数学系）
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本文研究有限域上形如 $f(x)=g(x)+λ$ 的本原多项式的存在性，构造反例证明相关猜想不成立，在特征不整除 $m$ 的条件下推导了该类本原多项式存在的充分条件。
AI 中文摘要
本文研究形如 $f(x)=g(x)+λ$ 的本原多项式的存在性，其中 $g(x)\in\mathbb{F}_q[x]$ 满足 $g(0)=0$，$λ$ 是 $\mathbb{F}_{q^n}$ 的本原元。该问题由文献[TSR]的猜想4.1和9.1引出。猜想4.1预测，对所有 $m,n\geq2$，存在 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上次数为 $m$、形如 $f(x)=g(x)+λ$ 的本原多项式，其中 $g(0)=0$，$λ$ 是 $\mathbb{F}_{q^n}$ 的本原元。猜想9.1进一步断言，当 $m=3$、$n=2$ 时，对每个素数幂 $q$，多项式 $x^3+x^2+x+α$ 在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上是本原的，其中 $α$ 是乘法群 $\mathbb{F}_{q^2}^{*}$ 的生成元。我们通过在合适的有限域上构造显式反例，证明这些猜想一般不成立。另一方面，假设 $\mathbb{F}_q$ 的特征不整除 $m$，我们推导出上述形式本原多项式存在的充分条件。由此证明，对所有 $m\geq3$、$n\geq2$，当有限域的特征不整除 $m$ 且域足够大时，猜想中的多项式存在。
英文摘要
In this paper, we investigate the existence of primitive polynomials over $\mathbb{F}_{q^n}$ whose constant term is a primitive element of $\mathbb{F}_{q^n}$. We prove that such polynomials do not exist if $q$ is odd, $q^n\equiv3\pmod{4}$, and the degree $m$ of the polynomial is odd. In particular, the polynomials $f(x)=g(x)+λ$, where $g(x)\in\mathbb{F}_q[x]$ satisfies $g(0)=0$ and $λ\in\mathbb{F}_{q^n}$ is primitive, cannot be primitive under the same conditions. Further, for the cubic polynomial $x^3+x^2+x+λ$, we establish non-existence results in characteristics $2$ and $3$. These results, in particular, provide counterexamples to previously proposed existence conjectures. We also study the family $x^p+x+λ$ over $\mathbb{F}_{p^n}$. For an odd prime $p$, we prove that, provided $\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iλ^{p^i}\neq0$, the polynomial $x^p+x+λ$ is irreducible over $\mathbb{F}_{p^n}$ if and only if $n$ is even. Motivated by this result and supported by computational evidence, we formulate conjectures concerning the existence of such primitive polynomials, including the stronger assertion that $x^p+x+λ$ is primitive for every primitive $λ\in\mathbb{F}_{p^2}$.
