有限域本原元稠密子集中的算术级数
Arithmetic progressions in dense subsets of primitive elements of finite fields
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中文总结 AI 辅助
本文证明有限域本原元稠密子集必含非平凡k项算术级数，并构造无此类级数的大子集，结合特征和估计与相对Szemerédi定理。
中文摘要 AI 辅助
设 $p$ 为素数，$\u007cP_p$ 为 $\u007cF_p$ 的本原元集合。受 Cohen、Oliveira e Silva 和 Trudgian 关于连续本原元的工作，以及 Chang 关于有限域乘法子群中算术级数的工作的启发，本文利用线性形式系统上的乘法特征和估计以及 Conlon、Fox 和 Zhao 的相对 Szemerédi 定理，证明了：对于每个固定整数 $k\ge3$ 和任意固定数 $0<\delta\le 1$，每个满足 $\\#A\ge\delta\\#\mathcal{P}_p$ 的子集 $A\subseteq\mathcal{P}_p$ 都包含一个非平凡的 $k$ 项算术级数，前提是 $p$ 足够大。此外，通过应用 Behrend 定理，我们构造了 $\mathcal{P}_p$ 的一个大子集 $A'$，满足 $\\#A'=\lfloor(\\#\mathcal{P}_p)^{1-\varepsilon}\rfloor$，且 $A'$ 不包含非平凡的 $k$ 项算术级数。
英文摘要
Let $p$ be a prime and let $\mathcal{P}_p$ be the set of primitive elements of $\mathbb{F}_p$. Inspired by the work of Cohen, Oliveira e Silva and Trudgian on consecutive primitive elements, and by the work of Chang on arithmetic progressions in multiplicative subgroups of finite fields, in this paper, using estimates for multiplicative character sums over systems of linear forms together with the relative Szemerédi's theorem of Conlon, Fox and Zhao, we show that, for every fixed integer $k\ge3$ and any fixed number $0<δ\le 1$, each subset $A\subseteq\mathcal{P}_p$ with $\#A\geδ\#\mathcal{P}_p$ contains a nontrivial $k$-term arithmetic progression, provided that $p$ is sufficiently large. Also, by applying Behrend's theorem, we construct a large subset $A'$ of $\mathcal{P}_p$ with $\#A'=\lfloor(\#\mathcal{P}_p)^{1-\varepsilon}\rfloor$ such that $A'$ contains no nontrivial $k$-term arithmetic progressions.
发表机构
- School of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学理学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
