Pisot数制的正规性

关于Pisot基上的α-adic展开式

On alpha-adic expansions in Pisot bases

研究了扩域上数的$α$ -adic展开式，即以$α$为基的位置记数系统中数的左无穷表示，其中$α$是Pisot数$β$的代数共轭.基于Bertrand和Schmidt的一个结果，我们证明了一个数属于$\mathbb{Q}(α)$当且仅当它具有最终周期$α$ -展开式.然后考虑扩张环$\mathbb{Z}[α^{-1}]$的元素的$α$-adic展开式，当$β$满足所谓的单调性（F）时.在$β$是二次Pisot单位的特定情况下，我们检查$\mathbb{Z}[α^{-1}]$的元素的$α$ -进展开的唯一性和/或多重性。我们还提供了生成有理数的$α$ -进展开式的算法。

Minimal digit sets for parallel addition in non-standard numeration systems

We study parallel algorithms for addition of numbers having finite representation in a positional numeration system defined by a base $β$ in $\mathbb{C}$ and a finite digit set $\mathcal{A}$ of contiguous integers containing $0$. For a fixed base $β$, we focus on the question of the size of the alphabet allowing to perform addition in constant time independently of the length of representation of the summands. We produce lower bounds on the size of such alphabet $\mathcal{A}$. For several types of well studied bases (negative integer, complex numbers $ -1 + \imath$, $2 \imath$, and $\imath \sq…

Pisot基的极小权展开

Minimal weight expansions in Pisot bases

对于密码学的应用，重要的是用少量的非零数字（汉明重量）或小的绝对数字和来表示数字。寻找具有最小权重的表示的问题已经在整数基上得到了解决，例如通过基2中的非相邻形式。本文考虑关于Pisot数的实基$β$的计数系统，证明了具有最小绝对和的展开式是有限自动机可识别的.当$β$是黄金分割比、Tribonacci数或最小Pisot数时，我们确定了具有最少位数的展开式$\pm1$，并明确给出了识别所有这些展开式的有限自动机.平均重量低于非相邻形式。

负二次基数制中的算术

Arithmetics in numeration systems with negative quadratic base

我们考虑Ito和Sadahiro提出的具有负基$-β$的位置记数系统。特别是，我们专注于这样的系统时，$β$是一个二次皮索数的算术性质。我们研究了多项式$x^2-mx-n$，$m\geq n\geq 1$的一类根$β>1$，并证明了在这种情况下，有限$(-β)$ -展开式的集合${\rm Fin}(-β)$在加法下是封闭的，尽管在减法下不是封闭的.一个特别的例子是$β=τ=\frac12(1+\sqrt5)$，黄金比例。对于这样的$β$，我们确定的小数位数出现在算术运算的确切界限。我们还证明了$(-τ)$ -整数集与$(τ^2)$ -整数集在正半直线上重合。

Lattice Bounded Distance Equivalence for 1D Delone Sets with Finite Local Complexity

Spectra of suitably chosen Pisot-Vijayaraghavan numbers represent non-trivial examples of self-similar Delone point sets of finite local complexity, indispensable in quasicrystal modeling. For the case of quadratic Pisot units we characterize, dependingly on digits in the corresponding numeration systems, the spectra which are bounded distance to an average lattice. Our method stems in interpretation of the spectra in the frame of the cut-and-project method. Such structures are coded by an infinite word over a finite alphabet which enables us to exploit combinatorial notions such as balancedne…

负基数制中的算术

Arithmetics in number systems with negative base

本文研究了Ito和Sadahiro提出的负基数制。本文主要研究有限分别数集合${\rm Fin}(-β)$和$\Z_{-β}$中的算术运算。整数$(-β)$ -扩展。我们发现，${\rm Fin}(-β)$是平凡的，如果$β$是小于黄金分割比$\frac12(1+\sqrt5)$。对于$β\geq\frac12(1+\sqrt5)$，我们证明了${\rm Fin}(-β)$是环，仅当$β$是没有负共轭的Pisot数或Salem数.证明了Ito和Sadahiro的猜想：如果$β$是具有正共轭的二次Pisot数，则${\rm Fin}(-β)$是环.对于二次皮索单位，我们确定了两个$(-β)$ -整数相加或相乘时可能出现的小数位数。

非标准数制中的$k$ -块并行加法与$1$ -块并行加法

$k$-block parallel addition versus $1$-block parallel addition in non-standard numeration systems

采用整数基并行加法算法来提高乘除运算的速度。$k$ -块并行加法是由Kornerup在1999年提出的：不是处理单个数字，而是处理固定长度的块$k$。本文的目的是调查如何影响这种概念之间的关系的基础和基数的字母表允许并行添加。本文主要研究一类实基--Parry数。本文给出了允许分块并行加法的非负整数字母表基数的下界.通过考虑二次Pisot基地，我们能够表明，这些界限不能改善一般，我们给出明确的并行算法，除了在这些情况下。我们还考虑了满足方程$X^d = X^{d-1} + X^{d-2} + \cdots + X + 1$的$d$ -Bonacci基.如果在一个基地是一个$d$ -波纳契数$1$ -块并行加法是可能的字母表$\mathcal{A}$，然后$\#\mathcal{A} \geq d+1$ ;另一方面，存在一个$k\in\mathbb{N}$，使$k$ -块并行加法在这个基地是可能的字母表$\{0,1,2\}$，这不能减少。特别是，在特里波纳奇基地是$14$ -块平行的字母表$\{0,1,2\}$。

线性递推基的埃尔多斯-文特纳定理

Erdős-Wintner theorem for linear recurrent bases

本文研究了线性递推基的数制系统中，通过双级数收敛性条件建立极限分布的存在性，并探讨了其在不同数制系统中的扩展。

动态生成康托尔级数展开的正则性理论

The Theory of Normality for Dynamically Generated Cantor Series Expansions

研究动态生成康托尔级数展开的正则性理论，发现其与基数g展开理论有相似之处，并提出热点定理。

通过单一转换器计算无穷多个康托尔实数基下的展开式

Computing Expansions in Infinitely Many Cantor Real Bases via a Single Transducer

本文提出用单一转换器对无穷多个康托尔实数基计算固定实数的展开式，并在Pisot数假设下证明转换器仅访问有限部分，从而算法上可判定展开式的贪婪性与周期性。

Spectrum, algebraicity and normalization in alternate bases

The first aim of this article is to give information about the algebraic properties of alternate bases $\boldsymbolβ=(β_0,\dots,β_{p-1})$ determining sofic systems. We show that a necessary condition is that the product $δ=\prod_{i=0}^{p-1}β_i$ is an algebraic integer and all of the bases $β_0,\ldots,β_{p-1}$ belong to the algebraic field ${\mathbb Q}(δ)$. On the other hand, we also give a sufficient condition: if $δ$ is a Pisot number and $β_0,\ldots,β_{p-1}\in {\mathbb Q}(δ)$, then the system associated with the alternate base $\boldsymbolβ=(β_0,\dots,β_{p-1})$ is sofic. The second aim of th…