On additive decompositions of primitive elements in finite fields
本文研究了有限域中本原元的加法分解问题，并改进了Dartyge、Sárközy和Shparlinski此前得到的界。
2022-04-17 math.NT
Primitive algebraic points on curves
本文定义曲线上的本原代数点，并给出保证给定次数本原点有限的充分条件，尤其证明简单 Jacobian 的超椭圆曲线在 $3\le d\le g-1$ 时此类点有限，同时构造偶数次数的无穷非本原点。
2024-05-17 math.NT
Linear combinations of primitive elements of a finite field
研究有限域上原根及其逆的线性和。特别地，我们改进了Li和Han的一个结果，证明了每个$p> 13$都有一对原根$a$和$b$，使得$a+ b$和$a^{-1} + b^{-1}$也是mod $p$的原根.
2018-08-31 math.NT
Normal and primitive normal elements with prescribed traces in intermediate extensions of finite fields
Tezpur University（特兹普尔大学）；University of Thessaly（色萨利大学）
本文研究有限域中间扩张中具有给定迹的范数及原始范数元素，完整刻画了范数情形下的存在条件并给出显式计数，对原始范数情形提供了渐近结果。
2025-10-16 math.NT
Primitive Element Pairs with a Prescribed Trace in the Quartic Extension of a Finite Field
在这篇文章中，我们给出了一个很大程度上自包含的证明，四次扩张$\mathbb{F}_{q^4}$的有限域$\mathbb{F}_q$包含一个本原元$α$，使得元素$α+α^{-1}$也是一个本原元的${\mathbb{F}_{q^4}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^4}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的任何指定的$a \in \mathbb{F}_q$。Gupta，Sharma和Cohen已经建立了次数超过4的有限域扩张的相应结果。
2019-03-31 math.NT
The existence of primitive normal elements of quadratic forms over finite fields
对于$q=3^r$（$r>0$），用$\mathbb{F}_q$表示$q$阶的有限域，对于正整数$m\geq2$，设$\mathbb{F}_{q^m}$是它的次数$m$的扩张域.本文建立了本原正规元$α$存在的一个充分条件，使得$f(α)$是本原元，其中$f(x)= ax^2+bx+c$，除了至多9个例外对$(q,m)$之外，$a,b,c\in \mathbb{F}_{q^m}$满足$\Fm$中的$b^2\neq ac$.
2020-01-20 math.NT
A note on primitive $1-$normal elements over finite fields
设$q$是素数$p$的素数幂，$n$是正整数，$\mathbb F_{q^n}$是含有$q^n$元素的有限域.有限域上的$k-$正规元由Huczynska等人（2013）引入并表征。在$n$不能被$p$整除的条件下，得到了$q>2$的$\mathbb F_{q^n}$在$\mathbb F_q$上的本原$1-$正规元的存在性结果.本文将他们的结果推广到排除的情形$q=2$。
2017-01-19 math.NT
The trace of 2-primitive elements of finite fields (amended version)
设$q$是素数幂，$n, r$是整数，使得$r\mid q^n-1$ .乘法阶$(q^n-1)/r$的$\mathbb{F}_{q^n}$的元素称为\emph{$r$-primitive}。对任意奇素数幂$q$，证明了当$n\geq 3$为$\mathbb{F}_{q^n}$时，存在一个$2$ -本原元，其迹为任意给定的$\mathbb{F}_q$迹。此外，我们明确地描述了这些元素的轨迹可能具有的值时，$n=2$。这个修正版本的一个特点是减少了对素数度$n$的讨论。
2021-01-19 math.NT
On primitive elements of finite fields avoiding affine hyperplanes
设$n\ge 2$为整数，$\mathbb F_q$为含有$q$元素的有限域，其中$q$为素数幂.给定$\mathbb F_{q^n}$的$\mathbb F_q$ -仿射超平面$\mathcal A_1, \ldots, \mathcal A_n$在一般位置，我们研究了$\mathbb F_{q^n}$的本原元的存在性和分布，避开了每个$\mathcal A_i$ .我们得到的渐近和具体的结果，涉及到过去的工作数字在有限域。
2021-04-20 math.NT
Geometric and algebraic interpretation of primitive Pythagorean triples parameters
本文从求原始毕达哥拉斯三元组的公式中找到了参数m和n的几何和代数解释，原始毕达哥拉斯三元组是方程${x^2+y^2=z^2}$的解，即：${x=m^2-n^2}$，${y=2mn}$，${z=m^2+n^2}$。这项研究是基于使用日晷构建数字的过程。本文论述了广场的营造过程。在原来的正方形上加上日晷U会产生一个更大的正方形：${x^2+U=z^2}$。调查的第一阶段是建造圭表U，它等于一个正方形${y^2}$的面积。该构造基于边长等于偶数的生成正方形。生成正方形的面积表示为两个相等矩形的面积之和。同时，使用生成方，也构造了圭表U和所有正方形的边：x，y，z。第二阶段的调查是获得一个公式的参数m和n通过分区元素t和l的边的生成广场。
2019-07-12 math.NT
Existence results for primitive elements in cubic and quartic extensions of a finite field
当$\Fq$是$q$元素的有限域时，我们研究了以下问题。如果$γ$在$\Fq$上生成$\Fqn$，并且$β$是$\Fqn$的非零元素，那么是否总是存在一个$a \in \Fq$，使得$β(γ+ a)$是原始元素？我们解决这种情况下，当$n=3$，从而证明了科恩的猜想。我们还大大提高了什么是已知的，当$n=4$。
2018-10-17 math.NT
On existence of some special pair of primitive elements over finite fields
本文推广了Sharma，Awasthi和Gupta的结果（见\cite{SAG}）.本文研究了具有$q = p^k$元的任意特征的域，给出了存在本原元$α\in \mathbb{F}_{p^k}$的充分条件，使得$f(α)$在$\mathbb{F}_{p^k}$中也是本原元，其中$f(x) \in \mathbb{F}_{p^k}(x)$是多项式的商，且有一定的限制.我们明确地确定$k$的值，对于该值，存在$p=2,3,5$和$7$的这样一对。
2020-02-05 math.NT
On the existence of pairs of primitive and normal elements over finite fields
设$\mathbb{F}_{q^n}$是具有$q^n$元素的有限域，$m_1$和$m_2$是正整数.给定多项式$f_1(x), f_2(x) \in \mathbb{F}_q[x]$与$\textrm{deg}(f_i(x)) \leq m_i$，对于$i = 1, 2$，并使有理函数$f_1(x)/f_2(x)$属于我们定义的某个集合，我们提出了一个充分条件，存在一个原始元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$，正常的$\mathbb{F}_q$，使$f_1(α)/f_2(α)$也是原始的。
2021-03-15 math.NT
On consecutive primitive elements in a finite field
对于$q$，一个具有$q>169$的奇素数幂，我们证明了在$\mathbb{F}_{q}$的有限域中总是有三个连续的本原元.实际上，正好有11个$q \leq 169$值为假。对于$4\leq n \leq 8$，我们提出了$q_{0}(n)$的大小的图解，使得$q>q_{0}(n)$保证在$\mathbb{F}_{q}$中存在$n$连续的本原元，只要$\mathbb{F}_{q}$具有至少~ $n$的特征。最后，我们对所有$n\geq 3$改进了$q_{0}(n)$的上界.
2014-10-22 math.NT
Primitive elements and $k$-th powers in finite fields
设$\mathbb{F}_q$为$q$元素的有限域，$k\mid q-1$为正整数。令$f(x)=ax^2+bx+c$是具有$b^2-4ac\ne0$的$\mathbb{F}_q[x]$中的二次多项式。在本文中，我们表明，如果$q>\max\{e^{e^3},(2k)^6\}$，那么有一个原始元素$g$的$\mathbb{F}_q$，使$f(g)\in\mathbb{F}_q^{\times k}=\{x^k: x\in\mathbb{F}_q\setminus\{0\}\}$。此外，我们将证实一个猜想提出的太阳。
2021-04-25 math.NT
About $r$- primitive and $k$-normal elements in finite fields
在2013年，Huczynska、Mullen、Panario和Thomson引入了$k$ -正规元素的概念：如果$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中多项式$g_α(x)= αx^{n-1}+α^qx^{n-2}+\ldots +α^{q^{n-2}}x+α^{q^{n-1}}$和$x^n-1$的最大公约数具有次数$k$，则元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$是$k$ -正规于$\mathbb{F}_q$，推广了正规元素的概念（通常意义上的正规是$0$ -正规）。本文讨论了$\mathbb{F}_{q}$上的$\mathbb{F}_{q^n}$中$r$ -本原元、$k$ -正规元的存在性，其中元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}^*$是$r$ -本原元，如果它的乘法阶是$\frac{q^n-1}{r}$ .我们提供了许多关于这类元素的存在性的一般性结果，并在特征$11$的有限域上给出了一个数值例子。
2021-12-24 math.NT
Primitive Element Pairs with One Prescribed Trace over a Finite Field
本文建立了存在本原元$α\in {\mathbb{F}_{q^n}}$的一个充分条件，使得对于任意给定的$a \in \mathbb{F}_q$，$α+α^{-1}$也是${\mathbb{F}_{q^n}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的本原元，其中$q=p^k$对某些素数$p$和正整数$k$ .我们证明了除了$q$和$n$的两个值之外，每个有限域$\mathbb{F}_{q^n}~ (n \geq5),$都包含这样的本原元。实际上，通过计算，我们得出结论，对于$n\geq5.$，不存在实际的例外对$(q,n)$
2018-03-28 math.NT math.RA
Finite field extensions with the line or translate property for $r$-primitive elements
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$的线性质--本原元性质，如果对每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$ .我们证明了，对于充分大的素数幂$q$，$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的直线性质.我们还讨论了（较弱的）平移性质的扩展。
2019-10-05 math.NT
On primitive elements in finite fields of low characteristic
本文讨论了有限域的一个包含域的本原元的小子集的构造问题。给定一个有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$，小$q$和大$n$，我们证明了所有低次多项式的集合包含期望数量的本原元。我们证明的主要定理是函数域上短区间上特征和的一个界。我们的结果是无条件的，略好于已知的（条件下GRH）在整数的情况下，可能是独立的利益。
2014-12-20 cs.CC math.NT
On Consecutive Non-primitive Elements over Finite Fields
Tezpur University（特佐普尔大学）
该研究针对有限域F_q，通过特征和推导充分条件，结合q-1的最小素因子分情况讨论，建立θ_q的界，保证除q=4、q=8外存在连续非本原元对。
2026-08-28 math.NT
Existence of primitive $1$-normal elements in finite fields
如果$\mathcal{B} = \{α, α^q, \ldots, α^{q^{n-1}}\}$作为$\mathbb F_{q}$上的向量空间形成$\mathbb F_{q^n}$的基，则元素$α\in \mathbb F_{q^n}$是\emph{normal};在这种情况下，$\mathcal{B}$是$\mathbb F_{q}$上的$\mathbb F_{q^n}$的正规基。Huczynska等人（2013年）引入了$k$ -正常元素的概念。使用与前面相同的符号，如果$\mathcal{B}$跨越$\mathbb F_{q^n}$的余维$k$子空间，则$α$是$k$ -正态的。可以证明，$1$ -正规元素总是存在于$\mathbb F_{q^n}$中，并且Huczynska等人（2013）表明，当$\gcd(n,q) = 1$时，对于$q \geq 3$和足够大的$n$，同时是本原和$1$ -正规的元素存在（我们注意到，当$n=2$时，本原$1$ -正规不存在）。在本文中，我们完成了这个定理，并证明了对于所有素数幂$q$和所有整数$n \geq 3$，存在$\mathbb F_{q}$上的$\mathbb F_{q^n}$的本原$1$ -正规元，从而解决了Huczynska等人（2013）的问题6.3。
2017-10-17 math.NT
Primitive element pairs with a prescribed trace in the cubic extension of a finite field
证明了对任意素数幂$q\notin\{3,4,5\}$，有限域$\mathbb{F}_q$的三次扩张$\mathbb{F}_{q^3}$包含一个本原元$ξ$，使得$ξ+ξ^{-1}$也是本原元，并且对任意指定的$a\in\mathbb{F}_q$都包含$\textrm{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}(ξ)=a$.这就完成了古普塔、夏尔马和科恩关于任意度扩张$n\ge3$上的类似问题的猜想的证明。
2022-02-02 math.NT math.RA
Pairs of $r$-primitive and $k$-normal elements in finite fields
设$\mathbb{F}_{q^n}$是具有$q^n$元的有限域，$r$是$q^n-1$的正因子.如果元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}^*$的乘法阶是$(q^n-1)/r$，则称其为$r$ -本原。此外，如果$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中多项式$g_α(x) = αx^{n-1}+ α^q x^{n-2} + \ldots + α^{q^{n-2}}x + α^{q^{n-1}}$和$x^n-1$的最大公约数具有次数$k$，则$α\in \mathbb{F}_{q^n}$对$\mathbb{F}_q$是$k$ -正规的。这些概念分别推广了本原元素和正规元素的概念。本文考虑非负整数$m_1,m_2,k_1,k_2$，正整数$r_1,r_2$和有理函数$F(x)=F_1(x)/F_2(x) \in \mathbb{F}_{q^n}(x)$，其中$°(F_i) \leq m_i$对$i\in\{ 1,2\}$满足一定条件，给出了$\mathbb{F}_q$上$r_1$ -本原$k_1$ -正规元$α\in \mathbb{F}_{q^n}$存在的充分条件，使得$F(α)$是$\mathbb{F}_q$上的$r_2$ -本原$k_2$ -正规元.最后作为一个例子，我们研究的情况下，$r_1=2$，$r_2=3$，$k_1=2$，$k_2=1$，$m_1=2$和…
2022-10-20 math.NT
Primitive values of rational functions at primitive elements of a finite field
给定一个素数幂$q$和一个整数$n\geq2$，我们建立了一个本原对$(α,f(α))$存在的充分条件，其中$α\in \mathbb{F}_q$和$f(x) \in \mathbb{F}_q(x)$是次数$n$的有理函数. (Here $f=f_1/f_2$，其中$f_1, f_2$分别是次数为$n_1,n_2$和$n_1+n_2=n$的互质多项式。）对于任何$n$，这样的一对是保证存在足够大的$q$。事实上，当$n=2$时，这样的对肯定只对$q$的28个值存在{ \em不}，并且可能（但不太可能）只对最多$3911$其他$q$值存在。
2019-09-28 math.AC math.NT
On $k$-normal elements over finite fields
所谓的$k$ -正规元出现在文献中作为正规元在有限域上的推广。近年来，关于$k$ -正规元的构造和$k$ -正规元是否为本原元的问题引起了许多作者的关注.本文给出了$k$ -正规元的另一种构造，特别地，我们得到了本原的$k$ -正规元存在的一个筛不等式.作为一个应用，我们证明了在许多域扩张中，对于相当大比例的$k$，存在原始的$k$ -正规元.特别地，当$k$位于区间$[1, n/4]$中，$n$具有特殊性质，且$q, n\ge 420$具有特殊性质时，证明了在$\mathbb F_q$上的$\mathbb F_{q^n}$中存在本原$k$ -范数.
2017-10-19 math.NT
The translate and line properties for 2-primitive elements in quadratic extensions
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的线性质，如果对于每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$。同样，如果在上面的定义中，$α$被限制为值$1$，我们说$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$拥有translate属性。本文以$r=n=2$为例，证明了$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$对2-本原元具有平移性质，除非$q \in \{5,7,11,13,31,41\}$ .通过一些额外的理论和计算工作，我们还表明，$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$具有线性质的2-本原元，除非$q \in \{3,5,7,9,11,13,31,41\}$。
2019-10-18 math.NT
Primitive elements with prescribed traces
给定一个素数幂$q$和一个正整数$n$，令$\mathbb{F}_{q^{n}}$表示具有$q^n$元素的有限域。还令$a,b$为基域$\mathbb{F}_{q}$的任意成员。我们研究了非零元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{n}}$的存在性，使得$ξ+ ξ^{-1}$是本原的，并且是$T(ξ)=a, T(ξ^{-1})=b$，其中$T(ξ)$表示$ξ$在$\mathbb{F}_{q}$中的迹.这是曹和王在2014年打算解决的问题。他们的工作是处理另一个问题已经在文献中。我们的解决方案涉及$n \geq 5$的所有值。相关研究涉及$\mathbb{F}_{q}$的立方扩展$\mathbb{F}_{q^{3}}$。我们表明，如果$q\geq 8\cdot 10^{12}$然后，对于任何$a\in \mathbb{F}_{q}$，我们可以找到一个原始元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{3}}$，使$ξ+ ξ^{-1}$也是一个原始元素的$\mathbb{F}_{q^{3}}$，并为其中的迹$ξ$等于$a$。这改进了Cohen和Gupta的结果。一路上，我们证明了一个混合下界素因子在各种剩余类，这可能是相关的存在性问题的兴趣。
2022-03-27 math.NT
The Strong Primitive Normal Basis Theorem
有限域F=GF（q）上的n次扩张E的元素w称为F上的自由元素，如果{w，w^q，.，w^{q^{n-1}是E/F的（正规）基。原始正规基定理，首先由Lenstra和Schoof（1987）完整地建立，断言对于任何这样的扩张E/F，在E中存在元素w，使得w同时是原始的（即，生成E）的乘法群，并在F上自由。本文证明了这个定理的如下加强：除了五个特殊的扩张E/F之外，在E中存在一个元素w，使得w和w^{-1}同时是F上的本原自由元。
2008-10-16 math.NT
Primitive divisors of Lucas and Lehmer sequences
斯图尔特减少了确定所有卢卡斯和莱默序列的问题，其$n$ -th元素没有一个原始因子，以解决某些图厄方程。利用Tzanakis和de Weger求解Thue方程的方法，我们确定了$n \leq 30$的这类序列.进一步的计算使我们猜想，对于$n > 30$，这种序列的第$n$个元素总是有一个本原因子。
2012-01-31 math.NT
Effective existence of primitive k-normal elements via affine spaces
本文研究了有限域上临界值$k=n/2$处本原$k$-正规元素的存在性，给出了此前未被研究的一般结果，并通过完整刻画$\mathbb{F}_{q^6}$中本原$3$-正规元素的存在性展示了该结果的强度。
2026-11-13 math.NT
A generalization of primitive sets and a conjecture of Erdős
一组大于大于1的整数是本原的，如果没有一个元素能整除另一个元素。1935年，Erdans证明了在一个本原集合$A$上运行的$n$的$1/(n \log n)$的和在$A$的所有选择上是泛有界的。在1988年，他问，如果这个普遍的约束是达到了一套素数。对于2-本原集，我们肯定地回答了Erdés问题。这里一个集合是2-本原的，如果没有一个元素能整除另外两个元素的乘积。
2020-09-21 math.CO math.NT
Inverses of $r$-primitive $k$-normal elements over finite fields
设$r$、$n$是正整数，$k$是非负整数，$q$是任意素数幂，使得$r\mid q^n-1.$有限域$\mathbb{F}_{q^n}$的元素$α$称为{ \it $r$ -本原}元素，如果它的乘法阶是$(q^n-1)/r$，并且它称为$\mathbb{F}_q$上的{ \it $k$ -正规}元素，如果多项式$m_α(x)=\sum_{i=1}^{n} α^{q^{i-1}}x^{n-i}$和$x^n-1$的最大公约数为$k.$次本文定义了$k$正规元集的特征函数，并以此建立了$\mathbb{F}_{q^n}$中元素$α$存在的充分条件，使得$α$和$α^{-1}$两者同时是$\mathbb{F}_q$上$r$ -原始和$k$ -正常。此外，对于$n>6k$，我们证明了总是存在一个$r$ -本原和$k$ -正规元素$α$，使得$α^{-1}$在$\mathbb{F}_q$上的所有域$\mathbb{F}_{q^n}$中也是$r$ -本原和$k$ -正规的，其中$q$和$n$使得$r\mid q^n-1$，并且在$\mathbb{F}_q$上存在一个$k$ -次数多项式$g(x)\mid x^n-1$。特别地，我们讨论了在$\mathbb{F}_{q^n}$中存在元素$α$使得$α$和$α^{-1}$同时是$\mathbb{F}_q$上的$1$ -本原和$1$ -正规的.
2022-01-27 math.NT math.RA
The modified prime sieve for primitive elements in finite fields
本文针对有限域子集内本原元的存在性问题，提出仅依赖特征和估计的改进素数筛法判别准则，通过解决避开仿射超平面的相关问题验证了其实用性，相较已有研究实现显著改进。
2025-07-29 math.NT
Diophantine avoidance and small-height primitive elements in ideals of number fields
针对数域理想中的本原元问题，结合丢番图规避结果推导格点小范数点结论，给出二次域理想本原元最小高度明确界、全实数域全正本原元及生成多项式Mahler测度等相关界。
2024-11-21 math.NT
On the existence of primitive completely normal bases of finite fields
设$\mathbb{F}_q$是特征$p$的具有$q$元的有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$是它的次数扩张$n$ .我们证明了存在一个本原元的$\mathbb{F}_{q^n}$，产生一个完全正常的基础$\mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$，如果$n=p^{\ell}m$与$(m,p)=1$和$q>m$。
2018-05-05 math.NT
Singular Gauss sums, Polya-Vinogradov inequality for $GL(2)$ and growth of primitive elements
我们对$GL(2, \F_p)$建立了一个类似于经典的Polya-Vinogradov不等式，其中$p$是素数.在这个过程中，我们计算的“奇异”高斯和$GL(2, \F_p)$。作为一个应用，我们证明了$GL(2,\Z)$中的元素的集合，其约简模$p$在$GL(2, \F_p)$中是极大序模的，并且其矩阵项由$x$限定，对于任何$\ep>0$，只要$x\gg p^{1/2+\ep}$就有期望的大小.特别地，在$GL(2,\Z)$中存在具有$O(p^{1/2+\ep})$阶的矩阵项的元素，其约简模$p$是本原元。
2021-06-09 math.GR math.NT
Variations of the Primitive Normal Basis Theorem
著名的本原正规基定理指出，对于任何$n\ge 2$和任何有限域$\mathbb F_q$，存在一个元素$α\in \mathbb F_{q^n}$，它在$\mathbb F_q$上同时是本原的和正规的。在本文中，我们证明了这个结果的一些变化，完成了Anderson和Mullen（2014）提出的猜想的证明。我们的结果还暗示了$\mathbb F_{q^n}$中存在具有乘阶$(q^n-1)/2$和$\mathbb F_q$上的预定迹的元素.
2017-12-28 math.NT
Separating singular moduli and the primitive element problem
我们证明了$|x-y|\ge 800X^{-4}$，其中$x$和$y$是不同的奇异模的判别不超过$X$。我们把这个结果应用到两个奇异模的“本原元问题”。在以前的文章中，Faye和Riffaut证明了由两个奇异模$x$和$y$生成的数域$\mathbb Q(x,y)$由$x-y$生成，除了某些例外，也由$x+y$生成。在这篇文章中，我们固定了一个有理数$α\ne0,\pm1$，并证明了字段$\mathbb Q(x,y)$是由$x+αy$生成的，当$x$和$y$在$\mathbb Q$上生成相同的二次字段时会出现一些例外。与Faye和Riffaut的上述结果一起，这给出了Allombert等人（2015）关于奇异模中线性方程解的定理的一个严格推广。
2020-05-31 math.NT
On decidable algebraic fields
我们证明以下命题。定理1：设$M$是$\Q$的一个固定代数闭包$\tilde \Q$的一个子域，它的存在初等理论是可判定的（分别是）.可判定性）。然后，M共轭到递归（resp）。原始递归）子字段$L \subset \tilde \Q$。定理二：对于每一个正整数$e$，有无穷多个$e$ -元组$\boldsymbol σ\in \Gal(\Q)^e$，使得域$\tilde \Q( {\boldsymbol σ})$ --$\boldsymbol σ$的固定域，在$\tilde\Q$中是递归的，并且它的初等理论是可判定的。此外，$\tilde \Q(\boldsymbol σ)$是PAC，并且$\Gal(\tilde\Q(\boldsymbol σ))$同构于$e$生成元上的自由profinite群。
2015-02-13 math.LO math.NT
Primitive divisors of Lucas and Lehmer sequences, II
设$\al$和$\be$是生成Lucas或Lehmer序列的共轭复代数整数。我们提出了一个算法，以寻找这种序列的元素，没有原始因子。我们用这个算法证明了对于所有的$\al$和具有$\hgt(\be/\al) \leq 4$的$\be$，这些序列的第$n$个元素对于$n > 30$有一个本原因子。在证明这个结果的过程中，我们改进了Stewart关于更一般序列的一个结果。
2012-11-13 math.NT
Primitive elements of finite fields $\mathbf{F}_{q^r}$ avoiding affine hyperplanes for $q=4$ and $q=5$
本文证明了当 $q=4$ 和 $q=5$ 且 $r$ 足够大时，有限域 $\mathbf{F}_{q^r}$ 中存在避开 $r$ 个仿射超平面的本原元，填补了 $q\ge 7$ 与小 $q$ 情形之间的研究空白。
2024-02-14 math.NT
Iterated primitives of meromorphic quasimodular forms for $\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$
本文引入并研究了$\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$的亚纯拟模形式的迭代基元，推广了Manin和Brown关于全纯模形式的工作.证明了亚纯拟模形式的迭代基元代数自然同构于某个显式shuffle代数。由此我们推出了亚纯拟模形式的基元的Ax-Lindemann-Weierstrass型代数独立性准则，其中包括Paidol-Zudilin的一个结果作为特例.我们还研究了具有限制极点的亚纯模形式空间，推广了Guerzhoy在弱全纯情况下的结果。
2021-11-11 math.NT
Primitive divisors of Lucas and Lehmer sequences, III
本文证明了：若$n > 30,030$，则任何Lucas或Lehmer序列的第$n$个元素有本原因子.
2012-11-13 math.NT
Existence of primitive $2$-normal elements in finite fields
如果$\mathcal{B}=\{α, α^q, α^{q^2}, \cdots, α^{q^{n-1}}\}$作为$\mathbb{F}_q$上的向量空间形成$\mathbb{F}_{q^n}$的基，则元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$上正规。众所周知，当且仅当$g_α(x)=αx^{n-1}+α^q x^{n-2}+ \cdots + α^{q^{n-2}}x+α^{q^{n-1}}$和$x^n-1$相对于$\mathbb{F}_{q^n}$互质，即它们在$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中的最大公约数的次数是$0$时，$α\in \mathbb{F}_{q^n}$相对于$\mathbb{F}_q$是正态的。利用这个等价性，Huczynska等人（$2013$）引入了$k$ -正规元素的概念：如果$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中多项式$g_α[x]$和$x^n-1$的最大公约数具有次数$k$，则元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$上是$k$ -正规的;因此通常意义上正规的元素是$0$ -正规的。Huczynska等人提出了关于在$\mathbb{F}_q$上的$\mathbb{F}_{q^n}$中存在本原$k$ -正规元的$(n,k)$对的问题，并得到了$k=1$情形的…
2020-12-23 math.NT
Local information of ADC quadratic lattices over algebraic number fields
Dongguan University of Technology（东莞理工学院）
本文研究了ADC二次格在代数数域上的局部结构，确定了二元和三元格的表示集、计数公式及密度，并探讨了其在非阿基米德局部域上的性质与应用。
2026-01-09 math.NT
Primitive sets with large counting functions
一个正整数的集合称为本原的，如果这个集合中没有一个元素是另一个的倍数。如果$S$是一个本原集，$S(x)$是$S$中不超过$x$的元素个数，则Erd \H os的结果意味着$\int_2^\infty (S(t)/t^2\log t) dt$收敛。我们建立了这个定理的一个近似逆定理，证明了如果$F$满足一些温和的条件，并且$\int_2^\infty (F(t)/t^2\log t) dt$收敛，则存在一个本原集$S$，其中有$S(x) \gg F(x)$ .
2010-10-27 math.NT
Primitive Divisors of some Lehmer-Pierce Sequences
本文研究了$(Δ_n)_{n \geq 1}$的各项的本原因子，其中$Δ_n=N_{K/ \mathbb{Q}}(u^n-1)$对$K$是实二次域，$u>1$是它的整数环的单位元.所使用的方法允许我们找到序列中没有原始素除子的项。
2007-08-16 math.NT
The existence of $\mathbb{F}_q$-primitive points on curves using freeness
设$\mathcal C_Q$是$Q$阶循环群，$n$是$Q$的约数，$r$是$Q/n$的约数.我们引入了$\mathcal C_Q$的$(r,n)$-free元素的集合，并导出了$f(θ)$是$(r,n)$-free的，$F(θ)$是$(R,N)$-free的元素个数$θ\in \mathbb F_q$的下界，其中$ f, F \in \mathbb F_q[x]$.作为一个应用，我们认为存在的$\mathbb F_q$-本原点的曲线，如$y^n=f(x)$和发现，特别是，所有的奇素数权力$q$的椭圆曲线$y^2=x^3 \pm x$包含一个$\mathbb F_q$-本原点。
2022-01-13 math.NT
Primitive Normal Values of Rational Functions over Finite Fields
本文考虑有限域$\mathbb{F}_{q^n},$上的有理函数$f$，其中$q=p^k$对某些素数$p$和正整数$k$ .我们建立了$\mathbb{F}_{q^n}$上$\mathbb{F}_{q}.$存在一对$(α,f(α))$的充分条件.此外，对于具有二次分子和二次子的$q=2^k$和有理函数$f$，我们明确地发现至多存在$55$有限域$\mathbb{F}_{q^n}$，其中不可能存在这样一对$(α,f(α))$.
2021-12-14 math.NT math.RA
Primitive normal pairs of elements with one prescribed trace
本文研究有限域上具有指定迹的素元正规对的存在性，给出充分条件，并针对特定参数明确至多11个例外情形。
2024-11-08 math.NT
A proof of the conjecture of Cohen and Mullen on sums of primitive roots
证明了对所有的$q>61$，有限域$\mathbb{F}_{q}$中的每个非零元都可以表示为$\mathbb{F}_{q}$的两个原根的线性组合.这解决了科恩和马伦提出的一个猜想。
2014-03-18 math.NT
$r$-primitive $k$-normal elements in arithmetic progressions over finite fields
本文研究了有限域等差数列中同时满足 $r$-本原与 $k$-正规性质的元素存在性，给出了针对一般参数的渐近结果及特定条件下的具体结果。
2023-07-31 math.NT
Consecutive non-square non-primitive tuples in finite fields
College of Science, North China University of Technology（华北理工大学科学院）
研究有限域中连续非平方非本原元组问题，通过得到非平方\(\ell\)次幂连续元组存在性定理并结合有限计算，证明\(\theta_q<4/15\)保证有三个连续NSNP元素，且\(4/15\)最优。
2026-09-01 math.NT
Arithmetic progressions in dense subsets of primitive elements of finite fields
School of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学理学院）
本文证明有限域本原元稠密子集必含非平凡k项算术级数，并构造无此类级数的大子集，结合特征和估计与相对Szemerédi定理。
2026-09-25 math.CO math.NT
