Higher order Riesz transforms on noncompact symmetric spaces
G. Mauceri, S. Meda, M. Vallarino
本文证明了任意秩非紧对称空间上任意阶里斯变换在适当的Hardy型空间上的各种尖锐有界性结果。
In this note we prove various sharp boundedness results on suitable Hardy type spaces for Riesz transforms of arbitrary order on noncompact symmetric spaces of arbitrary rank.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sharp endpoint results for imaginary powers and Riesz transforms on certain noncompact manifolds
本文考虑具有有界几何和谱间隙的完备连通非紧黎曼流形M。本文证明了Laplacian和里斯变换的虚幂从Hardy空间X ^1（M）到L ^1（M）是有界的.
Atomic decomposition of Hardy type spaces on certain noncompact manifolds
本文考虑具有有界几何和谱间隙的完备连通非紧黎曼流形M。本文证明了作者在前一篇文章中引入的Hardy型空间X^k（M）具有原子特征.作为应用，我们证明了偶数阶2k的里斯变换是从X^k（M）到L ^1（M）且在L^p（M）上有界的，其中1<p< \infty .
Hardy type spaces on certain noncompact manifolds and applications
本文考虑具有里奇曲率的完备连通非紧黎曼流形M，M具有正内射半径和谱间隙b。我们引入序列X^1（M），X^2（M），. M上的新Hardy空间序列Y^1（M），Y^2（M），.的对偶空间，并表明这些空间可用于获得Laplace-Beltrami算子的纯虚幂的端点估计，以及M上Laplace-Beltrami算子L的更一般的谱乘子的端点估计.在半径为r的测地球的体积受Cr ^ae ^{2 \sqrt{b} r}控制的附加条件下，我们还证明了一阶里斯变换DL ^{-1/2}的一个端点结果.特别地，这些结果适用于非紧型的黎曼对称空间。
Local Riesz transform and local Hardy spaces on Riemannian manifolds with bounded geometry
证明了：若$τ$是大正数，则原子Goldberg型空间$\mathfrak{h}^1(N)$与$N$上局部里斯变换$\mathcal R_τ$可积的所有可积函数的空间$\mathfrak{h}_{\mathcal R_τ}^1(N)$是Ricci曲率下有界且内射半径为正的完备非紧黎曼流形$N$上的同一空间.对于足够小的$δ>0$，我们还将$\mathfrak{h}^1(N)$与切片$N\times (0,δ)$上的调和函数空间相关联。
Dimension free $L^p$ estimates for Riesz transforms via an $H^{\infty}$ joint functional calculus
利用强交换算子的$H^{\infty}$联合谓词演算，我们导出了一个从适当的一维里斯变换的$L^p$有界性推导出某些$d$维里斯变换的$L^p$有界性的方案.此外，我们得到的$L^p$界限是独立的维数。该方案适用于里斯变换与正交展开和离散里斯变换的乘积的多项式增长的群体。
Multiple weight Riesz and Fourier transforms in bilateral anisotropic Grand Lebesgue spaces
本文引入了各向异性（权）大Lebesgue-Riesz空间（更确切地说，是大Lebesgue-Riesz空间），它是经典Lebesgue-Riesz空间和一般的大Lebesgue空间的推广，并研究了权里斯位势和权傅里叶变换在这类空间中的有界性.
Revisiting Riesz transforms on Heisenberg groups
我们证明了Heisenberg群上的高阶里斯变换，并且在对乘子的某些假设下，证明了它们满足无量纲界.利用转移定理，我们导出了约化Heisenberg群上Riesz变换的有界性定理，从而也导出了与多重Hermite和Laguerre展开有关的里斯变换的有界性定理.
Riesz transforms characterizations of Hardy spaces $H^1$ for the rational Dunkl setting and multidimensional Bessel operators
我们通过里斯变换刻画了Hardy空间$H^1$在有理Dunkl设置与反射群$\mathbb Z_2^n$。作为推论，我们得到了$(0,\infty)^n$中Bessel算子乘积的$H^1$的里斯变换特征.
Dimension-free $L^p$ estimates for odd order maximal Riesz transforms in terms of the Riesz transforms
本文证明了奇数阶极大Riesz变换向量关于相应Riesz变换的无维数$L^p$估计，并给出常数依赖的显式界，推广了Mateu等人的工作。
Fractional Riesz-Hilbert transforms and fractional monogenic signals
分数阶希尔伯特变换在光学和信号处理中起着重要的作用。特别地，由Gabor提出的解析信号具有作为关键分量的希尔伯特变换。高维的希尔伯特变换是Riesz-希尔伯特变换，它被Felsberg和Sommer用来构造单基因信号。我们将构造分数和四元分数Riesz-希尔伯特变换的特征值分解的基础上。我们将证明这些变换的性质，如移位和标度不变性，正交性和半群性质。基于分数阶/四元数分数阶Riesz-希尔伯特变换，构造了（四元数）分数阶单演信号。这些信号是旋转和调制的单基因信号。
Mixed norm estimates for the Riesz transforms associated to Dunkl harmonic oscillators
本文研究了Dunkl谐振子的里斯变换的加权混合模估计。其思想是证明所需的不等式等价于某些向量值不等式的算子定义的拉盖尔展开。在某些情况下，主要结果可由Hermite里斯变换的相应结果导出.
Lebesgue-Riesz norm estimates for fractional Laplace transform
本文给出了分数Laplace积分变换在Lebesgue-Riesz和双边Grand Lebesgue空间中范数的双边非渐近估计.我们还举例说明了这些不等式的尖锐性。
Elementary Inversion of Riesz Potentials and Radon-John Transforms
对里斯位势的一些初等近似和显式反演公式给出了新的简单证明。所得结果可应用于积分几何中欧氏平面上函数积分的重构。
Besov Space, Schatten Classes And Commutators Of Riesz Transforms Associated With The Neumann Laplacian
本文深入研究了$\mathbb R^n$上与Neumann Laplacian算子$Δ_N$相关的里斯变换算子。沿着Janson-Wolff和Rochberg-Semmes建立的里斯变换分解子的奇异值估计，我们建立了这类分解子的Schatten- $p$类刻画.
Riesz transform on graphs under subgaussian estimates
设$Γ$是一个满足Markov核的点态次高斯估计的加倍图.本文引入了函数空间$H^1(Γ)$和1-形式空间$H^1(T_Γ)$，并给出了它们的各种刻画.证明了里斯变换的$H^1$ -有界性，并由此导出了$p\in (1,2)$的里斯变换的$L^p$有界性.在以前的工作中，我们在较弱的假设下证明了里斯变换的$H^1_w$ -有界性，但没有证明$L^p$的有界性.
Compensated Compactness, Separately convex Functions and interpolatory Estimates between Riesz Transforms and Haar Projections
证明了里斯变换和方向Haar投影之间的插值估计。我们得到了补偿紧性理论的应用，并证明了L.分离凸被积函数的半连续性。
Riesz transforms and multipliers for the Grushin operator
证明了与Grushin算子G = -Δ- |x| ^2 \partial_t^2相关的里斯变换在L^p（R^n+1）上有界.我们还建立了一个类似的Hörmander-Mihlin乘子定理，并研究了与Grushin算子相关的Bochner-Riesz平均。所使用的主要工具是Littlewood-Paley理论和L.维斯
Dimension-free estimates for Riesz transforms related to the harmonic oscillator
研究了与谐振子有关的$\mathbb{R}^d$上两类里斯变换的$L^p$界.我们追求一个明确的估计，他们的$L^p$规范是独立的维度$d$和线性$\max(p, p/(p-1))$。
Dimension-free $L^p$ estimates for vectors of Riesz transforms in the rational Dunkl setting
本文证明了有理Dunkl情形下里斯变换向量的$L^p$ -范数的无量纲上界。我们的主要技术是Bellman函数方法适用于Dunkl设置。
Endpoint results for the Riesz transform of the Ornstein-Uhlenbeck operator
本文引入了一个新的原子Hardy空间$X^1(γ)$，它适应于高斯测度$γ$，并证明了从$X^1(γ)$到$L^1(γ)$的与Ornstein-Uhlenbeck算子相关的一阶里斯变换的有界性.我们还提供了一个新的，简短的和几乎自包含的证明其弱型$(1,1)$。
Dimension free boundedness of Riesz transforms for the Grushin operator
设$G = - Δ_ξ - |ξ|^2 \frac{\partial^2}{\partial η^2}$是$\R^n \times \R.$上的Grushin算子，我们证明了与该算子相关的里斯变换在$L^p (\R^{n+1}), 1 < p < \infty$上是有界的，并且它们的范数与维数$n$无关.
Marcinkiewicz-type multipliers on products of noncompact symmetric spaces
本文证明了一秩非紧对称空间乘积上球面傅里叶变换的Marcinkiewicz型乘子结果。
On the Riesz Transforms for the inverse Gauss measure
设$γ_{-1}$是$\mathbb{R}^n$上的绝对连续测度，其密度是高斯函数的倒数.进一步设$\mathscr{A}$是$L^2(γ_{-1})$上的自然自伴拉普拉斯算子。本文证明了与一阶或二阶$\mathscr{A}$相关的里斯变换是弱类型$(1,1)$，但更高阶的Riesz变换不是。
Estimates for tail functions under Riesz transforms in Grand Lebesgue Spaces
研究可测函数在广义Riesz型算子下的尾行为，通过L^p范数增长与Young-Fenchel变换的关系，推导出显式尾估计，并应用到经典Riesz变换中，展示算子L^p增长与输入函数内在尾行为的相互作用。
Dimension-free $L^p$ estimates for vectors of Riesz transforms associated with orthogonal expansions
利用显式Bellman函数证明了积空间上一般多维正交展开算子的双线性嵌入定理。然后，这是适用于获得适当的矢量里斯变换，特别是在雅可比多项式的情况下，$L^p,$ $1<p<\infty,$有界性。我们估计的$L^p$范数的这些里斯变换都是无量纲的和线性的$\max(p,p/(p-1)).$的方法，我们提出，使我们能够避免使用的微分形式和一般的谱乘数。
Riesz transforms associated to Schrödinger operators with negative potentials
本文研究了势$V$在不同条件下的里斯变换$\na A^{-1/2}$，其中$A$是薛定谔算子$-\D-V, V\ge 0$.证明了如果$V$是强次临界的，则对所有的$p\in(p_0';2]$，$\na A^{-1/2}$在$L^p(\R^N)$，$N\ge3$上有界，其中$p_0'$是$p_0$的对偶指数，$2< \frac{2N}{N-2}
Riesz transform characterizations for multidimensional Hardy spaces
本文研究欧几里得区域上与自伴算子相关的 Hardy 空间，在热半群假设下用相应 Riesz 变换给出其刻画，并应用于多维 Bessel 与 Laguerre 算子。
Riesz transform characterization of weighted Hardy spaces associated to Schrödinger operators
本文利用局部Riesz变换$\widehat{R}_j$刻画了与临界半径函数$ρ$和权$ω\in A_{1}^{ρ,\,\infty}(\mathbb{R}^{n})$相关的加权局部Hardy空间$h^p_ρ(ω)$，并利用与Schr dinger算子$\cal L$相关的Riesz变换刻画了加权Hardy空间$H^{1}_{\cal L}(ω)$.其中$Ł=-Δ+V$是$\mathbb{R}^{n}$（$n\ge 3$）上的薛定谔算子，$V$是满足逆Hölder不等式的非负函数。
Paley-Wiener theorem for the Joint-Eigenspace Fourier transform on noncompact symmetric spaces
本文研究非紧型对称空间上的联合特征空间 Fourier 变换，借助 Poisson 变换与 Helgason Fourier 变换阐明其对偶结构，并给出反演、Plancherel 公式及 Paley-Wiener 定理。
Endpoint estimates for first-order Riesz transforms associated to the Ornstein-Uhlenbeck operator
在具有Gauss测度g的欧几里得空间中，考虑了Ornstein-Uhlenbeck半群的无穷小生成元所对应的所有一阶里斯变换.已知这些算子在L^p（g）上有界，其中1<p< \infty。我们确定它们中的哪些是从H^1（g）到L^1（g）和从L^ \infty（g）到BMO（g）有界的。这里H^1（g）和BMO（g）是前两位作者在此背景下引入的空间。令人惊讶的是，我们发现，结果取决于周围空间的尺寸。
Strichartz transforms with Riesz potentials and Semyanistyi integrals
本文研究了R.S. Schmidhartz在\cite{Stri}中首先研究的广义正交Radon变换$R_{p,q}^k$。给出了$L^p$ -空间上的$R_{p,q}^k f$的一个尖锐存在条件.然后，给出了Schmidhartz变换$R_{p,q}^k$与Semyanistyi积分的关系式。我们证明了相应的Fuglede型公式，并由此给出了$R_{p,q}^k f$的一些显式反演公式.与包含Radon变换和“Gonzalez”型正交变换不同，Rechartz变换更为复杂。我们的结论推广了上述两种特殊情况的相应结果。
A theorem of Levinson for Riemannian symmetric spaces of noncompact type
N. Levinson用其傅里叶变换的逐点衰减刻画了在实直线的非空开子集上消失的非零可积函数的存在性。我们证明了一个类似的非紧型黎曼对称空间的结果。
Riesz transform characterization of H^1 spaces associated with certain Laguerre expansions
对于α>0，我们考虑拉盖尔函数的系统l_k^{（α-1）/2}（x），拉盖尔函数是微分算子Lf =- \frac{d^2}{dx^2} f- \frac{alpha}{x} \frac{d}{dx} f+x^2 f的本征函数。定义了原子Hardy空间H^1_{at}（X），它是L^1（（0，infty），x^alpha dx）的一个子空间.证明了空间H^1_{at}（X）也可用里斯变换Rf= \sqrt π \frac{d}{dx} L^{-1/2}f刻画，在这个意义上f \in H^1_{at}（X）当且仅当f，Rf \in L ^1（（0，infty），x^alpha dx）.
Hardy spaces and Riesz transforms on a Lie group of exponential growth
本文研究了指数增长李群上的Hardy空间，证明了其原子Hardy空间无法用Riesz变换刻画，但其中两个Riesz变换在Hardy空间上是有界的。
Endpoint weak Schatten class estimates and trace formula for commutators of Riesz transforms with multipliers on Heisenberg groups
沿着Rochberg-Semmes，Lord-McDonald-Sukochev-Zanin和Fan-Lacey-Li关于算子的奇异值估计的思路，利用符号$f$的齐次Sobolev范数，建立了Heisenberg群上带乘算子$M_f$的里斯变换的算子的端点弱Schatten类估计.我们利用的新工具是海森堡群上的奇异迹公式的构造，它与双算子积分的使用一起，使我们能够绕过使用傅里叶分析，并为研究一般分层李群中类似算子的奇异值估计提供了坚实的基础。
Potential-free $L^1$-estimates for positivity-preserving Riesz transform related to Schrödinger operator in dimension one
该研究针对一维薛定谔算子相关的保正里斯变换，证明了一类里斯变换型算子在L¹空间上的有界性，得到了与势函数无关的范数估计。
The property $\log(f) \in BMO(\mathbb R^n)$ in terms of Riesz transforms
该研究给出函数满足$\log(f) \in BMO(\mathbb R^n)$的等价刻画：$f$可表为两个被Riesz变换逐点控制的函数的商。
Riesz transform characterization of Hardy spaces associated with Schrödinger operators with compactly supported potentials
设L=-Δ+V是R^d，d \geq 3上的薛定谔算子.我们假设V是一个非负的紧支势，它属于L^p（R^d），其中p>d/2。设K_t是由-L生成的半群。我们说一个L^1（R^d）-函数f属于与L相关的Hardy空间H_L^1，如果sup_{t>0}| K_t f|属于L^1（R^d）。我们证明了f \in H_L^1当且仅当R_j f \in L^1（R^d），其中j=1，.，其中R_j= \frac{d}{dx_j} L^{-1/2}是与L相关联的里斯变换。
Dimension-free estimates for positivity-preserving Riesz transforms related to Schrödinger operators with certain potentials
本文针对各坐标独立、幂增长非负势的薛定谔算子，通过将半群分解为一维因子并分别估计再合成，证明了相关保正性 Riesz 变换在 L^∞ 上的无维数有界性，并在 a≤1 时推广到 L^1。
On Riesz transforms characterization of H^1 spaces associated with some Schrödinger operators
设Lf（x）=-Δf（x）+ V（x）f（x），V \geq 0，V \in L^1_{loc}（R^d），是R^d上的非负自伴薛定谔算子.我们说一个L^1-函数f属于Hardy空间H^1_L，如果极大函数M_L f（x）= \sup_{t>0}| e^{-tL} f（x）|属于L^1（R^d）。证明了在V上的某些假设下，空间H^1_L也可用里斯变换R_j= \frac{\partial}{\partial x_j} L^{-1/2}，j=1，.刻画，d，与L.作为这种电势V的示例，可以在一维中取任何V \geq 0、V \in L ^1_{loc}。
Dimension-free $L^p$ estimates for higher order maximal Riesz transforms in terms of the Riesz transforms
本文证明了高阶极大Riesz变换向量可以用对应的Riesz变换表示的无维数$L^p(\mathbb{R}^d)$估计，并给出了常数对$p$的显式依赖。
A note on second order Riesz transforms in 3-dimensional Lie groups
本文证明了次拉普拉斯算子的二阶里斯变换在李群$\mathbb H$、$\mathbb{SU}(2)$和$\mathbb{SL}(2)$中的$L^p$界
Variation inequalities for Riesz transforms and Poisson semigroups associated with Laguerre polynomial expansions
本文建立了与里斯变换和与Laguerre多项式展开有关的Poisson半群有关的变分算子、振荡算子和跳算子的$L^p$ -有界性。
On the Riesz transform and its reverse inequality on manifolds with quadratically decaying curvature
本文研究了曲率二次衰减流形上的Riesz变换及其反向不等式，通过Lorentz型估计和谐波环消方法，证明了反向Riesz、Hardy和加权Sobolev不等式等价，并验证了Grushin空间中Riesz变换的有界性。
A Generalized discrete Riesz transforms
本文引入了一种与$A_1$型非对称三角Heckman-Opdam多项式相关的离散里斯变换.证明了它们可以推广到$\ell^p(\mathbb{Z})$，$1<p<\infty$上的有界算子.
Interpolatory Estimates, Riesz Transforms and Wavelet Projections
我们证明了方向小波投影和里斯变换是相关的插值估计。插值的指数依赖于小波系统的Hölder估计。本文补充和继续以前的工作哈尔预测。
Higher order Riesz transforms in the inverse Gaussian setting and UMD Banach spaces
本文研究了由$\mathbb{R}^n$上的$π^{n/2}e^{|x|^2}dx$给出的逆高斯测度所对应的高阶里斯变换.我们建立$L^p(\mathbb{R}^n,e^{|x|^2}dx)$有界性的性质，并获得表示为主值的高阶里斯变换的奇异积分。利用里斯变换和逆高斯背景下算子的虚幂给出了具有UMD性质的巴拿赫空间的新刻画.
Square function and Riesz transform in non-integer dimensions
最近，X. Tolsa和A. Ruiz de Villa [非整数维度的带符号里斯变换的主值不存在，预印本]，我们证明了与里斯变换相关的平方函数关于Hausdorff测度的有限性$H^s$意味着$s$是整数。
The Riesz transform for the harmonic oscillator in spherical coordinates
本文给出了球面坐标中谐振子里斯变换在混合范数空间中的加权估计。为了证明这一结果，我们需要一个加权不等式的里斯变换的向量值扩展的Laguerre展开，这是独立的利益。获得这种扩展的主要工具是独立于所涉及的Laguerre函数的阶数的里斯变换的加权不等式和适当的Rubio de Francia的外推定理的适应。
Fractional Fourier Transforms Meet Riesz Potentials and Image Processing
利用分数阶傅里叶变换的线性调频函数，引入了与线性调频函数相关的分数阶里斯位势，建立了它们与分数阶傅里叶变换、与线性调频函数相关的分数阶Laplace算子、与线性调频函数相关的分数阶里斯变换之间的关系，并得到了它们在与线性调频函数相关的旋转不变空间上的有界性.最后给出了与啁啾函数有关的分数阶里斯位势的数值图像模拟及其在图像处理中的应用。本文的主要创新之处在于提出了一种新的基于与线性调频函数相关的分数里斯位势的双相位编码图像加密方法。与啁啾函数相关的分数里斯位势符号本质上提供了更大的自由度，并大大提高了信息的安全性。
A Discrete Helgason-Fourier transform for Sobolev and Besov functions on noncompact symmetric spaces
设$f$是空间$L_{2}(X)$中的Paley-Wiener函数，其中$X$是非紧型对称空间.利用$f$在$f$的一个充分稠密的分离点集上的值，可以给出$f$的Helgason-傅里叶变换的精确公式.为了在$X$上找到Besov空间函数的Helgason-傅里叶变换的离散逼近，我们在$L_{2}(X)$中发展了Paley-Wiener函数的逼近论.
High Order Riesz Transforms and Mean Value Formula for Generalized Translate Operator
本文研究了与Bessel算子有关的边值问题的解所对应的均值公式依赖于Bessel广义移位算子。此外，还研究了与Bessel算子有关的Riesz Bessel变换.由于Bessel广义移位算子是对应于Bessel算子的平移算子，我们利用Bessel广义移位算子构造了一族RBxj.最后，我们分析了涉及Riesz Bessel变换的加权不等式。
Riesz-Schur transforms
本文研究了Schur乘子下的里斯变换的非三角形式。这一结果改进了Grothendieck-Haagerup的端点准则，给出了Schur乘子的Schatten p-有界性的新条件，并加强了Potapov/Sukochev对Arazy猜想的解.我们恢复以及三角里斯变换的无量纲估计。我们的离散方法比以前的调和分析和概率方法简单得多。作为应用，我们找到了一个非常简单的证明，最近的标准Schur乘数的Hörmander-Mikhlin和Marcinkiewicz型。
Non-existence of reflectionless measures for the s-Riesz transform when 0<s<1
如果奇异积分$R^sμ(x)=\int \frac{y-x}{|y-x|^{s+1}}\,dμ(y)$在$μ$的支撑上在某种弱意义上是常数，并且由$R^s_μ(f)=R^s(f\,μ)$定义的算子在$L^2(μ)$中有界，则称$\mathbb{R}^d$上的测度$μ$对$s$ -里斯变换是无反射的.本文证明了当$0<s<1$时，$s$ -里斯变换的唯一无反射测度是零测度.
Sharp bounds for the spherical restriction Fourier transform in classical Lebesgue-Riesz and Grand Lebesgue spaces for ordinary and radial functions
对于属于Lebesgue-Riesz空间和属于Grand Lebesgue空间的普通径向函数，我们给出了欧氏球面上的傅里叶变换限制定理中常数的双边估计.我们得到了约束傅里叶变换算子作用于径向函数的范数的精确估计。
Non existence of principal values of signed Riesz transforms of non integer dimension
本文证明了：当s> 0时，若E是R ^m的一个子集，具有正的有界s维Hausdorff测度H ^s和H ^s的s维符号里斯变换的主值|E中几乎处处存在H ^s-，则s为整数.这个结果的其他更一般的变体也被证明。
Riesz transforms of a general Ornstein--Uhlenbeck semigroup
我们考虑与Ornstein-Uhlenbeck算子$\mathcal L$相关的任意阶的里斯变换，协方差$Q$由实对称正定矩阵给出，漂移$B$由特征值为负实部的实矩阵给出.在这个一般的高斯背景下，我们证明了一个里斯变换是弱型$(1,1)$关于不变测度的当且仅当它的顺序是最多$2$。
Dunkl translations, Dunkl-type $BMO$ space and Riesz transforms for Dunkl transform on $L^\infty$
本文给出了关于紧支集上Dunkl平移的支集的一些结果。然后定义了$BMO$空间和$L^\infty$上的Dunkl变换的里斯变换，并在Dunkl变换的一致有界性假设下证明了从$L^\infty$到Dunkl型$BMO$空间的里斯变换的有界性.由于Dunkl变换缺乏与经典变换相似的性质，因此在Dunkl变换下的证明和定义比经典情形下的困难.我们还将推广的精确性的描述支持Dunkl翻译的特征函数的Gallardo和Rejeb的所有非负径向函数在$L^2(m_k)$。
Riesz transform for $1 \leq p \le 2$ without Gaussian heat kernel bound
在体积加倍性质和次高斯热核上界下，研究了里斯变换的$L^p$有界性以及黎曼流形和图上的逆不等式.我们证明了里斯变换在$L^p$上有界，这表明热核的高斯估计不是必要条件。在Vicsek流形和图的特殊情况下，我们证明了反向不等式对$1 \textless{} p \textless{} 2$不成立。这就产生了一个完整的图片$p\in (1,+\infty)$的范围分别为里斯变换是$L^p$有界和反向不等式持有$L^p$在这样的流形和图形。这幅图与欧几里德的图截然不同。
Schatten classes and commutators of Riesz transform on Heisenberg group and applications
本文研究了Heisenberg群上的具有里斯变换的量子化子。这些符号的Schatten范数的特征在于符号的Besov范数。这推广了Peller，Janson-Wolff和Rochberg-Semmes的经典欧几里德结果.证明的方法扩展了早期的方法，使我们能够解决不仅是里斯变换，而且柯西-Szego投影和二阶里斯变换的海森堡群，以及其他设置。
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