Multiparty Karchmer-Wigderson Games and Threshold Circuits
我们提出了一个概括的Karchmer-Wigderson通信游戏的多方设置。我们的推广原来是紧密相连的电路组成的阈值门。这使我们能够获得新的明确的结构，这样的电路的几个功能。特别是，我们提供了一个显式（多项式时间可计算）的对数深度单调公式的多数函数，仅由3位的择多门和变量。这解决了Cohen等人的一个猜想（CHTTO 2013）。
2020-02-18 cs.CC
Approximating the Determinant of Well-Conditioned Matrices by Shallow Circuits
行列式可以由深度为$O(\log^2 n)$的经典回路计算，因此它也可以在经典空间$O(\log^2 n)$中计算。Ta-Shma [Ta 13]的最新进展暗示了在量子空间$O(\log n + \log κ)$中逼近条件数为$κ$的厄米特矩阵的行列式的方法。然而，不知道如何仅使用经典资源在小于$O(\log^2 n)$的空间中执行任务。在这项工作中，我们表明，一个矩阵的条件数意味着一个上界的深度复杂性（因此也取决于空间复杂度）：具有条件数$κ$的厄米特矩阵的行列式可以用深度为$\tilde O(\log n \cdot \log κ)$的经典电路近似为逆多项式相对误差，并且特别地，可以在深度$\tilde{O}(\log n)$中近似充分条件良好的矩阵的行列式。我们的算法结合了Barvinok最近用于近似组合计数问题的复分析方法[Bar 16]和用于低度数算术电路的Valiant-Berkowitz-Skyum-Rackoff深度缩减定理[Val 83]。
2019-12-09 cs.CC cs.DC cs.DS
Bounds on the QAC$^0$ Complexity of Approximating Parity
QAC电路是由单量子比特门和任意数量的Toffoli门组成的量子电路。QAC $^0$电路是恒定深度的QAC电路，并且是AC $^0$电路的量子模拟。我们证明如下：对于所有的$d \ge 7$和$\varepsilon>0$，存在大小为$\exp(\mathrm{poly}(n^{1/d}) \log(n/\varepsilon))$的深度- $d$ QAC电路，其将$n$ -量子位奇偶函数近似为在最坏情况量子输入上的误差$\varepsilon$内。以前，人们不知道是否QAC电路的亚对数深度可以近似奇偶校验的大小无关。$\bullet$我们介绍了一类“大多是经典的”QAC电路，包括我们的电路从上述上限的主要组成部分，并证明了一个严格的下限低深度，大多是经典的QAC电路，近似这个组件的大小。$\bullet$任意深度- $d$ QAC电路至少需要$Ω(n/d)$多量子位门来实现奇偶校验的$1/2 + \exp(-o(n/d))$近似。当$d = Θ(\log n)$时，这几乎与用于精确计算奇偶校验的简单$O(n)$大小上限匹配。具有至多两层多量子位门的$\bullet$ QAC电路不能实现奇偶校验的$1/2 + \exp(-o(n))$近似，甚至不能干净地实现。以前只知道这样的电路不能干净地计算奇偶校验足够大的$n$。证明使用一个新的标准形式的量子电路可能是独立的利益，是基于减少的…
2020-11-30 cs.CC quant-ph
Majority and Torus Polynomials: Bounded-Lift Lower Bounds and Explicit Constructions
University of Wyoming（怀俄明大学）
该文解决环面多项式下界框架的两个开放问题，证明多数函数近似的有界提升下界，给出任意布尔函数的最优显式环面多项式近似，结果经Lean结合GPT-6 Astra形式化。
2026-10-13 cs.CC
Separation of AC$^0[\oplus]$ Formulas and Circuits
This paper gives the first separation between the power of { \em formulas} and { \em circuits} of equal depth in the $\mathrm{AC}^0[\oplus]$ basis (unbounded fan-in AND, OR, NOT and MOD $_2$ gates). We show, for all $d(n) \le O(\frac{\log n}{\log\log n})$ , that there exist { \em polynomial-size depth- $d$ circuits} that are not equivalent to { \em depth- $d$ formulas of size $n^{o(d)}$ } (moreover, this is optimal in that $n^{o(d)}$ cannot be improved to $n^{O(d)}$ ). This result is obtained by a combination of new lower and upper bounds for { \em Approximate Majorities}, the class of Boolean…
2017-02-13 cs.CC
Degree Lower Bounds for Torus Polynomials and $MAJORITY$ vs $ACC^0$
The Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India（马德拉斯数学科学研究所）；Indian Institute of Technology Bombay, Mumbai, India（印度孟买理工学院）
研究多数函数是否属于或非门电路类的问题，借助环面多项式逼近，将其相关猜想简化为线性规划问题，通过受对偶多项式方法启发的方式，为一大类线性规划找到可行解并证明多个关键结果。
2026-07-15 cs.CC
Approximating Unitary Preparations of Orthogonal Black Box States
在本文中，我朝着回答以下问题迈出了一步：对于计算m个正交n量子比特状态的m个不同的小电路，是否有一个小电路将m个计算基态映射到这m个状态，而不需要任何输入，留下任何辅助比特改变。虽然这看起来很简单，但在任何输入（即使是我们关心的m以外的输入）上，辅助位总是返回到0的约束使我使用了复杂的技术。我给出了这样一个酉在m = 2的情况下，在近似误差中具有大小多项式的近似，以及量子比特数n。
2019-06-23 cs.CC quant-ph
Towards Simpler Sorting Networks and Monotone Circuits for Majority
本文研究低深度单调电路计算多数函数及构建低深度排序网络的问题，提出了深度为$O(\log_2^{5/3} n)$的显式单调电路，以及将排序网络上界从$4 \log_k^2 n$改进至$2 \log_k^2 n$的新架构。
2023-10-18 cs.CC cs.DS
Approximating Output Probabilities of Shallow Quantum Circuits which are Geometrically-local in any Fixed Dimension
我们提出了一个经典的算法，对于任何$D$维的几何局部的，量子电路$C$的多量子深度，和任何比特串$x \in {0,1}^n$，可以计算的数量$|<x|C|0^{\otimes n}>|^2$内的任何逆多项式的附加误差在准多项式时间，对于任何固定的尺寸$D$。这是[CC 21]结果的推广，[CC 21]最初证明了$D = 3$的这一结果。要了解为什么这是有趣的，请注意，虽然该结果的$D = 1$情况来自几十年来已知的矩阵乘积状态的标准使用，但$D = 2$情况需要在[BGM 19]中引入的新颖且有趣的技术。扩展到案例$D = 3$更加费力，并且需要在[CC 21]中引入更多新技术。我们在此的工作表明，虽然处理每个新维度在历史上需要新的洞察力，并且基于$D \leq 3$的已知技术固定算法原语，但是我们现在可以处理任何固定维度$D > 3$。我们的算法使用[CC21]的分治框架，通过相同问题类型的几个实例来近似所需的量，每个实例涉及的$D$维电路的量子位数约为原始的一半。然后递归地应用该除法步骤，直到递归分解的电路在$D^{th}$维度上的宽度如此之小，以至于它们可以通过以运行时间的适度增加为代价将$D^{th}$维度上的小宽度吸收到量子结构中而有效地被视为$(D-1)$维度问题.主要的技术挑战在于确保来自[CC21]的递归电路分解和误差分析的更多涉及部分仍然保持在更高的维度中，这需…
2022-02-16 cs.CC quant-ph
Approximating Boolean Functions with Disjunctive Normal Form
该定理指出：每个布尔函数都可以通过大小为$O_ε(2^{n}/\log{n})$的析取范式（DNF）成为$ε-approximated$。本文将通过展示这个定理是如何产生的并证明它的正确性来详细地论证这个定理。我们还将深入研究一些特定的布尔函数，并探索如何用大小在通用范围$O_ε(2^{n}/\log{n})$内的DNF来近似这些布尔函数。我们感兴趣的布尔函数是：奇偶校验函数：奇偶校验函数可以是$ε-approximated$，由宽度为$(1 - 2ε)n$、大小为$2^{(1 - 2ε)n}$的DNF表示。此外，我们将探索DNF的大小和宽度的下限。多数函数：对于每个常数$1/2 < ε< 1$，存在大小为$2^{O(\sqrt{n})}$的DNF，其可以$ε-approximated$在n位上执行多数函数。单调函数：每个单调函数f可以是$ε-approximated$，通过大小为$2^{n - Ωε(n)}$的DNF g，对于所有x，满足$g(x) \le f(x)$。
2020-05-12 cs.CC cs.LO
Coin Flipping in Dynamic Programming is Almost Useless
我们考虑工作在实数上的概率电路，并使用任意半代数函数的有界描述复杂性作为门。特别地，这样的电路可以使用所有算术运算+、-、x、/、优化运算min和max、条件分支（if-then-else）等等。我们表明，概率电路使用这些操作门可以模拟确定性电路的大小只有约二次爆破。一个不太大的爆炸时，电路大小也显示去随机近似电路。算法的结果是随机性并不能显著提高动态规划算法的速度。
2020-12-23 cs.CC
On $CC^0$ Lower Bounds for AND via Torus Polynomials
The Institute of Mathematical Sciences, Chennai（马德拉斯数学科学研究所）；Indian Institute of Technology Madras (IIT Madras)（印度马德拉斯理工学院）
研究 \(CC^0\) 电路能否计算与门这一问题，利用环面多项式逼近方法，通过 Krishan 和 Vishwanathan 给出的对称环面多项式次数下界，证明对称 \(CC^0\) 电路计算与门的规模下界，并在非对称情况下为特定深度为三的电路建立次数上界，推进常数次数假设。
2026-07-15 cs.CC
Super-Linear Gate and Super-Quadratic Wire Lower Bounds for Depth-Two and Depth-Three Threshold Circuits
为了正式理解神经计算的能力，我们首先需要破解两层和三层阈值电路的前沿，这是一种令人惊讶的难以分析的机制。我们证明了第一个超线性门下界和第一个超二次线下界的深度为2的线性阈值电路的任意权重，和深度为3的多数电路计算一个显式函数。$\bullet$我们证明了，对于所有的$ε\gg \sqrt{\log(n)/n}$，线性时间可计算的Andreev函数不能计算$(1/2+ε)$分数的$n$位输入的深度2线性阈值电路的$o(ε^3 n^{3/2}/\log^3 n)$门，也不能计算与$o(ε^{3} n^{5/2}/\log^{7/2} n)$线。这为阈值电路建立了一个平均情况下的“大小层次”，因为Andreev函数可以通过$o(n^3)$线性阈值门的均匀深度2电路和$O(n)$多数门的均匀深度3电路来计算。$\bullet$我们提出了一个新的功能，在$P$的基础上小偏置集，我们证明了不能计算的多数表决的深度为2的线性阈值电路与$o(n^{3/2}/\log^3 n)$门，也与$o(n^{5/2}/\log^{7/2}n)$线。$\bullet$我们给出了紧密的平均情况下（门和线）复杂性计算奇偶校验与深度两个阈值电路的结果，答案原来是相同的深度两个多数电路。关键是线性阈值函数的一个新的随机约束引理。我们的主要分析工具是加法组合学中的Littlewood-Offord引理。
2015-11-24 cs.CC cs.NE
Addition is exponentially harder than counting for shallow monotone circuits
令$U_{k,N}$表示布尔函数，该布尔函数将每个$N$位的$k$串作为输入，表示$\{0,1,\dots,2^{N}-1\}$中的$k$号$a^{(1)},\dots,a^{(k)}$，并且当且仅当$a^{(1)} + \cdots + a^{(k)} \geq 2^N.$时输出1。令THR $_{t,n}$表示单调未加权阈值门，即，布尔函数，它将单个字符串$x \in \{0,1\}^n$作为输入，当且仅当$x_1 + \cdots + x_n \geq t$时输出$1$。我们把由THR门组成的电路称为单调多数电路。本文的主要结果是计算$U_{k,N}$的有界深度单调多数电路的大小的指数下界。更准确地说，我们表明，任何常数$d \geq 2$，任何深度$d$单调多数电路计算$U_{d,N}$必须有大小$\smash{2^{Ω(N^{1/d})}}$。由于$U_{k,N}$可以通过单个单调加权阈值门（使用指数大的权重）来计算，因此我们的下限意味着恒定深度单调多数电路需要指数大小来模拟单调加权阈值门。这回答了Goldmann和Karpinski（STOC'93）提出的一个问题，最近由Hastad（2010，2014）重申。我们还表明，我们的下限基本上是最好的可能，通过构建一个深度- $d$，大小- $2^{O(N^{1/d})}$单调多数电路$U_{d,N}$。作为我们的下限的推论…
2015-08-12 cs.CC cs.DM math.CO
Smaller ACC0 Circuits for Symmetric Functions
具有$MOD_m$门的恒定深度电路的功率是多少，可以对$m$进行模计数？他们能有效地计算MAJORITY和其他对称函数吗？当$m$是一个常数素数幂时，答案是很好理解的：Razborov和Smolensky在20世纪80年代证明了MAJORITY和$MOD_m$需要超多项式大小的$MOD_q$电路，其中$q$是不整除$m$的任何素数幂。然而，对于非素数功率$m$，关于$MOD_m$电路的功率知之甚少。例如，$EXP$中的每个问题是否都可以通过多项式大小的深度$3$电路和仅$MOD_6$门来计算仍然是开放的。通过给出新的上界，我们揭示了$MOD_m$电路下界证明的困难。我们构建$MOD_m$电路计算对称函数与非素数电源$m$，与大小深度权衡击败长期以来的下限$AC^0[m]$电路素数电源$m$。我们的尺寸深度权衡电路具有基本上最佳的依赖$m$和$d$的指数，在一个自然的电路复杂性假设。例如，对于每个$\varepsilon > 0$，我们证明了每个对称函数都可以用$\exp(O(n^{\varepsilon}))$大小的深度为3的$MOD_m$电路来计算，对于常数$m$，它只取决于$\varepsilon > 0$。也就是说，深度- $3$ $CC^0$电路可以计算\emph{subexponential}大小的任何对称函数.这表明，与其他模型相比，深度- $3$ $CC^0$电路的功…
2021-07-09 cs.CC
Algorithmic Cluster Expansions for Quantum Problems
本文基于 Kotecký-Preiss 抽象聚合物模型的簇展开建立通用算法框架，为接近恒等算子的量子电路概率幅与期望值、高温量子自旋系统配分函数与热期望值提供高效近似算法，并证明相应近似困难性，确立计算复杂性转变及条件最优性。
2024-01-16 cs.CC cs.DS math.CO
Simple general magnification of circuit lower bounds
我们提出一种简单通用的电路下界放大方法，利用区分器稀疏矩阵，推广并加强现有结果，实现低于已知下界的阈值，并给出MCSP的统一放大结果。
2025-06-21 cs.CC
On Lev Gordeev's "On P Versus NP"
在论文“On P versus NP”中，列夫·戈尔杰耶夫试图将成功证明单调电路指数下界的近似方法扩展到德摩根正规（DMN）电路的情况。正如拉兹博罗夫证明单调电路的指数下界一样，戈尔杰耶夫的工作集中在NP完全问题CLIQUE上。如果成功地证明了CLIQUE的指数DMN电路下界，Gordeev将证明P $\neq$ NP。然而，我们证明了戈尔杰耶夫在引理12中犯了一个关键性的错误。这个错误来自于仅对正电路输入进行近似运算。此外，我们认为，努力扩展DMN电路的近似方法将需要近似否定的输入。
2021-04-14 cs.CC
Quantum algorithms and approximating polynomials for composed functions with shared inputs
我们给出了新的量子算法，用于评估其输入可以在底层门之间共享的组合函数。令$f$是$m$位布尔函数，并考虑通过将$f$应用于$n$变量的可能重叠子集的合取而获得的$n$位函数$F$.如果$f$具有量子查询复杂度$Q(f)$，我们给出了一个利用$\tilde{O}(\sqrt{Q(f) \cdot n})$量子查询计算$F$的算法.这改进了$O(Q(f) \cdot \sqrt{n})$的边界，通过独立地处理每个连接，我们的边界对于$f$的最坏情况选择是紧的。使用完全不同的技术，我们证明了一个类似的紧复合定理的近似程度的$f$。通过递归地应用我们的复合定理，我们得到了一个近似最优的$\tilde{O}(n^{1-2^{-d}})$上界的量子查询复杂度和近似程度的线性尺寸深度- $d$ AC $^0$电路。因此，这样的电路可以在亚指数时间内学习PAC，即使在具有挑战性的不可知设置中。在我们的工作之前，一个次指数时间算法是不知道的，即使是线性尺寸的深度3 AC $^0$电路。作为一个额外的后果，我们表明，交流$^0 \circ \oplus$电路的深度$d+1$需要大小$\tildeΩ(n^{1/(1- 2^{-d})}) \geq ω(n^{1+ 2^{-d}} )$计算的内积函数，甚至平均。先前的最佳尺寸下限是$Ω(n^{1+4^{-(d+1)}})$并且仅在最差情况下保持（Chera…
2021-09-10 cs.CC quant-ph
Approximation Limitations of Pure Dynamic Programming
我们证明了第一，甚至超多项式，下界的大小热带（min，+）和（max，+）电路近似给定的优化问题。许多经典的动态规划（DP）优化算法都是纯算法，它们在递归方程中只使用基本的min、max、+运算。热带电路构成了这类算法的严格数学模型。我们的热带电路的下界的算法的结果是，纯DP算法和贪心算法的近似能力是不可比拟的。众所周知，纯DP算法在近似方面很难击败贪婪算法。这个结论的新之处在于，反过来也成立。
2020-12-23 cs.CC
Quantified Derandomization of Linear Threshold Circuits
当前复杂性理论中的一个突出挑战是试图证明$TC^0$的下界，$TC^0$是一类具有多数门的常数深度、多项式大小的电路。依赖于Williams（2013）的结果，证明这样的下界的吸引人的方法是构造$TC^0$的非平凡去随机化算法。在这项工作中，我们向后一个目标迈出了第一步，证明了第一个积极的成果，关于深度$d>2$的$TC^0$电路的去随机化。我们的第一个主要结果是一个量化的去随机算法的$TC^0$电路的超线性数量的电线。具体来说，我们构建了一个算法，得到作为输入的$TC^0$电路$C$在$n$输入位与深度$d$和$n^{1+\exp(-d)}$线，运行在几乎多项式时间，并区分$C$拒绝最多$2^{n^{1-1/5d}}$输入的情况下，$C$接受最多$2^{n^{1-1/5d}}$输入的情况。事实上，即使当电路$C$是线性阈值电路而不仅仅是$TC^0$电路（即，$C$是具有线性阈值门的电路，其比多数门强）。我们的第二个主要结果是，即使是适度的改进，我们的量化去随机化算法将产生一个非平凡的算法，所有的$TC^0$的标准去随机化，并因此意味着$NEXP\not\subseteq TC^0$。具体地，如果存在量化的去随机化算法，其得到具有深度$d$和$n^{1+O(1/d)}$导线的$TC^0$电路作为输入（而不是$n^{1+\exp(-d)}$线），在最多$2^{n^{\exp(-d)}…
2017-11-06 cs.CC
Local Enumeration and Majority Lower Bounds
本文定义Enum(k,t)问题，揭示深度3电路下界与k-SAT算法的新联系，并提出随机算法，将多数函数的Σ³₃下界改进至1.251ⁿ。
2024-05-23 cs.CC
The composition complexity of majority
我们研究的复杂性，计算大多数作为一个组成的本地功能：\[ \text{Maj}_n = h(g_1,\ldots,g_m), \]，其中每个$g_j :\{0,1\}^{n} \to \{0,1\}$是一个任意的功能，查询只有$k \ll n$变量和$h : \{0,1\}^m \to \{0,1\}$是一个任意的组合功能。我们证明了\[ m \ge Ω\left( \frac{n}{k} \log k \right) \]在所需函数数上的一个最优下界，它是一个比理想$m = n/k$大的因子$Ω(\log k)$。我们称这个因素的组成开销;以前，没有超常数的下限，它是已知的多数。我们的下界恢复，作为一个推论，并通过一个完全不同的证明，最有名的下界有界宽度分支程序的多数（阿隆和马斯'86，巴巴伊等人。这也是我们提出的打破小深度布尔电路下界长期障碍的计划的第一步。我们的证明的新方面包括通过内部函数$g_j$的计算流的信息丢失的尖锐的界限，和引导的多输出函数（汉明重量）的下限到一个单输出的下限（多数）。
2022-05-16 cs.CC
Constant-Depth Sorting Networks
在本文中，我们解决排序网络，从比较器的arity $k > 2$。也就是说，在我们的设置中，比较器的arity-或者换句话说，可以以单位成本排序的输入数量-是一个参数。我们研究了它与其他两个参数的关系-- $n$，输入的数量，和$d$，深度。这一模式受到了相当大的关注。部分原因是为了更好地理解排序网络的结构。特别地，具有大元数的排序网络与普通排序网络的递归构造有关。此外，这个模型的研究有自然的对应关系，最近的工作路线上构建电路的多数功能，从多数门较低的扇入。基于这些问题，我们得到了常深度排序网络的丰度的第一个下界。更准确地说，我们考虑排序网络的深度$d$到4，并确定最小的$k$，有这样一个网络的比较元$k$。对于深度$d=1,2$，我们观察到$k=n$。对于$d=3$，我们表明，$k = \lceil \frac n2 \rceil$。对于$d=4$，最小元数变为次线性：$k = Θ(n^{2/3})$。这与大多数电路的情况形成对比，在大多数电路中，对于深度$d=3$已经可以实现$k = O(n^{2/3})$。
2022-08-17 cs.CC
Approximating Multilinear Monomial Coefficients and Maximum Multilinear Monomials in Multivariate Polynomials
本文是我们的第三步发展多元多项式测试单项式的理论，并集中在两个问题：（1）如何计算多线性单项式的系数;（2）如何找到一个最大的多线性单项式时，输入是$ΠΣΠ$多项式。我们首先证明了第一个问题是P-困难的，然后设计一个$O^*(3^ns(n))$上限为这个问题的任何多项式表示的算术电路的大小$s(n)$。之后，对$ΠΣΠ$多项式，这个上界被改进为$O^*(2^n)$.然后，我们设计完全多项式时间随机逼近方案，这个问题的$ΠΣ$多项式。在消极的一面，我们证明，即使是$ΠΣΠ$多项式与条款的程度$\le 2$，第一个问题不能近似在所有的任何近似因子$\ge 1$，也不是{ \em“弱近似”}在一个非常宽松的设置，除非P=NP。对于第二个问题，我们首先给出了次数项不再为常数$λ\ge 2$的$ΠΣΠ$多项式的多项式时间$λ$ -逼近算法。在不可逼近性方面，我们给出了一个$n^{(1-ε)/2}$下界，对于任何$ε>0,$上的$ΠΣΠ$多项式的逼近因子。当这些多项式中的条款被约束到度$\le 2$，我们证明了$1.0476$下界，假设$P\not=NP$ ;和更高的$1.0604$下界，假设唯一的游戏猜想。
2010-07-15 cs.CC
A Duality Between Depth-Three Formulas and Approximation by Depth-Two
我们建立了一个明确的深度-3公式和单边近似深度-2公式，这是以前独立研究之间的联系。具体来说，我们表明，深度3公式的最小尺寸是（到一个因子n）等于最大值的倒数，在所有的深度2公式，单边误差相关性界除以深度2公式的大小，在一定的硬分布。我们应用这种对偶性得到几个结果：1。任何函数f都可以用大小为$O(ε2^n / n)$的CNF公式来近似，对于某些紧到常数因子的$ε$，具有单侧误差和优势$ε$。2.存在一个单调函数f，使得f可以用某个多项式大小的CNF公式来近似，而任何近似f的单调CNF公式都需要指数大小。3.计算奇偶函数的任何深度3公式都需要$Ω(2^{2 \sqrt{n}})$门，其紧到因子$\sqrt n$。这在深度3电路大小和深度3公式大小之间建立了二次分离。4.利用超图上的一个自然极值问题，给出了多数函数的深度3单调电路复杂性的一个刻画。特别是，我们表明，一个已知的图兰定理的扩展给出了一个紧凑的（多项式因子）电路大小计算的多数函数由单调深度3电路底部扇入2。5. AC 0 [p]与奇素数p的奇偶函数具有指数小的单侧相关性。
2017-05-10 cs.CC
A Model-Theoretic Characterization of Constant-Depth Arithmetic Circuits
研究了由无限扇入加法和乘法门的常数深度多项式大小算术电路计算的函数类$\textrm{AC}^0$。到目前为止，没有数学电路类的模型理论表征。受Immerman的布尔类$\textrm{AC}^0$的表征的启发，我们补救这种情况，并开发这样的表征$\textrm{AC}^0$。我们的特征可以解释如下：功能在$\textrm{AC}^0$正是那些功能计数获胜的策略在一阶模型检验游戏。我们的结果的一个后果是一个新的模型理论表征的$\textrm{TC}^0$，接受的语言类的常数深度多项式大小的多数电路。
2017-10-05 cs.CC cs.LO
Improved Lower Bounds for QAC0
University of California at Berkeley（加州大学伯克利分校）
研究证明QAC0电路在深度3时无法计算PARITY，需指数级门数计算MAJORITY；深度2电路无法有效近似高影响布尔函数，且QAC0电路在输出要求放宽后，其近似下界优于之前结果，同时与经典AC0电路进行比较，指出量子电路并不必然更强大。
2026-08-27 cs.CC quant-ph
One-Sided-Error Parameterized Reductions for the Minimum Distance and Shortest Vector Problems
National Institute of Informatics, Japan（日本国立情报学研究所）；The Graduate University for Advanced Studies, SOKENDAI（高级研究大学院大学）
该研究对MDP和SVP的双侧错误归约部分去随机化，提出单侧错误归约，结合OR函数构造与电路下界假设，得到MDP和SVP近似的确定性W[1]-困难性及欧几里得SVP近似的确定性NP-困难性。
2026-08-17 cs.CC
Lower Bounds Against Sparse Symmetric Functions of ACC Circuits: Expanding the Reach of $\#$SAT Algorithms
我们继续利用电路可满足性算法证明电路下界的程序。到目前为止，这个程序已经产生了几个具体的结果，证明功能在$\text{Quasi-NP} = \text{NTIME}[n^{(\log n)^{O(1)}}]$和$\text{NEXP}$没有小电路从各种电路类${\cal C}$，通过显示${\cal C}$承认非平凡的可满足性和/或$\#$ SAT算法击败穷举搜索的一个小数额。本文给出了电路类${\mathcal C}$的非平凡$\#$ SAT算法的一个新的强下界结果。假设一个对称布尔函数$f(x_1,\ldots,x_n)$是稀疏的，如果它输出$1$对$\sum_i x_i$的$O(1)$值。我们发现，对于每一个稀疏的$f$，并为所有“典型的”${\cal C}$，更快的$\#$ SAT算法的${\cal C}$电路实际上意味着对电路类$f \circ {\cal C}$，这可能是强于${\cal C}$本身的下限。特别是：在$2^n/n^k$时间内运行的$n^k$ -大小的${\cal C}$ -电路的$\#$ SAT算法（对于所有$k$）意味着$\text{NEXP}$不具有多项式大小的$f \circ {\cal C}$ -电路。在$2^{n-n^ε}$时间内运行的$2^{n^ε}$大小的${\cal C}$电路的$\#$ SAT算法（对于某些$ε> 0$）意味着$\te…
2020-01-21 cs.CC
Quantum Circuits with Unbounded Fan-out
我们证明了无界扇出门是非常强大的。在固定基上具有有界扇入和无界扇出的恒定深度多项式大小的量子线路（用QNCf ^0表示）可以以多项式小误差近似以下门：奇偶校验、mod[q]、与、或、多数、阈值[t]、精确[q]和计数。传统上，即使我们可以使用无界扇入门，我们也需要对数深度。如果我们允许任意的单量子比特门而不是固定的基，那么这些电路也可以在对数星深度上精确。排序、算术运算、相位估计和具有任意模数的量子傅里叶变换也可以在恒定深度中近似。
2005-05-18 cs.CC quant-ph
Fine-Grained Complexity for Quantum Problems from Size-Preserving Circuit-to-Hamiltonian Constructions
Rice University（莱斯大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本文证明了量子问题的细粒度复杂性下界，展示了经典和量子算法的改进，并提出了一种更高效的量子算法。
2026-08-10 cs.CC cs.DS quant-ph
Smaller Circuits for Bit Addition
针对位加法在布尔电路综合中的基础地位，本文研究全二元基下位加法的电路规模，将上界从$5n-3m$改进为$4.5n-2m$（在$m$远小于$n$时提升10%），并提供开源生成器实现。
2025-09-24 cs.CC cs.DM cs.DS
