On the number of $N$-free elements with prescribed trace
本文导出了有限域$\mathbb{F}_q$上具有给定迹，特别是迹为零的无$N$元个数的高斯周期公式。因此，我们得出一个简单的显式公式的原始元素的数量，在四次扩展的梅森素数领域，具有绝对的迹零。在$Q = (q^m-1)/(q-1)$是素数的情况下，我们也给出了一个简单的公式.更一般地，对于正整数$N$，若其素因子整除$Q$且满足所谓的半本原条件，我们给出了具有任意迹的无$N$元素个数的显式公式.另外，我们证明了如果$q-1$的所有素因子整除$m$，则具有规定非零迹的$\mathbb{F}_{q^m}$中的本原元数是均匀分布的.最后，我们探讨了$\mathbb{F}_{q^m}$中具有乘法阶$N$且具有迹$c \in \mathbb{F}_q$的元素的相关数$P_{q, m, N}(c)$。令$N \mid q^m-1$使得$L_Q \mid N$，其中$L_Q$是$q^m-1$的最大因子，其具有与$Q$相同的根。我们证明了在$\mathbb{F}_{q^m}^*$中存在一个具有迹$0$的（大）阶$N$的元素当且仅当$m \neq 2$和$(q,m) \neq (4,3)$ .此外，我们还导出了$\mathbb{F}_{p^4}$中对应于大序$L_Q = 2(p+1)(p^2+1)$且具有绝对迹零的元素个数的显式公式，其中$p$是Mersenne素数.
2015-08-12 math.NT
Existence of Primitive Normal Pairs with One Prescribed Trace over Finite Fields
给定$m, n, q\in \mathbb{N}$使得$q$是素数幂，且$m\geq 3$，$a\in \mathbb{F}_q$，我们建立了$\mathbb{F}_{q^m}$中存在本原对$(α, f(α))$使得$α$在$\mathbb{F}_q$和$\text{Tr}_{\mathbb{F}_{q^m}/\mathbb{F}_q}(α^{-1})=a$上正规的充分条件，其中$f(x)\in \mathbb{F}_{q^m}(x)$是度和$n$的有理函数.此外，当$n=2$和$q=5^k$用于某些$k\in \mathbb{N}$时，除了最多$20$选择之外，对于所有$(q, m)$肯定存在这样的对。
2021-01-20 math.NT
Existence of primitive pairs with two prescribed traces over finite fields
给定$F= \mathbb{F}_{p^{t}}$，一个具有$p^t$元素的域，其中$p $是素数幂，$t\geq 7$，$n$是正整数，$f=f_1/f_2$是有理函数，其中$f_1, f_2$是相对素数，不可约多项式，其中$deg(f_1) + deg(f_2) = n $在$F[x]$中。我们构造了一个关于$(p,t)$的充分条件，它保证了$(ε, f(ε))$存在于$F$中，使得对于任意给定的$a,b \in \mathbb{F}_{p}$，$Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(ε) = a$和$Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(f(ε)) = b$都是存在的.此外，我们证明了任何正整数$n$，这样的一对肯定存在大$t$。当$n = 2$被单独处理时，我们验证了除了$p$的可能的71个值之外，所有$(p,t)$都存在这样的对。并给出了$n=3$情形的一个结果。
2023-01-06 math.NT
Primitive normal Values of rational functions with one prescribed norm and trace over finite fields
本文研究有限域扩展中本原正规对的存在性，证明带指定本原范数与非零迹的有理函数值存在的充分条件，并界定少数潜在例外域。
2024-05-08 math.NT
Primitive element pairs with a prescribed trace in the cubic extension of a finite field
证明了对任意素数幂$q\notin\{3,4,5\}$，有限域$\mathbb{F}_q$的三次扩张$\mathbb{F}_{q^3}$包含一个本原元$ξ$，使得$ξ+ξ^{-1}$也是本原元，并且对任意指定的$a\in\mathbb{F}_q$都包含$\textrm{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}(ξ)=a$.这就完成了古普塔、夏尔马和科恩关于任意度扩张$n\ge3$上的类似问题的猜想的证明。
2022-02-02 math.NT math.RA
On the enumeration of polynomials with prescribed factorization pattern
我们使用群环上的生成函数来计算有限域上的多项式，并指定了前几个系数和一个因式分解模式。特别地，我们得到了有限域上一元$n$ -光滑次多项式$m$的个数以及具有给定迹系数的一元$n$ -光滑次多项式$m$的个数的精确公式.
2021-05-17 math.NT
Kloosterman sums, elliptic curves, and irreducible polynomials with prescribed trace and norm
设$\F_q$（$q=p^r$）是一个有限域.本文在某些特殊情况下计算了具有指定迹和模系数的$\F_q[x]$中$m$次数的不可约多项式的数量，并获得了该数量的一般界，如果$m$与$q$相比较小，则改进了Wan的界。作为推论，在$\F_q$上得到了具有给定迹和范数的$\F_{q^3}$中元素个数的精确界，改进了Katz在这种特殊情况下的估计.此外，给出了可被3整除的$\F_{2^r}$上的Kloosterman和的一个特征，推广了Charpin，Helleseth和Zinoviev仅在$r$为奇数时得到的结果.最后，给出了域$\F_{3^r}$上Kloosterman和的值分布的一个新的简单证明，该证明首先由Katz和Livne证明。
2007-11-21 math.CO math.NT
Primitive normal pairs with prescribed traces over finite fields
本文研究有限域上具有两个指定迹的本原正规对存在性，给出充分条件，并针对特定参数情形确定了至多12个可能不存在的域。
2024-11-23 math.NT
Primitive elements with prescribed traces
给定一个素数幂$q$和一个正整数$n$，令$\mathbb{F}_{q^{n}}$表示具有$q^n$元素的有限域。还令$a,b$为基域$\mathbb{F}_{q}$的任意成员。我们研究了非零元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{n}}$的存在性，使得$ξ+ ξ^{-1}$是本原的，并且是$T(ξ)=a, T(ξ^{-1})=b$，其中$T(ξ)$表示$ξ$在$\mathbb{F}_{q}$中的迹.这是曹和王在2014年打算解决的问题。他们的工作是处理另一个问题已经在文献中。我们的解决方案涉及$n \geq 5$的所有值。相关研究涉及$\mathbb{F}_{q}$的立方扩展$\mathbb{F}_{q^{3}}$。我们表明，如果$q\geq 8\cdot 10^{12}$然后，对于任何$a\in \mathbb{F}_{q}$，我们可以找到一个原始元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{3}}$，使$ξ+ ξ^{-1}$也是一个原始元素的$\mathbb{F}_{q^{3}}$，并为其中的迹$ξ$等于$a$。这改进了Cohen和Gupta的结果。一路上，我们证明了一个混合下界素因子在各种剩余类，这可能是相关的存在性问题的兴趣。
2022-03-27 math.NT
Primitive Element Pairs with One Prescribed Trace over a Finite Field
本文建立了存在本原元$α\in {\mathbb{F}_{q^n}}$的一个充分条件，使得对于任意给定的$a \in \mathbb{F}_q$，$α+α^{-1}$也是${\mathbb{F}_{q^n}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的本原元，其中$q=p^k$对某些素数$p$和正整数$k$ .我们证明了除了$q$和$n$的两个值之外，每个有限域$\mathbb{F}_{q^n}~ (n \geq5),$都包含这样的本原元。实际上，通过计算，我们得出结论，对于$n\geq5.$，不存在实际的例外对$(q,n)$
2018-03-28 math.NT math.RA
Construction of maximal unramified p-extensions with prescribed Galois groups
本文证明了对任意素数p，每个有限p-群都是有限度数域上极大非分歧p-扩张的伽罗瓦群.我们还将证明，对任意给定的具有可数个生成元的pro-p-群G，存在一个数域（不一定是有限度的），它的最大非分歧p-扩张与G同构于伽罗瓦群.这意味着数域（包括无限次）上的极大非分歧p-扩张的伽罗瓦群的同构类的集合精确地等于所有具有可数个生成元的亲p-群的同构类的集合。
2009-07-17 math.NT
The Minimal Degree of Salem Numbers with Negative Trace
Charles University Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
该研究改进了Salem数最小次数的上界，证明其最小次数与迹的绝对值的平方相关，且对每个指定负迹，超过某偶次时均存在对应Salem数。
2026-08-04 math.NT
Primitive normal pairs of elements with one prescribed trace
本文研究有限域上具有指定迹的素元正规对的存在性，给出充分条件，并针对特定参数明确至多11个例外情形。
2024-11-08 math.NT
On trace-one generators of abelian cubic fields
该研究针对驯分歧阿贝尔三次数域，证明了特定首一整系数迹一多项式的数量与对应二次域中特定范数的理想数量相等，为数域生成元相关问题提供了数论结论。
2024-07-14 math.NT
Finding normal bases over finite fields with prescribed trace self-orthogonal relations
有限域上的正规基和自对偶正规基在许多快速算术计算中是非常有用的。众所周知，存在$\mathbb{F}_2$上的$\mathbb{F}_{2^n}$的自对偶正规基当且仅当$4\nmid n$ .本文证明了$\mathbb{F}_{2^n}$在$\mathbb{F}_{2}$上存在一个正规元$α$，它对应于一个给定的向量$a=(a_0,a_1,...,a_{n-1})\in \mathbb{F}_2^n$，使得$a_i={Tr}_{2^n|2}(α^{1+2^i})$ for $0\leq i\leq n-1$，其中$n$是2次幂或奇数，当且仅当给定的向量$a$是对称的（$a_i=a_{n-i}$ for所有$i, 1\leq i\leq n-1$），并且下列之一成立. 1)$n=2^s\geq 4$，$a_0=1$，$a_{n/2}=0$，$\sum\limits_{1\leq i\leq n/2-1, (i,2)=1}a_i=1$ ; 2）$n$是奇数，$(\sum\limits_{0\leq i\leq n-1}a_ix^i,x^n-1)=1$。此外，我们还给出了在上述两种情况下获得与指定向量对应的法向元素的算法。对于一般正整数$n$，给出了$4|n$为$\mathbb{F}_{2}$的正整数$n$的正规元的对应向量为$\mathbb{F}_{2^n}$的正规元的必要条件.对于所…
2013-03-10 math.NT
Primitive pairs of rational functions with prescribed traces over finite fields
本文研究有限域上有理函数本原对的构造问题，建立了在指定迹条件下存在本原对 $(f(ε), g(ε))$ 的充分条件，并显式计算了次数和为 3 时的例外情形。
2024-11-23 math.NT
The trace of primitive and $2$-primitive elements in finite fields, revisited
根据定义，有限域扩张$\mathbb{F}_{q^n}$的本原元和$2$ -本原元的阶分别为$q^n-1$和$(q^n-1)/2$。我们已经证明了，在基域$\mathbb{F}_q$中存在一个本原元和一个具有规定迹的$2$ -本原元$ξ\in \mathbb{F}_{q^n}$.在这里，我们修改我们以前的这些结果的证明，首先，减少这些问题的延伸素数度$n$，其次，通过推导出一个确切的表达式的平方数在$\mathbb{F}_{q^n}$的轨迹具有规定的值在$\mathbb{F}_q$。后者纠正了$2$ -本原元的证明中的一个错误。我们还简化了必要的计算。
2021-08-18 math.NT
Existence of normal elements with prescribed norms
本文结合组合与数论方法，探讨了在中间扩张上范数被预先指定的正规元素的存在性，并完全解决了仅考虑单一中间扩张情形下的该问题。
2024-12-19 math.NT
A primitive normal pair in a finite field with prescribed traces and norms
本文研究了有限域中具有指定迹和范数的本原正规对的存在性问题，构造了保证多项式生成的本原正规对存在的充分条件，并证明了特定参数下仅有4种可能例外。
2024-06-05 math.NT
On the number of elements with prescribed norm and trace
本文研究有限域扩张中范数和迹均为给定值的元素个数，通过Artin-Schreier曲线上的有理点计数改进估计，并应用于环面Calabi-Yau簇及不可约多项式计数。
2023-08-29 math.AG math.NT
The trace of 2-primitive elements of finite fields (amended version)
设$q$是素数幂，$n, r$是整数，使得$r\mid q^n-1$ .乘法阶$(q^n-1)/r$的$\mathbb{F}_{q^n}$的元素称为\emph{$r$-primitive}。对任意奇素数幂$q$，证明了当$n\geq 3$为$\mathbb{F}_{q^n}$时，存在一个$2$ -本原元，其迹为任意给定的$\mathbb{F}_q$迹。此外，我们明确地描述了这些元素的轨迹可能具有的值时，$n=2$。这个修正版本的一个特点是减少了对素数度$n$的讨论。
2021-01-19 math.NT
On pairs of $r$-primitive and $k$-normal elements with prescribed traces over finite fields
Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
本文研究有限域中同时满足指定迹、有理函数像及本原、正规约束的元素对，给出充分条件，并在固定参数下确定特征13域中除10个例外外的所有 $(q,n)$。
2026-10-30 math.NT
Generators for abelian extensions of number fields
设$U/L$是数域的有限阿贝尔扩张.我们首先构造了$L$上的$U$的泛本原生成元，它到任何中间域$F$的相对迹也成为$L$上的$F$的生成元.我们也从规范的角度展开了类似的论证。作为例子，我们研究了虚二次域上束类域的塔。并且，我们进一步提出了一种新的方法来寻找正规元素的扩张$U/L$。
2017-07-18 math.NT
On the evaluation of singular invariants for canonical generators of certain genus one arithmetic groups
设$N$是一个无平方的正整数，使得离散群$Γ_{0}(N)^{+}$的亏格为1。在前一篇文章中，我们构造了与$Γ_{0}(N)^{+}$相关的全纯函数场的规范生成元$x_{N}$和$y_{N}$，以及这些生成元满足的整数系数代数方程$P_{N}(x_{N},y_{N}) = 0$。本文研究了与$x_{N}$和$y_{N}$相对应的奇异模问题，即上半平面$\mathbb{H}$中任意CM点$τ$的数$x_{N}(τ)$和$y_{N}(τ)$的算术性质.若$τ$是不等价于$Γ_{0}(N)^{+}$的椭圆点的CM点，则证明了复数$x_{N}(τ)$和$y_{N}(τ)$是代数整数.更进一步，我们的代数性质的$x_{N}(τ)$的特点作为一个特定的环类字段的$\mathbb{Q}(τ)$的规定顺序和判别式的生成器取决于$τ$和水平$N$的属性。理论上的考虑是补充计算的例子。其结果是，几个明确的评价给出了各种$N$和$τ$，并提出了进一步的算术后果，我们的分析。在一个例子中，我们明确地构造了一组极小多项式的希尔伯特类域$\mathbb{Q}(\sqrt{-74})$的系数小于$2.2\times 10^{4}$，而从Hauptmodul的$\textrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$的极小多项式具有大到$6.6\times 10^{73}$的系数。
2017-09-22 math.NT
The Tambara Structure of the Trace Ideal for Cyclic Extensions
本文研究伽罗瓦扩张迹理想的Tambara函子结构，明确了（投射）循环扩张下迹理想的生成元，证明循环群绝对迹理想是伯恩赛德Tambara函子的强主理想，还计算了有限域扩张的迹理想并给出二次型范数公式。
2020-05-28 math.AT math.CT math.GR
