Isomorphism problems for Hopf-Galois structures on separable field extensions
设$ L/K $是域的有限可分扩张，其Galois闭包$ E/K $具有群$ G $ . Greither和Pareigis利用伽罗瓦下降证明了在$ L/K $上给出Hopf-Galois结构的Hopf代数对于某个群$ N $具有$ E[N]^{G} $的形式，使得$ |N|=[L:K] $。我们制定标准的两个这样的Hopf代数是同构的Hopf代数，并提供了各种例子。在所讨论的Hopf代数是交换的情况下，我们还确定了它们同构为$ K $ -代数的判据.通过应用我们的结果，我们完成了一个详细的分析不同的Hopf代数和$ K $ -代数，出现在分类的Hopf-Galois结构的循环扩张度$ p^{n} $，$ p $的奇素数。
2017-11-17 math.NT
Commutative Hopf-Galois module structure of tame extensions
本文证明了交换Hopf代数$ H $的$ p $ -adic域或数域的有限弱分歧扩张（即$ H $ -Galois）中分式理想的Hopf-Galois模结构的三个定理.首先，证明了如果$ L/K $是$ p $ -adic域的Tame Galois扩张，则$ L $的每一个分式理想在$ H $中的相关阶上是自由的.我们还表明，这一结论仍然有效，如果$ L/K $仅仅是几乎经典伽罗瓦。最后，证明了如果$ L/K $是数域的阿贝尔扩张，则$ L $的每一个模糊分式理想在$ H $中的相关阶上是局部自由的.
2018-02-16 math.NT
Normality and Short Exact Sequences of Hopf-Galois Structures
有限Galois扩张$K/k$上的所有Hopf-Galois结构，其中$G=Gal(K/k)$唯一对应于正则子群$N\leq B=\operatorname{Perm}(G)$，按照Greither和Pareigis定理，正则子群由$λ(G)\leq B$规范化.作用在$K/k$上的所得Hopf代数是$H_N=(K[N])^{λ(G)}$。对于一个给定的这样的$N$，我们考虑的霍普夫伽罗瓦结构所产生的子群$P\triangleleft N$，也是规范化的$λ(G)$。这个子群产生一个具有固定域$F=K^{H_P}$的Hopf子代数$H_P\subseteq H_N$。通过Chase和Sweedler的工作，这在扩展$K/F$上产生了一个Hopf-Galois结构，其中通过将$H_P$基改变为$F\otimes_k H_P$，这是一个$F$-Hopf代数。我们研究这种类比与经典伽罗瓦理论，并研究如何在$K/F$的霍普夫伽罗瓦结构与$K/k$。我们还将特别注意那些作用于$K/F$的$H_P$的Greither-Pareigis枚举/构造与作用于$K/k$的$H_N$的Greither-Pareigis枚举/构造如何相关。在这个过程中，我们还研究了短的准确序列的Hopf代数的行为，其准确性直接关系到这些代数的下降理论描述。
2017-08-28 math.NT
Towards a Generalisation of Noether's Theorem to Nonclassical Hopf-Galois Structures
本文研究了$ p $ -adic域和至多是tamely分歧的数域的某些扩张中代数整数环的非经典Hopf-Galois模结构。证明了如果$ L/K $是$ p $域的一个非分歧扩张，且对于某个霍普夫代数$ H $，它是$ H $-Galois，则$ \OL $在$ H $中在其相关阶$ \AH $上是自由的.如果$ H $是交换的，我们证明了这一结论仍然有效的分歧扩展的$ p $ -adic字段，如果$ p $不划分的程度的扩展。通过结合这些结果，我们证明了推广的Noether定理的非经典的Hopf-伽罗瓦结构的国内扩展数域。
2010-01-11 math.NT
Commuting Hopf-Galois Structures on a Separable Extension
设$ L/K $是局部域或整体域在任意特征上的有限可分扩张，$ H_{1}, H_{2} $是在该扩张上具有Hopf-Galois结构的两个霍普夫代数，并假设$ H_{1}, H_{2} $在$ L $上的作用可交换.证明了$ L $的分式理想$ {\mathfrak B} $在$ H_{1} $中的相关阶上自由当且仅当它在$ H_{2} $中的相关阶上自由.我们还研究了这些关联订单共享哪些属性。
2017-03-28 math.NT
Hopf-Galois module structure of degree p extensions of p-adic fields
本文研究了p-adic域p次扩张的Hopf-Galois模结构，完整刻画了整数环在其关联阶上为自由模的条件。
2024-10-14 math.NT
Hopf Galois module structure of dihedral degree $2p$ extensions of $\mathbb{Q}_p$
设$p$为奇素数。对于Galois群同构于$2p$阶二面体群$D_{2p}$的域扩张$L/\mathbb{Q}_p$，我们考虑了整数环$\mathcal{O}_L$的每一个Hopf Galois结构和模结构中计算相关阶的基的问题.我们解决了$L/\mathbb{Q}_p$不完全分歧的情况，并给出了一个实用的方法，为$p=3$和$p=5$的情况提供了一个完整的答案.我们看到，在这个家庭的二面角扩展，环的整数总是免费的相关订单在不同的霍普夫伽罗瓦结构。
2021-05-24 math.NT
The ring of integers of Hopf-Galois degree p extensions of p-adic fields with dihedral normal closure
对于奇素数$p$，我们考虑$p$ -adic域的度$p$扩张$L/K$，它具有正规闭包$\widetilde{L}$，使得$\widetilde{L}/K$的伽罗瓦群是$2p$阶二面体群.我们将证明在$L/K$上的唯一Hopf-Galois结构中整数环$\mathcal{O}_L$在其相关阶$\mathfrak{A}_{L/K}$上的自由度的完整表征，这类似于$p$ -adic域的循环度$p$扩展。我们将得出积极和消极的结果$\mathcal{O}_L$的自由度作为$\mathfrak{A}_{L/K}$ -模块的标准。
2022-11-12 math.NT
A Valuation Criterion for Normal Basis Generators of Hopf-Galois Extensions in Characteristic p
设S/R是特征p>0的离散赋值环的有限扩张，且对某个K-霍普夫代数H，其相应的分式域扩张L/K是可分的且是H-Galois.设D_{S/R}为S/R的差。证明了如果S/R是全分歧的，且其度n是p的幂，则L的任何元素$ρ$，只要$v_L(ρ)$与$-v_L(D_{S/R})-1$ mod n同余，生成L为H-模.这个标准是最好的。这些结果概括了G. Elder为Galois扩展。
2011-02-07 math.NT
Hopf-Galois module structure of tamely ramified radical extensions of prime degree
设$ K $是数域，$ L/K $是素度$ p $的平凡分歧根扩张.如果$ K $包含一个本原的$ p^{th} $单位根，那么$ L/K $是一个循环的库默尔扩张;在这种情况下，群代数$ K[G] $（带有$ G=\mbox{Gal}(L/K) $）给出了$ L/K $上唯一的霍普夫-伽罗瓦结构，根据Noether定理，代数整数环$ \mathfrak{O}_L $在$ \mathfrak{O}_{K}[G] $上是局部自由的，戈麦斯·阿亚拉已经确定了$ \mathfrak{O}_L $是自由$ \mathfrak{O}_{K}[G] $ -模的一个判据。如果$ K $不包含一个本原的单位根$ p^{th} $，那么$ L/K $是一个可分的，但非正规的扩张，它再次承认一个唯一的霍普夫伽罗瓦结构。在$ p $在$ K $中是非分歧的假设下，证明了在这个Hopf-Galois结构中，$ \mathfrak{O}_L $在其相关阶上是局部自由的，并确定了它是自由的一个判据.我们发现，出现在这个标准的条件是相同的，出现在戈麦斯阿亚拉的标准正常情况。
2019-01-11 math.NT
The Hopf Galois property in subfield lattices
有限可分域扩张的Hopf伽罗瓦论是由Greither和Pareigis提出的。他们表明，所有的霍普夫伽罗瓦扩展的程度高达5要么伽罗瓦或几乎经典伽罗瓦和他们确定的霍普夫伽罗瓦字符的可分扩展根据伽罗瓦群（或程度）的伽罗瓦封闭。本文研究了6度可分扩张以及4度、5度和6度的中间扩张。我们提出了一个例子的非几乎经典的伽罗瓦Hopf伽罗瓦扩展的领域的有理数的最小可能的程度和新的例子的Hopf伽罗瓦扩展。在最后一节中，我们证明了一个传递性性质的Hopf伽罗瓦条件。
2013-09-23 math.GR math.NT
Hopf-Galois structures on a Galois $S_n$-extension
本文将确定Galois $S_n$ -扩张上Hopf-Galois结构的确切个数，其中$S_n$表示$n$字母上的对称群.
2019-05-20 math.GR math.NT
Hopf-Galois structures on finite extensions with almost simple Galois group
本文研究有限Galois扩张上的Hopf-Galois结构，其中伽罗瓦群$G$是几乎单群，其中基柱$A$具有素指数$p$ .每个霍普夫伽罗瓦结构都与一个与$G$阶数相同的群$N$相关联。我们根据它们的群论性质给出了这些$N$的必要判据，并确定了与$A\times C_p$相关的Hopf-Galois结构的个数，其中$C_p$是$p$阶循环群.
2020-05-13 math.GR math.NT
Minimal Hopf-Galois Structures on Separable Field Extensions
在伽罗瓦论中，域扩张$K/k$上的每个$H$-Hopf-Galois结构都产生一个从$H$的$k$ -子霍普夫代数集到$K/k$的中间域的内射映射$\mathcal{F}$。最近关于$\mathcal{F}$满射性的失败的论文揭示了存在许多Hopf-Galois结构，它们的子域比子霍普夫代数多得多。本文综述并举例说明了在$H$只有两个子霍普夫代数的极端情形下，确定有限可分扩张上的$H$ -Hopf-Galois结构的群论方法.
2020-11-15 math.NT math.RA
Hopf-Galois structures on finite extensions with quasisimple Galois group
设$L/K$是具有伽罗瓦群$G$的域的有限伽罗瓦扩张.当$G$是非交换单时，$L/K$恰好存在两个Hopf-Galois结构.本文将这一结果推广到$G$是拟单的情形。
2020-07-23 math.GR math.NT
A generalization of Kummer theory to Hopf-Galois extensions
本文通过引入$H$-Kummer扩张的概念，将经典Kummer理论推广至Hopf-Galois扩张，将其刻画为与分圆扩张线性无关的根式扩张，并利用乘积Hopf-Galois结构推导了数域与$p$-adic域上整数环自由性的判定准则。
2024-07-25 math.NT
Correspondence theorems for infinite Hopf-Galois extensions
该研究将 Hopf-Galois 理论扩展至无限域扩张，定义子扩张，并为可分（含无限）情形建立 Galois 对应，同时改进有限可分情形的已有结论。
2024-04-10 math.NT math.RA
On $ ρ$-conjugate Hopf-Galois structures
具有伽罗瓦群$ G $的域$ L/K $的伽罗瓦扩张所允许的Hopf-Galois结构与$ \mathrm{Perm}(G) $的某些子群双射对应。我们使用一个自然的分区的一组这样的子群，以获得一个方法用于分区的一组相应的霍普夫伽罗瓦结构，我们称之为$ ρ$ -共轭。我们研究这个建设的性质，特别强调的Hopf-伽罗瓦模拟的伽罗瓦对应，连接斜左括号，和应用程序的问题的整体模块结构的扩展的本地或全球领域。特别地，我们证明了给定的Hopf-Galois结构的不同的$ ρ$ -共轭的数目由相应的斜左括号决定，如果$ H, H' $是具有$ ρ$ -共轭Hopf-的Hopf代数，如果局部域或全局域$ L/K $的伽罗瓦扩张上的伽罗瓦结构是有限的，则$ L $的一个模糊理想$ \mathfrak{B} $在其在$ H $中的相关阶上是自由的，当且仅当它在其$ H' $中的关联顺序。我们展示了各种例子所产生的与现有的结构在文献中的相互作用。
2022-08-25 math.NT math.RA
Hopf-Galois structures of isomorphic type on a non-abelian characteristically simple extension
设$L/K$是有限伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群$G$是非阿贝尔且特征简单的。利用图论的工具，我们将给出$L/K$上的Hopf-Galois结构个数的闭公式，其中伴随群同构于$G$ .
2019-03-15 math.GR math.NT
The Structure of Hopf Algebras Acting on Dihedral Extensions
我们讨论的同构问题的霍普夫代数产生的Hopf-Galois结构的固定可分域扩张$L/K$。详细研究了$L/K$是Galois的情形，其中$L/K$是二面体群$D_p$，$p\ge 3$是素数，并给出了作用在$L/K$上的霍普夫代数的明确描述.我们还确定当两个这样的霍普夫代数是同构的，无论是作为霍普夫代数或代数。对于$p=3$和选择的$L/K$，我们给出了霍普夫代数的Wedderburn-Artin分解.
2019-03-22 math.NT
Non-existence of Hopf-Galois structures and bijective crossed homomorphisms
通过C. Greither和B. Pareigis和N. P. Byott，具有伽罗瓦群$G$的域的伽罗瓦扩张上的Hopf-Galois结构的计数可以归结为与$G$同构的$\mbox{Hol}(N)$的正则子群的计数，因为$N$在所有$|G|$阶群上都是值域，其中$\mbox{Hol}(-)$表示全形。本文用双射叉同态$G\longrightarrow N$来刻画$\mbox{Hol}(N)$的这类子群，并利用它来研究与Hopf-Galois结构的不存在性有关的两个问题.
2018-09-15 math.GR math.NT
Classification of the types for which every Hopf--Galois correspondence is bijective
本研究借鉴Hopf–Galois结构与skew brace关联的方法，分类了所有Galois扩张上类型为N的Hopf–Galois结构对应均为双射的群N，拓展了此前针对G-Galois扩张的相关分类结果。
2024-10-19 math.GR math.NT math.RA
On the connection between Hopf--Galois structures and skew braces
我们提出了一个不同版本的著名的连接之间的霍普夫-伽罗瓦结构和斜支撑，最近的文件A。科赫和杜鲁门。我们表明，涉及这种联系的已知结果很容易延续到这个新的视角，新的结果自然会出现。作为一个应用，我们提出了新的见解的满射性的研究的霍普夫-伽罗瓦对应，更详细地解释了双斜括号的作用，霍普夫-伽罗瓦论。
2023-02-25 math.GR math.NT math.RA
Skew Braces and Hopf-Galois Structures of Heisenberg Type
本文对素数$ p>3 $的Heisenberg型斜括号进行了分类。此外，我们确定的自同构群的每一个这些斜括号（以及他们的脚柱和零化子）。因此，利用斜括号和伽罗瓦论之间的联系，我们可以确定$ p^{3} $度域的Galois域扩张上的所有Heisenberg型Hopf-Galois结构。
2018-12-18 math.GR math.NT math.QA
On the number of quaternion and dihedral braces and Hopf--Galois structures
本研究证明了乘群为广义四元数群的给定阶braces数量的相关猜想，给出了二面体群情形的类似结果，并枚举了对应Galois扩张上的阿贝尔型Hopf-Galois结构。
2024-04-15 math.GR math.NT math.RA
On $\mathbb{Z}_N\rtimes\mathbb{Z}_2$-Hopf-Galois structures
设$K/F$是具有$Gal(K/F)=Γ$的域的有限Galois扩张.在Timothy Kohl的早期工作中，作者列举了作用于二面角扩张的二面角霍普夫-伽罗瓦结构。二面体群是$\mathbb{Z}_n$和$\mathbb{Z}_2$的半直积的一个具体实例。本文计算了具有$G$型伽罗瓦群$Γ$的Hopf-Galois结构的个数，其中$Γ,G$是当$N$的根式为Burnside数，$N$为奇数时形式为$\mathbb{Z}_N\rtimes_ϕ\mathbb{Z}_2$的群.作为一个应用，我们还找到了相应数量的斜括号。
2021-08-21 math.GR math.NT math.RA
Hopf-Galois Structures on Non-Normal Extensions of Degree Related to Sophie Germain Primes
我们考虑了无平方度$n$的可分（但不一定正规）域扩张$L/K$上的Hopf-Galois结构.如果$E/K$是$L/K$的正规闭包，那么$G=\mathrm{Gal}(E/K)$可以看作是次数为$n$的置换群。证明了$G$的导长至多为$4$，但不存在许多无平方度的导长为$2$的置换群.然后，我们详细调查的情况下，$n=pq$其中$q \geq 3$和$p=2q+1$都是素数。(Thus $q$是Sophie Germain素数，$p$是safeprime素数）。我们列出了置换群$G$可能出现的，我们列举了每个$G$的霍普夫伽罗瓦结构。有六个这样的$G$，其对应的域扩展$L/K$允许两种可能类型的霍普夫-伽罗瓦结构。
2021-06-14 math.NT math.RA
Hopf-Galois structures on separable field extensions of degree $pq$
本文研究次数为 $pq$（$p,q$ 为不同奇素数）的可分但不一定正规的域扩张，利用其 Galois 闭包的两个 Galois 群刻画并计数其上的 Hopf-Galois 结构。
2024-03-11 math.GR math.NT
From endomorphisms to bi-skew braces, regular subgroups, the Yang--Baxter equation, and Hopf--Galois structures
数学物理的杨-巴克斯特方程的集合论解、斜括号、正则子群和霍普夫-伽罗瓦结构之间的相互作用近年来产生了大量的文献。在最近的一篇论文中，Alan Koch概括了Lindsay N.蔡尔兹，显示如何可以获得双斜括号$(G, \cdot, \circ)$从自同态的一组$(G, \cdot)$的形象是阿贝尔。在本文中，我们证明了一个群$(G, \cdot)$的自同态，对于这个群，Koch的构造及其变形产生（双）斜括号。我们展示了如何集合理论的解决方案的杨-巴克斯特方程来自科赫的建设结转到我们更一般的情况下，并讨论了相关的霍普夫-伽罗瓦结构。
2021-10-22 math.GR math.NT
Non-abelian simple groups which occur as the type of a Hopf-Galois structure on a solvable extension
本研究确定了可解扩张上作为Hopf-Galois结构类型的有限非阿贝尔单群，同时给出了乘法群可解的斜brace中作为加法群的这类单群的完整列表。
2023-05-13 math.GR math.NT math.RA
Opposite skew left braces and applications
给定一个斜左大括号$\mathfrak{B}$，我们引入了“相反”斜左大括号$\mathfrak{B}'$的概念，它与群的相反概念密切相关，并给出了几个应用。斜左括号与杨-巴克斯特方程的解和伽罗瓦域扩张上的Hopf-Galois结构都有密切的联系。我们表明，集理论的解决方案，以YBE由$\mathfrak{B}'$是逆的解决方案由$\mathfrak{B}$，这使我们能够确定组样元素的霍普夫代数提供的霍普夫伽罗瓦结构，只使用这些解决方案。我们还展示了如何左理想的$\mathfrak{B}'$对应于可实现的中间域的某个Hopf-伽罗瓦扩展的伽罗瓦扩展。
2019-08-07 math.GR math.NT
Hopf-Galois structures on cyclic extensions and skew braces with cyclic multiplicative group
设$G$和$N$是两个相同阶的有限群.众所周知，以下的存在性是等价的：（a）在任何Galois $G$ -扩张上的$N$型的Hopf-Galois结构;（b）具有加法群$N$和乘法群$G$的斜支撑;（c）在$N$的全形中同构于$G$的正则子群。我们将说，当上述任何一种情况存在时，$(G,N)$是可实现的。固定$N$为循环群，W. Rump（2019）已经确定了$(G,N)$可实现的群$G$。本文将$G$固定为循环群，给出了$(G,N)$可实现的群$N$的一个完全刻划.
2022-10-20 math.GR math.NT math.RA
Hopf--Galois structures of cyclic type on parallel extensions of prime power degree
本文研究了当扩展L/K的度数为素数幂且类型为循环时，平行扩展是否也具有相同Hopf-Galois结构的问题，采用群论方法并结合Greither-Pareigis和Byott的工作予以解决。
2026-05-02 math.GR math.NT math.RA
Inducing braces and Hopf Galois structures
本文证明大小为 np 的左 brace 可由大小为 p 与 n 的左 brace 半直积构造，并由此给出计算 abel 型 Hopf Galois 结构数的公式，进而完全描述大小为 12p 的左 brace 及其 Hopf Galois 结构数。
2022-07-24 math.GR math.NT
Hopf-Galois structures on extensions of degree $p^{2} q$ and skew braces of order $p^{2} q$: the cyclic Sylow $p$-subgroup case
$\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}$令$p, q$是不同的素数，其中$p > 2$。我们对度为$p^{2} q$的Galois扩张上的Hopf-Galois结构进行了分类，使得Galois群的Sylow $p$ -子群是循环的.我们这样做，根据Greither和Pareigis，和Byott，通过分类的正规子群的全同态的群体$(G, \cdot)$秩序$p^{2} q$，在这种情况下，当Sylow $p$ -子群的$G$是循环的。这相当于对斜撑$(G, \cdot, \circ)$进行分类。进一步证明了：如果$G$和$Γ$是具有非同构Sylow $p$ -子群的$p^{2} q$阶群，则不存在$G$的全形的正则子群同构于$Γ$ .等价地，具有伽罗瓦群$Γ$的伽罗瓦扩张没有$G$型的Hopf-Galois结构。我们的方法依赖于$G$上的交替大括号操作$\circ$，我们主要间接地使用它，也就是说，根据$g \mapsto (x \mapsto (x \circ g) \cdot g^{-1})$定义的函数$γ: G \to \Aut(G)$。这些功能是在一对一的对应关系与正规子群的全形$G$，其特征在于功能方程$γ(g^{γ(h)} \cdot h) = γ(g) γ(h)$，为$g, h \in G$。我们开发的方法来处理这些功能，其目的是使其枚举更容…
2020-05-01 math.GR math.NT math.RA
Abelian maps, bi-skew braces, and opposite pairs of {H}opf-{G}alois structures
设$G$是有限非交换群，$ψ:G\to G$是具有交换象的同态.我们展示了$ψ$如何在具有伽罗瓦群（同构于）$G$的伽罗瓦扩展$L/K$上产生两个Hopf-Galois结构;其中一个结构推广了Childs在2013年引入的“不动点自由阿贝尔自同态”给出的构造。我们构造了对应于上述两个霍普夫-伽罗瓦结构的斜左支撑。我们将表明，斜左括号之一，实际上是一个双斜括号，使我们能够获得四个集理论的解决方案，杨-巴克斯特方程以及一对霍普夫-伽罗瓦结构（潜在）不同的有限伽罗瓦扩展。
2020-12-14 math.GR math.NT
