$r$-primitive $k$-normal polynomials over finite fields with last two coefficients prescribed
本文研究有限域上最后两个系数给定的r-本原k-正规多项式的存在性，证明了其存在的充分条件，并计算了m≥7时3-本原1-正规多项式的所有例外对(q,m)。
2025-04-16 math.NT
Existence of primitive pairs with two prescribed traces over finite fields
给定$F= \mathbb{F}_{p^{t}}$，一个具有$p^t$元素的域，其中$p $是素数幂，$t\geq 7$，$n$是正整数，$f=f_1/f_2$是有理函数，其中$f_1, f_2$是相对素数，不可约多项式，其中$deg(f_1) + deg(f_2) = n $在$F[x]$中。我们构造了一个关于$(p,t)$的充分条件，它保证了$(ε, f(ε))$存在于$F$中，使得对于任意给定的$a,b \in \mathbb{F}_{p}$，$Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(ε) = a$和$Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(f(ε)) = b$都是存在的.此外，我们证明了任何正整数$n$，这样的一对肯定存在大$t$。当$n = 2$被单独处理时，我们验证了除了$p$的可能的71个值之外，所有$(p,t)$都存在这样的对。并给出了$n=3$情形的一个结果。
2023-01-06 math.NT
Primitive normal Values of rational functions with one prescribed norm and trace over finite fields
本文研究有限域扩展中本原正规对的存在性，证明带指定本原范数与非零迹的有理函数值存在的充分条件，并界定少数潜在例外域。
2024-05-08 math.NT
Primitive element pairs with a prescribed trace in the cubic extension of a finite field
证明了对任意素数幂$q\notin\{3,4,5\}$，有限域$\mathbb{F}_q$的三次扩张$\mathbb{F}_{q^3}$包含一个本原元$ξ$，使得$ξ+ξ^{-1}$也是本原元，并且对任意指定的$a\in\mathbb{F}_q$都包含$\textrm{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}(ξ)=a$.这就完成了古普塔、夏尔马和科恩关于任意度扩张$n\ge3$上的类似问题的猜想的证明。
2022-02-02 math.NT math.RA
Primitive Element Pairs with One Prescribed Trace over a Finite Field
本文建立了存在本原元$α\in {\mathbb{F}_{q^n}}$的一个充分条件，使得对于任意给定的$a \in \mathbb{F}_q$，$α+α^{-1}$也是${\mathbb{F}_{q^n}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的本原元，其中$q=p^k$对某些素数$p$和正整数$k$ .我们证明了除了$q$和$n$的两个值之外，每个有限域$\mathbb{F}_{q^n}~ (n \geq5),$都包含这样的本原元。实际上，通过计算，我们得出结论，对于$n\geq5.$，不存在实际的例外对$(q,n)$
2018-03-28 math.NT math.RA
The trace of primitive and $2$-primitive elements in finite fields, revisited
根据定义，有限域扩张$\mathbb{F}_{q^n}$的本原元和$2$ -本原元的阶分别为$q^n-1$和$(q^n-1)/2$。我们已经证明了，在基域$\mathbb{F}_q$中存在一个本原元和一个具有规定迹的$2$ -本原元$ξ\in \mathbb{F}_{q^n}$.在这里，我们修改我们以前的这些结果的证明，首先，减少这些问题的延伸素数度$n$，其次，通过推导出一个确切的表达式的平方数在$\mathbb{F}_{q^n}$的轨迹具有规定的值在$\mathbb{F}_q$。后者纠正了$2$ -本原元的证明中的一个错误。我们还简化了必要的计算。
2021-08-18 math.NT
Primitive elements with prescribed traces
给定一个素数幂$q$和一个正整数$n$，令$\mathbb{F}_{q^{n}}$表示具有$q^n$元素的有限域。还令$a,b$为基域$\mathbb{F}_{q}$的任意成员。我们研究了非零元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{n}}$的存在性，使得$ξ+ ξ^{-1}$是本原的，并且是$T(ξ)=a, T(ξ^{-1})=b$，其中$T(ξ)$表示$ξ$在$\mathbb{F}_{q}$中的迹.这是曹和王在2014年打算解决的问题。他们的工作是处理另一个问题已经在文献中。我们的解决方案涉及$n \geq 5$的所有值。相关研究涉及$\mathbb{F}_{q}$的立方扩展$\mathbb{F}_{q^{3}}$。我们表明，如果$q\geq 8\cdot 10^{12}$然后，对于任何$a\in \mathbb{F}_{q}$，我们可以找到一个原始元素$ξ\in \mathbb{F}_{q^{3}}$，使$ξ+ ξ^{-1}$也是一个原始元素的$\mathbb{F}_{q^{3}}$，并为其中的迹$ξ$等于$a$。这改进了Cohen和Gupta的结果。一路上，我们证明了一个混合下界素因子在各种剩余类，这可能是相关的存在性问题的兴趣。
2022-03-27 math.NT
Computing the Number of Finite Field Elements with Prescribed Trace and Co-trace
本文讨论了在任意特征$p$的情况下，具有指定迹和共迹的有限域元素的数量的计数问题。我们表明，这个问题可以归结为解决一个系统的$p-1$线性方程组的系数矩阵的循环矩阵的略有修改所形成的Kloosterman和域$\MF_{p}$。所提出的方法的情况下，特征$p = 2,3$和$5$。
2017-12-05 math.NT
Primitive normal pairs of elements with one prescribed trace
本文研究有限域上具有指定迹的素元正规对的存在性，给出充分条件，并针对特定参数明确至多11个例外情形。
2024-11-08 math.NT
Primitive normal pairs with prescribed traces over finite fields
本文研究有限域上具有两个指定迹的本原正规对存在性，给出充分条件，并针对特定参数情形确定了至多12个可能不存在的域。
2024-11-23 math.NT
Generators of finite fields with prescribed traces
本文研究了有限域扩张中的本原元的存在性和分布，其中在若干中间域扩张中具有预定迹。我们的主要结果提供了一个类似不等式的条件，以确保这些元素的存在。然后，我们得到具体的存在性结果一类特殊的中间扩张。
2021-05-07 math.NT
On $r$-primitive $k$-normal polynomials with two prescribed coefficients
本文研究了有限域上具有指定次数和两个给定系数的 $r$-本原 $k$-正规多项式的存在性，建立了充分条件并利用SageMath计算验证了特定参数下的存在情况与不确定对数量。
2024-05-31 math.NT
A primitive normal pair with prescribed prenorm
本文针对有限域上的本原正规对，建立了一个充分条件以确保在指定预范数下该对的存在性，并证明了在特定参数下除极少数例外该对必定存在。
2024-06-26 math.NT
The trace of 2-primitive elements of finite fields (amended version)
设$q$是素数幂，$n, r$是整数，使得$r\mid q^n-1$ .乘法阶$(q^n-1)/r$的$\mathbb{F}_{q^n}$的元素称为\emph{$r$-primitive}。对任意奇素数幂$q$，证明了当$n\geq 3$为$\mathbb{F}_{q^n}$时，存在一个$2$ -本原元，其迹为任意给定的$\mathbb{F}_q$迹。此外，我们明确地描述了这些元素的轨迹可能具有的值时，$n=2$。这个修正版本的一个特点是减少了对素数度$n$的讨论。
2021-01-19 math.NT
The Petersson/Kuznetsov trace formula with prescribed local ramifications
本文构造了带指定局部分歧的精细 Petersson/Kuznetsov 迹公式，并借此在混合情形下研究 Rankin-Selberg L-函数的一阶矩与次凸性，从而在更广范围内获得 Weyl 界。
2023-08-06 math.NT
A primitive normal pair in a finite field with prescribed traces and norms
本文研究了有限域中具有指定迹和范数的本原正规对的存在性问题，构造了保证多项式生成的本原正规对存在的充分条件，并证明了特定参数下仅有4种可能例外。
2024-06-05 math.NT
Irreducible polynomials with prescribed trace and restricted norm
设GF（q），q=p^r，是具有一个本原元g的有限域.本文利用指数和和Jacobi和计算了GF（q）上迹固定且范数限制在子群<g^s>的陪集上的m次不可约多项式的个数|（q-1）。当q=p时，我们显式地给出了s=2，3，4的数，并且对于s|（p^e+1），当r= 2 en时。最后，当迹和模都固定，p=2，m =< 30时，给出了该数的显式表达式.
2007-10-15 math.NT
Primitive pairs of rational functions with prescribed traces over finite fields
本文研究有限域上有理函数本原对的构造问题，建立了在指定迹条件下存在本原对 $(f(ε), g(ε))$ 的充分条件，并显式计算了次数和为 3 时的例外情形。
2024-11-23 math.NT
Existence of primitive normal pairs over finite fields with prescribed subtrace
本文研究有限域上具有指定子迹的原始正规对的存在性，证明了在特定条件下（$m=2$，$n\geq 6$，$q=7^k$）除至多11种例外情况外，这样的对必然存在。
2025-04-21 math.NT
On the number of $N$-free elements with prescribed trace
本文导出了有限域$\mathbb{F}_q$上具有给定迹，特别是迹为零的无$N$元个数的高斯周期公式。因此，我们得出一个简单的显式公式的原始元素的数量，在四次扩展的梅森素数领域，具有绝对的迹零。在$Q = (q^m-1)/(q-1)$是素数的情况下，我们也给出了一个简单的公式.更一般地，对于正整数$N$，若其素因子整除$Q$且满足所谓的半本原条件，我们给出了具有任意迹的无$N$元素个数的显式公式.另外，我们证明了如果$q-1$的所有素因子整除$m$，则具有规定非零迹的$\mathbb{F}_{q^m}$中的本原元数是均匀分布的.最后，我们探讨了$\mathbb{F}_{q^m}$中具有乘法阶$N$且具有迹$c \in \mathbb{F}_q$的元素的相关数$P_{q, m, N}(c)$。令$N \mid q^m-1$使得$L_Q \mid N$，其中$L_Q$是$q^m-1$的最大因子，其具有与$Q$相同的根。我们证明了在$\mathbb{F}_{q^m}^*$中存在一个具有迹$0$的（大）阶$N$的元素当且仅当$m \neq 2$和$(q,m) \neq (4,3)$ .此外，我们还导出了$\mathbb{F}_{p^4}$中对应于大序$L_Q = 2(p+1)(p^2+1)$且具有绝对迹零的元素个数的显式公式，其中$p$是Mersenne素数.
2015-08-12 math.NT
Existence of normal elements with prescribed norms
本文结合组合与数论方法，探讨了在中间扩张上范数被预先指定的正规元素的存在性，并完全解决了仅考虑单一中间扩张情形下的该问题。
2024-12-19 math.NT
Variations of the Primitive Normal Basis Theorem
著名的本原正规基定理指出，对于任何$n\ge 2$和任何有限域$\mathbb F_q$，存在一个元素$α\in \mathbb F_{q^n}$，它在$\mathbb F_q$上同时是本原的和正规的。在本文中，我们证明了这个结果的一些变化，完成了Anderson和Mullen（2014）提出的猜想的证明。我们的结果还暗示了$\mathbb F_{q^n}$中存在具有乘阶$(q^n-1)/2$和$\mathbb F_q$上的预定迹的元素.
2017-12-28 math.NT
On the Coefficients of Primitive Normal polynomials
文[4]证明了在有限域GF（q）中，对任意大的q，存在n次的具有k个给定系数的本原多项式和本原正规多项式。本文给出了关于本原正规多项式的一个结果的更好的形式。
2005-10-01 math.CO math.NT
On the number of linear spaces on hypersurfaces with a prescribed discriminant
对于一个给定的形式$F\in \mathbb Z[x_1,\dots,x_s]$，我们应用圆方法，给出了在超曲面$F(\mathbf x) = 0$上具有$\det ( (\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m)^t \, (\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m)) = b$性质的线性空间上的$m$ -元组$\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m$的个数的渐近估计.这使得我们在某种程度上可以计算超曲面上的有理线性空间，这些超曲面的基础整数格是本原的。
2017-07-24 math.NT
On pairs of $r$-primitive and $k$-normal elements with prescribed traces over finite fields
Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
本文研究有限域中同时满足指定迹、有理函数像及本原、正规约束的元素对，给出充分条件，并在固定参数下确定特征13域中除10个例外外的所有 $(q,n)$。
2026-10-30 math.NT
Vinogradov's three primes theorem with primes having given primitive roots
本文的第一个目的是说明如何Hooley的著名的方法，导致他的条件证明的阿廷猜想的原根可以与Hardy-Littlewood循环方法相结合。我们通过研究奇数表示为三个素数之和的数量来做到这一点，所有这些素数都有规定的原根。第二个目的是分析奇异级数。特别是，使用结果Lenstra，Stevenweigh和Moree，我们提供了一个部分因式分解作为欧拉产品，并证明这并不延伸到一个完整的因式分解。
2018-04-02 math.NT
Arithmetic progression in a finite field with prescribed norms
本文研究了在有限域 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 中，由本原元构成且至少包含一个具有指定范数的正规元的算术级数的存在性，并证明了在特定参数下仅有10种可能例外。
2024-01-07 math.NT
On the enumeration of polynomials with prescribed factorization pattern
我们使用群环上的生成函数来计算有限域上的多项式，并指定了前几个系数和一个因式分解模式。特别地，我们得到了有限域上一元$n$ -光滑次多项式$m$的个数以及具有给定迹系数的一元$n$ -光滑次多项式$m$的个数的精确公式.
2021-05-17 math.NT
Kloosterman sums, elliptic curves, and irreducible polynomials with prescribed trace and norm
设$\F_q$（$q=p^r$）是一个有限域.本文在某些特殊情况下计算了具有指定迹和模系数的$\F_q[x]$中$m$次数的不可约多项式的数量，并获得了该数量的一般界，如果$m$与$q$相比较小，则改进了Wan的界。作为推论，在$\F_q$上得到了具有给定迹和范数的$\F_{q^3}$中元素个数的精确界，改进了Katz在这种特殊情况下的估计.此外，给出了可被3整除的$\F_{2^r}$上的Kloosterman和的一个特征，推广了Charpin，Helleseth和Zinoviev仅在$r$为奇数时得到的结果.最后，给出了域$\F_{3^r}$上Kloosterman和的值分布的一个新的简单证明，该证明首先由Katz和Livne证明。
2007-11-21 math.CO math.NT
Arbitrarily Many Primitive Prime Divisors in an Iterate of $x^d+c$
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
该研究证明单临界多项式$x^d+c$的临界轨道第$n$项的本原素因子个数无一致界，可构造参数使该项含任意多个本原素因子，还应用于得到分裂域的最大次数。
2026-10-27 math.DS math.NT
The Minimal Degree of Salem Numbers with Negative Trace
Charles University Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
该研究改进了Salem数最小次数的上界，证明其最小次数与迹的绝对值的平方相关，且对每个指定负迹，超过某偶次时均存在对应Salem数。
2026-08-04 math.NT
Finding normal bases over finite fields with prescribed trace self-orthogonal relations
有限域上的正规基和自对偶正规基在许多快速算术计算中是非常有用的。众所周知，存在$\mathbb{F}_2$上的$\mathbb{F}_{2^n}$的自对偶正规基当且仅当$4\nmid n$ .本文证明了$\mathbb{F}_{2^n}$在$\mathbb{F}_{2}$上存在一个正规元$α$，它对应于一个给定的向量$a=(a_0,a_1,...,a_{n-1})\in \mathbb{F}_2^n$，使得$a_i={Tr}_{2^n|2}(α^{1+2^i})$ for $0\leq i\leq n-1$，其中$n$是2次幂或奇数，当且仅当给定的向量$a$是对称的（$a_i=a_{n-i}$ for所有$i, 1\leq i\leq n-1$），并且下列之一成立. 1)$n=2^s\geq 4$，$a_0=1$，$a_{n/2}=0$，$\sum\limits_{1\leq i\leq n/2-1, (i,2)=1}a_i=1$ ; 2）$n$是奇数，$(\sum\limits_{0\leq i\leq n-1}a_ix^i,x^n-1)=1$。此外，我们还给出了在上述两种情况下获得与指定向量对应的法向元素的算法。对于一般正整数$n$，给出了$4|n$为$\mathbb{F}_{2}$的正整数$n$的正规元的对应向量为$\mathbb{F}_{2^n}$的正规元的必要条件.对于所…
2013-03-10 math.NT
Irregular primes with respect to Genocchi numbers and Artin's primitive root conjecture
在本文中，我们介绍和研究的一个变种Kummer的概念（IR）的正则性的素数，我们称之为G-不规则。它基于Genocchi数$G_n$，而不是Bernoulli数$B_n.$我们说，一个奇素数$p$是G-不规则的，如果它至少能整除一个整数$G_2,G_4,\ldots, G_{p-3}$，否则是G-正则的。我们表明，在库默尔的情况下，G-不规则性是有关的整除一些类数。进一步，我们得到了G-非正则素数分布的一些结果。特别是，我们表明，每个原始剩余类包含无穷多个G-非正则素数和建立非平凡的下界，他们的数量到一个给定的界限$x$作为$x$趋于无穷大。作为一个副产品，我们得到了一些关于具有指定的近原根的等差数列中素数分布的结果。
2019-05-07 math.NT
Bounded gaps between prime polynomials with a given primitive root
阿廷的一个著名猜想指出，存在无穷多个素数，其中一个固定整数$g$是原根，只要$g \neq -1$和$g$不是完全平方。由于胡利的工作，我们知道这个猜想是正确的，条件是广义黎曼假设的真理。结合胡利的分析和梅纳德-陶用来证明素数之间存在有界间隙的技术，波拉克证明了（以GRH为条件）具有指定原根的素数之间存在有界间隙。在本文中，我们提供了一个无条件的证明类似的波拉克的工作，在函数域的情况下;即，给定一个一元多项式$g(t)$，它不是任何素数$v$除以$q-1$的$v$次幂，在$\mathbb{F}_q[t]$中的一元不可约多项式$P(t)$之间存在有界间隙，其中$g(t)$是其原根（也就是说，$g(t)$生成以$P(t)$为模的单元组）。特别是，我们得到有界的原始多项式之间的差距，相应的选择$g(t) = t$。
2015-04-15 math.NT
On the number of elements with prescribed norm and trace
本文研究有限域扩张中范数和迹均为给定值的元素个数，通过Artin-Schreier曲线上的有理点计数改进估计，并应用于环面Calabi-Yau簇及不可约多项式计数。
2023-08-29 math.AG math.NT
Counting newforms with prescribed ramified supercuspidal components
University of Maine（缅因大学）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文给出了$S_k^{\rm new}(N)$中在素数集合$T$处具有指定分歧超尖点分量$π_p$的新形式数量公式，该公式基于Atkin--Lehner算子的迹，且在$T$为单个素数或$N$所有素因子时完全显式。
2025-11-18 math.NT
Linear constellations in primes with arithmetic restrictions
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Korea National University of Education（韩国国立教育大学）
本文证明了 Green 和 Tao 素数线性星座定理的类似结论，分别在给定原根（条件性）和指定 Artin 符号（无条件）的算术限制下成立，并展示了其在逆 Galois 理论中的应用。
2025-11-05 math.NT
Supercuspidal ramifications and traces of adjoint lifts at good primes
在本文中，我们根据辅助素数的伴随提升的迹写出了所有超尖点素数的非CM本原Hecke本征形所附动机的自同态代数的局部Brauer类。本文给出了[MR 3391026]中奇素数$p$结果的另一种证明，并在去掉[MR 3391026]中一个温和假设的情况下，给出了零级奇非分歧超尖形素数的分歧公式.我们也给出了一个完整的描述分支$p=2$。伴随提升的原理帮助我们通过使用类似于[MR 2770587]的结果来确定非二面体素数的局部Brauer类。我们使用{Sage}和{LMFDB}提供了一些数值例子来支持我们的一些定理。
2018-08-24 math.NT
Hypergeometric Moments and Hecke Trace Formulas
该研究推广了有限域上超几何函数矩的已有工作，利用新的超几何起源Hecke迹公式证明了Q上本原超几何数据的新情形结果，得到有限域代数公式并提出相关矩的猜想。
2024-11-02 math.NT
Ambient prime geodesic theorems on hyperbolic 3-manifolds
证明了紧致双曲三维流形上的素闭测地线地线定理，该流形具有给定的长度和完整性，且可以收缩。我们的结果意味着有效的等分布的holonomy和收缩率和强度的误差项完全对称的长度和holonomy。
2022-06-21 math.DG math.NT
Trace forms of Galois extensions in the presence of a fourth root of unity
我们研究的二次型，可以出现的伽罗瓦域扩张L/K的迹形式，假设K包含一个原始的4次单位根。M. Epkenhans解释说，任何这样的形式都是缩放的Pfister形式。证明了这个猜想，并对允许具有非双曲迹形式的G-Galois扩张L/K的有限群G进行了分类.我们也给出了这些结果的几个应用。
2003-09-05 math.GR math.NT
Primitive Quadratic Polynomials in Additive Coset Families
College of Science, North China University of Technology（华北理工大学理学院）
该研究针对奇素数幂\textit{q}>204931的情况，结合特征和估计、改进素数筛法及精确有限计算，证明了Gow–McGuire关于本原二次多项式的猜想3，同时也证明了该范围内的猜想1和2。
2026-08-12 math.NT
Traces of Hecke Operators and Refined Weight Enumerators of Reed-Solomon Codes
研究了有限域$\mathbb{F}_q$上维数为$5$和$q-4$的对偶投射Reed-Solomon码的二次剩余重量计数元.我们的主要结果是这样的代码的二次剩余重量计数器的系数的公式。如果$q=p^v$和我们固定$v$和改变$p$，那么我们的公式的系数的维度$q-4$码只涉及多项式在$p$和迹的$q$ th和$(q/p^2)$ th Hecke运营商的尖形空间上的同余群$\operatorname{SL}_2 (\mathbb{Z}), Γ_0(2)$，和$Γ_0(4)$。我们使用的主要工具是Eichler-Selberg迹公式，它给出了一个变化的过程中的一个定理伯奇的分布合理的点计数椭圆曲线规定$2$ -扭转在一个固定的有限域。
2016-10-06 cs.IT math.IT math.NT
