Top-Down Lower Bounds for Depth-Four Circuits
本文提出自顶向下下界方法，利用鲁棒向日葵和块不可预测性，为奇偶校验函数需要指数级规模的深度4电路这一经典结论提供了新证明。
2024-05-02 cs.CC
On the power of homogeneous depth 4 arithmetic circuits
我们证明了指数下界的大小均匀深度4算术电路计算显式多项式$VP$。我们的结果适用于{ \it迭代矩阵乘法}多项式-特别是，我们表明，任何均匀的深度4电路计算$n$通用矩阵的尺寸$n^{O(1)}$的产品中的$(1,1)$条目必须有大小$n^{Ω(\sqrt{n})}$。我们的研究结果在两个重要方面加强了以前的工作。我们的下界对$VP$中的多项式成立。在我们的工作之前，Kayal等人[KLSS 14]证明了在$VNP$中计算多项式的齐次深度4电路（特征零域）的指数下界。深度为4的齐次电路在$VP$中计算一个poly的最著名的下界是$n^{Ω(\log n)}$由[LSS，KLSS 14]得到的界，我们的指数下界也给出了一般算术电路和齐次深度为4的算术电路之间的第一个指数分离.特别是，它们意味着Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的深度缩减结果即使对于一般均匀深度4电路的缩减（没有有界底部扇入的限制）也是紧密的。我们的下界对所有域都成立。[KLSS 14]的下界仅适用于特征为零的域。在我们的工作之前，均匀深度4电路在正特性场上的最佳下界是$n^{Ω(\log n)}$ [LSS，KLSS 14]。
2014-04-07 cs.CC
Circuit Depth Reductions
针对无限制电路的最佳已知尺寸下限保持在$3n$附近几十年。此外，唯一已知的技术，证明在这个模型中的下限，门消除，是固有的限制，证明下限小于$5n$。在这项工作中，我们提出了一个非门消除方法获得电路下界，通过一定的深度三个下界。我们证明了每一个（无界深度）电路的大小$s$可以表示为一个或$2^{s/3.9}$ $16$-CNFs。对于德摩根公式，最著名的大小下限几十年来一直停留在$n^{3-o(1)}$附近。在概率多项式的合理假设下，我们证明了$n^{4-\varepsilon}$大小的DeMorgan公式具有$2^{n^{1-Ω(\varepsilon)}}$大小的深度为3的回路，它们是${\mathbb F}_2$上的$n^{1-Ω(\varepsilon)}$次数多项式的近似和.虽然这些结构性结果不会立即导致新的下界，但它们确实建议了对这些长期存在的下界问题进行攻击的新途径。我们的结果补充了Valiant的经典深度- $3$约化结果，该结果表明线性尺寸的离散深度电路可以通过$2^{\varepsilon n}$ $n^δ$ -CNFs的OR来计算，并且对于串并联电路的结果略强。众所周知，没有纯粹的图论简化可以从超对数深度的电路中产生有趣的深度3电路。我们克服了这一限制（小尺寸电路），考虑到电路和公式的图论和功能特性。我们发现，以下伪随机结构的改进意味着新的电路下界：分散剂的品种…
2020-12-07 cs.CC
A Near-Optimal Depth-Hierarchy Theorem for Small-Depth Multilinear Circuits
我们研究了在多线性环境下，将积深度为$Δ+1$的代数电路转换为积深度为$Δ$的代数电路所需的尺寸爆破。我们发现，对于每一个积极的$Δ= Δ(n) = o(\log n/\log \log n),$有一个明确的多线性多项式$P^{(Δ)}$ $n$变量，可以计算的多线性公式的产品深度$Δ+1$和大小$O(n)$，但不是由任何多线性电路的产品深度$Δ$和大小小于$\exp(n^{Ω(1/Δ)})$。这一结果与所有$Δ= o(\log n/\log \log n).$的双指数中隐含的常数紧密相关。这加强了Raz和Yehudayoff的结果（计算复杂性2009），他们证明了常数深度多线性电路的拟多项式分离，以及Kayal的结果，奈尔和萨哈（STACS 2016）在$Δ= 1.$的情况下给出了指数分离。我们的分离例子可以看作是图可达性的变体的代数类似物。Chen，Oliveira，Servedio和Tan（STOC 2016）研究的问题，他们使用它们来证明常数深度布尔电路的下界。
2018-04-07 cs.CC
Super-Linear Gate and Super-Quadratic Wire Lower Bounds for Depth-Two and Depth-Three Threshold Circuits
为了正式理解神经计算的能力，我们首先需要破解两层和三层阈值电路的前沿，这是一种令人惊讶的难以分析的机制。我们证明了第一个超线性门下界和第一个超二次线下界的深度为2的线性阈值电路的任意权重，和深度为3的多数电路计算一个显式函数。$\bullet$我们证明了，对于所有的$ε\gg \sqrt{\log(n)/n}$，线性时间可计算的Andreev函数不能计算$(1/2+ε)$分数的$n$位输入的深度2线性阈值电路的$o(ε^3 n^{3/2}/\log^3 n)$门，也不能计算与$o(ε^{3} n^{5/2}/\log^{7/2} n)$线。这为阈值电路建立了一个平均情况下的“大小层次”，因为Andreev函数可以通过$o(n^3)$线性阈值门的均匀深度2电路和$O(n)$多数门的均匀深度3电路来计算。$\bullet$我们提出了一个新的功能，在$P$的基础上小偏置集，我们证明了不能计算的多数表决的深度为2的线性阈值电路与$o(n^{3/2}/\log^3 n)$门，也与$o(n^{5/2}/\log^{7/2}n)$线。$\bullet$我们给出了紧密的平均情况下（门和线）复杂性计算奇偶校验与深度两个阈值电路的结果，答案原来是相同的深度两个多数电路。关键是线性阈值函数的一个新的随机约束引理。我们的主要分析工具是加法组合学中的Littlewood-Offord引理。
2015-11-24 cs.CC cs.NE
Constant-depth circuits for polynomial GCD over any characteristic
本文证明了在任意足够大的域上，无论特征如何，两个单变量多项式的GCD均可由常数深度和多项式大小的代数电路计算，扩展了已有结果并加强了小特征域下的封闭性。
2025-06-29 cs.CC
The Power of Depth 2 Circuits over Algebras
研究了矩阵代数上深度为2的算术电路的多项式恒等式测试问题。我们证明了域F上深度为3的（Sigma-Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试是多项式时间等价于域U_2（F）上深度为2的（Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试。这样的联系是有点令人惊讶的，因为我们还表明，作为计算模型，在U_2（F）上的Pi-Sigma电路严格“弱”于在F上的Sigma-Pi-Sigma电路。该等价性进一步表明，深度为3的算术电路的PIT可退化为宽度为2的平面交换代数分支程序的PIT。因此，即使在宽度为2的情况下，交换ABP的身份测试也是有趣的。进一步，我们给出了F上任意常维交换代数上Pi-Sigma电路的确定性多项式时间恒等式检验算法。而在多项式维数的交换代数上，恒等式检验至少和F上的Sigma-Pi-Sigma电路一样困难。
2009-04-14 cs.CC cs.DS
Smaller ACC0 Circuits for Symmetric Functions
具有$MOD_m$门的恒定深度电路的功率是多少，可以对$m$进行模计数？他们能有效地计算MAJORITY和其他对称函数吗？当$m$是一个常数素数幂时，答案是很好理解的：Razborov和Smolensky在20世纪80年代证明了MAJORITY和$MOD_m$需要超多项式大小的$MOD_q$电路，其中$q$是不整除$m$的任何素数幂。然而，对于非素数功率$m$，关于$MOD_m$电路的功率知之甚少。例如，$EXP$中的每个问题是否都可以通过多项式大小的深度$3$电路和仅$MOD_6$门来计算仍然是开放的。通过给出新的上界，我们揭示了$MOD_m$电路下界证明的困难。我们构建$MOD_m$电路计算对称函数与非素数电源$m$，与大小深度权衡击败长期以来的下限$AC^0[m]$电路素数电源$m$。我们的尺寸深度权衡电路具有基本上最佳的依赖$m$和$d$的指数，在一个自然的电路复杂性假设。例如，对于每个$\varepsilon > 0$，我们证明了每个对称函数都可以用$\exp(O(n^{\varepsilon}))$大小的深度为3的$MOD_m$电路来计算，对于常数$m$，它只取决于$\varepsilon > 0$。也就是说，深度- $3$ $CC^0$电路可以计算\emph{subexponential}大小的任何对称函数.这表明，与其他模型相比，深度- $3$ $CC^0$电路的功…
2021-07-09 cs.CC
Improved Monotone Circuit Depth Upper Bound for Directed Graph Reachability
证明了有向图的可达性问题（传递闭包）可以用深度为（1/2+o（1））（log n）^2的单调扇入2布尔回路来解决，其中n是节点数.这改进了先前已知的上界（1+o（1））（log n）^2。这个证明是非构造性的，但我们给出了上界（7/8+o（1））（log n）^2的构造性证明。
2008-09-22 cs.CC
Lower Bounds on Circuit Depth of the Quantum Approximate Optimization Algorithm
量子近似优化算法（QAOA）是一种近似求解组合优化问题的方法。虽然QAOA被开发来解决广泛的一类组合优化问题，但目前还不清楚哪类问题最适合它。证明量子优势的一个因素是问题实例与实现QAOA方法所需的电路深度之间的关系。由于NISQ器件中的误差随电路深度呈指数级增加，因此识别电路深度的下限可以提供对何时量子优势可行的见解。在这里，我们确定如何的问题实例的结构可以用来确定电路深度的下限QAOA的每次迭代，并检查问题结构和电路深度之间的关系，包括MaxCut和MaxIndSet的各种组合优化问题。具体来说，我们展示了如何推导出一个图，$G$，它描述了一个一般的组合优化问题，并显示电路的深度至少是色指数的$G$。通过查看电路深度的缩放，我们认为，MaxCut，MaxIndSet，顶点覆盖和布尔satisifiability问题的一些实例是适合QAOA方法，而背包和旅行销售人员的问题是不。
2020-08-12 cs.CC math.OC quant-ph
A Logical Characterization of Constant-Depth Circuits over the Reals
本文给出了实值计算的Immerman定理。我们定义的电路在实数上运行，并表明，家庭这样的电路的多项式大小和恒定的深度决定了这些套向量的实数，可以定义在一阶逻辑的R-结构的意义上的Cucker和梅尔。我们的表征持有非均匀以及许多自然的均匀性条件。
2023-03-15 cs.CC
Simple Hard Instances for Low-Depth Algebraic Proofs
我们证明了超多项式下界上的命题证明系统的大小与恒深代数电路在零特征领域。具体而言，我们表明，子集和变量$\sum_{i,j,k,\ell\in[n]} z_{ijk\ell}x_ix_j x_k x_\ell - β=0$，布尔变量，没有多项式大小的IPS反驳反驳的反驳是多线性的，并作为常数深度电路。Andrews和Forbes（STOC'22）最近建立了一个恒定深度的IPS下界，但他们的硬实例本身没有小的恒定深度电路，而我们的实例已经可以用小的深度2电路计算。我们的论点依赖于最近的突破下界对恒定深度代数电路Limaye，Srinivasan和Tavenas（FOCS'21）的功能下界框架福布斯，Shpilka，Tzameret和Wigderson（TOC'21），并可能是独立的利益。具体地说，我们构造了一个多项式$f$可计算的小规模的恒定深度的电路，这样的多线性多项式计算$1/f$布尔值和其适当的集合多线性投影是很难的恒定深度的电路。
2022-05-15 cs.CC
Cancellation-Free Circuits in Unbounded and Bounded Depth
我们研究的概念“取消免费”电路。这是线性布尔电路（XOR电路）的一个限制，但可以被认为是等价于以前研究的计算模型。这个概念是由Boyar和Peralta在一个特殊的电路最小化问题的数学研究中提出的。他们问最小的无抵消电路和最小的线性电路之间的差距有多大。我们表明，差异可以是一个因素$Ω(n/\log^{2}n)$。这改善了最近的结果Sergeev和Gashkov谁研究了类似的问题。此外，我们的证明适用于恒定深度的电路。我们还研究了使用无消去电路计算Sierpinski矩阵的复杂性，并给出了一个紧的$Ω(n\log n)$下界。
2014-10-17 cs.CC
Functional lower bounds for arithmetic circuits and connections to boolean circuit complexity
如果对于每个$x \in \{0,1\}^n$，我们都有那个$C(x) = P(x)$，我们说域$F$上的电路$C$在函数上计算$n$变量多项式$P$。这与当$C \equiv P$作为形式多项式时按语法计算$P$相反。本文研究了齐次深度$3$和深度$4$算术电路的函数计算下界的证明问题。我们证明了以下结果：1. $VNP$中多项式的指数下界齐次深度$3$算术电路。2.对于$VNP$中多项式具有有界个别次数的齐次深度$4$算术电路的指数下界。我们的主要动机，这条线的研究来自于我们的观察，足够强大的功能下限，甚至非常特殊的深度- $4$算术电路的永久意味着分离之间的${\#}P$和$ACC$。因此，改进第二个结果以摆脱有界个体度条件可以导致布尔电路复杂性的实质性进步。此外，从Kumar和Saptharishi [KS 15]最近的一个结果可知，在常数大小的有限域上，齐次深度- $4$回路的足够强的平均情况泛函下界意味着齐次深度- $5$回路的超多项式下界.我们的证明是基于一个家庭的新的复杂性措施，称为转移评估维度，可能是独立的利益。
2016-05-13 cs.CC
Towards Deterministic Algorithms for Constant-Depth Factors of Constant-Depth Circuits
本文提出确定性次指数时间算法，利用伪结式及相关去随机化结果，枚举常数深度电路可计算的多元多项式不可约因子。
2024-03-04 cs.CC cs.DS
Improved bounds for reduction to depth 4 and depth 3
Koiran表明，如果一个$n$ -变量多项式的程度$d$（与$d=n^{O(1)}$）计算的电路大小$s$，那么它也计算的均匀电路的深度4和大小$2^{O(\sqrt{d}\log(d)\log(s))}$。利用这一结果，古普塔，Kamath，Kayal和Saptharishi给出了一个$\exp(O(\sqrt{d\log(d)\log(n)\log(s)}))$上限的大小最小的深度三个电路计算$n$ -变量多项式的程度$d=n^{O(1)}$由电路的大小$s$。我们在这里改进Koiran的边界。事实上，我们表明，如果我们减少一个算术电路的深度为4，那么大小成为$\exp(O(\sqrt{d\log(ds)\log(n)}))$。模仿Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi的证明，它也暗示了深度三个电路的相同上界。这个新的界限是不远处从最佳的意义上说，古普塔，Kamath，Kayal和Saptharishi也显示了$2^{Ω(\sqrt{d})}$下界的大小均匀深度四电路，使门在底部有扇入最多$\sqrt{d}$。最后，我们表明，这最后一个下界也成立，如果扇入至少是$\sqrt{d}$。
2014-05-16 cs.CC
A Model-Theoretic Characterization of Constant-Depth Arithmetic Circuits
研究了由无限扇入加法和乘法门的常数深度多项式大小算术电路计算的函数类$\textrm{AC}^0$。到目前为止，没有数学电路类的模型理论表征。受Immerman的布尔类$\textrm{AC}^0$的表征的启发，我们补救这种情况，并开发这样的表征$\textrm{AC}^0$。我们的特征可以解释如下：功能在$\textrm{AC}^0$正是那些功能计数获胜的策略在一阶模型检验游戏。我们的结果的一个后果是一个新的模型理论表征的$\textrm{TC}^0$，接受的语言类的常数深度多项式大小的多数电路。
2017-10-05 cs.CC cs.LO
CLIQUE as an AND of Polynomial-Sized Monotone Constant-Depth Circuits
本文证明了在 n 顶点图上计算 k-CLIQUE 需要至少 2^{n/4k} 个单调常深度多项式规模电路的 AND，并为此提出了一个新的单调单侧切换引理。
2024-01-23 cs.CC
A Note on Polynomial Identity Testing for Depth-3 Circuits
令$C$为深度3算术电路，其大小至多为$s$，计算多项式$ f \in \mathbb{F}[x_1,\ldots, x_n] $（其中$\mathbb{F}$ = $\mathbb{Q}$或$\mathbb{C}$），并且$C$的乘积门的扇入由$d$界定。给出了一个确定性多项式恒等式检验算法，用于及时检验是否为$f\equiv 0$.
2018-05-20 cs.CC
Optimal Space-Depth Trade-Off of CNOT Circuits in Quantum Logic Synthesis
退相干--在量子计算机的当前物理实现中--使得深度缩减成为量子电路设计中的一项重要任务。Moore和Nilsson（SIAM Journal of Computing，2001）证明了额外的量子位-称为辅助-可以用来提供扩展的空间来并行化量子电路。具体地说，他们证明了，有了$O(n^2)$辅助器，任何$n$ -量子比特CNOT电路都可以转换成$O(\log n)$深度的等价电路。然而，近期的量子技术只能支持有限数量的量子比特，使得空间深度权衡成为量子电路综合的基础研究课题。在这项工作中，我们建立了一个渐进最佳的空间深度权衡CNOT电路。我们证明了任何$n$ -量子比特CNOT电路都可以用$m$辅助器并行化到$$O\left(\max\left\{\log n, \frac{n^2}{(n+m)\log (n+m)}\right\}\right)$$深度.即使任务从精确合成扩展到具有任意两量子比特量子门的CNOT电路的近似，这个界限也是紧的。我们的结果可以通过Aaronson和Gottesman（Physical Review A，2004）的简化扩展到稳定器电路。此外，我们提供的硬度证据优化CNOT电路的大小或深度。我们的结果改进了前两篇激励我们工作的论文。Moore-Nilsson的$O(\log n)$深度CNOT电路合成的构造（前面提到）：我们通过证明$m= O(n^2/\l…
2022-09-23 cs.CC cs.DS quant-ph
On top fan-in vs formal degree for depth-$3$ arithmetic circuits
我们证明了在复数域上，\emph{every}齐次多项式的次数$d$可以近似（在边界复杂性意义下）的深度$3$算术电路的顶部扇入最多$d+1$。这是相当令人惊讶的，因为在次数$2$的$n$变量上存在齐次多项式$P$，使得计算$P$的任何深度$3$算术电路必须具有至少$Ω(n)$的顶部扇入。作为一个应用，我们在Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi [GKKS 13]的著名深度缩减结果的近似模拟中得到了顶部扇入和形式度之间的新权衡。形式上，我们表明，如果一个程度$d$齐次多项式$P$可以由大小$s$的算术电路计算，然后对于每个$t \leq d$，$P$是在顶部扇入$s^{O(t)}$和正式程度$s^{O(d/t)}$的深度$3$电路的边界。据我们所知，在[GKKS 13]的原始证明中，顶部扇入的上界总是至少为$s^{O(\sqrt{d})}$，而不管形式程度如何。
2018-04-10 cs.CC
Bounds on the Size of Small Depth Circuits for Approximating Majority
本文证明了对每个常数$0 < ε< 1/2$和$d \geq 2$，$ε$ -逼近$n$变量上的择多函数的深度$d$布尔电路的最小规模是exp $(Θ(n^{1/(2d-2)}))$ . O 'Donnell和Wimmer [ICALP'07]以前已经给出了每个$d \geq 2$的下界和$d=2$的上界，本文的贡献是给出$d \geq 3$的匹配上界。
2009-01-31 cs.CC
An average-case depth hierarchy theorem for Boolean circuits
证明了$\mathsf{AND}$、$\mathsf{OR}$和$\mathsf{NOT}$门的标准基上布尔电路的平均情况深度层次定理。我们的层次定理说，对于每个$d \geq 2$，有一个显式的$n$ -变量布尔函数$f$，由线性大小的深度- $d$公式计算，这是这样的，任何深度- $(d-1)$电路，同意$f$的$(1/2 + o_n(1))$分数的所有输入必须有大小$\exp({n^{Ω(1/d)}}).$这回答了一个悬而未决的问题提出的Håstad在他的博士学位。论文我们的平均情况深度层次定理意味着多项式层次相对于概率为1的随机预言是无限的，证实了Håstad，Cai和Babai的猜想。我们还使用我们的结果表明，有没有“近似逆”的结果Linial，曼苏尔，Nisan和Boppana的小深度电路的总影响，从而回答了一个问题所提出的O 'Donnell，卡莱和Hatami。在我们的证明中的一个关键因素是一个概念的\emph{random projections}推广随机限制。
2015-04-14 cs.CC
A Satisfiability Algorithm for Sparse Depth Two Threshold Circuits
本文给出了深度为2的cn-wire阈值电路可满足性问题的一个非平凡算法，它比穷举搜索好2^{sn}倍，其中s= 1/c^{O（c^2）}.我们相信，这是第一个非平凡的可满足性算法的深度为二的CN线阈值电路。稀疏0-1整数线性规划可行性的独立有趣问题是一个特例。据我们所知，我们的算法是第一个实现恒定的储蓄，即使是特殊情况下的非线性规划。关键思想是将可满足性问题简化为向量支配问题，即检查给定向量集合中是否有两个向量，使得一个向量支配另一个向量。我们还提供了一个可满足性算法，具有对称门的深度为2的电路，其中总加权扇入最多为cn。我们的动机之一是证明TC ^0电路的强下界，利用可满足性算法和下界之间的联系（由Williams建立）。我们的第二个动机是探索电路的表达能力和相应的电路可满足性问题的复杂性之间的联系。
2013-04-17 cs.CC
Depth-2 QAC circuits cannot simulate quantum parity
我们证明了$n > 3$量子比特上的量子奇偶校验门不能用具有两层任意数量的任意C-SIGN门和任意1-量子比特幺正门的量子线路干净地模拟，不管允许的辅助量子比特的数量如何。这是最有名的和第一个非平凡的分离之间的奇偶校验门和电路的这种形式。同样的界限也适用于量子扇出门。我们的结果与Fang等人[3]的结果是不可比较的，后者适用于任何恒定的深度，但需要模拟电路上的辅助量子比特的亚线性数量。
2020-05-25 cs.CC quant-ph
Adaptive Quantum Computation, Constant Depth Quantum Circuits and Arthur-Merlin Games
我们提出的证据表明，存在量子计算，可以在恒定的深度进行，使用2-qubit门，不能模拟经典的高精度。我们证明，如果一个可以模拟这些电路的经典有效的复杂性类BQP包含在AM。
2004-03-11 cs.CC quant-ph
Universal Quantum Circuits
我们定义并构造了有效的深度泛量子电路和几乎尺寸泛量子电路。这样的电路可以被视为量子电路的中心类的通用模拟器，并且可以用于捕获被模拟的电路类的计算能力。对于深度，我们构造通用电路，其深度与所模拟的电路相同。对于大小，在这里构造的通用电路中存在对数因子爆破。我们证明，这种结构是接近最优的。
2008-04-15 cs.CC quant-ph
Jacobian hits circuits: Hitting-sets, lower bounds for depth-D occur-k formulas & depth-3 transcendence degree-k circuits
我们提出了一个单一的，共同的工具，严格subsidering所有已知的情况下，多项式时间黑盒多项式身份测试（PIT），迄今已解决了使用不同的工具和技术。特别是，我们表明，多项式时间击中集生成器的身份测试的两个看似不同的和良好的研究模型-深度3电路有界的顶部扇入，和恒定的深度常数读取多线性公式-可以使用一个共同的代数几何主题：雅可比矩阵捕获代数独立。通过利用雅可比矩阵，我们设计了第一个有效的击中集生成器，用于上述模型的广泛推广，即：（1）具有由乘积门计算的多项式的恒定超越度的深度3（Sigma-Pi-Sigma）电路（没有有界顶扇入限制），和（2）恒定深度的恒定出现公式（没有多线性限制）。正如我们所定义的，变量的常量出现是一个比常量读取更一般的概念。此外，后一种模型的早期工作假设该公式是多线性的。因此，我们的工作进一步超越了Saxena & Seshadhri（STOC 2011），Saraf & Seshadhovich（STOC 2011），Anderson et al.（CCC 2011），Beecken et al.（ICALP 2011）和Grenet et al.（FSTTCS 2011）获得的结果，并将它们置于一个统一的技术之下。此外，使用相同的基于雅可比矩阵的方法，我们证明了指数下界的immanant（包括永久和行列式）在相同的深度3和深度4模型，我们给出了有效的PI…
2011-11-02 cs.CC math.AC
Average-Hard Attention Transformers are Constant-Depth Uniform Threshold Circuits
Umeå University（于默奥大学）；Department of Computing Science（计算机科学系）
该研究拓展了平均硬注意力Transformer与常数深度阈值电路的关联结论，证明其对应的电路结果也可扩展为均匀电路，完善了Transformer的计算复杂度理论分析。
2023-08-21 cs.CC cs.CL cs.LG
An exponential lower bound for homogeneous depth-5 circuits over finite fields
本文给出了有限域上齐次深度$5$电路类的指数下界。更正式地说，我们表明，有一个明确的家庭$\{P_d : d \in \mathbb{N}\}$的多项式在$\mathsf{VNP}$，其中$P_d$的程度$d$在$n = d^{O(1)}$变量，这样，在所有有限域$\mathbb{F}_q$，任何均匀的深度$5$电路计算$P_d$必须有至少$\exp(Ω_q(\sqrt{d}))$的大小。据我们所知，这是第一个超多项式下界，这类任何领域$\mathbb{F}_q \neq \mathbb{F}_2$。我们的证明建立在证明齐次深度$4$电路[GKKS13，FLMS13，KLSS14，KS14]和有限域上非齐次深度$3$电路[GK98，GR00]的下界的方法上。我们的关键见解是将多项式的移位偏导数空间视为来自$\mathbb{F}_q^n \rightarrow \mathbb{F}_q$的函数空间，而不是将它们视为形式多项式空间，并建立在Kumar和Saraf [KS 14]下界的更严格分析之上。
2015-07-01 cs.CC
General Upper Bounds for Gate Complexity and Depth of Reversible Circuits Consisting of NOT, CNOT and 2-CNOT Gates
本文讨论了由非门、CNOT门和2-CNOT门组成的可逆电路在附加输入有限的情况下的门复杂度和深度。我们研究了一个可逆电路实现布尔变换$f\colon \mathbb Z_2^n \to \mathbb Z_2^n$与$8n < q \lesssim n2^{n-o(n)}$附加输入的香农门复杂度函数$L(n, q)$和深度函数$D(n, q)$。证明了这种情况下的一般上界$L(n,q) \lesssim 2^n + 8n2^n \mathop / (\log_2 (q-4n) - \log_2 n - 2)$和$D(n,q) \lesssim 2^{n+1}(2,5 + \log_2 n - \log_2 (\log_2 (q - 4n) - \log_2 n - 2))$。
2017-03-27 cs.CC
Model-Theoretic Characterizations of Boolean and Arithmetic Circuit Classes of Small Depth
在本文中，我们给出了描述复杂性理论中对数深度的布尔和算术电路类的特征，即，布尔类$\textrm{NC}^1$、$\textrm{SAC}^1$和$\textrm{AC}^1$以及它们的算术对应物$\#\textrm{NC}^1$、$\#\textrm{SAC}^1$和$\#\textrm{AC}^1$。我们建立在Immerman的恒定深度多项式大小电路的表征的一阶逻辑公式，即，$\textrm{AC}^0 = \textrm{FO}$，并且用一个用于以归纳的方式定义关系的运算符来扩充逻辑语言。考虑到新算子的微小变化，我们得到了上述三个布尔类的统一刻画。然后，算术类可以通过计算语义游戏中的获胜策略的函数来表征，这些策略用于表征相应布尔类中的语言的公式。
2017-10-06 cs.CC
Worst-case depth hierarchy for shallow quantum circuits
Hon Hai (Foxconn) Quantum Computing Research Center（鸿海（富士康）量子计算研究中心）；University of Oxford（牛津大学）；The University of Hong Kong（香港大学）；University of Technology Sydney（悉尼科技大学）
本文证明QNC^0的深度层次定理：对每个d≥12，构造两轮交互问题，深度d-1的量子电路无法近完美成功，而深度略大于d的电路可解决，且所有次对数深度经典电路失败，显示QNC^0相对于NC^0的无条件量子优势。
2026-06-16 cs.CC quant-ph
Group Isomorphism and the Polylogarithmic-Time Hierarchy: Depth-2$\frac{1}{2}$ Circuits and Lower Bounds
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Santa Fe Institute（圣塔菲研究所）；College of Charleston（查尔斯顿学院）
本文在乘法表模型中研究群同构的低深度电路复杂度，证明其深度2电路下界，给出深度2½均匀电路的拟多项式规模上界，采用不同于前期拟群通用策略的群特定结构方法。
2026-11-02 cs.CC cs.DS math.GR
An Almost Optimal Rank Bound for Depth-3 Identities
我们证明了一个简单的、最小的和零的深度为3的回路（在任何域上）的秩至多为k^3 \log d。以前已知的最佳秩界是2^{O（k^2）}（\log d）^{k-2}，由Dvir和Shpilka（STOC 2005）提出。这几乎解决了Dvir和Shpilka首先提出的秩问题（因为我们还提供了秩Ω（k \log d）的简单和最小的恒等式）。我们的秩界显著改进了Karnin和Shpilka（CCC 2008）对深度3电路的最著名的确定性黑盒身份测试（对k的依赖性呈指数下降）。我们的技术还揭示了非零深度3电路的因式分解模式，最引人注目的是：一个简单的，最小的和非零深度3电路（在任何领域）的线性因子的秩最多是k^3 \log d。这项工作的新特点是一个新的概念之间的映射集的线性形式，称为“理想匹配”，用于研究深度3电路。我们证明有趣的结构结果深度3身份使用这些技术。我们相信，这些可以导致这些电路的确定性多项式时间身份测试的目标。
2008-11-19 cs.CC
Pseudorandomness for Read-Once, Constant-Depth Circuits
对于由deMorgan基上具有无界扇入的只读深度$D$电路计算的布尔函数，我们给出了一个种子长度为$\tilde{O}(\log^{D+1} n)$的显式伪随机生成器。该模型先前已知的最佳种子长度是$\tilde{O}(\log^{D+4} n)$，由Trevisan和Xue（CCC `13）针对所有$AC^0$（不仅仅是一次性读取）获得。我们的工作利用傅立叶分析技术的伪随机介绍Reingold，Steinke，和Vadhan（随机`13），以表明Gopalan等人的生成器。（FOCS `12）傻瓜只读一次$AC^0$。为此，我们证明了一个新的傅立叶增长的一次读取电路，即每一个$F: \{0,1\}^n\to\{0,1\}$计算的一次读取，深度$D$电路，\begin{equation*}\sum_{s\subseteq[n], |s|=k}|\hat{F}[s]|\le O(\log^{D-1}n)^k,\end{equation*}其中$\hat{F}$表示的傅立叶变换的$F$在$\mathbb{Z}^n_2$。
2015-09-18 cs.CC
Computing Majority by Constant Depth Majority Circuits with Low Fan-in Gates
我们研究了以下计算问题：对于$k$的哪些值，大多数$n$位$\text{MAJ}_n$可以用深度为2的公式计算，该公式的每个门计算至多$k$位的多数函数？相应的计算模型用$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$表示。我们观察到，存在与大多数$n$位具有高相关性的$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路的$k$的最小值等于$Θ(n^{1/2})$。然后，我们表明，对于一个随机的$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路计算大多数$n$输入位与高概率为每个输入，$k$的最小值等于$n^{2/3+o(1)}$。我们展示了一个最坏情况的下限：如果一个$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路在所有输入上正确计算出大多数$n$位，则$k\geq n^{13/19+o(1)}$。这个下限超过了随机化电路的最优值，因此对于纯随机化技术是无法达到的。对于深度$3$电路，我们证明了具有$k= O(n^{2/3})$的电路可以在所有输入上正确地计算$\text{MAJ}_n$。
2016-10-09 cs.CC
On the Limits of Depth Reduction at Depth 3 Over Small Finite Fields
最近，Gupta等人[GKKS 2013]证明，在Q上，VP中的任何$n^{O(1)}$ -变量和$n$ -次数多项式也可以由大小为$2^{O(\sqrt{n}\log^{3/2}n)}$的深度为3的$ΣΠΣ$电路计算。在固定大小的有限域上，Grigoriev和Karpinski证明了任何计算$Det_n$（或$Perm_n$）的$ΣΠΣ$电路的大小必须是$2^{Ω(n)}$ [GK 1998]。本文证明了在固定大小的有限域上，任何用于计算大小为$n\times n$的$n$类属矩阵的迭代矩阵乘法多项式的$ΣΠΣ$电路的大小必须为$2^{Ω(n\log n)}$ .该结果的重要性在于，在固定大小的字段上，没有深度缩减技术可以用于通过大小为$2^{o(n\log n)}$的深度3电路来计算VP中的所有$n^{O(1)}$ -变量和$n$ -次数多项式。结果[GK 1998]只能排除深度为3的$2^{o(n)}$电路的这种可能性。我们还给出了一个在VNP中的显式多项式（$NW_{n,ε}(X)$）的例子（不知道是否在VP中），对于它，任何计算它的$ΣΠΣ$电路（在固定大小的字段上）必须具有$2^{Ω(n\log n)}$的大小。我们考虑的多项式是从组合设计构造的。这个结果的一个有趣的特点是，我们得到的第一个例子的两个多项式（一个在VP和一个在VNP），使他们有可证明的更强的电路尺寸下限…
2013-12-31 cs.CC
Test of Quantumness with Small-Depth Quantum Circuits
最近，Brakerski，Christiano，Mahadev，Vazirani和Vidick（FOCS 2018）已经展示了如何构建基于错误学习（LWE）假设的量子性测试：一个可以由量子计算机有效解决的测试，但在LWE假设下无法由经典多项式时间计算机解决。这个测试已经导致了几个加密应用。特别地，它已被应用于从单个不可信量子设备产生可证明的随机性、单个量子设备的自测试和设备无关的量子密钥分发。在本文中，我们表明，这种测试的量子性，基本上所有上述应用，实际上可以实现一个非常弱的类的量子线路：恒定深度的量子线路结合量子深度的经典计算。这揭示了量子性基本测试的新的复杂性理论性质，并给出了小深度量子线路优于经典计算的新的具体证据。
2021-08-10 cs.CC quant-ph
A #SAT Algorithm for Small Constant-Depth Circuits with PTF gates
我们表明，有一个随机算法，当给定一个小的恒定深度的布尔电路$C$由门计算常数度多项式阈值函数或PTF（即，计算常次数多项式的符号的布尔函数），在显著优于暴力的时间内计算满足$C$的分配的数量。形式上，对于任何常数$d,k$，都有一个$ε> 0$，使得算法对满足给定深度的分配的数量进行计数-由$k$-PTF门组成的$d$电路$C$，使得$C$的大小至多为$n^{1+ε}$ .该算法在时间$2^{n-n^{Ω(ε)}}$中运行。在我们的结果之前，甚至对于单度- $2$ PTF（其是线性大小的深度- $1$电路），也没有已知用于击败蛮力搜索的算法。主要的新工具是使用学习算法学习度- $1$ PTFs（或线性阈值函数），使用Kane，Lovett，Moran和Zhang的比较查询（FOCS 2017）。我们表明，他们的想法很好地融入了一种记忆方法，产生了#SAT算法。
2018-09-16 cs.CC
Thermodynamic Signature of Logical Depth in Quantum Circuits
本研究证明量子电路的逻辑深度可通过退相干下的熵产生来测量，提出逻辑深度因子$L_d$，并通过4分支电路实验验证，为电路设计提供新视角。
2025-08-05 cs.CC quant-ph
Depth-4 Lower Bounds, Determinantal Complexity : A Unified Approach
Tavenas最近证明了VP中的任何n^{O（1）}-变量和n次多项式都可以由大小为2^{O（\sqrt{n} \log n）}的深度为4的电路计算。因此，为了证明VP不等于VNP，只需证明VNP中的显式多项式的次数n需要2^{ω（\sqrt{n} \log n）}个深度为4的电路。在Tavenas的结果之后不久，Kayal等人和Fournier等人证明了对于两个不同的显式多项式，2^{Ω（\sqrt{n} \log n）}的深度为4的电路尺寸下限。特别地，使用组合设计，Kayal等人。在VNP中构造一个显式多项式，它需要大小为2^{Ω（\sqrt{n} \log n）}的深度为4的电路，而Fournier等人表明迭代矩阵乘法多项式（在VP中）也需要2^{Ω（\sqrt{n} \log n）}大小深度为4的电路。在本文中，我们确定了一个简单的组合属性，使任何多项式f，满足该属性将实现类似的深度4电路的电路大小下限。特别地，f是在VP中还是在VNP中并不重要。从而得到了上述多项式的一个非常简单的统一下界分析。本文的另一个目标是比较我们目前的知识深度-4电路大小下限和行列式复杂度下限。本文证明了迭代矩阵乘法多项式的行列式复杂度为Ω（dn），其中d为矩阵个数，n为矩阵维数。因此，对于d=n，我们得到迭代矩阵乘法多项式在两个方面都达到了当前最好的下限：深度4电路大小和行列式复杂度。据我们所…
2013-11-15 cs.CC
Low-depth arithmetic circuit lower bounds via shifted partials
我们使用移位偏分测度[Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi，CCC 2013]，[Kayal，ECCC 2012]和偏分测度的仿射投影[Garg-Kayal-Saha，FOCS 2020]，[Kayal-Nair-Saha，STACS 2016]证明了低深度算术电路的超多项式下界。Limaye，Srinivasan和Tavenas最近的突破性工作[FOCS 2021]通过证明低深度集合多线性电路的下界证明了这些下界。我们的证明的一个有趣的方面是，它不需要一个电路的集合多线性电路的转换，也不涉及随机限制。我们能够直接上界齐次公式的措施，而不通过集多重线性。我们的下界保持迭代矩阵乘法以及Nisan-Wigderson设计多项式。我们还定义了一个子类的齐次公式，我们称之为独特的解析树（UPT）公式，并证明这些超多项式下界。这推广了[Kayal-Saha-Saptharishi，STOC 2014]，[Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan，STOC 2014]中正则公式的超多项式下界。
2022-11-14 cs.CC cs.SC
Supercritical Tradeoffs for Monotone Circuits
本文首次在超临界区域证明单调电路的规模-深度权衡，通过构造括号公式并借助证明复杂性方法，展示拟多项式规模与多项式深度之间的指数级差距。
2024-11-21 cs.CC
The Power of Shallow-depth Toffoli and Qudit Quantum Circuits
Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；School of Informatics, University of Edinburgh（爱丁堡大学信息学院）；International Iberian Nanotechnology Laboratory（伊比利亚纳米技术国际实验室）
本文证明了浅层深度量子电路与经典电路之间的分离，并展示了量子电路在特定条件下实现阈值门的能力。
2026-03-11 cs.CC quant-ph
A Top-Down Depth-Four Circuit Lower Bound for Majority
College of Information Engineering, Shanghai Maritime University（上海海事大学信息工程学院）；Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术研究院）
该研究扩展了FOCS 2023的工作，针对多数函数构造镜像集以解决翻转多位输入的挑战，得到其自顶向下深度四电路下界。
2026-08-11 cs.CC
The Limits of Depth Reduction for Arithmetic Formulas: It's all about the top fan-in
近年来，提出了一种非常令人兴奋和有前途的方法来证明算术电路的下界。该方法结合了Agrawal-Vinay [AV 08]、Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的工作中开发的{ \it深度缩减}方法，以及Kayal [Kay 12]和Gupta等人[GKKS 13 a]的工作中开发的移位偏导数复杂性度量的使用。这些结果激发了其他各种算术电路的美丽结果和强下界的热潮，特别是Kayal等人[KSS 13]最近的工作，通过这些公式的{\it改进的深度约简}显示了{ \it正则}算术公式的超多项式下界。这是一个有趣的问题，如果这些方法可以证明一般（齐次）算术公式的超多项式下界，如果是这样，这将确实是一个突破算术电路复杂性。在本文中，我们研究的权力和限制的深度减少和移位偏导数的算术公式。我们通过研究深度为4的同构算术电路类来实现。我们证明了：（1）具有顶部扇入$o(\log n)$的齐次深度为4的电路类的第一个{ \it超多项式下界}。我们的结果的核心是显示这些电路的{ \it改进的深度减少}。(2)我们表明，改进的深度减少{ \it是不可能的}时，顶部扇入是$Ω(\log n)$。特别是，这表明Koiran和Tavenas [Koi 12，Tav 13]的深度缩减程序即使对于齐次公式也无法改进，因此加强了Fournier等人[FLMS 13]的结果，Fournie…
2013-11-26 cs.CC
Blackbox identity testing for bounded top fanin depth-3 circuits: the field doesn't matter
设C是基域F上的n个变量、度为d、顶扇为k的深度为3的回路（称为sps（k，d，n）回路）.设计一个确定性的多项式时间黑盒算法来测试C是否恒为零是一个主要的公开问题。Klivans & Spielman（STOC 2001）观察到，即使k是常数，问题也是开放的。在过去的几年里，从Dvir & Shpilka的工作开始，这个案例一直受到认真的研究（STOC 2005）。我们给出了该问题的第一个多项式时间黑箱算法。我们的算法在时间上运行poly（nd^k），而不考虑基域。多项式时间算法以前已知的唯一领域是F=Q（Kayal & Saraf，FOCS 2009，Saxena & Seshadhri，FOCS 2010）。这是第一个不使用Karnin & Shpilka（CCC 2008）基于秩的方法的深度3电路黑盒算法。我们证明了一个重要的工具，深度3身份的研究。我们设计了一个黑盒多项式时间变换，将sps（k，d，n）电路中的变量数目减少到k个变量，但保留了恒等式结构。
2010-11-14 cs.CC math.AC
Query maintenance under batch changes with small-depth circuits
本文研究动态查询的高效维护问题，证明通过允许 O(log log n) 深度的电路或等价的迭代一阶更新，可将常数大小变更下属于 DynFO 类的查询维护结果推广至 polylogarithmic 大小的批量变更。
2024-07-29 cs.CC cs.LO
Towards Optimal Depth Reductions for Syntactically Multilinear Circuits
我们证明，任何可由大小为$\operatorname{poly}(n)$的语法多线性电路计算的$n$变量多项式都可以由大小最多为$\exp\left({O\left(\sqrt{n\log n}\right)}\right)$的深度$4$语法多线性（$ΣΠΣΠ$）电路计算。对于度$d = ω(n/\log n)$，这改进了Tavenas~ \cite{T15}对于一般电路得到的$\exp\left({O(\sqrt{d}\log n)}\right)$的上界，并且已知当$d < n^ε$对于足够小的常数$ε$时，在指数上是渐近最优的。我们的上界与Raz和Yehudayoff~ \cite{RY09}证明的$\exp\left({Ω\left(\sqrt{n\log n}\right)}\right)$的下界相匹配，因此不能在指数上进一步改进。我们的结果适用于所有的领域，也推广到小个别度的电路。更一般地说，我们表明，$n$变量多项式可计算的语法多线性电路的大小$\operatorname{poly}(n)$可以计算的语法多线性电路的产品深度$Δ$的大小最多$\exp\left(O\left(Δ\cdot (n/\log n)^{1/Δ} \cdot \log n\right)\right)$。从Raz和Yehudayoff（CC 2009）的下限可以得出，一般来说，对于常数$Δ$，该…
2019-02-19 cs.CC
Polynomial-Time Classical Simulation of Noisy IQP Circuits with Constant Depth
本文提出一种多项式时间经典模拟算法，证明经历退相位或退极化噪声的任意IQP电路在深度超过常数阈值时，可由经典计算机高效采样，揭示了基于IQP电路的量子霸权实验对经典模拟的脆弱性。
2024-10-05 cs.CC quant-ph
Saturated Transformers are Constant-Depth Threshold Circuits
Allen Institute for AI（艾伦人工智能研究所）；New York University（纽约大学）；University of Washington（华盛顿大学）
Transformers已经成为许多NLP问题的标准神经网络架构，激发了对它们在形式语言方面的能力的理论分析。最近的研究表明，具有硬注意力的Transformers在功率方面非常有限（Hahn，2020），因为它们可以通过恒定深度的AND/OR电路来模拟（Hao等人，2021）。然而，硬注意是一个强有力的假设，这可能会使这些结果在实践中的相关性复杂化。在这项工作中，我们分析了Transformers的电路复杂性饱和的注意力：硬注意力的概括，更紧密地捕捉到在实际Transformers中学习的注意力模式。我们首先表明，饱和Transformers超越已知的限制硬注意力Transformers。然后，我们证明了饱和Transformers的浮点值可以模拟的恒定深度的阈值电路，给类$\mathsf{TC}^0$作为上界的形式语言，他们承认。
2022-04-11 cs.CC cs.CL cs.LG
Efficient reconstruction of depth three circuits with top fan-in two
Adobe Research（奥多比研究院）
我们开发了有效的随机算法来解决有限域上多项式的黑盒重构问题，可通过具有交替的加法/乘法门的深度三算术电路来计算，使得输出门是具有二阶的加法门。这些电路计算$G\times(T_1 + T_2)$形式的多项式，其中$G,T_1,T_2$是仿射形式的乘积，并且多项式$T_1,T_2$没有公因子。这种电路的秩被定义为$T_1$和$T_2$的所有仿射因子所张成的向量空间的维数。对于任何多项式$f$可计算的这样一个电路，$rank(f)$被定义为任何这样的电路计算它的最小秩。我们的工作开发随机重建算法，作为输入的黑盒访问多项式$f$（在有限域$\mathbb{F}$），可计算的这样一个电路。结果出来了。1【低阶】：当$5\leq rank(f) = O(\log^3 d)$时，它在时间$(nd^{\log^3d}\log |\mathbb{F}|)^{O(1)}$中运行，并且以高概率输出计算$f$的深度三电路，其中顶部加法门具有入度$\leq d^{rank(f)}$。2【高阶】：当$rank(f) = Ω(\log^3 d)$时，它在时间$(nd\log |\mathbb{F}|)^{O(1)}$中运行，并且以高概率输出计算$f$的深度三电路，其中顶部加法门具有入度二。我们的是第一个黑盒重建算法，这类电路，运行在时间多项式在$\log |\mathbb{F}|$。该问题已在[GKL 12]…
2021-06-17 cs.CC cs.DM cs.LG
Optimal Quantum Circuits for Nearest-Neighbor Architectures
我们表明，在现实的体系结构中的量子线路的深度，其中一个经典的控制器确定哪些本地的相互作用，以适用于kD网格Z^k，其中k >= 2是相同的（直到一个常数因子），在标准模型中，允许任意的相互作用。这允许从标准抽象模型中的最小深度电路中获得最近邻架构的最小深度电路（直到常数因子）。因此，我们的工作证明了标准假设，即相互作用可以在任意量子位对之间进行。特别是，我们的研究结果意味着肖尔的算法，控制操作和扇出可以实现在恒定的深度，多项式的大小和多项式的宽度在这个架构。我们还提出了最佳的非自适应量子线路的控制操作和扇出的kD网格。这些电路具有深度Theta（n^（1 / k））、大小Theta（n）和宽度Theta（n）。我们的下限也适用于更一般的一类操作。
2013-05-08 cs.CC quant-ph
