Polynomial Depth, Highness and Lowness for E
在复杂性理论的背景下，我们研究了复杂性、低度和逻辑深度概念之间的关系。我们引入了一个新的概念的polylog深度的时间有界Kolmogorov复杂性的基础上。我们证明了polylog深度满足所有基本的逻辑深度性质，即P中的集合不是polylog深度，（时间有界）-Kolmogorov复杂度大于polylog的集合不是polylog深度，并且只有polylog深度集合才能多项式图灵计算polylog深度集合。我们证明了如果NP不具有p-测度零，则NP包含多对数深集。我们证明了E的每一个高集在其多项式图灵度中包含一个polylog深集，并且存在低（E，EXP）polylog深集。关键词：算法信息论;柯尔莫哥洛夫复杂度;贝内特逻辑深度。
2019-10-15 cs.CC
A Superpolynomial Lower Bound on the Size of Uniform Non-constant-depth Threshold Circuits for the Permanent
我们表明，永久不能计算DLOGTIME-均匀的阈值或算术电路的深度O（日志日志n）和多项式的大小。
2009-02-11 cs.CC
PIT for depth-$4$ circuits and Sylvester-Gallai conjecture for polynomials
本文是安基特古普塔的预印本的发展。提出了一种设计确定性多项式时间黑盒身份测试（PIT）算法的深度$4$电路与有界顶部扇入的方法。这种方法类似于深度- $3$电路的Kayal-Shubhangi方法。Kayal和Shubhangi的算法基于关于线性多项式的Sylvester-Gallai型定理。我们展示了如何将这种方法推广到深度$4$电路。但是，我们并没有完全执行这个计划。我们成功地构造了一个多项式时间确定性算法的深度$4$电路与有界顶部扇入和其正确性需要一个假设。此外，我们提出了一个多项式时间（无条件）算法的深度$4$电路的一些子类有界顶部扇入。
2019-02-19 cs.CC
Superpolynomial lower bounds for general homogeneous depth 4 arithmetic circuits
本文证明了一类齐次深度为4的算术电路的超多项式下界。我们给出了一个显式多项式在VNP的程度$n$在$n^2$变量，使任何均匀深度4算术电路计算它必须有大小$n^{Ω(\log \log n)}$。我们的结果推广了Nisan-Wigderson [NW 95]的工作（显示了均匀深度3电路的超多项式下限），Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi和Kayal-Saha-Saptharishi [GKKS 13，KSS 13]（其示出了具有有界底部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界），Kumar-Saraf [KS13a]（其显示了具有有界顶部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界）和Raz-Yehudayoff和Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan [RY 08，FLMS 13]（其示出了多线性深度为4的电路的超多项式下界）。事实上，这些结果中有几个显示了指数下界。在我们的证明的主要成分是一个新的复杂性措施{ \it有界支持}移位偏导数。该措施使我们能够证明均匀深度4电路的指数下界，其中在底层计算的所有单项式具有{ \it有界支持}（但可能是无界度/扇入），加强了Gupta等人和Kayal等人的结果[GKKS 13，KSS 13]。这个新的下界结合了一个仔细的“随机限制”过程（将一般的深度为4的齐次电路转换为具有有界支持的深度为4的电路），给…
2013-12-20 cs.CC
Top-Down Lower Bounds for Depth-Four Circuits
本文提出自顶向下下界方法，利用鲁棒向日葵和块不可预测性，为奇偶校验函数需要指数级规模的深度4电路这一经典结论提供了新证明。
2024-05-02 cs.CC
On the power of homogeneous depth 4 arithmetic circuits
我们证明了指数下界的大小均匀深度4算术电路计算显式多项式$VP$。我们的结果适用于{ \it迭代矩阵乘法}多项式-特别是，我们表明，任何均匀的深度4电路计算$n$通用矩阵的尺寸$n^{O(1)}$的产品中的$(1,1)$条目必须有大小$n^{Ω(\sqrt{n})}$。我们的研究结果在两个重要方面加强了以前的工作。我们的下界对$VP$中的多项式成立。在我们的工作之前，Kayal等人[KLSS 14]证明了在$VNP$中计算多项式的齐次深度4电路（特征零域）的指数下界。深度为4的齐次电路在$VP$中计算一个poly的最著名的下界是$n^{Ω(\log n)}$由[LSS，KLSS 14]得到的界，我们的指数下界也给出了一般算术电路和齐次深度为4的算术电路之间的第一个指数分离.特别是，它们意味着Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的深度缩减结果即使对于一般均匀深度4电路的缩减（没有有界底部扇入的限制）也是紧密的。我们的下界对所有域都成立。[KLSS 14]的下界仅适用于特征为零的域。在我们的工作之前，均匀深度4电路在正特性场上的最佳下界是$n^{Ω(\log n)}$ [LSS，KLSS 14]。
2014-04-07 cs.CC
Circuit Depth Reductions
针对无限制电路的最佳已知尺寸下限保持在$3n$附近几十年。此外，唯一已知的技术，证明在这个模型中的下限，门消除，是固有的限制，证明下限小于$5n$。在这项工作中，我们提出了一个非门消除方法获得电路下界，通过一定的深度三个下界。我们证明了每一个（无界深度）电路的大小$s$可以表示为一个或$2^{s/3.9}$ $16$-CNFs。对于德摩根公式，最著名的大小下限几十年来一直停留在$n^{3-o(1)}$附近。在概率多项式的合理假设下，我们证明了$n^{4-\varepsilon}$大小的DeMorgan公式具有$2^{n^{1-Ω(\varepsilon)}}$大小的深度为3的回路，它们是${\mathbb F}_2$上的$n^{1-Ω(\varepsilon)}$次数多项式的近似和.虽然这些结构性结果不会立即导致新的下界，但它们确实建议了对这些长期存在的下界问题进行攻击的新途径。我们的结果补充了Valiant的经典深度- $3$约化结果，该结果表明线性尺寸的离散深度电路可以通过$2^{\varepsilon n}$ $n^δ$ -CNFs的OR来计算，并且对于串并联电路的结果略强。众所周知，没有纯粹的图论简化可以从超对数深度的电路中产生有趣的深度3电路。我们克服了这一限制（小尺寸电路），考虑到电路和公式的图论和功能特性。我们发现，以下伪随机结构的改进意味着新的电路下界：分散剂的品种…
2020-12-07 cs.CC
A Near-Optimal Depth-Hierarchy Theorem for Small-Depth Multilinear Circuits
我们研究了在多线性环境下，将积深度为$Δ+1$的代数电路转换为积深度为$Δ$的代数电路所需的尺寸爆破。我们发现，对于每一个积极的$Δ= Δ(n) = o(\log n/\log \log n),$有一个明确的多线性多项式$P^{(Δ)}$ $n$变量，可以计算的多线性公式的产品深度$Δ+1$和大小$O(n)$，但不是由任何多线性电路的产品深度$Δ$和大小小于$\exp(n^{Ω(1/Δ)})$。这一结果与所有$Δ= o(\log n/\log \log n).$的双指数中隐含的常数紧密相关。这加强了Raz和Yehudayoff的结果（计算复杂性2009），他们证明了常数深度多线性电路的拟多项式分离，以及Kayal的结果，奈尔和萨哈（STACS 2016）在$Δ= 1.$的情况下给出了指数分离。我们的分离例子可以看作是图可达性的变体的代数类似物。Chen，Oliveira，Servedio和Tan（STOC 2016）研究的问题，他们使用它们来证明常数深度布尔电路的下界。
2018-04-07 cs.CC
Constant-depth circuits for polynomial GCD over any characteristic
本文证明了在任意足够大的域上，无论特征如何，两个单变量多项式的GCD均可由常数深度和多项式大小的代数电路计算，扩展了已有结果并加强了小特征域下的封闭性。
2025-06-29 cs.CC
Smaller ACC0 Circuits for Symmetric Functions
具有$MOD_m$门的恒定深度电路的功率是多少，可以对$m$进行模计数？他们能有效地计算MAJORITY和其他对称函数吗？当$m$是一个常数素数幂时，答案是很好理解的：Razborov和Smolensky在20世纪80年代证明了MAJORITY和$MOD_m$需要超多项式大小的$MOD_q$电路，其中$q$是不整除$m$的任何素数幂。然而，对于非素数功率$m$，关于$MOD_m$电路的功率知之甚少。例如，$EXP$中的每个问题是否都可以通过多项式大小的深度$3$电路和仅$MOD_6$门来计算仍然是开放的。通过给出新的上界，我们揭示了$MOD_m$电路下界证明的困难。我们构建$MOD_m$电路计算对称函数与非素数电源$m$，与大小深度权衡击败长期以来的下限$AC^0[m]$电路素数电源$m$。我们的尺寸深度权衡电路具有基本上最佳的依赖$m$和$d$的指数，在一个自然的电路复杂性假设。例如，对于每个$\varepsilon > 0$，我们证明了每个对称函数都可以用$\exp(O(n^{\varepsilon}))$大小的深度为3的$MOD_m$电路来计算，对于常数$m$，它只取决于$\varepsilon > 0$。也就是说，深度- $3$ $CC^0$电路可以计算\emph{subexponential}大小的任何对称函数.这表明，与其他模型相比，深度- $3$ $CC^0$电路的功…
2021-07-09 cs.CC
Improved Monotone Circuit Depth Upper Bound for Directed Graph Reachability
证明了有向图的可达性问题（传递闭包）可以用深度为（1/2+o（1））（log n）^2的单调扇入2布尔回路来解决，其中n是节点数.这改进了先前已知的上界（1+o（1））（log n）^2。这个证明是非构造性的，但我们给出了上界（7/8+o（1））（log n）^2的构造性证明。
2008-09-22 cs.CC
Simple Hard Instances for Low-Depth Algebraic Proofs
我们证明了超多项式下界上的命题证明系统的大小与恒深代数电路在零特征领域。具体而言，我们表明，子集和变量$\sum_{i,j,k,\ell\in[n]} z_{ijk\ell}x_ix_j x_k x_\ell - β=0$，布尔变量，没有多项式大小的IPS反驳反驳的反驳是多线性的，并作为常数深度电路。Andrews和Forbes（STOC'22）最近建立了一个恒定深度的IPS下界，但他们的硬实例本身没有小的恒定深度电路，而我们的实例已经可以用小的深度2电路计算。我们的论点依赖于最近的突破下界对恒定深度代数电路Limaye，Srinivasan和Tavenas（FOCS'21）的功能下界框架福布斯，Shpilka，Tzameret和Wigderson（TOC'21），并可能是独立的利益。具体地说，我们构造了一个多项式$f$可计算的小规模的恒定深度的电路，这样的多线性多项式计算$1/f$布尔值和其适当的集合多线性投影是很难的恒定深度的电路。
2022-05-15 cs.CC
Cancellation-Free Circuits in Unbounded and Bounded Depth
我们研究的概念“取消免费”电路。这是线性布尔电路（XOR电路）的一个限制，但可以被认为是等价于以前研究的计算模型。这个概念是由Boyar和Peralta在一个特殊的电路最小化问题的数学研究中提出的。他们问最小的无抵消电路和最小的线性电路之间的差距有多大。我们表明，差异可以是一个因素$Ω(n/\log^{2}n)$。这改善了最近的结果Sergeev和Gashkov谁研究了类似的问题。此外，我们的证明适用于恒定深度的电路。我们还研究了使用无消去电路计算Sierpinski矩阵的复杂性，并给出了一个紧的$Ω(n\log n)$下界。
2014-10-17 cs.CC
Functional lower bounds for arithmetic circuits and connections to boolean circuit complexity
如果对于每个$x \in \{0,1\}^n$，我们都有那个$C(x) = P(x)$，我们说域$F$上的电路$C$在函数上计算$n$变量多项式$P$。这与当$C \equiv P$作为形式多项式时按语法计算$P$相反。本文研究了齐次深度$3$和深度$4$算术电路的函数计算下界的证明问题。我们证明了以下结果：1. $VNP$中多项式的指数下界齐次深度$3$算术电路。2.对于$VNP$中多项式具有有界个别次数的齐次深度$4$算术电路的指数下界。我们的主要动机，这条线的研究来自于我们的观察，足够强大的功能下限，甚至非常特殊的深度- $4$算术电路的永久意味着分离之间的${\#}P$和$ACC$。因此，改进第二个结果以摆脱有界个体度条件可以导致布尔电路复杂性的实质性进步。此外，从Kumar和Saptharishi [KS 15]最近的一个结果可知，在常数大小的有限域上，齐次深度- $4$回路的足够强的平均情况泛函下界意味着齐次深度- $5$回路的超多项式下界.我们的证明是基于一个家庭的新的复杂性措施，称为转移评估维度，可能是独立的利益。
2016-05-13 cs.CC
Improved bounds for reduction to depth 4 and depth 3
Koiran表明，如果一个$n$ -变量多项式的程度$d$（与$d=n^{O(1)}$）计算的电路大小$s$，那么它也计算的均匀电路的深度4和大小$2^{O(\sqrt{d}\log(d)\log(s))}$。利用这一结果，古普塔，Kamath，Kayal和Saptharishi给出了一个$\exp(O(\sqrt{d\log(d)\log(n)\log(s)}))$上限的大小最小的深度三个电路计算$n$ -变量多项式的程度$d=n^{O(1)}$由电路的大小$s$。我们在这里改进Koiran的边界。事实上，我们表明，如果我们减少一个算术电路的深度为4，那么大小成为$\exp(O(\sqrt{d\log(ds)\log(n)}))$。模仿Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi的证明，它也暗示了深度三个电路的相同上界。这个新的界限是不远处从最佳的意义上说，古普塔，Kamath，Kayal和Saptharishi也显示了$2^{Ω(\sqrt{d})}$下界的大小均匀深度四电路，使门在底部有扇入最多$\sqrt{d}$。最后，我们表明，这最后一个下界也成立，如果扇入至少是$\sqrt{d}$。
2014-05-16 cs.CC
CLIQUE as an AND of Polynomial-Sized Monotone Constant-Depth Circuits
本文证明了在 n 顶点图上计算 k-CLIQUE 需要至少 2^{n/4k} 个单调常深度多项式规模电路的 AND，并为此提出了一个新的单调单侧切换引理。
2024-01-23 cs.CC
A Note on Polynomial Identity Testing for Depth-3 Circuits
令$C$为深度3算术电路，其大小至多为$s$，计算多项式$ f \in \mathbb{F}[x_1,\ldots, x_n] $（其中$\mathbb{F}$ = $\mathbb{Q}$或$\mathbb{C}$），并且$C$的乘积门的扇入由$d$界定。给出了一个确定性多项式恒等式检验算法，用于及时检验是否为$f\equiv 0$.
2018-05-20 cs.CC
On top fan-in vs formal degree for depth-$3$ arithmetic circuits
我们证明了在复数域上，\emph{every}齐次多项式的次数$d$可以近似（在边界复杂性意义下）的深度$3$算术电路的顶部扇入最多$d+1$。这是相当令人惊讶的，因为在次数$2$的$n$变量上存在齐次多项式$P$，使得计算$P$的任何深度$3$算术电路必须具有至少$Ω(n)$的顶部扇入。作为一个应用，我们在Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi [GKKS 13]的著名深度缩减结果的近似模拟中得到了顶部扇入和形式度之间的新权衡。形式上，我们表明，如果一个程度$d$齐次多项式$P$可以由大小$s$的算术电路计算，然后对于每个$t \leq d$，$P$是在顶部扇入$s^{O(t)}$和正式程度$s^{O(d/t)}$的深度$3$电路的边界。据我们所知，在[GKKS 13]的原始证明中，顶部扇入的上界总是至少为$s^{O(\sqrt{d})}$，而不管形式程度如何。
2018-04-10 cs.CC
Sophistication vs Logical Depth
复杂度和逻辑深度是表示字符串结构复杂程度的两个度量。复杂度被定义为可计算函数的最小复杂度，该函数定义了在某个精度内最短的字符串的两部分描述;第二部分可以定义为在某个精度内最短的程序的最小计算时间。我们表明，忙碌的海狸功能的复杂性的字符串超过其逻辑深度与更大的精度，和逻辑深度超过忙碌的海狸功能的复杂性与更大的精度。我们还表明，这是不正确的，如果精度只增加了一个常数（当这些概念定义与平原Kolmogorov复杂性）。最后，我们表明，复杂性是不稳定的，其精度：恒定的变化可以改变其值的长度的一个线性项的字符串。
2017-01-27 cs.CC cs.IT math.IT
Bounds on the Size of Small Depth Circuits for Approximating Majority
本文证明了对每个常数$0 < ε< 1/2$和$d \geq 2$，$ε$ -逼近$n$变量上的择多函数的深度$d$布尔电路的最小规模是exp $(Θ(n^{1/(2d-2)}))$ . O 'Donnell和Wimmer [ICALP'07]以前已经给出了每个$d \geq 2$的下界和$d=2$的上界，本文的贡献是给出$d \geq 3$的匹配上界。
2009-01-31 cs.CC
An average-case depth hierarchy theorem for Boolean circuits
证明了$\mathsf{AND}$、$\mathsf{OR}$和$\mathsf{NOT}$门的标准基上布尔电路的平均情况深度层次定理。我们的层次定理说，对于每个$d \geq 2$，有一个显式的$n$ -变量布尔函数$f$，由线性大小的深度- $d$公式计算，这是这样的，任何深度- $(d-1)$电路，同意$f$的$(1/2 + o_n(1))$分数的所有输入必须有大小$\exp({n^{Ω(1/d)}}).$这回答了一个悬而未决的问题提出的Håstad在他的博士学位。论文我们的平均情况深度层次定理意味着多项式层次相对于概率为1的随机预言是无限的，证实了Håstad，Cai和Babai的猜想。我们还使用我们的结果表明，有没有“近似逆”的结果Linial，曼苏尔，Nisan和Boppana的小深度电路的总影响，从而回答了一个问题所提出的O 'Donnell，卡莱和Hatami。在我们的证明中的一个关键因素是一个概念的\emph{random projections}推广随机限制。
2015-04-14 cs.CC
Super-Linear Gate and Super-Quadratic Wire Lower Bounds for Depth-Two and Depth-Three Threshold Circuits
为了正式理解神经计算的能力，我们首先需要破解两层和三层阈值电路的前沿，这是一种令人惊讶的难以分析的机制。我们证明了第一个超线性门下界和第一个超二次线下界的深度为2的线性阈值电路的任意权重，和深度为3的多数电路计算一个显式函数。$\bullet$我们证明了，对于所有的$ε\gg \sqrt{\log(n)/n}$，线性时间可计算的Andreev函数不能计算$(1/2+ε)$分数的$n$位输入的深度2线性阈值电路的$o(ε^3 n^{3/2}/\log^3 n)$门，也不能计算与$o(ε^{3} n^{5/2}/\log^{7/2} n)$线。这为阈值电路建立了一个平均情况下的“大小层次”，因为Andreev函数可以通过$o(n^3)$线性阈值门的均匀深度2电路和$O(n)$多数门的均匀深度3电路来计算。$\bullet$我们提出了一个新的功能，在$P$的基础上小偏置集，我们证明了不能计算的多数表决的深度为2的线性阈值电路与$o(n^{3/2}/\log^3 n)$门，也与$o(n^{5/2}/\log^{7/2}n)$线。$\bullet$我们给出了紧密的平均情况下（门和线）复杂性计算奇偶校验与深度两个阈值电路的结果，答案原来是相同的深度两个多数电路。关键是线性阈值函数的一个新的随机约束引理。我们的主要分析工具是加法组合学中的Littlewood-Offord引理。
2015-11-24 cs.CC cs.NE
The Power of Depth 2 Circuits over Algebras
研究了矩阵代数上深度为2的算术电路的多项式恒等式测试问题。我们证明了域F上深度为3的（Sigma-Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试是多项式时间等价于域U_2（F）上深度为2的（Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试。这样的联系是有点令人惊讶的，因为我们还表明，作为计算模型，在U_2（F）上的Pi-Sigma电路严格“弱”于在F上的Sigma-Pi-Sigma电路。该等价性进一步表明，深度为3的算术电路的PIT可退化为宽度为2的平面交换代数分支程序的PIT。因此，即使在宽度为2的情况下，交换ABP的身份测试也是有趣的。进一步，我们给出了F上任意常维交换代数上Pi-Sigma电路的确定性多项式时间恒等式检验算法。而在多项式维数的交换代数上，恒等式检验至少和F上的Sigma-Pi-Sigma电路一样困难。
2009-04-14 cs.CC cs.DS
Towards Deterministic Algorithms for Constant-Depth Factors of Constant-Depth Circuits
本文提出确定性次指数时间算法，利用伪结式及相关去随机化结果，枚举常数深度电路可计算的多元多项式不可约因子。
2024-03-04 cs.CC cs.DS
A Model-Theoretic Characterization of Constant-Depth Arithmetic Circuits
研究了由无限扇入加法和乘法门的常数深度多项式大小算术电路计算的函数类$\textrm{AC}^0$。到目前为止，没有数学电路类的模型理论表征。受Immerman的布尔类$\textrm{AC}^0$的表征的启发，我们补救这种情况，并开发这样的表征$\textrm{AC}^0$。我们的特征可以解释如下：功能在$\textrm{AC}^0$正是那些功能计数获胜的策略在一阶模型检验游戏。我们的结果的一个后果是一个新的模型理论表征的$\textrm{TC}^0$，接受的语言类的常数深度多项式大小的多数电路。
2017-10-05 cs.CC cs.LO
Depth-2 QAC circuits cannot simulate quantum parity
我们证明了$n > 3$量子比特上的量子奇偶校验门不能用具有两层任意数量的任意C-SIGN门和任意1-量子比特幺正门的量子线路干净地模拟，不管允许的辅助量子比特的数量如何。这是最有名的和第一个非平凡的分离之间的奇偶校验门和电路的这种形式。同样的界限也适用于量子扇出门。我们的结果与Fang等人[3]的结果是不可比较的，后者适用于任何恒定的深度，但需要模拟电路上的辅助量子比特的亚线性数量。
2020-05-25 cs.CC quant-ph
Adaptive Quantum Computation, Constant Depth Quantum Circuits and Arthur-Merlin Games
我们提出的证据表明，存在量子计算，可以在恒定的深度进行，使用2-qubit门，不能模拟经典的高精度。我们证明，如果一个可以模拟这些电路的经典有效的复杂性类BQP包含在AM。
2004-03-11 cs.CC quant-ph
Universal Quantum Circuits
我们定义并构造了有效的深度泛量子电路和几乎尺寸泛量子电路。这样的电路可以被视为量子电路的中心类的通用模拟器，并且可以用于捕获被模拟的电路类的计算能力。对于深度，我们构造通用电路，其深度与所模拟的电路相同。对于大小，在这里构造的通用电路中存在对数因子爆破。我们证明，这种结构是接近最优的。
2008-04-15 cs.CC quant-ph
Jacobian hits circuits: Hitting-sets, lower bounds for depth-D occur-k formulas & depth-3 transcendence degree-k circuits
我们提出了一个单一的，共同的工具，严格subsidering所有已知的情况下，多项式时间黑盒多项式身份测试（PIT），迄今已解决了使用不同的工具和技术。特别是，我们表明，多项式时间击中集生成器的身份测试的两个看似不同的和良好的研究模型-深度3电路有界的顶部扇入，和恒定的深度常数读取多线性公式-可以使用一个共同的代数几何主题：雅可比矩阵捕获代数独立。通过利用雅可比矩阵，我们设计了第一个有效的击中集生成器，用于上述模型的广泛推广，即：（1）具有由乘积门计算的多项式的恒定超越度的深度3（Sigma-Pi-Sigma）电路（没有有界顶扇入限制），和（2）恒定深度的恒定出现公式（没有多线性限制）。正如我们所定义的，变量的常量出现是一个比常量读取更一般的概念。此外，后一种模型的早期工作假设该公式是多线性的。因此，我们的工作进一步超越了Saxena & Seshadhri（STOC 2011），Saraf & Seshadhovich（STOC 2011），Anderson et al.（CCC 2011），Beecken et al.（ICALP 2011）和Grenet et al.（FSTTCS 2011）获得的结果，并将它们置于一个统一的技术之下。此外，使用相同的基于雅可比矩阵的方法，我们证明了指数下界的immanant（包括永久和行列式）在相同的深度3和深度4模型，我们给出了有效的PI…
2011-11-02 cs.CC math.AC
Lower Bounds on Circuit Depth of the Quantum Approximate Optimization Algorithm
量子近似优化算法（QAOA）是一种近似求解组合优化问题的方法。虽然QAOA被开发来解决广泛的一类组合优化问题，但目前还不清楚哪类问题最适合它。证明量子优势的一个因素是问题实例与实现QAOA方法所需的电路深度之间的关系。由于NISQ器件中的误差随电路深度呈指数级增加，因此识别电路深度的下限可以提供对何时量子优势可行的见解。在这里，我们确定如何的问题实例的结构可以用来确定电路深度的下限QAOA的每次迭代，并检查问题结构和电路深度之间的关系，包括MaxCut和MaxIndSet的各种组合优化问题。具体来说，我们展示了如何推导出一个图，$G$，它描述了一个一般的组合优化问题，并显示电路的深度至少是色指数的$G$。通过查看电路深度的缩放，我们认为，MaxCut，MaxIndSet，顶点覆盖和布尔satisifiability问题的一些实例是适合QAOA方法，而背包和旅行销售人员的问题是不。
2020-08-12 cs.CC math.OC quant-ph
Optimal Space-Depth Trade-Off of CNOT Circuits in Quantum Logic Synthesis
退相干--在量子计算机的当前物理实现中--使得深度缩减成为量子电路设计中的一项重要任务。Moore和Nilsson（SIAM Journal of Computing，2001）证明了额外的量子位-称为辅助-可以用来提供扩展的空间来并行化量子电路。具体地说，他们证明了，有了$O(n^2)$辅助器，任何$n$ -量子比特CNOT电路都可以转换成$O(\log n)$深度的等价电路。然而，近期的量子技术只能支持有限数量的量子比特，使得空间深度权衡成为量子电路综合的基础研究课题。在这项工作中，我们建立了一个渐进最佳的空间深度权衡CNOT电路。我们证明了任何$n$ -量子比特CNOT电路都可以用$m$辅助器并行化到$$O\left(\max\left\{\log n, \frac{n^2}{(n+m)\log (n+m)}\right\}\right)$$深度.即使任务从精确合成扩展到具有任意两量子比特量子门的CNOT电路的近似，这个界限也是紧的。我们的结果可以通过Aaronson和Gottesman（Physical Review A，2004）的简化扩展到稳定器电路。此外，我们提供的硬度证据优化CNOT电路的大小或深度。我们的结果改进了前两篇激励我们工作的论文。Moore-Nilsson的$O(\log n)$深度CNOT电路合成的构造（前面提到）：我们通过证明$m= O(n^2/\l…
2022-09-23 cs.CC cs.DS quant-ph
Average-Hard Attention Transformers are Constant-Depth Uniform Threshold Circuits
Umeå University（于默奥大学）；Department of Computing Science（计算机科学系）
该研究拓展了平均硬注意力Transformer与常数深度阈值电路的关联结论，证明其对应的电路结果也可扩展为均匀电路，完善了Transformer的计算复杂度理论分析。
2023-08-21 cs.CC cs.CL cs.LG
Depth as Randomness Deficiency
对象的深度涉及计算时间和超过获得对象所需的最短程序长度的程序长度之间的权衡。它给出了一个无条件的下限的计算时间从一个给定的程序在没有辅助信息。称为逻辑深度和计算深度的变体在柯尔莫哥洛夫复杂性理论中表示。本文导出了逻辑深度和计算深度之间的定量关系，并通过将它们与A. Kolmogorov和L.莱文关于随机性不足的富有成效的概念。随后，我们重新审视无限弦的计算深度，引入超深序列的概念，并将其与其他方法联系起来。
2008-09-15 cs.CC cs.IT math.IT
