发表机构
Alignment Research Center; Harvard University（对齐研究中心; 哈佛大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出一个由 GPT-6 Astra 发现的简单构造，证明了任意对称函数（包括多数函数）存在规模为 $2^{O(n^{1/(d-1)})}$ 的深度 d 电路，从而解决了多数函数的渐近 $\mathrm{AC}^0$ 电路复杂度问题，匹配 Håstad 的下界。
AI 中文摘要
四十年来，Håstad 针对深度为 d 的电路计算奇偶校验函数所给出的经典下界 $2^{\Omega(n^{1/(d-1)})}$ 仍是任何显式函数已知的最佳 $\mathrm{AC}^0$ 电路下界。长期以来，多数函数一直是寻求更强下界的引人注目的候选：计算它的最自然电路远大于计算奇偶校验函数的电路，并且屡次被猜想为最优。我们提出一个由 GPT-6 Astra 发现的简单构造，对于任何对称函数，该构造给出了规模为 $2^{O(n^{1/(d-1)})}$ 的深度 d 电路。这一结果解决了多数函数的渐近 $\mathrm{AC}^0$ 电路复杂度问题，与 Håstad 的下界相匹配。
英文摘要
Four decades on, Håstad's classical $2^{Ω(n^{1/(d-1)})}$ lower bound for depth-$d$ circuits computing Parity remains the best known $\mathrm{AC}^0$ circuit lower bound for any explicit function. Majority has long been a compelling candidate for stronger lower bounds: the most natural circuits computing it are substantially larger than those for Parity and have repeatedly been conjectured to be optimal. We present a simple construction, found by GPT-6 Astra, of depth-$d$ circuits of size $2^{O(n^{1/(d-1)})}$ for any symmetric function. This result settles the asymptotic $\mathrm{AC}^0$ circuit complexity of Majority, matching Håstad's lower bound. The proof draws inspiration from well-loved combinatorial tools, including the color-coding technique of Alon, Yuster, and Zwick (1995).
