arXiv 2406.035712024-06-26math.NT

具有指定预范数的本原正规对

A primitive normal pair with prescribed prenorm

K. Chatterjee, S. K. Tiwari

备注：: arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2405.11463

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AI总结：

本文针对有限域上的本原正规对，建立了一个充分条件以确保在指定预范数下该对的存在性，并证明了在特定参数下除极少数例外该对必定存在。

摘要：

对于任意正整数$q$、$n$、$m$，其中$q$为素数幂且$n\geq 5$，我们建立了一个充分条件，以确保在$\mathbb{F}_{q}$上的$\mathbb{F}_{q^{n}}$中存在本原正规对$(ε,f(ε))$，使得$\mathrm{PN}_{q^n/q}(ε)=a$，其中$a\in\mathbb{F}_{q}$是指定的。这里$f={f_{1}}/{f_{2}}\in\mathbb{F}_{q^n}(x)$是受一些次要限制的有理函数，满足deg($f_{1}$)+deg($f_{2}$)$=m$，且$\mathrm{PN}_{q^n/q}(ε)=\sum_{i=0}^{n-1}\Bigg(\underset{j\neq i}{\underset{0\leq j\leq n-1}{\prod_{}^{}}}ε^{q^j}\Bigg)$。最后，我们得出结论，对于$m=3$、$n\geq 6$及$q=7^k$（其中$k\in\mathbb{N}$），除最多$10$种选择外，该配对必定对所有$(q,n)$存在。

英文摘要：

For any positive integers $q$, $n$, $m$ with $q$ being a prime power and $n \geq 5$, we establish a condition sufficient to ensure the existence of a primitive normal pair $(ε,f(ε))$ in $\mathbb{F}_{q^{n}}$ over $\mathbb{F}_{q}$ such that $\mathrm{PN}_{q^n/q}(ε)=a$, where $a\in\mathbb{F}_{q}$ is prescribed. Here $f={f_{1}}/{f_{2}}\in\mathbb{F}_{q^n}(x)$ is a rational function subject to some minor restrictions such that deg($f_{1}$)+deg($f_{2}$)$=m$ and $\mathrm{PN}_{q^n/q}(ε) =\sum_{i=0}^{n-1}\Bigg(\underset{j\neq i}{\underset{0\leq j\leq n-1}{\prod_{}^{}}}ε^{q^j}\Bigg)$. Finally, we conclude that for $m=3$, $n\geq 6$, and $q=7^k$ where $k\in\mathbb{N}$, such a pair will exist certainly for all $(q,n)$ except possibly $10$ choices at most.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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