A Superpolynomial Lower Bound on the Size of Uniform Non-constant-depth Threshold Circuits for the Permanent
Pascal Koiran, Sylvain Perifel
我们表明，永久不能计算DLOGTIME-均匀的阈值或算术电路的深度O（日志日志n）和多项式的大小。
We show that the permanent cannot be computed by DLOGTIME-uniform threshold or arithmetic circuits of depth o(log log n) and polynomial size.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Superpolynomial lower bounds for general homogeneous depth 4 arithmetic circuits
本文证明了一类齐次深度为4的算术电路的超多项式下界。我们给出了一个显式多项式在VNP的程度$n$在$n^2$变量，使任何均匀深度4算术电路计算它必须有大小$n^{Ω(\log \log n)}$。我们的结果推广了Nisan-Wigderson [NW 95]的工作（显示了均匀深度3电路的超多项式下限），Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi和Kayal-Saha-Saptharishi [GKKS 13，KSS 13]（其示出了具有有界底部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界），Kumar-Saraf [KS13a]（其显示了具有有界顶部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界）和Raz-Yehudayoff和Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan [RY 08，FLMS 13]（其示出了多线性深度为4的电路的超多项式下界）。事实上，这些结果中有几个显示了指数下界。在我们的证明的主要成分是一个新的复杂性措施{ \it有界支持}移位偏导数。该措施使我们能够证明均匀深度4电路的指数下界，其中在底层计算的所有单项式具有{ \it有界支持}（但可能是无界度/扇入），加强了Gupta等人和Kayal等人的结果[GKKS 13，KSS 13]。这个新的下界结合了一个仔细的“随机限制”过程（将一般的深度为4的齐次电路转换为具有有界支持的深度为4的电路），给…
The Limited Power of Powering: Polynomial Identity Testing and a Depth-four Lower Bound for the Permanent
多项式恒等式检验和算术电路下界是代数复杂性理论中的两个核心问题。有趣的是，这些问题实际上是相关的。本文的作者之一最近提出了一个“真正的τ-猜想”，这是受这种联系的启发。实τ-猜想指出稀疏一元多项式的乘积之和的实根的个数应该是多项式有界的。它意味着计算永久多项式的算术电路的大小的超多项式下界。本文证明了实τ-猜想对一类有限的稀疏多项式乘积和成立。这一结果产生了一个限制类的深度-4电路的下界：我们表明，多项式大小的电路从这个类不能计算永久的，我们也给出了一个确定性的多项式身份测试算法为同一类电路。
The Limits of Depth Reduction for Arithmetic Formulas: It's all about the top fan-in
近年来，提出了一种非常令人兴奋和有前途的方法来证明算术电路的下界。该方法结合了Agrawal-Vinay [AV 08]、Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的工作中开发的{ \it深度缩减}方法，以及Kayal [Kay 12]和Gupta等人[GKKS 13 a]的工作中开发的移位偏导数复杂性度量的使用。这些结果激发了其他各种算术电路的美丽结果和强下界的热潮，特别是Kayal等人[KSS 13]最近的工作，通过这些公式的{\it改进的深度约简}显示了{ \it正则}算术公式的超多项式下界。这是一个有趣的问题，如果这些方法可以证明一般（齐次）算术公式的超多项式下界，如果是这样，这将确实是一个突破算术电路复杂性。在本文中，我们研究的权力和限制的深度减少和移位偏导数的算术公式。我们通过研究深度为4的同构算术电路类来实现。我们证明了：（1）具有顶部扇入$o(\log n)$的齐次深度为4的电路类的第一个{ \it超多项式下界}。我们的结果的核心是显示这些电路的{ \it改进的深度减少}。(2)我们表明，改进的深度减少{ \it是不可能的}时，顶部扇入是$Ω(\log n)$。特别是，这表明Koiran和Tavenas [Koi 12，Tav 13]的深度缩减程序即使对于齐次公式也无法改进，因此加强了Fournier等人[FLMS 13]的结果，Fournie…
Some Lower Bound Results for Set-Multilinear Arithmetic Computations
本文研究了集-多线性算术电路和集-多线性分支程序的结构，目的是给出下界结果。我们定义了这些模型的一些自然限制，我们能够显示下界结果。我们的一些结果扩展了现有的下限，而另一些是新的，并提出了开放的问题。（1）我们观察到集合多线性算术电路可以有效地转化为浅集合多线性电路，类似于[VSBR 83，RY 08]对更一般的交换电路的深度约简结果。因此，我们注意到，多项式规模集多线性电路有准多项式规模集多线性分支程序。我们发现，\emph{narrow}集多线性ABP（有限数量的集合类型）计算永久多项式$\mathrm{PER}_n$需要$2^{n^{Ω(1)}}$大小。一个类似的结果，一般集多线性ABP出现困难，因为它将意味着永久需要超多项式大小集多线性电路。这也意味着，非交换永久需要超多项式大小的非交换算术电路。(2)事实上，我们还表明，集多线性分支程序是指数更强大的比\emph{interval}多线性电路（其中每个门的索引集被限制为一个区间w.r.t.\”（《易经》）：“君子之道，焉可诬也？有始有终。这进一步强调了集合多线性分支程序的强大功能。(3)最后，我们考虑了集多线性回路，并对单项式的证明树的个数进行了限制，证明了指数下界的结果。这就提出了一些新的下限问题。
A simple encoding of a quantum circuit amplitude as a matrix permanent
本文提出了一种简单的结构，它允许计算一个待编码的量子线路的跃迁幅度，即计算一个矩阵的积和，该矩阵的大小与电路中量子门的数目成正比。这为近似量子线路提供了一些有趣的经典蒙特卡罗算法。
Low-depth arithmetic circuit lower bounds via shifted partials
我们使用移位偏分测度[Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi，CCC 2013]，[Kayal，ECCC 2012]和偏分测度的仿射投影[Garg-Kayal-Saha，FOCS 2020]，[Kayal-Nair-Saha，STACS 2016]证明了低深度算术电路的超多项式下界。Limaye，Srinivasan和Tavenas最近的突破性工作[FOCS 2021]通过证明低深度集合多线性电路的下界证明了这些下界。我们的证明的一个有趣的方面是，它不需要一个电路的集合多线性电路的转换，也不涉及随机限制。我们能够直接上界齐次公式的措施，而不通过集多重线性。我们的下界保持迭代矩阵乘法以及Nisan-Wigderson设计多项式。我们还定义了一个子类的齐次公式，我们称之为独特的解析树（UPT）公式，并证明这些超多项式下界。这推广了[Kayal-Saha-Saptharishi，STOC 2014]，[Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan，STOC 2014]中正则公式的超多项式下界。
Observations on Symmetric Circuits
我们研究了对称算术电路，并改进了Dawar和Wilsenach（ArXiv 2020）给出的下界。他们的结果表明，对称电路计算的永久的指数下界。我们扩展这个结果，以显示一个更简单的证明永久的下限，并表明，一个大类的多项式在这个模型中的指数下界。事实上，我们证明了在对称计算模型中，所有包含至少一个永久单项式的多项式都有指数大小的下界。我们还显示了超多项式下界较小的群体。我们支持我们的结论，即组是更重要的多项式，通过显示，在一个随机的过程中选择多项式，不遇到超多项式下限的概率是指数低。
On the Consistency of Circuit Lower Bounds for Non-Deterministic Time
本研究证明了超多项式电路下界与有界算术理论V$^0_2$的首个无条件一致性，为NEXP $\not\notin$ P/poly猜想提供了目前最佳证据，并拓展至非确定性勉强超多项式时间类，还得出电路下界证明难度的放大结果。
Symmetric Algebraic Circuits and Homomorphism Polynomials
研究了对称代数复杂性理论，证明对称多项式可由小电路表示当且仅当其可表示为有限treewidth图的同态计数多项式的线性组合，并探讨了子图计数多项式的对称复杂性与模式图顶点覆盖数的关系。
A Solution of the P versus NP Problem based on specific property of clique function
电路下界是重要的，因为据信NP中的问题的超多项式电路下界意味着P！= NP. Razborov用逼近的方法证明了单调电路的超多项式下界。通过扩展这种方法，研究人员已经证明了几个不同函数的单调网络复杂性的指数下界。但是到目前为止，还没有人能够证明NP中任意布尔函数的非单调复杂度的非线性下界。本文通过将标准电路中的每个“非”门等价地替换为常数1，证明了非单调网络与单调网络相比具有相同或更高的计算团函数的下界.这表明团函数的非单调网络复杂度是超多项式，这意味着P！= NP.
Shallow Circuits with High-Powered Inputs
多项式同一性测试算法必须确定输入多项式（例如由算术电路给出）是否完全等于0。在本文中，我们表明，一个确定性的黑盒身份测试算法（高次）一元多项式将意味着一个下界的算术复杂性的永久。已知从（低度）多变量同一性检验的去随机化得出的下界较弱。为了得到我们的下界，对一个非常特定的范数的多项式的身份测试进行去随机化就足够了：稀疏系数的稀疏多项式的乘积之和。这一观察导致新版本的舒布-Smale τ-猜想的整数根的一元多项式。特别是，我们表明，下界的永久将遵循，如果一个人可以给一个足够好的约束的数量上的实根的总和的产品稀疏多项式（笛卡尔规则的迹象给出这样的约束稀疏多项式及其产品）。在这第三个版本中，我们的文件，我们表明，同样的下限将遵循即使只能证明一个稍微超多项式上界的数量的真正的根。这是一个后果的一个新的结果减少到深度4算术电路，我们建立在一个配套文件。我们还表明，一个更弱的实际根的数量上的界限将足以获得一个下界的深度4电路计算永久的大小。
Functional lower bounds for arithmetic circuits and connections to boolean circuit complexity
如果对于每个$x \in \{0,1\}^n$，我们都有那个$C(x) = P(x)$，我们说域$F$上的电路$C$在函数上计算$n$变量多项式$P$。这与当$C \equiv P$作为形式多项式时按语法计算$P$相反。本文研究了齐次深度$3$和深度$4$算术电路的函数计算下界的证明问题。我们证明了以下结果：1. $VNP$中多项式的指数下界齐次深度$3$算术电路。2.对于$VNP$中多项式具有有界个别次数的齐次深度$4$算术电路的指数下界。我们的主要动机，这条线的研究来自于我们的观察，足够强大的功能下限，甚至非常特殊的深度- $4$算术电路的永久意味着分离之间的${\#}P$和$ACC$。因此，改进第二个结果以摆脱有界个体度条件可以导致布尔电路复杂性的实质性进步。此外，从Kumar和Saptharishi [KS 15]最近的一个结果可知，在常数大小的有限域上，齐次深度- $4$回路的足够强的平均情况泛函下界意味着齐次深度- $5$回路的超多项式下界.我们的证明是基于一个家庭的新的复杂性措施，称为转移评估维度，可能是独立的利益。
On Explicit Branching Programs for the Rectangular Determinant and Permanent Polynomials
本文从参数化复杂度的角度研究了一些著名多项式族的运算电路复杂性。我们主要研究了\emph{rectangular}符号矩阵的行列式和永久多项式在交换和非交换条件下的显式代数分支程序（ABP）的构造.有以下主要結果: 1.本文给出了$k\times n$符号矩阵的非交换永久多项式的一个显式$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$大小的ABP构造.我们通过一个显式的ABP构造得到了$S_{n,k}^*$的大小为$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$，它是初等对称多项式$S_{n,k}$的非交换对称化版本。2.我们得到了$k\times n$符号矩阵的可交换矩形行列式多项式的一个显式$O^{*}(2^k)$ -规模ABP构造. 3.相反，我们证明了计算有理矩阵上的矩形非交换行列式是$W[1]$ -hard的。
New Exponential Size Lower Bounds against Depth Four Circuits of Bounded Individual Degree
Kayal，Saha和Tavenas [计算理论，2018]表明，对于所有足够大的整数$n$和$d$，使得$d\geq ω(\log{n})$，任何计算迭代矩阵乘法多项式（$IMM_{n,d}$）的有界个体次数$δ= o(d)$的语法深度为4的电路必须具有大小$n^{Ω\left(\sqrt{d/δ}\right)}$。不幸的是，随着$δ$值的增加，该界限恶化。此外，只有当$δ$是$o(d)$时，边界才是超多项式。人们自然会问，是否可以削弱绑定中对$δ$的依赖。为此，在早期的结果[STACS，2020]中，我们证明了对于所有足够大的整数$n$和$d$，使得$d = Θ(\log^2{n})$，任何计算$IMM_{n,d}$的有界个体度$δ\leq n^{0.2}$的语法深度为4的电路必须具有大小$n^{Ω(\log{n})}$。本文进一步证明了：对所有足够大的整数$n$和$d$，以及绝对常数$a$和$b$，使得$ω(\log^2n)\leq d\leq n^{a}$，任何计算$IMM_{n,d}$的句法深度为4的有界个体度$δ\leq n^{b}$的回路的大小必须为$n^{Ω(\sqrt{d})}$ .我们的界限是通过仔细调整Kumar和Saraf的证明[SIAM J. Computing，2017]来获得的，以适应我们早期工作中引入的复杂性度量[STACS，2020]。
Separation Results for Constant-Depth and Multilinear Ideal Proof Systems
本文通过功能性方法和倍数方法，证明了常深IPS和多线性IPS的分离定理，展示了不可满足实例的反驳复杂性。
Derandomizing Polynomial Identity over Finite Fields Implies Super-Polynomial Circuit Lower Bounds for NEXP
我们表明，去随机化多项式身份测试在任意有限域意味着NEXP没有多项式大小的布尔电路。换句话说，对于任何大小为q的有限域F（q），$PIT_q\in NSUBEXP\Rightarrow NEXP\not\subseteq P/poly$，其中$PIT_q$是F（q）上的多项式恒等式测试问题，NSUBEXP是语言的非确定性子时间类。我们的结果是在合同Kabanets和Impagliazzo的现有定理，去随机化的多项式身份测试在整数环Z意味着NEXP确实有多项式大小的布尔电路或永久在Z上没有多项式大小的算术电路。
Exponential lower bound via exponential sums
本文通过Shub-Smale τ猜想证明了指数和的指数下界，并探讨了参数化复杂性类VW_{nb}^0[P]的fpt下界，以及计数层级的坍塌与τ复杂度的关系。
The Chasm at Depth Four, and Tensor Rank : Old results, new insights
Agrawal和Vinay [AV08]展示了如何将任何多项式大小的算术电路视为次指数大小的深度4算术电路。Korian [Koiran]和随后的Tavenas [Tav 13]更仔细地分析了该模拟中产生的电路大小。我们提供了一个简单的证明这个结果链。然后，我们抽象的主要成分，将其应用到公式和恒定深度电路，并显示更多的结构化深度减少。在一个先验的令人惊讶的结果中，Raz [Raz10]表明，对于任何$n$和$d$，使得$ ω(1) \leq d \leq O\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)$，构造足够高秩的显式张量$T:[n]^d \rightarrow F$将意味着域$F$上算术公式的超多项式下界。使用额外的结构，我们从我们的证明的深度减少算术公式，我们给出了一个新的，可以说是更简单的证明这种连接。我们还扩展了齐次公式的结果，表明，事实上，连接持有任何$d$，使$ω(1) \leq d \leq n^{o(1)}$。
If VNP is hard, then so are equations for it
本文在 Permanent 多项式需要指数规模代数电路的假设下，证明 VNP 类不存在高效可计算的方程，从而说明允许大系数多项式会使方程的电路复杂度显著膨胀。
An $n^2\log\log n$ Lower Bound for Permanent Circuits with Valid Division
本文通过改进临界轨迹方法，结合列删除递推、最大秩定理和形式形变，证明了特征零域上永久式有理算术电路在有效除法下的 $n^2\log\log n$ 下界。
Symmetric Arithmetic Circuits
本文提出对称算术电路模型，证明计算积和式需指数规模，而特征零域上行列式可用多项式规模对称电路计算。
On the hardness of the noncommutative determinant
本文研究了非交换行列式的计算复杂性。我们首先考虑计算非交换行列式多项式的算术电路复杂性。然后，更一般地，我们还研究了计算行列式（作为一个函数）的复杂性在非交换域。我们的硬度结果总结如下：1.我们表明，如果非交换的行列式多项式有小的非交换算术电路，那么这样做的非交换永久。因此，交换永久多项式具有小的交换算术电路。2.对于任意域F，我们证明了计算F上的n × n积和式可多项式时间约化为计算F上的2n × 2n（非交换）行列式，其元素为O（n^2）× O（n^2）矩阵。3.作为推论，我们还得到计算非负有理数上的n × n积和式可以多项式时间约化为计算n ^{O（1）}维Clifford代数上的非交换行列式.我们的技术是基本的，主要使用的概念阿达玛产品的非交换多项式。
On the expressive power of planar perfect matching and permanents of bounded treewidth matrices
Valiant在大约25年前引入了计算的代数模型以及复杂性类VP和VNP，它们可以被视为经典类P和NP的类似物。它们使用算术电路的非均匀序列来定义，并提供了一个框架来研究多项式序列的复杂性。在这个模型中，困难（即VNP完全）问题的突出例子包括永久多项式和哈密顿多项式。虽然永久和汉密尔顿多项式在一般情况下很难评估，有研究这些多项式的特殊情况下承认有效的评估。例如，Barvinok已经证明，如果底层矩阵具有有界秩，则永久多项式和汉密尔顿多项式都可以在多项式时间内求值，因此在VP中。Courcelle、Makowsky和Rotics已经证明，对于有界树宽的矩阵，可以有效地解决几个困难的问题（包括计算永久多项式和哈密顿多项式）。一个较早的结果，这种味道是Kasteleyn的定理，其中指出，总和的权重完美匹配的平面图可以计算在多项式时间，因此是在VP也。对于一般的图，这个问题是VNP-完全的。在本文中，我们调查上述结果的表达能力。证明了有界树宽矩阵的积和多项式与算术公式是等价的。此外，算术弱偏斜电路被证明是等价的平面图的完美匹配的重量之和。
Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials
受矩阵的Hadamard积的启发，本文定义了多元多项式的Hadamard积，并研究了它的运算电路和分支程序的复杂性。我们还提供了多项式身份测试的应用程序和连接。我们的主要结果如下。1.我们表明，非交换多项式身份测试代数分支程序的有理数是完整的对数空间计数类$\ceql$，并在领域的特征$p$的问题是在$\ModpL/\Poly$。2.给出了Raz-Yehudayoff多项式表示为两个单调多线性多项式的Hadamard积的指数下界。相比之下，恒量可以表示为两个二次型单调多线性公式的Hadamard乘积。
Some Closure Results for Polynomial Factorization and Applications
在80年代的一系列开创性结果中，Kaltofen证明了复杂性类VP在取因子下是封闭的。在这种情况下，一个自然的问题是要理解，如果其他自然类的多元多项式，例如，算术公式，代数分支程序，有界深度算术电路或类VNP，是封闭的采取因素。本文证明了多项式的次数至多为$\log^a n$的所有因子都有深度至多为$O(k + a)$的Poly（n）规模的$k$回路.这部分回答了Shpilka-Yehudayoff的问题，并应用于有界深度算术电路的硬度-随机性权衡。更准确地说，这表明，一个超多项式下界有界深度算术电路，为一个家庭的显式多项式的次数多$(\log n)$意味着确定性的次指数时间算法多项式身份测试（PIT）有界深度算术电路。这与Dvir等人的一个美丽的结果是无法比拟的，其中，他们表明，对于任何显式多项式族（潜在的高次数），恒定深度算术电路的超多项式下限意味着有界个体次数的有界深度电路的次指数时间确定性PIT。因此，我们删除了[DSY 09]中的“有界个体度”条件，代价是加强了对低次多项式的硬度假设。作为我们的技术的直接应用，我们还证明了复杂性类VNP在取因子下是封闭的，从而证实了Bürgisser的一个猜想，并得到了这一事实的另一个证明（首先由Dutta等人证明）。如果次数至多为$d$的多项式$Q$除以可由大小为$s$的公式计算的多项式$P$，则$Q$具有大小至多为poly $(s, …
Arithmetic circuits: the chasm at depth four gets wider
在他们关于“深度为4的鸿沟”的论文中，Agrawal和Vinay证明了，允许大小为2^o（m）的算术电路的次数为O（m）的m个变量的多项式也允许深度为4和大小为2^o（m）的算术电路。该定理表明，对于诸如算术电路下界或黑盒去随机化的身份测试问题，深度为四个电路的情况在某种意义上是一般情况。在本文中，我们表明，较小的深度四电路可以得到，如果我们从多项式大小的算术电路。例如，我们证明了如果n*n矩阵的永久式有大小为n中多项式的回路，那么它也有深度为4的大小为n^O（sqrt（n）*log（n））的回路。我们的深度四电路使用多项式大小的整数常数。这些结果有潜在的应用下界和确定性的身份测试，特别是稀疏的单变量多项式的产品的总和。我们也给一个应用程序的布尔电路复杂性，和一个简单的（但次优）减少多项式的算术电路的大小和多项式有界度的多对数深度。
Monotone Projection Lower Bounds from Extended Formulation Lower Bounds
在这个简短的说明中，我们减少了多项式的单调投影的下界的多面体的扩展配方的下界。将我们的约简应用于Fiorini，Massar，Pokutta，Tiwari和de Wolf（STOC 2012; J. ACM，2015）和Rothvoss（STOC 2014; J. ACM，2017）的开创性扩展公式下限，我们得到了以下有趣的结果。1. Hamilton循环多项式不是永久式的单调次指数大小投影;这既排除了布尔永久式单调下界的自然尝试，又表明在单调p投影下，VNP $_{\mathbb R}$中非负多项式的永久式是不完备的。2.切割多项式和完美匹配多项式（或“无符号Pfidian”）不是永久式的单调p-投影。后者，在布尔与或半环，排除了单调减少的自然方法之一，减少完美匹配一般图完美匹配的二分图。由于积式对于单调公式是普适的，这些结果也暗示了这些多项式的单调公式规模和单调回路规模的指数下界。
Limitations of sum of products of Read-Once Polynomials
我们研究的多项式计算的深度两个电路建立在只读一次多项式（ROP）和深度三语法多线性公式的限制。我们证明了一个指数下界的大小的$ΣΠ^{[N^{1/30}]}$算术电路建立在语法多线性$ΣΠΣ^{[N^{8/15}]}$算术电路计算产品的变量不相交的线性形式上的$N$变量。我们扩展的结果的情况下，$ΣΠ^{[N^{1/30}]}$算术电路建立在无限深度的ROP，在适当的子公式中的变量的数量与$+$门作为父有界的$N^{1/2+1/30}$。我们表明，同样的下限持有永久多项式。最后，我们得到了一个指数下界的总和的ROP计算多项式在${\sf VP}$定义的Raz和Yehudayoff。我们的结果表明，一类公式的无界深度指数大小的下界对永久和可以被看作是一个指数的改进，多线性公式大小的下界Raz给出的一个子类的多线性和非多线性公式。我们的证明技术是建立在一个开发的拉兹和后来扩展的库马尔等。等人的\cite{KMS13}，并且基于随机分区下的ROP的非平凡分析。此外，我们的研究结果表现出Raz \cite{Raz04a}引入的下界技术的优势和局限性。
The method of shifted partial derivatives cannot separate the permanent from the determinant
利用移位偏导数的方法证明了计算永久式所需深度四个回路大小的一个超多项式下界。我们表明，这种方法本身不能证明填充永久$\ell^{n-m} perm_m$不能实现内的$GL_{n^2}$ -轨道封闭的行列式$ det_n$时，$n>2m^2+2m$。我们的证明依赖于几个简单的退化的行列式多项式，麦考利定理，给出了一个下界增长的理想，和一个下界估计古普塔等。关于行列式的移位的偏导数。
Testing Equivalence to the Hamiltonian Cycle Polynomial
提出一种随机多项式时间算法，用于测试给定多项式是否与哈密顿环多项式HC_n在变量线性变换下等价，并分析了HC_n的对称性和自归约性质。
Rectangular Kronecker coefficients and plethysms in geometric complexity theory
我们证明了在几何复杂性理论程序中矩形Kronecker系数的消失不能用来证明永久多项式的超多项式行列式复杂性下界。此外，我们证明了积极的矩形Kronecker系数的一大类分区的矩形的边长至少是二次的长度的分区。我们还比较了矩形Kronecker系数与其相应的体积系数，这导致了一个新的下限矩形Kronecker系数。证明了矩形Kronecker半群的饱和性是平凡的，证明了矩形Kronecker正性伸缩因子对于长的第一行为2，并对Manivel在2011年引入的矩形极限Kronecker系数的正性进行了完全分类.
Negations are powerful even in small depth
该研究通过构造特定多项式族，证明了单调与非单调算术计算的分离，并在布尔设置中获得超多项式下界，同时解决了多个开放问题。
Lower Bounds for Symmetric Circuits for the Determinant
本文针对行列式计算提出更严格的对称算术电路要求，基于支撑定理和双人受限双射博弈开发了下界证明框架，并证明在此对称性下计算行列式存在指数级下界。
From Proof Complexity to Circuit Complexity via Interactive Protocols
本文证明：若隐式扩展弗雷格系统iEF能高效证明标准去随机化假设，则iEF证明长度的超多项式下界可推出#P不在FP/poly中，从而在证明复杂性与电路复杂性之间建立条件性联系。
Nearest Neighbor Complexity and Boolean Circuits
该研究通过布尔电路复杂度分析最近邻与k-最近邻表示能力，建立与min-plus多项式阈值函数的联系，获得指数下界并揭示超多项式下界需电路突破，同时证明二者指数分离。
Flattenings and Koszul Young flattenings arising in complexity theory
我发现新的方程周品种，其割线品种，并在研究中产生的深度5电路的一个额外的品种，由Koszul Young Scholings和Koszul。当$d$为奇数时，这实现了$x_1x_2\cdots x_d$的对称边界秩的新下界，以及计算永久式的深度5电路的大小的下界。
Semi-Algebraic Proofs, IPS Lower Bounds and the $τ$-Conjecture: Can a Natural Number be Negative?
我们介绍了二进制值的原则，这是一个简单的子集和的情况下表示，一个自然数写在二进制不能是负的，有关它的证明和代数复杂性的中心问题。我们证明了这个实例的理想证明系统（IPS）反驳大小的条件超多项式下界，基于Shub和Smale关于计算因子难度的着名假设，其中IPS是Grochow和Pitassi（2018）引入的强代数证明系统。相反，我们表明，这种情况下短IPS反驳桥梁足够强大的代数和半代数证明系统之间的差距。我们的研究结果扩展到了Forbes et al.（2016）中介绍的完全IPS范例，其中使用受限代数电路下界获得了IPS子系统的下界，并证明了二进制值原理捕获了半代数推理的优势，对于足够强大的系统。具体来说，我们展示了以下内容：（摘要在文档中继续。
AC^0[p]-Frege Cannot Efficiently Prove that Constant-Depth Algebraic Circuit Lower Bounds are Hard
本文证明表达“常深度代数电路下界难以证明”的 DNF 公式族在 AC0[p]-Frege 中无多项式大小证明，并给出其为恒真式的证据及深度放大与必要性结论。
Circuit complexity, proof complexity, and polynomial identity testing
我们引入了一个新的代数证明系统，它与（代数）电路复杂性有着紧密的联系。特别是，我们证明了在我们的证明系统中，任何布尔重言式上的超多项式下界意味着永久不具有多项式大小的代数电路（VNP不等于VP）。作为一个推论的证明，我们还表明，超多项式下界上的多项式微积分证明（而不是通常的措施单项式的数量）的线的数量意味着永久与行列式猜想。请注意，在我们的工作之前，没有证明系统，其中任意重言式的下界意味着任何计算下界。我们的证明系统有助于澄清以前的代数证明系统之间的关系，并开始阐明为什么证明复杂性下限的各种证明系统已经这么难比相应的电路类的下限。在此过程中，我们强调了多项式身份测试（PIT）对于理解证明复杂性的重要性。更具体地说，我们引入某些命题公理满足任何布尔电路计算PIT。我们使用这些PIT公理来阐明AC^0[p]-弗雷格下界，它已经开放了近30年，对于它们明显的困难没有令人满意的解释。我们表明，或者：a）证明AC^0[p]-Frege上的超多项式下界意味着VNP不具有深度为d的多项式大小的电路-一个众所周知的公开问题，d至少为4 -从而解释了AC^0[p]-Frege上的下界的困难，或者b）AC^0[p]-Frege不能有效地证明深度为d的PIT公理，因此我们有AC^0[p]-Frege上的下界。使用我们的证明系统的代数结构，我们提出了一种新的方法来扩展技术从代数电路复杂性证明证明复杂性的下…
The Switching Lemma shows what the Switching Lemma cannot prove: an unconditional natural-proofs barrier
本文无条件地证明了AC0自然证明无法证明超过2^{n^{7/(d-5)}}的深度-d电路下界，揭示了切换引理本身也无法超越其自身所确立的下界。
On the Limits of Depth Reduction at Depth 3 Over Small Finite Fields
最近，Gupta等人[GKKS 2013]证明，在Q上，VP中的任何$n^{O(1)}$ -变量和$n$ -次数多项式也可以由大小为$2^{O(\sqrt{n}\log^{3/2}n)}$的深度为3的$ΣΠΣ$电路计算。在固定大小的有限域上，Grigoriev和Karpinski证明了任何计算$Det_n$（或$Perm_n$）的$ΣΠΣ$电路的大小必须是$2^{Ω(n)}$ [GK 1998]。本文证明了在固定大小的有限域上，任何用于计算大小为$n\times n$的$n$类属矩阵的迭代矩阵乘法多项式的$ΣΠΣ$电路的大小必须为$2^{Ω(n\log n)}$ .该结果的重要性在于，在固定大小的字段上，没有深度缩减技术可以用于通过大小为$2^{o(n\log n)}$的深度3电路来计算VP中的所有$n^{O(1)}$ -变量和$n$ -次数多项式。结果[GK 1998]只能排除深度为3的$2^{o(n)}$电路的这种可能性。我们还给出了一个在VNP中的显式多项式（$NW_{n,ε}(X)$）的例子（不知道是否在VP中），对于它，任何计算它的$ΣΠΣ$电路（在固定大小的字段上）必须具有$2^{Ω(n\log n)}$的大小。我们考虑的多项式是从组合设计构造的。这个结果的一个有趣的特点是，我们得到的第一个例子的两个多项式（一个在VP和一个在VNP），使他们有可证明的更强的电路尺寸下限…
Small-depth Multilinear Formula Lower Bounds for Iterated Matrix Multiplication, with Applications
在本文中，我们研究的代数公式的复杂性乘以$d$许多$2\times 2$矩阵，表示为$\mathrm{IMM}_{d}$，并表明，众所周知的分治算法不能显着改善在任何深度，只要公式是多线性的。形式上，对于每个深度$Δ\leq \log d$，我们证明了$\mathrm{IMM}_d$的任何乘积深度$Δ$多线性公式必须具有大小$\exp(Ω(Δd^{1/Δ})).$。由此还可以得出，对于上述形式的相同多项式，乘积深度$Δ$的任何多线性电路必须具有大小$\exp(Ω(d^{1/Δ})).$。特别地，$\mathrm{IMM}_d$的任何多项式大小的多线性公式必须具有深度$Ω(\log d)$，任何多项式大小的多线性电路的$\mathrm{IMM}_d$必须有深度$Ω(\log d/\log \log d).$这两个界限是紧的常数因子。1.减深：Brent（JACM 1974）的一个著名结果表明，任何大小为$s$的公式都可以转换为大小为$s^{O(1)}$和深度为$O(\log s)$之一;此外，这种简化对于多线性公式仍然成立。我们的下限意味着，任何深度减少在多线性设置不能减少深度$o(\log s)$没有一个超多项式爆破的大小。2.与通式的分离：我们的结果，以及Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi（SICOMP 2016）的结果所暗示的$\mathrm{IMM}…
Random unitaries in extremely low depth
本文证明随机量子电路可在对数深度形成近似酉设计，并构造出极低深度的伪随机酉算符，实现指数级改进，应用于经典阴影、量子优势与物相识别。
Lower Bounds in Algebraic Complexity via Symmetry and Homomorphism Polynomials
本文通过引入对称代数复杂性类，证明了对称代数电路的下界，并扩展了同态多项式在复杂性类中的完整性和下界分析。
Unifying and generalizing known lower bounds via geometric complexity theory
我们证明了大多数算术电路的下界和下界之间的关系自然地符合几何复杂性理论（GCT）所建议的表示论框架，包括：偏导数技术（Nisan-Wigderson），Razborov和Smolensky关于$AC^0[p]$的结果，多线性公式和电路大小下界（Raz等人），度界（Strassen，Baur-Strassen），连通元技术（Ben-Or），有限域上深度为3的算术电路下界（格里戈里耶夫-卡尔平斯基），下界永久与行列式（Mignon-Ressayre，Landsberg-Manivel-Ressayre），矩阵乘法的下界（Bürgisser-Ikenmeyer）（已知最后两个适合GCT）、深度3和4的裂缝（Gupta-Kayal-Kamath-Saptharishi; Agrawal-Vinay; Koiran）、基质刚性（Valiant）等。也就是说，原来的证明，往往只是一点额外的工作，已经提供了代表性理论的障碍，在意义上的GCT为各自的下限。这使我们能够揭示一个新的观点GCT，从而它是一个自然的统一和广泛的推广已知的结果。它还表明，框架的GCT至少是强大的已知方法，并给出了许多新的概念证明，GCT确实可以提供显着的渐近下界。这种新的观点也开辟了富有成效的双向互动的可能性，以前的结果和GCT的新方法，我们提供了一些具体的建议，这种互动。例如，GCT的表示论观点自然地提供了在寻找新的下界…
Kronecker scaling of tensors with applications to arithmetic circuits and algorithms
本文证明平衡三分张量的低秩假设可使矩阵积和式算术电路及多种计数决策问题获得指数级改进，并通过Steinitz平衡技术建立张量的Kronecker缩放性质，进而将该低秩假设与Strassen渐近秩猜想联系起来。
Jacobian hits circuits: Hitting-sets, lower bounds for depth-D occur-k formulas & depth-3 transcendence degree-k circuits
我们提出了一个单一的，共同的工具，严格subsidering所有已知的情况下，多项式时间黑盒多项式身份测试（PIT），迄今已解决了使用不同的工具和技术。特别是，我们表明，多项式时间击中集生成器的身份测试的两个看似不同的和良好的研究模型-深度3电路有界的顶部扇入，和恒定的深度常数读取多线性公式-可以使用一个共同的代数几何主题：雅可比矩阵捕获代数独立。通过利用雅可比矩阵，我们设计了第一个有效的击中集生成器，用于上述模型的广泛推广，即：（1）具有由乘积门计算的多项式的恒定超越度的深度3（Sigma-Pi-Sigma）电路（没有有界顶扇入限制），和（2）恒定深度的恒定出现公式（没有多线性限制）。正如我们所定义的，变量的常量出现是一个比常量读取更一般的概念。此外，后一种模型的早期工作假设该公式是多线性的。因此，我们的工作进一步超越了Saxena & Seshadhri（STOC 2011），Saraf & Seshadhovich（STOC 2011），Anderson et al.（CCC 2011），Beecken et al.（ICALP 2011）和Grenet et al.（FSTTCS 2011）获得的结果，并将它们置于一个统一的技术之下。此外，使用相同的基于雅可比矩阵的方法，我们证明了指数下界的immanant（包括永久和行列式）在相同的深度3和深度4模型，我们给出了有效的PI…
A Fixed-Depth Size-Hierarchy Theorem for AC$^0[\oplus]$ via the Coin Problem
本文证明了均匀AC $^0[\oplus]$电路的第一个固定深度尺寸层次定理;特别地，对于固定$d$，深度$d$和尺寸$n^k$的均匀AC $^0[\oplus]$公式的类$\mathcal{C}_{d,k}$形成无限层次。为此，我们找到了第一类显式函数，它给出了AC $^0[\oplus]$公式的匹配上界和下界（直到多项式因子），该公式来自$δ$ -硬币问题，该问题是区分硬币的概率为$(1+δ)/2$或$(1-δ)/2,$，其中$δ$是$0$的参数。我们研究了这个问题的复杂性，并在上界和下界上都取得了进展。上限。我们发现明确的单调AC $^0$公式解决$δ$ -硬币问题，具有深度$d$，大小$\exp(O(d(1/δ)^{1/(d-1)}))$，和样本复杂度多$(1/δ)$，对于常数$d\ge2$。这与O 'Donnell和Wimmer（ICALP 2007）和Amano（ICALP 2009）在大小方面的上界相匹配，并提高了样本复杂性。下限。即使对于AC $^0[\oplus]$公式的较强模型，其上界也几乎是紧的（允许NOT和Parity Gate）：任何解决$δ$ -硬币问题的AC $^0[\oplus]$公式必须具有大小$\exp(Ω(d(1/δ)^{1/(d-1)})).$这加强了Cohen、Ganor和Raz的结果（近似随机2014年），谁证明了AC $^0$的类似结果…
Strong ETH Breaks With Merlin and Arthur: Short Non-Interactive Proofs of Batch Evaluation
我们提出了一个有效的证明系统多点算术电路评估：对于在字段${\mathbb F}$上的大小为$s$和次数为$d$的每个算术电路$C(x_1,\ldots,x_n)$，以及任何输入$a_1,\ldots,a_K \in {\mathbb F}^n$、$\bullet$，证明器向验证器发送值$C(a_1), \ldots, C(a_K) \in {\mathbb F}$和$\tilde{O}(K \cdot d)$长度的证明，以及$\bullet$，验证器投掷$\textrm{poly}(\log(dK|{\mathbb F}|/\varepsilon))$硬币并且可以在大约$\tilde{O}(K \cdot(n + d) + s)$时间内检查证明，错误概率小于$\varepsilon$。对于小度$d$，这个“Merlin-Arthur”证明系统（a.k.a. MA-证明系统）在近似线性时间内运行，并且具有许多应用。例如，我们获得MA证明系统，运行在$c^{n}$时间（对于各种$c < 2$）的永久，$\#$ Circuit-SAT的所有次线性深度电路，计数哈密顿周期，$0$ - $1$线性程序的不可行性。一般来说，Valiant的类${\sf VP}$中的任何多项式的值都可以比所有可能的赋值的“穷举求和”更快地被证明。这些结果有力地反驳了Russell Impagliazzo等人提…
Size and Depth Separation in Approximating Benign Functions with Neural Networks
When studying the expressive power of neural networks , a main challenge is to understand how the size and depth of the network affect its ability to approximate real functions. However, not all functions are interesting from a practical viewpoint: functions of interest usually have a polynomially-bounded Lipschitz constant, and can be computed efficiently. We call functions that satisfy these conditions "benign", and explore the benefits of size and depth for approximation of benign functions with ReLU networks. As we show, this problem is more challenging than the corresponding problem for n…
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