On alpha-adic expansions in Pisot bases
研究了扩域上数的$α$ -adic展开式，即以$α$为基的位置记数系统中数的左无穷表示，其中$α$是Pisot数$β$的代数共轭.基于Bertrand和Schmidt的一个结果，我们证明了一个数属于$\mathbb{Q}(α)$当且仅当它具有最终周期$α$ -展开式.然后考虑扩张环$\mathbb{Z}[α^{-1}]$的元素的$α$-adic展开式，当$β$满足所谓的单调性（F）时.在$β$是二次Pisot单位的特定情况下，我们检查$\mathbb{Z}[α^{-1}]$的元素的$α$ -进展开的唯一性和/或多重性。我们还提供了生成有理数的$α$ -进展开式的算法。
2006-03-28 math.NT
Computable Absolutely Pisot Normal Numbers
本文分析了一个产生绝对正规数的位数的算法的收敛阶。此外，我们引入了一个更强的概念，绝对正规性，允许皮索数为基础，这将导致扩展与非整数基地。
2016-10-20 math.DS math.NT
Beta Expansions for Regular Pisot Numbers
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文针对小于2的正则Pisot数，完整列出了1的贪婪β展开，揭示了显著模式，并解决了Boyd关于循环因子的猜想。
2011-03-10 cs.NA math.NA math.NT
On Certain Computations of Pisot Numbers
本文给出了两种关于Pisot数的算法。首先，我们给出了一个求Pisot数$α$的算法，使得$\Q[α] = \F$通过整基给出了$\Q$的实Galois扩张$\F$.该算法基于格点约简，在整基的大小上以时间多项式形式运行。其次，我们证明了对于一个固定的Pisot数$α$，可以在$(\log (m n))^{O(1)}$的时间多项式中计算$ [α^n] \pmod{m}$，其中$m$和$n$是正整数。
2012-02-26 math.NT
Integers in number systems with positive and negative quadratic Pisot base
我们考虑了以$β$和$-β$为基的计数系统，对于二次Pisot数$β$，着重比较了以$β$为基的整数展开数的集合$\Z_β$和$\Z_{-β}$的组合结构. $-β$。我们的主要结果是比较语言的无限词$u_β$和$u_{-β}$编码顺序之间的距离连续$β$ -和$(-β)$ -整数。结果表明，对于$x^2-mx-m$的一类根$β$，语言一致，而对于其他二次皮索数，$u_β$的语言只能与$u_{-β}$的形态像的语言相识别。我们还研究了$(-β)$ -整数的群结构。
2013-02-19 math.NT
Discrete spectra and Pisot numbers
实数q>1的m-谱是指值p（q）的集合Y^m（q），其中p覆盖具有整数系数整系数多项式的高度m。这些集合在过去的50年里得到了广泛的研究，因为它们与无限Bernoulli卷积、替代点集的谱性质和非整数基上的展开有着密切的联系。证明了Y^m（q）有聚点当且仅当q<m+1且q不是Pisot数.从而改进了关于这种形式的点分布的一些相关结果。
2011-03-23 math.NT
Minimal weight expansions in Pisot bases
对于密码学的应用，重要的是用少量的非零数字（汉明重量）或小的绝对数字和来表示数字。寻找具有最小权重的表示的问题已经在整数基上得到了解决，例如通过基2中的非相邻形式。本文考虑关于Pisot数的实基$β$的计数系统，证明了具有最小绝对和的展开式是有限自动机可识别的.当$β$是黄金分割比、Tribonacci数或最小Pisot数时，我们确定了具有最少位数的展开式$\pm1$，并明确给出了识别所有这些展开式的有限自动机.平均重量低于非相邻形式。
2009-01-09 cs.CR cs.DM math.NT
Description of spectra of quadratic Pisot units
实数$β>1$的谱是$p(β)$的集合$X^{m}(β)$，其中$p$的范围覆盖所有系数限于${\mathcal A}=\{0,1,\dots,m\}$的多项式。对于一个二次Pisot单元$β$，我们确定的所有连续点之间的距离和它们相应的频率的值，通过重铸的切割和投影计划的框架中的频谱。我们还表明，移动的集合${\mathcal A}$的数字，使它包含至少一个负元素，或考虑负基地$-β$，而不是$β$，广义频谱的间隙序列是一个编码的三个间隔的交换。
2014-02-07 math.NT
A characterization of the distances between Pisot numbers generating the same number field
本文刻画了生成同一实代数数域的Pisot数集合之差，证明其元素为满足特定嵌入条件（模小于2）的代数整数，完善了先前结果，并基于闵可夫斯基定理推导出相关结论。
2025-03-26 math.NT
Redundancy of minimal weight expansions in Pisot bases
受基于冗余数表示的乘法算法的启发，我们研究了整数$n$作为和$n=\sum_k ε_k U_k$的表示，其中数字$ε_k$取自有限字母表$Σ$，$(U_k)_k$是具有$U_0=1$的Pisot型线性递归序列.基序列$(U_k)_k$最突出的例子是斐波那契数的序列。我们证明了最小权$\sum_k|ε_k|$的表示可由有限自动机识别，并得到了最小权表示的平均数的渐近公式。此外，我们将一个给定整数的表示数的最大数量级与某组矩阵的联合谱半径联系起来。
2011-03-01 cs.DM math.NT
On Periodic Alternate Base Expansions
该研究探讨交替基的周期展开问题，刻画了有理数均具周期展开的交替基的代数性质，推广了Schmidt的经典结果并给出其初等新证，还应用于Parry交替基的判定。
2023-08-28 math.CO math.NT
Purely periodic expansions in systems with negative base
研究负基数制中展开式的纯周期性问题。与Akiyama关于正Pisot单位基$β$的结果类似，我们找到了一个充分条件，使得存在一个包含原点的区间$J$，使得从$J$开始的每个有理数的$(-β)$ -展开式是纯周期的.我们专注于二次基的情况下，并证明了以下的差异之间的负和正的基础：它是已知的有限性性质（${\rm Fin}(β)=\Z[β]$）不仅是充分的，但也是必要的情况下，积极的二次和三次基地。我们表明，${\rm Fin}(-β)=\Z[β]$是不必要的情况下，负基地。
2012-02-09 math.NT
Transcendence for Pisot Morphic Words over an Algebraic Base
本文研究不可约 Pisot 形态词在代数基下的取值，证明其属于 $\mathbb Q(β)$ 或超越的二分性，并在 Pisot 猜想下推广至任意有限字母表，还直接证明 $k$-bonacci 词对应取值的超越性。
2025-05-15 cs.FL math.NT
The digit exchanges in the rotational beta expansions of algebraic numbers
该研究针对代数数的β展开问题，给出了β为Pisot或Salem数时数字交换次数的新下界，定义了准Pisot数与准Salem数推广原有数类，方法可推广至复代数数展开，并研究了特定基下的旋转β展开与zeta展开的数字特性。
2022-05-17 math.NT
Greedy Beta-expansions for families of Salem numbers
针对趋近给定Pisot数的Salem数族，提出寻找1的贪心β展开的判别准则，证明其与Pisot基下贪心展开的关联，扩展Hare和Tweedle的研究成果。
2025-04-15 math.NT
Arithmetics in number systems with negative base
本文研究了Ito和Sadahiro提出的负基数制。本文主要研究有限分别数集合${\rm Fin}(-β)$和$\Z_{-β}$中的算术运算。整数$(-β)$ -扩展。我们发现，${\rm Fin}(-β)$是平凡的，如果$β$是小于黄金分割比$\frac12(1+\sqrt5)$。对于$β\geq\frac12(1+\sqrt5)$，我们证明了${\rm Fin}(-β)$是环，仅当$β$是没有负共轭的Pisot数或Salem数.证明了Ito和Sadahiro的猜想：如果$β$是具有正共轭的二次Pisot数，则${\rm Fin}(-β)$是环.对于二次皮索单位，我们确定了两个$(-β)$ -整数相加或相乘时可能出现的小数位数。
2010-12-16 math.CO math.NT
Negative bases and automata
研究了Ito和Sadahiro引入的非整数负基β上的展开式.利用与（-β）-展开相关联的可数自动机，刻画了（-β）-移位是有限型系统的情形.证明了如果β是Pisot数，则（-β）-移位是sofic系统.在这种情况下，加法（以及更一般地对任何字母表的归一化）可以通过有限变换器实现。然后给出了正基β到负基β的在线转换算法。当β为Pisot数时，可通过有限个在线传感器实现转换。
2010-12-16 cs.DM cs.FL math.DS
On Pisot Units and the Fundamental Domain of Galois Extensions of $\mathbb{Q}$
在本文中，我们提出了两个主要结果。设$K$是一个数域，它是$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦，度为$r+2s$，其中$r$是实嵌入的个数，$s$是复嵌入的对数。第一个结果表明，$K$的约化域（因此也是基本区）的面数不大于$O\left(\left(\frac{1}{2}(r+s-1)^δ(r+s)^{1+\frac{1}{2(r+s-1)}}\right)^{r+s-1}\right) \cdot\left(e^{1+\frac1{2e}}\right)^{r+s}(r+s)!$，其中如果是$r+s \leq 11$，则为$δ=1/2$，否则为$δ=1$。第二个结果指出，存在一个线性时间算法，以减少一个全正的一元形式$axx^*$，使新的全正元素$a^\prime$，相当于$a$有迹不大于一个常数乘以整数最小的迹形式$\trace(axx^*)$，其中常数是由最短的皮索单位在数域中。这可能在基于环的密码学中有应用。最后，我们证明了数域中最短Pisot单位的Weil高度不大于$\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\left(\fracγ{2}(r+s-1)^{δ-\frac{1}{2(r+s-1)}}R_K^{\frac{1}{r+s-1}}+(r+s-1)ε\right)$，其中$R_K$表示$K$的调节子，如果$K$是全实数则为$γ=1$，否则为$2$，$ε>0$是任…
2023-02-01 math.NT math.RA
Finite beta-expansions with negative bases
有限性是β-展开式的一个重要算术性质。证明了一类具有负有限性的Pisot数$β$，即有限$(-β)$ -展开式的集合等于$\mathbb{Z}[β^{-1}]$ .对于一类包含Tribonacci数的数，我们计算了$(-β)$ -整数加、减所产生的小数部分的最大长度.我们也给出了排除负有限性的条件。
2017-01-17 math.DS math.NT
On the co-factors of degree 6 Salem number beta expansions
对于$β> 1$，如果$x = \sum_{n = 1}^\infty c_nβ^{-n}$，则具有$0 \leq c_n < β$的序列$(c_n)_{n \geq 1} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}^+}$是$x$相对于$β$的\emph{beta expansion}。将$d_β(x)$定义为$x$相对于$β$的贪婪β扩展，已知只要$β$是皮索数，则$d_β(1)$最终是周期性的。这一点也适用于Salem数，但目前只知道4次Salem数也是如此。启发式的论点表明，几乎所有的度6塞勒姆号码承认定期扩张，但一个积极的比例度8塞勒姆号码不。在本文中，我们研究了度6的情况。我们提出了计算方法，寻找家庭的度6数与最终周期贪婪的扩张，通过研究他们的扩张的余因子。我们还证明了6度Salem数的贪婪展开可以有任意大的周期。此外，还利用$\text{trace}(β) \leq 15$对6次Salem数集进行了计算.我们给出了具有$\text{trace}(β) \leq 15$的数的例子，这些数的展开式具有超过$10^{10}$的周期和前周期长度，但最终仍然是周期的。
2019-12-22 math.NT
Arithmetics in number systems with cubic base
本文主要讨论贪婪展开式，一种可能的数字表示，以及用它们进行算术运算。执行加法或乘法时，可能会出现一些额外的数字。我们研究了这些数字的数量上的界限，假设所考虑的总和或产品的扩展的有限性，特别是对于立方皮索单位的情况下。
2019-07-22 math.NT
Alphabets, rewriting trails and periodic representations in algebraic bases
对于实代数整数$β> 1$（{ \it为基数}），研究了实现恒等式$\mathbb{Q}(β) = {\rm Per}_{\mathcal{A}}(β)$的有限字母表$\mathcal{A} \subset \mathbb{Z}$，其中${\rm Per}_{\mathcal{A}}(β)$是复数的集合，它是$(β, \mathcal{A})$ -最终周期表示.与贪婪算法相比，定义了最小和最大字母表。最大字母表被证明是相关的基本$β$和Lehmer的问题的皮尔斯数的渐近。引入重写踪迹的概念来构造与基的小多项式值相关联的中间字母表。结果表示的起源在$\mathbb{Q}(β)$，推广施密特定理有关的皮索数的邻域，进行了调查。应用伽罗瓦共轭给出收敛序列的基地$γ_s := γ_{n, m_1 , \ldots , m_s}$，使$γ_{s}^{-1}$是唯一的根在$(0,1)$几乎纽曼多项式的类型$-1+x+x^n +x^{m_1}+\ldots+ x^{m_s}$，$n \geq 3$，$s \geq 1$，$m_1 - n \geq n-1$，$m_{q+1}-m_q \geq n-1$的所有$q \geq 1$。对于$β> 1$一个倒数代数整数接近1，模$< 1$的动态zeta函数的$β$移位$ζ_β(z)$示出，在某些假设下，是零的最小多项式的$β$。
2021-09-29 cs.DM math.NT
Spectrum, algebraicity and normalization in alternate bases
本文的第一个目的是给出交替基$\boldsymbolβ=(β_0,\dots,β_{p-1})$确定sofic系统的代数性质的信息。证明了积$δ=\prod_{i=0}^{p-1}β_i$是代数整数且所有基$β_0,\ldots,β_{p-1}$都属于代数域${\mathbb Q}(δ)$的必要条件.另一方面，我们也给出了一个充分条件：若$δ$是Pisot数且$β_0,\ldots,β_{p-1}\in {\mathbb Q}(δ)$，则与交替基$\boldsymbolβ=(β_0,\dots,β_{p-1})$相关联的系统是sofic的.本文的第二个目的是提供一个类比的Frougny的结果规范化的真正基地表示。我们表明，给定一个备用基地$\boldsymbolβ=(β_0,\dots,β_{p-1})$，$δ$是一个Pisot数和$β_0,\ldots,β_{p-1}\in {\mathbb Q}(δ)$，规范化功能是可计算的有限Büchi自动机，此外，我们有效地构建这样的自动机。在我们的研究中，一个重要的工具是与交替基地有关的计数系统的频谱。实数$δ>1$和字母表$A\subset {\mathbb Z}$的谱是由Erdensys等人提出的，本文利用广义的$δ\in{\mathbb C}$和$A\subset{\mathbb C}$的概念，研究了它的拓扑性质.
2022-02-08 cs.DM math.CO math.NT
Minimal digit sets for parallel addition in non-standard numeration systems
我们研究的并行算法，除了在一个由基$β$在$\mathbb{C}$和一个有限的数字集$\mathcal{A}$的连续整数包含$0$定义的位置计数系统有限表示的数字。对于一个固定的基地$β$，我们专注于字母表的大小允许独立于长度的表示的被加数在恒定的时间内执行加法的问题。我们产生这样的字母表$\mathcal{A}$的大小的下界。对于几种类型的研究基地（负整数，复数$ -1 + \imath$，$2 \imath$，和$\imath \sqrt{2}$，二次Pisot单位，和非整数有理数基），我们给出了明确的并行算法在常数时间执行加法。此外，我们表明，这些算法所使用的数字集是最小的可能。
2016-10-26 math.NT
Arithmetics in numeration systems with negative quadratic base
我们考虑Ito和Sadahiro提出的具有负基$-β$的位置记数系统。特别是，我们专注于这样的系统时，$β$是一个二次皮索数的算术性质。我们研究了多项式$x^2-mx-n$，$m\geq n\geq 1$的一类根$β>1$，并证明了在这种情况下，有限$(-β)$ -展开式的集合${\rm Fin}(-β)$在加法下是封闭的，尽管在减法下不是封闭的.一个特别的例子是$β=τ=\frac12(1+\sqrt5)$，黄金比例。对于这样的$β$，我们确定的小数位数出现在算术运算的确切界限。我们还证明了$(-τ)$ -整数集与$(τ^2)$ -整数集在正半直线上重合。
2010-11-05 cs.DM math.NT
On a $\mathbb{Z}$-module connected to approximation theory
本文讨论了对于固定的$ζ\in{\mathbb{R}}$，$αζ^{n} \bmod 1$趋于$0$的$α\in{\mathbb{R}}$的集合，我们称之为$\mathscr{M}_ζ$ .主要研究了Pisot数$ζ$的情形。在这种情况下，夹杂物$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(ζ)}\subset\mathscr{M}_ζ\subset\mathbb{Q}(ζ)$是已知的。我们将证明$\mathscr{M}_ζ$的性质与整数环$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(ζ)}$的模结构有关。我们将描述$\mathscr{M}_ζ$的模块结构以及$\mathscr{M}_ζ$与$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(ζ)}$的区别。此外，允许的结果给出一些信息的形状的整数基的实数域。
2015-01-13 math.NT
Computing Expansions in Infinitely Many Cantor Real Bases via a Single Transducer
本文提出用单一转换器对无穷多个康托尔实数基计算固定实数的展开式，并在Pisot数假设下证明转换器仅访问有限部分，从而算法上可判定展开式的贪婪性与周期性。
2025-07-07 cs.DM math.CO math.NT
Erdős-Wintner theorem for linear recurrent bases
本文研究了线性递推基的数制系统中，通过双级数收敛性条件建立极限分布的存在性，并探讨了其在不同数制系统中的扩展。
2026-08-12 math.NT
$k$-block parallel addition versus $1$-block parallel addition in non-standard numeration systems
采用整数基并行加法算法来提高乘除运算的速度。$k$ -块并行加法是由Kornerup在1999年提出的：不是处理单个数字，而是处理固定长度的块$k$。本文的目的是调查如何影响这种概念之间的关系的基础和基数的字母表允许并行添加。本文主要研究一类实基--Parry数。本文给出了允许分块并行加法的非负整数字母表基数的下界.通过考虑二次Pisot基地，我们能够表明，这些界限不能改善一般，我们给出明确的并行算法，除了在这些情况下。我们还考虑了满足方程$X^d = X^{d-1} + X^{d-2} + \cdots + X + 1$的$d$ -Bonacci基.如果在一个基地是一个$d$ -波纳契数$1$ -块并行加法是可能的字母表$\mathcal{A}$，然后$\#\mathcal{A} \geq d+1$ ;另一方面，存在一个$k\in\mathbb{N}$，使$k$ -块并行加法在这个基地是可能的字母表$\{0,1,2\}$，这不能减少。特别是，在特里波纳奇基地是$14$ -块平行的字母表$\{0,1,2\}$。
2013-12-17 math.NT
Periodicity and pure periodicity in alternate base systems
该研究针对Cantor实数基记数系统中的交替基$B$展开，解答了相关公开问题，并探究了使小有理数具纯周期展开的基的条件。
2024-02-02 math.NT
Periodic representations in algebraic bases
我们研究了具有代数基$β$（不是有理数）的数系统中的周期表示。证明了若$β$在单位圆上没有伽罗瓦共轭，则存在有限整数字母表$\mathcal A$，使得$\mathbb Q(β)$的每个元素都有一个以基$β$和$\mathcal A$中的数为基的最终周期表示.
2017-09-13 math.NT
Periodic representations in Salem bases
我们证明了所有的代数基$β$允许一个最终的周期表示的元素$\mathbb Q(β)$与有限字母表的数字$\mathcal A$。此外，分类的基础，允许这些表示具有所谓的弱贪婪性质。判定一个给定的对$(β,\mathcal A)$是否允许最终的周期表示是相当困难的，因为它等价于一个迭代函数系统的吸引子的拓扑性质.
2018-12-19 math.NT
Non-periodicity of the sequence of the last nonzero digits of factorials and its applications to transcendence
该研究证明了任意大于2的整数基下阶乘最后非零数字序列非最终周期，将Adamczewski–Bugeaud准则推广到周期Cantor基展开，并据此证明满足条件的Cantor基展开实数为超越数。
2025-10-01 math.NT
On inhomogeneous extension of Thue-Roth's type inequality with moving targets
设$Γ\subset \overline{\mathbb Q}^{\times}$是一个代数数的乘法群.设$δ, β\in\overline{\mathbb Q}^\times$是$β$无理数的代数数。本文证明了仅存在n个三元组$(u, q, p)\inΓ\times\mathbb{Z}^2$与$d = [\mathbb{Q}(u):\mathbb{Q}]$，使得$$ 0<|δqu+β-p|<\frac{1}{H^\varepsilon(u)q^{d+\varepsilon}}, $$，其中$H(u)$表示绝对Weil高度.作为这个结果的应用，我们还证明了一个超越性结果，它说明如下：设$α>1$是实数。令$β$是一个代数无理数，$λ$是一个非零的实代数数。对于一个给定的实数$\varepsilon >0$，如果有无穷多个自然数$n$使$||λα^n+β|| < 2^{- \varepsilon n}$成立，则$α$是超越的，其中$||x||$表示与其最近整数的距离。当$α$和$β$都是满足相同条件的代数数时，Kulkarni，Mavraki和Nguyen在[3]中证明的一个特殊结果断言$α^d$是Pisot数.当$β$是代数无理数时，我们的结果意味着没有代数数$α$满足对无穷多个自然数$n$的不等式。同时，我们的结果加强了Wagner和Ziegler [6]的一个结果.我们的结果的…
2022-10-02 math.NT
An analogue of Solomyak's theorem for periodic Cantor real expansions in alternate bases
本文研究交替进制下单位区间上的康托尔实数展开，针对γ+1展开为周期的情形，计算了进制所对应的非平凡伽罗瓦共轭的范数界，从而将Solomyak关于经典beta展开的结果推广到交替进制框架。
2025-05-06 math.NT
Two applications of the spectrum of numbers
设基$β$是复数$|β|>1$，并且设$A \subset \C$是有限的数字字母表。$β$的\emph{$A$-spectrum}是集合$S_{A}(β) = \{\sum_{k=0}^n a_kβ^k \mid n \in \mathbb{N}, \ a_k \in {A}\}$。我们表明，频谱$S_{A}(β)$有一个聚集点，当且仅当$0$有一个特定的$(β, A)$ -表示，说是\emph{rigid}。第一应用限于$β>1 $和字母表是$A=\{-M, \ldots, M\}$、$M \ge 1$整数的情况。我们证明了$0$的无限$(β, A)$ -表示的集合$Z_{β,M}$可被有限Büchi自动机识别当且仅当谱$S_A(β)$没有聚点。利用Akiyama-Komornik和Feng的一个结果，这意味着对于任何正整数$M \ge \lceil β\rceil -1$，$Z_{β, M}$可被有限Büchi自动机识别当且仅当$β$是Pisot数。这改进了先前的界限$M \ge \lceil β\rceil $。对于第二个应用程序，基数和数字是复杂的。本文将Trivedi和Ercegovac除法的在线算法推广到复数制。在联机算术中，操作数和结果以数字串行方式处理，从最高有效位开始。除数必须远离$0$，这意味着除数的$(β,A)$表示的前缀不能很小。计数系统$(β,A)$被称…
2018-03-18 cs.FL math.NT
