Torsion of Abelian varieties over solvable extensions of number fields
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究了Abelian变种在可解扩展中的torsion点有限性，证明了在最大n步可解扩展中torsion点有限，且在最大prosolvable扩展中素数阶torsion点有限。
2026-04-07 math.NT
A non-solvable Galois extension of $\Q$ ramified at 2 only
本文证明了$\Q$的非可解Galois扩张的存在性，该扩张在2之外是非分歧的。我们构造的扩张$K$具有度$2251731094732800=2^{19}(3\cdot 5\cdot 17\cdot 257)^2$和根判别式$δ_K <2^{47/8}=58.68...$，并且是全复的.
2008-11-26 math.AG math.NT
A non-solvable extension of $\Q$ unramified outside 7
我们考虑一个模7伽罗瓦表示，它附着在亏格为2的Siegel尖形上，该尖形的水平为1，权为28，并利用它的一些傅里叶系数和由N. Skoruppa和PGSp（4，p）的极大子群的分类，证明了PGSp（4，p）的象是尽可能大的。这给出了PGSp（4，7）作为$\Q$上的伽罗瓦群的实现，并且相应的数域提供了$\Q$的不可解扩展，其仅在7处分歧。
2010-05-23 math.NT
Normal and primitive normal elements with prescribed traces in intermediate extensions of finite fields
本文研究有限域中间扩张中具有给定迹的范数及原始范数元素，完整刻画了范数情形下的存在条件并给出显式计数，对原始范数情形提供了渐近结果。
2025-10-16 math.NT
Primitive Element Pairs with a Prescribed Trace in the Quartic Extension of a Finite Field
在这篇文章中，我们给出了一个很大程度上自包含的证明，四次扩张$\mathbb{F}_{q^4}$的有限域$\mathbb{F}_q$包含一个本原元$α$，使得元素$α+α^{-1}$也是一个本原元的${\mathbb{F}_{q^4}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^4}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的任何指定的$a \in \mathbb{F}_q$。Gupta，Sharma和Cohen已经建立了次数超过4的有限域扩张的相应结果。
2019-03-31 math.NT
On Variants of Inverse Cluster Size Problem & General Magnification
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；VIT Chennai（维萨格理工大学金奈校区）
本文研究了逆聚类大小问题的变种，提出了原始扩展和一般原始扩展的概念，并解决了完全实数域变种问题。
2026-02-28 math.GR math.NT
Primitive Complete Normal Bases for Regular Extensions: Exceptional Cyclotomic Modules
伽罗瓦域的扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_{q}$的本原完全正规元是$\mathbb{F}_{q^n}$的乘法群的生成元，它同时在该扩张的每个中间域上正规。我们将证明当$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_{q}$是一个“例外”的正则扩张时，这样的生成器存在。结合文[6]，我们的研究完全解决了任意正则扩张的本原完全正规基的存在性问题。正则扩张类的一个重要特征是它们包含了素数幂次的所有扩张。
2019-12-10 math.CO math.NT
Finite field extensions with the line or translate property for $r$-primitive elements
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$的线性质--本原元性质，如果对每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$ .我们证明了，对于充分大的素数幂$q$，$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的直线性质.我们还讨论了（较弱的）平移性质的扩展。
2019-10-05 math.NT
Primitive element pairs with a prescribed trace in the cubic extension of a finite field
证明了对任意素数幂$q\notin\{3,4,5\}$，有限域$\mathbb{F}_q$的三次扩张$\mathbb{F}_{q^3}$包含一个本原元$ξ$，使得$ξ+ξ^{-1}$也是本原元，并且对任意指定的$a\in\mathbb{F}_q$都包含$\textrm{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}(ξ)=a$.这就完成了古普塔、夏尔马和科恩关于任意度扩张$n\ge3$上的类似问题的猜想的证明。
2022-02-02 math.NT math.RA
Hopf Galois Structures on Primitive Purely Inseparable Extensions
设$L/K$是特征$p$的域的本原纯不可分扩张，$\left[ L:K\right] >p.$众所周知，对于某些Hopf代数$H$，$L/K$是Hopf伽罗瓦，并且对于$H$的许多选择，怀疑$L/K$是Hopf伽罗瓦。构造了一类$K$ - Hopf代数$H$，其中$L$是$H$ -Galois对象.对于$K$的某些选择，我们将展示无限多个这样的$H.$。我们提供了$L/K.$上的对偶、Hopf伽罗瓦结构的一些显式例子
2014-07-22 math.NT
Uniform exponent bounds on the number of primitive extensions of number fields
本文针对数域扩张计数的一致指数猜想，将问题约化为伽罗瓦群为殆单群的相对扩张研究，并对几乎所有这类群证明了最强上界，解决了多类群的该猜想。
2023-12-13 math.GR math.NT
Existence results for primitive elements in cubic and quartic extensions of a finite field
当$\Fq$是$q$元素的有限域时，我们研究了以下问题。如果$γ$在$\Fq$上生成$\Fqn$，并且$β$是$\Fqn$的非零元素，那么是否总是存在一个$a \in \Fq$，使得$β(γ+ a)$是原始元素？我们解决这种情况下，当$n=3$，从而证明了科恩的猜想。我们还大大提高了什么是已知的，当$n=4$。
2018-10-17 math.NT
Some Obstructions to Solvable Points on Higher Genus Curves
本文研究高亏格曲线上可解点的存在性，将亏格至少5的曲线上的可解点与Bombieri-Lang猜想关联，并证明参数化可解扩张上点的簇为一般型，且某些子簇蕴含可解态射。
2025-10-10 math.NT
Upper bound on the number of ramified primes for odd order solvable groups
设$G$是一个有限群，$ram^{t}(G)$表示最小正整数$n$，使得$G$可以实现为$\mathbb{Q}$的一个纯分歧扩张的伽罗瓦群，该扩张只在$n$有限素数处分歧.令$d(G)$表示最小非负整数，对于该最小非负整数，存在$G$的子集$X$，该子集具有$d(G)$元素，使得由$X$生成的$G$的正规子群是$G$的全部.已知$d(G)\leq ram^{t}(G)$ .然而，是否每个有限群$G$都可以被实现为$\mathbb{Q}$的一个具有恰好$d(G)$分歧素数的tamely分歧扩张的伽罗瓦群是未知的。我们证明了对于所有奇数阶可解群$G$，$3\cdot log(|G|)$是$ram^{t}(G)$的一个上界.
2016-11-13 math.GR math.NT
A method for construction of rational points over elliptic curves II: Points over solvable extensions
我提供了一个系统的建设点，定义在有限的激进的扩展，在任何勒让德曲线在任何领域的特征不等于两个。这包括作为特殊情况道格拉斯乌尔默的建设有理点超过一个有理函数域的特点$p>0$。特别是我表明，如果$n\geq 4$是任何偶数，不能整除的字段的特性，然后任何椭圆曲线$E$在这个领域至少有$2n$有理点在有限的可解域扩张。在另外的假设下，当基场是数域时，我证明了它们是无限阶的。我还表明，乌尔默的点电梯的特征为零，特别是典型的提升。
2019-10-15 math.AG math.NT
The Strong Primitive Normal Basis Theorem
有限域F=GF（q）上的n次扩张E的元素w称为F上的自由元素，如果{w，w^q，.，w^{q^{n-1}是E/F的（正规）基。原始正规基定理，首先由Lenstra和Schoof（1987）完整地建立，断言对于任何这样的扩张E/F，在E中存在元素w，使得w同时是原始的（即，生成E）的乘法群，并在F上自由。本文证明了这个定理的如下加强：除了五个特殊的扩张E/F之外，在E中存在一个元素w，使得w和w^{-1}同时是F上的本原自由元。
2008-10-16 math.NT
Solvable points on genus one curves over local fields
设$F$是关于离散赋值完备的域，其剩余域是特征$p>0$的完备域。证明了定义在$F$上的亏格为1的光滑的、射影的、几何不可约的曲线在$F$上有一个可解点.我们还表明，有一个域$F$完全关于一个离散的估值，其剩余领域是完美的，有一个有限的伽罗瓦扩展$K|F$，使没有可解的扩展$L|F$，使扩展$KL|K$是unramified，其中$KL$是复合的$K$和$L$。作为应用，我们推导出存在如上所述的域$F$，并且存在$F$上的光滑、射影、几何不可约曲线，该曲线在$F$的任何可解扩张上都不会获得半稳定约化。
2012-02-12 math.AG math.NT
The translate and line properties for 2-primitive elements in quadratic extensions
令$r,n>1$为整数，$q$为任意素数幂$q$，使得$r\mid q^n-1$。我们说扩张$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$具有$r$ -本原元的线性质，如果对于每个$α,θ\in\mathbb{F}_{q^n}^*$，使得$\mathbb{F}_{q^n}=\mathbb{F}_q(θ)$，存在一些$x\in\mathbb{F}_q$，使得$α(θ+x)$具有乘法阶$(q^n-1)/r$。同样，如果在上面的定义中，$α$被限制为值$1$，我们说$\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$拥有translate属性。本文以$r=n=2$为例，证明了$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$对2-本原元具有平移性质，除非$q \in \{5,7,11,13,31,41\}$ .通过一些额外的理论和计算工作，我们还表明，$\mathbb{F}_{q^2} /\mathbb{F}_q$具有线性质的2-本原元，除非$q \in \{3,5,7,9,11,13,31,41\}$。
2019-10-18 math.NT
The trace of primitive and $2$-primitive elements in finite fields, revisited
根据定义，有限域扩张$\mathbb{F}_{q^n}$的本原元和$2$ -本原元的阶分别为$q^n-1$和$(q^n-1)/2$。我们已经证明了，在基域$\mathbb{F}_q$中存在一个本原元和一个具有规定迹的$2$ -本原元$ξ\in \mathbb{F}_{q^n}$.在这里，我们修改我们以前的这些结果的证明，首先，减少这些问题的延伸素数度$n$，其次，通过推导出一个确切的表达式的平方数在$\mathbb{F}_{q^n}$的轨迹具有规定的值在$\mathbb{F}_q$。后者纠正了$2$ -本原元的证明中的一个错误。我们还简化了必要的计算。
2021-08-18 math.NT
Solvable points on smooth projective varieties
本文证明在 $\Bbb Q$ 的代数扩域上，小次数的光滑几何整射影簇必在某个适当的可解扩张中获得有理点，从而否定其无点性。
2015-01-08 math.NT
Generalizations of the primitive and normal basis theorems
利用有限域扩张上的Zaperki拓扑，给出了新的证明，推广了原基和正规基定理.
2007-01-30 math.NT math.RA
Counting primitive points of bounded height
设$k$是数域，$K$是$k$的有限扩张.我们在生成扩展$K/k$的域$K$上计算射影空间中有界高度的点。随着高度变大，我们得到一个特别好的误差项尊重扩展$K/k$的渐近估计。在以后的文章中，我们将使用这些结果得到的固定度的点的数量在$k$的渐近估计。我们还介绍了一个adelic Lipschitz高度的概念，推广了Masser和Vaaler。这将导致进一步的应用涉及点的固定度的线性簇和代数数的固定度满足一定的子域条件。
2012-04-04 math.NT
Moments of the Dedekind zeta function and other non-primitive L-functions
利用混合积方法给出了Galois扩张的戴德金ζ函数的矩的一个猜想.素数的产品的时刻进行评估使用蒙哥马利-沃恩中值定理，而在零上的产品的时刻，我们给出了一个启发式的参数，涉及随机矩阵理论。然后证明了二次扩张的产品在零上的第一时刻的渐近性。我们也能够重现我们的主要猜想在二次的情况下，使用修改后的版本的时刻配方。最后，我们推广了我们的方法，给出了非本原L函数的矩的一个猜想。
2013-03-25 math.NT
On the existence of primitive completely normal bases of finite fields
设$\mathbb{F}_q$是特征$p$的具有$q$元的有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$是它的次数扩张$n$ .我们证明了存在一个本原元的$\mathbb{F}_{q^n}$，产生一个完全正常的基础$\mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$，如果$n=p^{\ell}m$与$(m,p)=1$和$q>m$。
2018-05-05 math.NT
Squares in arithmetic progression over certain non-primitive quartic number fields
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科技大学）
本文研究了特定非原始四次数字段上等差数列中的平方问题，通过特征化二次扩张Q(√D)上的非常数平方等差数列来探讨相关数论性质。
2026-02-01 math.AG math.NT
