Efficient reconstruction of depth three circuits with top fan-in two

具有渐近最小深度、线性尺寸和扇出2的二进制加法器电路

Binary Adder Circuits of Asymptotically Minimum Depth, Linear Size, and Fan-Out Two

我们考虑构造快速和小型二进制加法器电路的问题。在广泛使用的加法器中，Kogge-Stone加法器通常被认为是最快的，因为它计算两个$n$位数（其中$n$是2的幂）的进位位，具有$2\log_2 n$逻辑门的深度，大小$4 n\log_2 n$，并且所有扇出都以2为界。避免了两个以上的扇出，因为它们导致插入中继器以重新为信号供电和物理实现中的额外深度。然而，Kogge-Stone加法器的深度界限偏离$\log_2 n$的下限两倍。这个界限是由Brent和Krapchenko在两个独立的构造中渐近实现的。Brent的构造既没有给出扇出的界限，也没有给出大小，而Krapchenko的加法器具有线性大小，但可以具有线性扇出。当扇出界限为2时，两种构造都不能达到小于$2 \log_2 n$的深度。在进一步的方法中，Brent和Kung提出了一种加法器，其具有线性大小和扇出两个，但深度是Kogge-Stone加法器的两倍。这些结果是33-43岁，并没有实质性的理论改进，自那时以来。在本文中，我们将所有以前的加法器电路的个别优势集成到一个新的全加器的家庭，第一次提高$2\log_2 n$的深度范围，同时保持扇出界的两个。我们的加法器实现了一个渐进的最佳逻辑门深度为$\log_2 n + o(\log_2 n)$和线性大小为$\mathcal {O}(n)$。

深度3电路中有界顶扇的黑盒身份测试：字段无关紧要

Blackbox identity testing for bounded top fanin depth-3 circuits: the field doesn't matter

设C是基域F上的n个变量、度为d、顶扇为k的深度为3的回路（称为sps（k，d，n）回路）.设计一个确定性的多项式时间黑盒算法来测试C是否恒为零是一个主要的公开问题。Klivans & Spielman（STOC 2001）观察到，即使k是常数，问题也是开放的。在过去的几年里，从Dvir & Shpilka的工作开始，这个案例一直受到认真的研究（STOC 2005）。我们给出了该问题的第一个多项式时间黑箱算法。我们的算法在时间上运行poly（nd^k），而不考虑基域。多项式时间算法以前已知的唯一领域是F=Q（Kayal & Saraf，FOCS 2009，Saxena & Seshadhri，FOCS 2010）。这是第一个不使用Karnin & Shpilka（CCC 2008）基于秩的方法的深度3电路黑盒算法。我们证明了一个重要的工具，深度3身份的研究。我们设计了一个黑盒多项式时间变换，将sps（k，d，n）电路中的变量数目减少到k个变量，但保留了恒等式结构。

用低扇入门恒深择多电路计算择多

Computing Majority by Constant Depth Majority Circuits with Low Fan-in Gates

我们研究了以下计算问题：对于$k$的哪些值，大多数$n$位$\text{MAJ}_n$可以用深度为2的公式计算，该公式的每个门计算至多$k$位的多数函数？相应的计算模型用$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$表示。我们观察到，存在与大多数$n$位具有高相关性的$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路的$k$的最小值等于$Θ(n^{1/2})$。然后，我们表明，对于一个随机的$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路计算大多数$n$输入位与高概率为每个输入，$k$的最小值等于$n^{2/3+o(1)}$。我们展示了一个最坏情况的下限：如果一个$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路在所有输入上正确计算出大多数$n$位，则$k\geq n^{13/19+o(1)}$。这个下限超过了随机化电路的最优值，因此对于纯随机化技术是无法达到的。对于深度$3$电路，我们证明了具有$k= O(n^{2/3})$的电路可以在所有输入上正确地计算$\text{MAJ}_n$。

随机算子的任意门电路

Circuits with arbitrary gates for random operators

我们考虑计算n-算子f：{0，1}^n --> {0，1}^n的布尔电路。作为门，我们允许任意的布尔函数;门的扇入和扇出都不受限制。一个算子是线性的，如果它计算n个线性形式，也就是说，计算GF（2）上的矩阵向量积y=Ax。本文证明了在任意电路中存在需要约n^2根导线的n-算子，在深度为2的电路中存在需要约n^2/ \log n根导线的线性n-算子，如果所有输出门或中间层上的所有门都是线性的.

使用浅电路进行采样的无条件量子优势

Unconditional Quantum Advantage for Sampling with Shallow Circuits

研究输入无关采样任务中常数深度量子电路与经典电路的分离。引入分布\(D_{n}\)构建量子电路族，证明有界扇入经典电路在特定条件下深度下限，展示了量子电路与不同经典电路在采样上的无条件优势。

算术公式深度缩减的极限：这都是关于顶部的扇入

The Limits of Depth Reduction for Arithmetic Formulas: It's all about the top fan-in

近年来，提出了一种非常令人兴奋和有前途的方法来证明算术电路的下界。该方法结合了Agrawal-Vinay [AV 08]、Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的工作中开发的{ \it深度缩减}方法，以及Kayal [Kay 12]和Gupta等人[GKKS 13 a]的工作中开发的移位偏导数复杂性度量的使用。这些结果激发了其他各种算术电路的美丽结果和强下界的热潮，特别是Kayal等人[KSS 13]最近的工作，通过这些公式的{\it改进的深度约简}显示了{ \it正则}算术公式的超多项式下界。这是一个有趣的问题，如果这些方法可以证明一般（齐次）算术公式的超多项式下界，如果是这样，这将确实是一个突破算术电路复杂性。在本文中，我们研究的权力和限制的深度减少和移位偏导数的算术公式。我们通过研究深度为4的同构算术电路类来实现。我们证明了：（1）具有顶部扇入$o(\log n)$的齐次深度为4的电路类的第一个{ \it超多项式下界}。我们的结果的核心是显示这些电路的{ \it改进的深度减少}。(2)我们表明，改进的深度减少{ \it是不可能的}时，顶部扇入是$Ω(\log n)$。特别是，这表明Koiran和Tavenas [Koi 12，Tav 13]的深度缩减程序即使对于齐次公式也无法改进，因此加强了Fournier等人[FLMS 13]的结果，Fournie…

非确定性辅助深度有界存储自动机与半无界扇入级联电路

Nondeterministic Auxiliary Depth-Bounded Storage Automata and Semi-Unbounded Fan-in Cascading Circuits

该研究提出aux-k-sda的非确定性变体aux-2k-sna，构建半无界扇入级联布尔电路模型刻画其多项式时间对数空间的计算特性，并通过放宽电路要求证明级联电路族可刻画复杂性类P，给出LOGkSNA的复杂度上界。

Reconstruction Algorithms for Low-Rank Tensors and Depth-3 Multilinear Circuits

We give new and efficient black-box reconstruction algorithms for some classes of depth-$3$ arithmetic circuits. As a consequence, we obtain the first efficient algorithm for computing the tensor rank and for finding the optimal tensor decomposition as a sum of rank-one tensors when then input is a constant-rank tensor. More specifically, we provide efficient learning algorithms that run in randomized polynomial time over general fields and in deterministic polynomial time over the reals and the complex numbers for the following classes: (1) Set-multilinear depth-$3$ circuits of constant top f…

一般齐次深度为4的算术电路的超多项式下界

Superpolynomial lower bounds for general homogeneous depth 4 arithmetic circuits

本文证明了一类齐次深度为4的算术电路的超多项式下界。我们给出了一个显式多项式在VNP的程度$n$在$n^2$变量，使任何均匀深度4算术电路计算它必须有大小$n^{Ω(\log \log n)}$。我们的结果推广了Nisan-Wigderson [NW 95]的工作（显示了均匀深度3电路的超多项式下限），Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi和Kayal-Saha-Saptharishi [GKKS 13，KSS 13]（其示出了具有有界底部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界），Kumar-Saraf [KS13a]（其显示了具有有界顶部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界）和Raz-Yehudayoff和Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan [RY 08，FLMS 13]（其示出了多线性深度为4的电路的超多项式下界）。事实上，这些结果中有几个显示了指数下界。在我们的证明的主要成分是一个新的复杂性措施{ \it有界支持}移位偏导数。该措施使我们能够证明均匀深度4电路的指数下界，其中在底层计算的所有单项式具有{ \it有界支持}（但可能是无界度/扇入），加强了Gupta等人和Kayal等人的结果[GKKS 13，KSS 13]。这个新的下界结合了一个仔细的“随机限制”过程（将一般的深度为4的齐次电路转换为具有有界支持的深度为4的电路），给…

深度2 QAC电路无法模拟量子奇偶校验

Depth-2 QAC circuits cannot simulate quantum parity

我们证明了$n > 3$量子比特上的量子奇偶校验门不能用具有两层任意数量的任意C-SIGN门和任意1-量子比特幺正门的量子线路干净地模拟，不管允许的辅助量子比特的数量如何。这是最有名的和第一个非平凡的分离之间的奇偶校验门和电路的这种形式。同样的界限也适用于量子扇出门。我们的结果与Fang等人[3]的结果是不可比较的，后者适用于任何恒定的深度，但需要模拟电路上的辅助量子比特的亚线性数量。

平衡有界树宽电路

Balancing Bounded Treewidth Circuits

小树宽图的数学工具被用来解决复杂性理论中的问题。对于算术和布尔电路，它表明，任何电路的大小$n^{O(1)}$和树宽$O(\log^i n)$可以模拟的电路宽度$O(\log^{i+1} n)$和大小$n^c$，其中$c = O(1)$，如果$i=0$，和$c=O(\log \log n)$否则。对于我们的主要结构，我们证明了大小为$n^{O(1)}$和树宽为$k$的乘法不相交算术电路可以用深度为$O(k^2\log n)$的有界扇入算术公式来模拟。从这一点上，我们得出类似的语句语法多线性算术电路，加强了一个定理的马哈詹和饶。作为另一个应用，我们得出的恒定宽度的算术电路的大小$n^{O(1)}$可以平衡到深度$O(\log n)$，提供一定的限制，使用迭代乘法。同样从我们的主要结构，我们得出，大小$n^{O(1)}$和树宽$k$的布尔有界扇入电路可以模拟的深度$O(k^2\log n)$的有界扇入公式。这在非均匀设置中加强了已知的包含物$SC^0 \subseteq NC^1$。最后，我们应用我们的建设表明，{ \sc可达性}有界树宽的有向图是在$LogDCFL$。

量子阈值门是强大的

Quantum Threshold is Powerful

本文证明量子Threshold门在恒定深度电路中可高保真计算Fanout门，从而扩展了量子计算能力，并表明其他弱近似Parity的门也可替代Fanout。

浅层深度Toffoli和量子门电路的威力

The Power of Shallow-depth Toffoli and Qudit Quantum Circuits

本文证明了浅层深度量子电路与经典电路之间的分离，并展示了量子电路在特定条件下实现阈值门的能力。

Lower bounds for Choiceless Polynomial Time via Symmetric XOR-circuits

Choiceless Polynomial Time (CPT) is one of the few remaining candidate logics for capturing PTIME. In this paper, we make progress towards separating CPT from polynomial time by firstly establishing a connection between the expressive power of CPT and the existence of certain symmetric circuit families, and secondly, proving lower bounds against these circuits. We focus on the isomorphism problem of unordered Cai-Fürer-Immerman-graphs (the CFI-query) as a potential candidate for separating CPT from P. Results by Dawar, Richerby and Rossman, and subsequently by Pakusa, Schalthöfer and Selman sh…

通过离散常微分方程刻画从FAC^0到FAC^1的小电路类

Characterizing Small Circuit Classes from FAC^0 to FAC^1 via Discrete Ordinary Differential Equations

本文提出基于常微分方程的统一框架，通过限制线性性与增长率刻画从FAC^0到FAC^1的小电路类，并首次为FACC[2]和FNC1提供基于ODE的完备性刻画。

最近邻结构的最优量子线路

Optimal Quantum Circuits for Nearest-Neighbor Architectures

我们表明，在现实的体系结构中的量子线路的深度，其中一个经典的控制器确定哪些本地的相互作用，以适用于kD网格Z^k，其中k >= 2是相同的（直到一个常数因子），在标准模型中，允许任意的相互作用。这允许从标准抽象模型中的最小深度电路中获得最近邻架构的最小深度电路（直到常数因子）。因此，我们的工作证明了标准假设，即相互作用可以在任意量子位对之间进行。特别是，我们的研究结果意味着肖尔的算法，控制操作和扇出可以实现在恒定的深度，多项式的大小和多项式的宽度在这个架构。我们还提出了最佳的非自适应量子线路的控制操作和扇出的kD网格。这些电路具有深度Theta（n^（1 / k））、大小Theta（n）和宽度Theta（n）。我们的下限也适用于更一般的一类操作。

改进的有向图可达单调回路深度上界

Improved Monotone Circuit Depth Upper Bound for Directed Graph Reachability

证明了有向图的可达性问题（传递闭包）可以用深度为（1/2+o（1））（log n）^2的单调扇入2布尔回路来解决，其中n是节点数.这改进了先前已知的上界（1+o（1））（log n）^2。这个证明是非构造性的，但我们给出了上界（7/8+o（1））（log n）^2的构造性证明。

浅电路平均情况下的量子优势

Average-Case Quantum Advantage with Shallow Circuits

最近，Bravyi，Gosset和König（Science 2018）证明了小深度量子电路和经典电路的计算能力之间的无条件分离。在本文中，我们在平均情况下展示了类似的分离，这为小深度量子计算的优越性提供了更有力的证据：我们构造了一个计算任务，它可以通过具有有界扇入门的恒定深度的量子线路在所有输入上求解（一个“浅”的量子线路），并表明，任何经典的电路与有界扇入门解决这个问题的非-可以忽略的一部分输入必须具有对数深度。我们的结果是通过引入一种技术，通过我们称之为\emph{extended graph}的结构，从任何图中创建表现出全局量子相关性的量子态。Coudron，Stark和Vidick（arXiv：1810.04233）以及Bene Watts，Kothari，Schaeffer和Tal（STOC 2019）最近（独立）获得了类似的结果。

改进了减少到深度4和深度3的边界

Improved bounds for reduction to depth 4 and depth 3

Koiran表明，如果一个$n$ -变量多项式的程度$d$（与$d=n^{O(1)}$）计算的电路大小$s$，那么它也计算的均匀电路的深度4和大小$2^{O(\sqrt{d}\log(d)\log(s))}$。利用这一结果，古普塔，Kamath，Kayal和Saptharishi给出了一个$\exp(O(\sqrt{d\log(d)\log(n)\log(s)}))$上限的大小最小的深度三个电路计算$n$ -变量多项式的程度$d=n^{O(1)}$由电路的大小$s$。我们在这里改进Koiran的边界。事实上，我们表明，如果我们减少一个算术电路的深度为4，那么大小成为$\exp(O(\sqrt{d\log(ds)\log(n)}))$。模仿Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi的证明，它也暗示了深度三个电路的相同上界。这个新的界限是不远处从最佳的意义上说，古普塔，Kamath，Kayal和Saptharishi也显示了$2^{Ω(\sqrt{d})}$下界的大小均匀深度四电路，使门在底部有扇入最多$\sqrt{d}$。最后，我们表明，这最后一个下界也成立，如果扇入至少是$\sqrt{d}$。

非交换电路的二次下界

A Quadratic Lower Bound for Noncommutative Circuits

该研究证明了非交换算术电路计算回文多项式时的大小下界为Ω(nd)，当d=n时得到Ω(n²)的下界，方法基于并改进了之前的工作。

关于深度3电路多项式恒等式测试的一个注记

A Note on Polynomial Identity Testing for Depth-3 Circuits

令$C$为深度3算术电路，其大小至多为$s$，计算多项式$ f \in \mathbb{F}[x_1,\ldots, x_n] $（其中$\mathbb{F}$ = $\mathbb{Q}$或$\mathbb{C}$），并且$C$的乘积门的扇入由$d$界定。给出了一个确定性多项式恒等式检验算法，用于及时检验是否为$f\equiv 0$.

多数函数的最优单调深度三电路下界

Optimal Monotone Depth-Three Circuit Lower Bounds for Majority

本文提出了一种最优算法，解决了k=3的单调公式局部枚举问题，并获得了计算多数函数的单调深度三电路的最优下界。

论几何局域经典电路与量子电路的计算能力

On the power of geometrically-local classical and quantum circuits

该研究基于魔方格游戏并行重复证明一维几何局域量子电路与经典电路的指数级深度分离，提出NISQ时代可验证量子优势协议，并推广到高维电路与更广泛贝尔游戏。

$Σ^{3}ΠΣΠ^{d}$电路的秩界与PIT：基于非线性Edelstein-Kelly定理

Rank Bounds and PIT for $Σ^3 ΠΣΠ^d$ circuits via a non-linear Edelstein-Kelly theorem

本文证明非线性Edelstein-Kelly定理，推广至任意常度数多项式，由此得到$Σ^{3}ΠΣΠ^{d}$电路的常数秩界，并首次给出其确定性多项式时间PIT算法。

有界顶扇入深度4电路的确定性恒等测试范式

Deterministic identity testing paradigms for bounded top-fanin depth-4 circuits

本文研究有界顶扇入深度4电路的确定性PIT，利用对数导数与幂级数改造顶层门，首次给出Σ^{[k]}ΠΣ∧的多项式时间算法及两类电路的拟多项式黑盒算法。

关于估计浅层电路输出熵的研究

On estimating the entropy of shallow circuit outputs

本文证明由对数深度或常数深度浅层量子电路产生的分布或态的熵估计至少与LWE问题一样困难，并给出其处于中间困难区间的复杂性理论证据，同时探讨了对AdS/CFT量子引力研究的潜在应用。

read-many公式的量子查询复杂度

The quantum query complexity of read-many formulas

The quantum query complexity of evaluating any read-once formula with n black-box input bits is Theta(sqrt(n)). However, the corresponding problem for read-many formulas (i.e., formulas in which the inputs have fanout) is not well understood. Although the optimal read-once formula evaluation algorithm can be applied to any formula, it can be suboptimal if the inputs have large fanout. We give an algorithm for evaluating any formula with n inputs, size S, and G gates using O(min{n, sqrt{S}, n^{1/2} G^{1/4}}) quantum queries. Furthermore, we show that this algorithm is optimal, since for any n,S…

恒深算术电路的模型论表征

A Model-Theoretic Characterization of Constant-Depth Arithmetic Circuits

研究了由无限扇入加法和乘法门的常数深度多项式大小算术电路计算的函数类$\textrm{AC}^0$。到目前为止，没有数学电路类的模型理论表征。受Immerman的布尔类$\textrm{AC}^0$的表征的启发，我们补救这种情况，并开发这样的表征$\textrm{AC}^0$。我们的特征可以解释如下：功能在$\textrm{AC}^0$正是那些功能计数获胜的策略在一阶模型检验游戏。我们的结果的一个后果是一个新的模型理论表征的$\textrm{TC}^0$，接受的语言类的常数深度多项式大小的多数电路。

雅可比击中回路：击中集，深度D出现k公式的下界和深度3超越度k回路

Jacobian hits circuits: Hitting-sets, lower bounds for depth-D occur-k formulas & depth-3 transcendence degree-k circuits

我们提出了一个单一的，共同的工具，严格subsidering所有已知的情况下，多项式时间黑盒多项式身份测试（PIT），迄今已解决了使用不同的工具和技术。特别是，我们表明，多项式时间击中集生成器的身份测试的两个看似不同的和良好的研究模型-深度3电路有界的顶部扇入，和恒定的深度常数读取多线性公式-可以使用一个共同的代数几何主题：雅可比矩阵捕获代数独立。通过利用雅可比矩阵，我们设计了第一个有效的击中集生成器，用于上述模型的广泛推广，即：（1）具有由乘积门计算的多项式的恒定超越度的深度3（Sigma-Pi-Sigma）电路（没有有界顶扇入限制），和（2）恒定深度的恒定出现公式（没有多线性限制）。正如我们所定义的，变量的常量出现是一个比常量读取更一般的概念。此外，后一种模型的早期工作假设该公式是多线性的。因此，我们的工作进一步超越了Saxena & Seshadhri（STOC 2011），Saraf & Seshadhovich（STOC 2011），Anderson et al.（CCC 2011），Beecken et al.（ICALP 2011）和Grenet et al.（FSTTCS 2011）获得的结果，并将它们置于一个统一的技术之下。此外，使用相同的基于雅可比矩阵的方法，我们证明了指数下界的immanant（包括永久和行列式）在相同的深度3和深度4模型，我们给出了有效的PI…

区分短量子计算

Distinguishing Short Quantum Computations

区分对数深度量子线路混合状态是完整的QIP，类问题的量子交互证明系统。该模型中的电路可以表示任意的量子过程，因此这一结果对验证量子算法的实现具有意义。对于含有无界扇出门的恒深电路，QIP的可扩展性问题也是完全的。这些结果表明，减少一个QIP完整的问题，对数深度版本的本身使用并行化技术。

多项式恒等测试与深度-4高次幂电路的重构

Polynomial Identity Testing and Reconstruction for Depth-4 Powering Circuits of High Degree

本文提出了一种确定性算法，用于深度-4高次幂电路的多项式恒等测试和重构，解决了无界顶层扇入的多项式时间问题。

浅电路的量子优势

Quantum advantage with shallow circuits

我们证明了恒定深度的量子线路比经典电路更强大。为此，我们引入了一个非预言版本的Bernstein-Vazirani问题，我们称之为二维隐藏线性函数问题。这个问题的一个实例是由一个二次形式q指定的，它将n位字符串映射到模4的整数。我们的目标是确定一个线性布尔函数，它描述了q对n位字符串的某个子集的作用。我们证明了任何经典的概率电路所组成的有界扇入门，解决二维隐线性函数问题的高概率必须有深度对数n。相比之下，我们表明，这个问题可以解决的确定性由一个恒定的深度量子线路组成的一个和两个量子比特门局部作用于一个二维网格。

一次读取恒深电路的伪随机性

Pseudorandomness for Read-Once, Constant-Depth Circuits

对于由deMorgan基上具有无界扇入的只读深度$D$电路计算的布尔函数，我们给出了一个种子长度为$\tilde{O}(\log^{D+1} n)$的显式伪随机生成器。该模型先前已知的最佳种子长度是$\tilde{O}(\log^{D+4} n)$，由Trevisan和Xue（CCC `13）针对所有$AC^0$（不仅仅是一次性读取）获得。我们的工作利用傅立叶分析技术的伪随机介绍Reingold，Steinke，和Vadhan（随机`13），以表明Gopalan等人的生成器。（FOCS `12）傻瓜只读一次$AC^0$。为此，我们证明了一个新的傅立叶增长的一次读取电路，即每一个$F: \{0,1\}^n\to\{0,1\}$计算的一次读取，深度$D$电路，\begin{equation*}\sum_{s\subseteq[n], |s|=k}|\hat{F}[s]|\le O(\log^{D-1}n)^k,\end{equation*}其中$\hat{F}$表示的傅立叶变换的$F$在$\mathbb{Z}^n_2$。

浅层量子电路的最坏情况深度层次结构

Worst-case depth hierarchy for shallow quantum circuits

本文证明QNC^0的深度层次定理：对每个d≥12，构造两轮交互问题，深度d-1的量子电路无法近完美成功，而深度略大于d的电路可解决，且所有次对数深度经典电路失败，显示QNC^0相对于NC^0的无条件量子优势。

使用多量子比特门构建布尔函数和量子存储设备的常数深度电路

Constant-depth circuits for Boolean functions and quantum memory devices using multi-qubit gates

本文研究利用无界扇出门和全局可调门构建常数深度量子电路，提出两种实现均匀受控门的方法，并据此构造出存储大小为n的QRAM和QRAG量子存储设备。

Implementing a Fast Unbounded Quantum Fanout Gate Using Power-Law Interactions

The standard circuit model for quantum computation presumes the ability to directly perform gates between arbitrary pairs of qubits, which is unlikely to be practical for large-scale experiments. Power-law interactions with strength decaying as $1/r^α$ in the distance $r$ provide an experimentally realizable resource for information processing, whilst still retaining long-range connectivity. We leverage the power of these interactions to implement a fast quantum fanout gate with an arbitrary number of targets. Our implementation allows the quantum Fourier transform (QFT) and Shor's algorithm t…