Wildly primitive extensions
Chandan Singh Dalawat
域的有限可分扩张称为本原扩张，如果没有中间扩张。具有有限剩余域的局部域的最有趣的本原扩张是广分歧的本原扩张，我们的目标是以规范的方式对它们进行参数化。
A finite separable extension of a field is called primitive if there are no intermediate extensions. The most interesting primitive extensions of a local field with finite residue field are the wildly ramified ones, and our aim here is to parametrise them in a canonical manner.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Counting wildly ramified quartic extensions with prescribed discriminant and Galois closure group
本文针对2进数域上具有指定判别式赋值与Galois闭包群的完全分歧四次扩张建立计数公式，并据此改进Serre质量公式，为数域算术统计提供工具。
Counting two-step nilpotent wildly ramified extensions of function fields
本文研究特征 p>2 的函数域中幂零类至多 2 的野分歧扩张的渐近分布，基于最后跳跃不变量计数，通过局部-全局原理和 Abrashkin 幂零 Artin-Schreier 理论得到渐近公式。
On the compositum of wildly ramified extensions
计算了特征$p$的局部域的广义分歧$p^2$ -循环扩张上的分歧滤子.计算了两个$p$ -循环扩张和$p^2$ -循环扩张的合成上的分歧滤子.作为应用，证明了Abhyankar惯性猜想的部分结果。
Local-to-Global Extensions to Wildly Ramified Covers of Curves
给定曲线X到Y的一个Galois覆盖，其中伽罗瓦群G在点x处完全分歧，在其它地方不分歧，对x的穿孔形式邻域的限制诱导出洛朗级数环k（（u））/k（（t））的Galois扩张.如果我们固定一条基曲线Y，我们可以问洛朗级数环的伽罗瓦扩张何时以这种方式来自Y的整体覆盖。Harbater证明了在可分离闭域上，如果G是p-群，这个局部到整体原理对任何基曲线都成立，并给出了这种扩张的唯一性的条件。使用推广的Artin-Schreier理论的非阿贝尔p-群，我们刻画了曲线Y，这种提升性质的持有，当它是唯一的，但在一个更一般的基域。
Bases of associated Galois modules in general wildly ramified extensions and in elementary abelian extensions of degree $p^2$
本文研究了在剧烈反常扩张中如何构造各种关联伽罗瓦模和阶的基底，特别在G=(Z/pZ)^2的情况下，计算了元素(σ_1-1)^i(σ_2-1)^j在估值过滤中的作用，并证明当反常跳跃在模p^2下不同则这些元素能构成合适的基底。
Formal group exponentials and Galois modules in Lubin-Tate extensions
Pickett给出的$p$ -adic域的某些扩张中局部积分Galois模生成元的显式描述，最近被用来解决数域的强分歧扩张中的积分Galois模结构的公开问题.并行，Pulita已推广的理论Dwork的幂级数的一组幂级数系数的鲁宾-泰特扩展$\Q_p$建立一个结构定理秩一可解的p-adic微分方程。本文首先利用形式群指数和分歧Witt向量理论推广了Pulita幂级数。利用这些结果和Lubin-Tate理论，我们推广了Pickett的构造，给出了p-adic域的所有交换的完全、弱和强分歧扩张的逆的平方根的积分正规基生成元的解析表示.其他应用程序也被曝光。
A characterization of strictly APF extensions
设K表示Qp的一个有限扩张。本文给出了无限全强分歧扩张L/K是Fontaine-Wintenberger意义下的严格APF的充要条件.我们的条件是根据存在一个特定的塔的中间子域。这些条件非常适合于产生严格的APF扩展的例子，特别是，我们的主要定理证明了前两位作者以前考虑的φ-φ扩展是严格的APF。
Normal and primitive normal elements with prescribed traces in intermediate extensions of finite fields
本文研究有限域中间扩张中具有给定迹的范数及原始范数元素，完整刻画了范数情形下的存在条件并给出显式计数，对原始范数情形提供了渐近结果。
Primitive Element Pairs with a Prescribed Trace in the Quartic Extension of a Finite Field
在这篇文章中，我们给出了一个很大程度上自包含的证明，四次扩张$\mathbb{F}_{q^4}$的有限域$\mathbb{F}_q$包含一个本原元$α$，使得元素$α+α^{-1}$也是一个本原元的${\mathbb{F}_{q^4}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^4}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的任何指定的$a \in \mathbb{F}_q$。Gupta，Sharma和Cohen已经建立了次数超过4的有限域扩张的相应结果。
On the asymptotics of elementary-abelian extensions of local and global function fields
本文研究特征 $p$ 下局部与整体函数域的野分歧初等阿贝尔扩张，确定了判别式的分布，并对局部及有理函数域给出了固定判别式除子下扩张数量的精确公式，揭示局部-整体原则。
Finite field extensions with the line or translate property for $r$-primitive elements
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$的线性质--本原元性质，如果对每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$ .我们证明了，对于充分大的素数幂$q$，$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的直线性质.我们还讨论了（较弱的）平移性质的扩展。
Hopf Galois Structures on Primitive Purely Inseparable Extensions
设$L/K$是特征$p$的域的本原纯不可分扩张，$\left[ L:K\right] >p.$众所周知，对于某些Hopf代数$H$，$L/K$是Hopf伽罗瓦，并且对于$H$的许多选择，怀疑$L/K$是Hopf伽罗瓦。构造了一类$K$ - Hopf代数$H$，其中$L$是$H$ -Galois对象.对于$K$的某些选择，我们将展示无限多个这样的$H.$。我们提供了$L/K.$上的对偶、Hopf伽罗瓦结构的一些显式例子
Existence results for primitive elements in cubic and quartic extensions of a finite field
当$\Fq$是$q$元素的有限域时，我们研究了以下问题。如果$γ$在$\Fq$上生成$\Fqn$，并且$β$是$\Fqn$的非零元素，那么是否总是存在一个$a \in \Fq$，使得$β(γ+ a)$是原始元素？我们解决这种情况下，当$n=3$，从而证明了科恩的猜想。我们还大大提高了什么是已知的，当$n=4$。
The Strong Primitive Normal Basis Theorem
有限域F=GF（q）上的n次扩张E的元素w称为F上的自由元素，如果{w，w^q，.，w^{q^{n-1}是E/F的（正规）基。原始正规基定理，首先由Lenstra和Schoof（1987）完整地建立，断言对于任何这样的扩张E/F，在E中存在元素w，使得w同时是原始的（即，生成E）的乘法群，并在F上自由。本文证明了这个定理的如下加强：除了五个特殊的扩张E/F之外，在E中存在一个元素w，使得w和w^{-1}同时是F上的本原自由元。
On Classifying Extensions of $p$-adic Fields
针对 $\mathbb{Q}_p$ 的三次域扩张，提出基于不可约多项式系数确定同构类的闭式方法，并讨论了野分歧情形及任意素数次顺分歧扩张的分类方法。
The translate and line properties for 2-primitive elements in quadratic extensions
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的线性质，如果对于每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$。同样，如果在上面的定义中，$α$被限制为值$1$，我们说$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$拥有translate属性。本文以$r=n=2$为例，证明了$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$对2-本原元具有平移性质，除非$q \in \{5,7,11,13,31,41\}$ .通过一些额外的理论和计算工作，我们还表明，$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$具有线性质的2-本原元，除非$q \in \{3,5,7,9,11,13,31,41\}$。
The trace of primitive and $2$-primitive elements in finite fields, revisited
根据定义，有限域扩张$\mathbb{F}_{q^n}$的本原元和$2$ -本原元的阶分别为$q^n-1$和$(q^n-1)/2$。我们已经证明了，在基域$\mathbb{F}_q$中存在一个本原元和一个具有规定迹的$2$ -本原元$ξ\in \mathbb{F}_{q^n}$.在这里，我们修改我们以前的这些结果的证明，首先，减少这些问题的延伸素数度$n$，其次，通过推导出一个确切的表达式的平方数在$\mathbb{F}_{q^n}$的轨迹具有规定的值在$\mathbb{F}_q$。后者纠正了$2$ -本原元的证明中的一个错误。我们还简化了必要的计算。
Solvable primitive extensions
域$F$的有限可分扩张$E$称为本原，如果没有中间扩张。如果它的Galois闭包$\hat E$在$F$上的自同构群$\mathrm{Gal}(\hat E|F)$是可解的，则称它是可解的;如果次数$[E:F]$是$p$的幂，则称它是$p$ -扩张（$p$素数）。我们证明了一个可解的原始$p$ -$F$的扩展$E$是唯一确定的（直到$F$ -同构）由$\hat E$和扩展$D$的$F$，使$D=\hat E$对于一些可解的原始$p$ -扩展$E$的$F$。
Primitive Complete Normal Bases for Regular Extensions: Exceptional Cyclotomic Modules
伽罗瓦域的扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_{q}$的本原完全正规元是$\mathbb{F}_{q^n}$的乘法群的生成元，它同时在该扩张的每个中间域上正规。我们将证明当$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_{q}$是一个“例外”的正则扩张时，这样的生成器存在。结合文[6]，我们的研究完全解决了任意正则扩张的本原完全正规基的存在性问题。正则扩张类的一个重要特征是它们包含了素数幂次的所有扩张。
Counting primitive points of bounded height
设$k$是数域，$K$是$k$的有限扩张.我们在生成扩展$K/k$的域$K$上计算射影空间中有界高度的点。随着高度变大，我们得到一个特别好的误差项尊重扩展$K/k$的渐近估计。在以后的文章中，我们将使用这些结果得到的固定度的点的数量在$k$的渐近估计。我们还介绍了一个adelic Lipschitz高度的概念，推广了Masser和Vaaler。这将导致进一步的应用涉及点的固定度的线性簇和代数数的固定度满足一定的子域条件。
Moments of the Dedekind zeta function and other non-primitive L-functions
利用混合积方法给出了Galois扩张的戴德金ζ函数的矩的一个猜想.素数的产品的时刻进行评估使用蒙哥马利-沃恩中值定理，而在零上的产品的时刻，我们给出了一个启发式的参数，涉及随机矩阵理论。然后证明了二次扩张的产品在零上的第一时刻的渐近性。我们也能够重现我们的主要猜想在二次的情况下，使用修改后的版本的时刻配方。最后，我们推广了我们的方法，给出了非本原L函数的矩的一个猜想。
Primitive element pairs with a prescribed trace in the cubic extension of a finite field
证明了对任意素数幂$q\notin\{3,4,5\}$，有限域$\mathbb{F}_q$的三次扩张$\mathbb{F}_{q^3}$包含一个本原元$ξ$，使得$ξ+ξ^{-1}$也是本原元，并且对任意指定的$a\in\mathbb{F}_q$都包含$\textrm{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}(ξ)=a$.这就完成了古普塔、夏尔马和科恩关于任意度扩张$n\ge3$上的类似问题的猜想的证明。
Explicit integral Galois module structure of weakly ramified extensions of local fields
设L/K是完备局部域的有限Galois扩张，其剩余域有限，G=Gal（L/K）.设G_1和G_2是第一和第二分歧群。当G_1是平凡的时，L/K是弱分歧的;当G_2是平凡的时，L/K是弱分歧的。设O_L是L的赋值环，P_L是它的极大理想.证明了若L/K是弱分歧的，且n同余于1 mod |G_1|，则P_L^n在群环O_K[G]上是自由的，并构造了一个显式生成元.在L/K是广分歧的假设下，证明了O_K[G]上P_L的每一个自由生成元也是群代数K[G]中O_L在其相关阶上的自由生成元.一路上，我们证明了一个“分裂引理”的局部域，这可能是独立的利益。
On the Hasse-Arf property of local fields
针对完备离散赋值域的有限伽罗瓦全狂分歧扩张，通过分歧点给出$F$的必要定义方程，证明Hasse-Arf性质与方程的严格性构成等价条件，明确其判定准则。
On the existence of primitive completely normal bases of finite fields
设$\mathbb{F}_q$是特征$p$的具有$q$元的有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$是它的次数扩张$n$ .我们证明了存在一个本原元的$\mathbb{F}_{q^n}$，产生一个完全正常的基础$\mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$，如果$n=p^{\ell}m$与$(m,p)=1$和$q>m$。
The existence of primitive normal elements of quadratic forms over finite fields
对于$q=3^r$（$r>0$），用$\mathbb{F}_q$表示$q$阶的有限域，对于正整数$m\geq2$，设$\mathbb{F}_{q^m}$是它的次数$m$的扩张域.本文建立了本原正规元$α$存在的一个充分条件，使得$f(α)$是本原元，其中$f(x)= ax^2+bx+c$，除了至多9个例外对$(q,m)$之外，$a,b,c\in \mathbb{F}_{q^m}$满足$\Fm$中的$b^2\neq ac$.
Primitive Roots in Quadratic Fields II
本文是“二次域上的原根“一文的继续。本文考虑了实二次域中非单位代数数的Artin原根猜想的一个类似结果。给定这样一个代数数，对于在域中是惰性的有理素数$p$，单位模$p$的最大阶是$p^2-1$。阿丁猜想的一个扩展是，有无穷多个这样的惰性素数，对于这些素数，这个阶是最大的。我们证明了对于满足某种简单限制的85个代数数中的任何一个，至少有一个代数数满足上述版本的Artin猜想。
The trace of 2-primitive elements of finite fields (amended version)
设$q$是素数幂，$n, r$是整数，使得$r\mid q^n-1$ .乘法阶$(q^n-1)/r$的$\mathbb{F}_{q^n}$的元素称为\emph{$r$-primitive}。对任意奇素数幂$q$，证明了当$n\geq 3$为$\mathbb{F}_{q^n}$时，存在一个$2$ -本原元，其迹为任意给定的$\mathbb{F}_q$迹。此外，我们明确地描述了这些元素的轨迹可能具有的值时，$n=2$。这个修正版本的一个特点是减少了对素数度$n$的讨论。
Minimal Degrees of Algebraic Numbers with respect to Primitive Elements
给定数域$L$，我们定义了代数数$v \in L$关于$L$的本原元的选择的次数.我们提出的问题，计算最小程度的$L$代数数，并检查这些值的程度$4$伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$和三次数域。证明了计算三次数域上非有理元的最小次数与求解经典丢番图问题（如全等数问题）以及理解椭圆曲线的各种算术性质密切相关.
Galois Module Structure of $p$th-Power Classes of Extensions of Degree p
对特征不为p的域F含有一个本原$p$次单位根，我们确定了K的所有p次循环扩张K/F的$p$次幂类群的Galois模结构.
Primitive roots in quadratic fields
考虑实二次域中单位元的Artin原根猜想的一个类似结果.给定这样一个非平凡单位，对于一个在域中惰性的有理素数p，该单位模p的极大序模是p+1。阿丁猜想的一个扩展是，有无穷多个这样的惰性素数，对于这些素数，这个阶是最大的。这是已知目前只有在广义黎曼假设。无条件地，我们证明了在满足某种简单限制的不同实二次域中，对任意7个单位的选择，至少有一个单位满足上述的Artin猜想.
Generalizations of the primitive and normal basis theorems
利用有限域扩张上的Zaperki拓扑，给出了新的证明，推广了原基和正规基定理.
Explicit uniformizers for certain totally ramified extensions of the field of $p$-adic numbers
设$p$为奇素数。我们构造了$p$ -进数域$\mathbb{Q}_p$的全分歧扩张$\mathbb{Q}_p(ζ_{p^2},\sqrt[p]{p})$的显式均匀化器，其中$ζ_{p^2}$是本原$p^2$的单位根.
Relations in the maximal pro-$p$ quotients of absolute Galois groups
我们观察到，一些基本的，但在伽罗瓦论的基本建设可以用来获得一些有趣的限制结构的伽罗瓦群的最大$p$ -扩展域包含一个原始的$p$第单位根。这是Demushkin，Labute和Serre的一些重要思想的扩展，从局部域到所有包含本原$p$ th单位根的域。我们的技术使用某些自然简单的伽罗瓦扩展与伽罗瓦上同调和梅西产品的一些考虑。
On Variants of Inverse Cluster Size Problem & General Magnification
本文研究了逆聚类大小问题的变种，提出了原始扩展和一般原始扩展的概念，并解决了完全实数域变种问题。
On universal norms and the first layers of Z_p-extensions of a number field
对于奇素数p和含有本原p次单位根单位根的数域F，我们用F的分圆塔上p-单位的泛模来描述F的所有Z_p-扩张的第一层的Kummer根A_F .我们还研究了与AF相关的“扭曲”自由基。
Uniform exponent bounds on the number of primitive extensions of number fields
本文针对数域扩张计数的一致指数猜想，将问题约化为伽罗瓦群为殆单群的相对扩张研究，并对几乎所有这类群证明了最强上界，解决了多类群的该猜想。
Generators for abelian extensions of number fields
设$U/L$是数域的有限阿贝尔扩张.我们首先构造了$L$上的$U$的泛本原生成元，它到任何中间域$F$的相对迹也成为$L$上的$F$的生成元.我们也从规范的角度展开了类似的论证。作为例子，我们研究了虚二次域上束类域的塔。并且，我们进一步提出了一种新的方法来寻找正规元素的扩张$U/L$。
Self-Dual Integral Normal Bases and Galois Module Structure
设$N/F$是数域的奇次Galois扩张，其Galois群为$G$，整数环分别为${\mathfrak O}_N$和${\mathfrak O}_F=\bo$.设$\mathcal{A}$是唯一的分数${\mathfrak O}_N$ -理想，其平方等于$N/F$的倒数差. Erez证明了$\mathcal{A}$是局部自由${\mathfrak O}[G]$ -模当且仅当$N/F$是弱分歧扩张.关于$\mathcal{A}$作为$\Z[G]$模块的自由性，已经有许多结果，但是这个问题仍然是开放的。本文证明了$\mathcal{A}$作为$\Z[G]$ -模是自由的，假定$N/F$是弱分歧的，并且对${\mathfrak O}$的每一个在$N/F$中广分歧的素$\wp$，其分解群是交换的，分歧群是循环的，并且$\wp$在$F/\Q$中是非分歧的.我们作出至关重要的使用的建设，由于第一个命名的作者，使用Dwork的指数幂级数来描述自对偶积分正规基的局部领域的Lubin-Tate扩展。这就产生了一个新的和惊人的局部范数预解式和伽罗瓦高斯和之间的关系。我们的研究结果概括了第二个命名的作者关于基场$\Q$的情况下的工作。
Galois groups of some iterated polynomials over cyclotomic extensions
设$φ_p(z)=(z-1)^p+2-ζ_p$，其中$ζ_p\in\bar{\mathbb{Q}}$是某奇素数$p$的本原$p$次单位根。建立在以前的工作，我们表明，$n$ -th第$φ_p^n(z)$有伽罗瓦群$[C_p]^n$，循环群的迭代圈积，只要$p$是不是一个Wieferich素数。
Artin's Primitive Root Conjecture in Number Fields and For Matrices
本文在广义黎曼假设下将 Artin 原根猜想推广到高次数域扩张与有理矩阵群，证明在适当伽罗瓦条件及元素约束下，几乎对所有分解为 2 次素理想的有理素数，元素或矩阵模 p 具有几乎最大阶。
Further remarks on local discriminants
利用\Qp（K）的有限扩张K的Kummer理论（其中p是素数，K是1的p次本原根），计算了K的任意初等交换p-扩张的分歧滤子和判别式.我们还发展了\Fp（（π））的有限扩张的类似Artin-Schreier理论，并得到了它们的初等交换p-扩张的类似结果.
On $k$-normal elements over finite fields
所谓的$k$ -正规元出现在文献中作为正规元在有限域上的推广。近年来，关于$k$ -正规元的构造和$k$ -正规元是否为本原元的问题引起了许多作者的关注.本文给出了$k$ -正规元的另一种构造，特别地，我们得到了本原的$k$ -正规元存在的一个筛不等式.作为一个应用，我们证明了在许多域扩张中，对于相当大比例的$k$，存在原始的$k$ -正规元.特别地，当$k$位于区间$[1, n/4]$中，$n$具有特殊性质，且$q, n\ge 420$具有特殊性质时，证明了在$\mathbb F_q$上的$\mathbb F_{q^n}$中存在本原$k$ -范数.
Generators of finite fields with prescribed traces
本文研究了有限域扩张中的本原元的存在性和分布，其中在若干中间域扩张中具有预定迹。我们的主要结果提供了一个类似不等式的条件，以确保这些元素的存在。然后，我们得到具体的存在性结果一类特殊的中间扩张。
Squares in arithmetic progression over certain non-primitive quartic number fields
本文研究了特定非原始四次数字段上等差数列中的平方问题，通过特征化二次扩张Q(√D)上的非常数平方等差数列来探讨相关数论性质。
Existence of normal elements with prescribed norms
本文结合组合与数论方法，探讨了在中间扩张上范数被预先指定的正规元素的存在性，并完全解决了仅考虑单一中间扩张情形下的该问题。
Primitive elements with prescribed traces
给定一个素数幂$q$和一个正整数$n$，令$\mathbb{F}_{q^{n}}$表示具有$q^n$元素的有限域。还令$a,b$为基域$\mathbb{F}_{q}$的任意成员。我们研究了非零元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{n}}$的存在性，使得$ξ+ ξ^{-1}$是本原的，并且是$T(ξ)=a, T(ξ^{-1})=b$，其中$T(ξ)$表示$ξ$在$\mathbb{F}_{q}$中的迹.这是曹和王在2014年打算解决的问题。他们的工作是处理另一个问题已经在文献中。我们的解决方案涉及$n \geq 5$的所有值。相关研究涉及$\mathbb{F}_{q}$的立方扩展$\mathbb{F}_{q^{3}}$。我们表明，如果$q\geq 8\cdot 10^{12}$然后，对于任何$a\in \mathbb{F}_{q}$，我们可以找到一个原始元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{3}}$，使$ξ+ ξ^{-1}$也是一个原始元素的$\mathbb{F}_{q^{3}}$，并为其中的迹$ξ$等于$a$。这改进了Cohen和Gupta的结果。一路上，我们证明了一个混合下界素因子在各种剩余类，这可能是相关的存在性问题的兴趣。
A note on quadratic cyclotomic extensions
本文通过引入关键映射并确定特定素数幂下的最大自然数，给出了任意域上二次分圆扩张中本原单位根的两种统一刻画。
Upper ramification jumps in abelian extensions of exponent p
本文给出了p-adic域的初等交换p-扩张的可能的上分歧跳的分类。证明主要结果的基本步骤是计算基域K的极大初等交换p-扩张的分歧滤子。这是一个推广以前的工作的第二作者和Dvornicich在相同的结果证明的假设下，K包含一个原始的p次单位根。利用类域理论和扩张的赋范群与其分支跳之间的显式关系，给出了K的初等阿贝尔p-扩张的上分支跳的充要条件.
Conductors of wild extensions of local fields, especially in mixed characteristic (0,2)
设K_0是特征为p的代数闭域k上Witt向量的分式域，我们计算了扩张K_0（zeta_{p^r}，sqrt[p^r]{a}）/K_0（的Galois闭包）的高阶分支导体的上界，其中a在K_0（zeta_{p^r}）中.这里，zeta_{p^r}是本原第p^r个单位根单位根。在某些情况下，包括当a在K_0中且p=2时，我们精确地计算导体。这些计算可用于确定通过邻接单位根和根式得到的Q的各种扩展的判别式。
On primitive elements of algebraic function fields and models of $X_0(N)$
本文是我们以前工作的继续，我们研究了从$X_0(N)$，$N \ge 1$到$\mathbb P^2$的映射，这些映射是通过具有相同权的模形式构造的，并且这样的映射是双有理的（见[12]）。本文的方法是基于有限可分域扩张中的本原元理论。我们证明，在大多数情况下，所构造的地图是双有理的，我们认为，这样得到的方程的图像在$\mathbb P^2$是最简单的可能。
Construction and classification of some Galois modules
在我们以前的文章中，我们描述了$p$次幂类群$K^\times/{K^{\times p}}$的伽罗瓦模结构，其中$K/F$是$p$在包含本原$p$次单位根的域$F$上的循环扩张。我们的描述依赖于与$K/F$相关的算术不变量。在这里，我们构造域扩张$K/F$与规定的算术不变量，从而完成我们的分类伽罗瓦模块$K^{\times}/K^{\times p}$。
The first two cohomology groups of some Galois groups
本文研究了基域上$p$ -扩张的前两个Galois上同调群，该基域不一定包含本原的$p$次单位根。我们以系统的方式使用扭曲系数。我们描述了域扩张，这些域的扩张是由相关域的模$p^n$次幂的某些剩余类来分类的，并且我们得到了Albert的一些经典结果的透明证明和轻微的推广.潜在的应用程序的度$p$的可除代数的循环性问题的概述。
Trace forms of Galois extensions in the presence of a fourth root of unity
我们研究的二次型，可以出现的伽罗瓦域扩张L/K的迹形式，假设K包含一个原始的4次单位根。M. Epkenhans解释说，任何这样的形式都是缩放的Pfister形式。证明了这个猜想，并对允许具有非双曲迹形式的G-Galois扩张L/K的有限群G进行了分类.我们也给出了这些结果的几个应用。
Class invariants for quartic CM fields
可以将四次本原CM域K的类不变量定义为某些Siegel（或Hilbert）模函数在对应于K的CM点处的特殊值。我们提供了明确的界限上出现在这些代数数的分解器的素数。这特别允许我们在K的某些阿贝尔扩张中构造S-单位，其中S有效地由K确定。它还产生类多项式的本原四次CM域的系数是S-整数。
Automatic sequences are orthogonal to aperiodic multiplicative functions
给定一个有限字母表$\mathbb{A}$和一个本原代换$θ:\mathbb{A}\to\mathbb{A}^λ$（$λ$的长度恒定），令$(X_θ,S)$表示相应的动力系统，其中$X_θ$是通过$θ$的自然扩张的不动点的左移$S$到$\mathbb{A}^{\mathbb{Z}}$的自映射的轨道的闭包。本文的主要结果是：$X_θ$中的所有连续观测量都与任何有界的、非周期的、乘法函数$\mathbf{u}:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$正交，即对所有$f\in C(X_θ)$和$x\in X_θ$都是\[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n\leq N}f(S^nx)\mathbf{u}(n)=0\].特别是，每个原始自动序列，即原始有限自动机读取的序列，与任何有界的非周期乘法函数正交。
Extension theorems and a connection to the Erdős-Falconer distance problem over finite fields
本文的第一个目的是提供抛物面和球面的新的有限域扩张定理。通过使用最近在Iosevich，Lee，Shen以及第一和第二位作者（2018）的工作中发现的某些特定维度的零球的不寻常的良好傅里叶变换，我们为$d=4k+3$和$q\equiv 3\mod 4$维度的抛物面提供了一个新的$L^2\to L^r$扩展估计，这显着改善了第一位作者获得的最近指数。在球的情况下，我们引入了一种利用\textit{the first association scheme graph}分析能量集的方法，从而得到了奇维原半径球的新的$L^p\to L^4$扩张定理，它将Stein-Tomas的结果突破到了成立了十多年的$L^p\to L^4$.最重要的是，从球面的结果可以看出，在奇数维情况下，球面和抛物面之间存在一种不同的扩张现象，即对具有原始半径的球面的$L^p\to L^4$估计要比抛物面的强得多.基于新的估计，我们还将阐明球面上有限域扩张问题的一些性质。这导致在一个相当完整的描述领域的有限域扩张定理。第二个目的是证明与抛物面有关的限制猜想和有限域上的Erdens-Falconer距离猜想之间存在联系。最后证明了当我们研究两个集合之间的距离时，Erdens-Falconer距离猜想在奇维空间中成立：一个集合位于一个簇（抛物面或球面）上，而另一个集合在$\mathbb{F}_q^d$中是任意的。
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