Long turns, INP's and index for free group automorphisms
Thierry Coulbois, Martin Lustig
本文的目标是介绍一种新的工具，称为{ \em长转弯}，这是一个有用的除了训练轨道技术的自同构的自由群，因为它允许一个控制周期性的INPs在训练轨道图，因此指数的诱导自同构。
The goal of this paper is to introduce a new tool, called {\em long turns}, which is a useful addition to the train track technology for automorphisms of free groups, in that it allows one to control periodic INPs in a train track map and hence the index of the induced automorphism.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Detecting the growth of free group automorphisms by their action on the homology of subgroups of finite index
证明了：若F是一个n阶生成的自由群，且f：F -> F是一个d次多项式增长的自同构，则存在一个有限指数的特征子群S < F，使得S的阿贝尔化的诱导自同构也是d次多项式增长的.证明是几何性质的，并利用改进的相对训练轨道代表。
Right-angled Artin groups as finite-index subgroups of their outer automorphism groups
本文证明每个直角阿廷群都是另一个直角阿廷群的外自同构群的有限指数子群，并利用纯对称外自同构群给出显式构造。
Maximal index automorphisms of free groups with no attracting fixed points on the boundary are Dehn twists
本文定义了一个称为自由群的外自同构的秩的量，它与[D. Gaboriau，A.耶格湾Levitt和M. Lustig，“An index for counting不动点for automorphisms of自由群”，Duke Math.J.93（1998）425-452]，而不计算边界上的不动点。我们进一步分析了最大秩的外自同构，得到了类似于[D. J. Collins和E. Turner，“An automorphism of a自由群of finite rank with maximum rank不动点subgroup fixes a本原元”，J. Pure and Applied Algebra 88（1993）43-49].我们还推导出所有这样的外自同构都可以用Dehn twists表示，从而证明了[M. M. Cohen和M. Lustig，“自由群的Dehn扭自同构的共轭问题”，《数学评论》，Helv。74（1999）179-200]，并指出了共轭问题的解决方案时，这样的自同构给出的基础的图像，从而提供了一个适度的推广科恩和卢斯蒂格的主要定理略有不同的方法。
Index realization for automorphisms of free groups
对于任何亏格$g \geq 1$的曲面$Σ$和（本质上）任何正整数集合$i_1, i_2, \ldots, i_\ell$与$i_1+\cdots +i_\ell = 4g-4$，Masur和Smillie证明了存在一个伪Anosov同胚$h:Σ\to Σ$，在它的稳定叶理$\cal L$中具有精确的$\ell$奇异性$S_1, \ldots, S_\ell$，使得$\cal L$具有精确的$i_k+2$从每个$S_k$辐射出的分离面。在本文中，我们证明了类似的结果为自由群$F_N$的自同构，其中“伪Anosov同胚”被替换为“完全不可约自同构”和Gauss-Bonnet等式$i_1+\cdots +i_\ell = 4g-4$被替换为指标不等式$i_1+\cdots +i_\ell \leq 2N-2$从Gaboriau，Jaeger，Levitt和Lustig。
Class-preserving automorphisms of universal hyperlinear groups
我们证明了泛超线性群的保类自同构群在所有自同构群内的指数为2。
Explicit computation of the index of a positive outer automorphism of the free group
给出了一个求自由群的正外自同构的指数的算法，并证明了该算法在有限时间内存在。
Affine Automorphisms of Rooted Trees
我们引入了一类自同构的根$d$ -正则树所产生的仿射作用在其边界视为无限维向量空间。这类包括，特别是，许多自相似实现的点灯人群体的例子。我们表明，对于一个经常二叉树这个类符合规范化的组的所有球齐性自同构的这棵树：自同构的状态，在每个级别的所有顶点重合。我们详细研究了一个非平凡的例子，一个自动机组，包含一个指数2子群与元素从这个类，并表明它是同构的指数2扩展秩2点灯组$\mathbb Z_2^2\wr\mathbb Z$。
Non-symplectic Indices of Automorphism Groups of Smooth Cubic Fourfolds
研究具有给定辛自同构群的光滑四次三维流形的全自同构群，通过群论和格论方法限制非辛指数，并分类秩19余不变格的所有可能自同构群对。
Automorphism groups of relatively free groups of infinite rank: a survey
本文是在无限秩相对自由群的自同构的框架内对一些问题的综述。我们讨论了它的驯服性、伸缩性、小指数、Bergman性等性质。
The small index property of automorphism groups of ab-initio generic structures
该研究针对由有理系数预维函数得到的可数初始通用结构M，证明其自同构群Aut(M)满足：指数小于2^ℵ₀的子群必包含某个有限子集A的点态自同构群，从而确立Aut(M)的小指数性质。
Finite groups admitting a coprime automorphism satisfying an additional polynomial identity
已知具有互质阶自同构$φ$的有限群具有$(|φ|,|C_G(φ)|)$ -有界Fitting高和指数的可解根。我们将这个经典结果推广如下。设$f(x) = a_0 + a_1 \cdot x + \cdots + a_d \cdot x^d \in \mathbb{Z}[x]$是一个本原多项式，$G$是一个有限群，它的互素阶自同构$φ$满足$ g^{a_0} \cdot φ(g)^{a_1} \cdots φ^d(g)^{a_d} = 1 $，对所有$g \in G$ . $G$的可溶性自由基具有$(d,|C_G(φ)|)$ -边界拟合高度和指数。边界是明确的，特别是对小值的程度$d$。
The cycle index of the automorphism group of $\mathbb{Z}_n$
我们考虑自同构群$\I_n=\aut(\Zz_n)$在集合$\Zz_n$上的群作用，集合是模$n$的剩余类的集合。显然，这个群作用将$\I_n$表示为作用于$n$点的置换群。关于这种群作用要解决的一个问题是找到它的轮换指数。一旦它被发现，就会出现大量相关的枚举和计算问题，并具有有趣的应用。我们用两种方法给出了特定群作用的轮换指数。其中一个是更抽象，因此紧凑，而另一个基本上是从一些\textit{building blocks}组成轮换指数的过程。然而，那些\textit{building blocks}也得到了很好的解释，并最终以非常详细的方式呈现。
Asymmetric edge-coloring of graphs with simple automorphism group
图$Γ$的区别指数$D'(Γ)$是使$Γ$具有边染色且其$k$颜色仅由平凡自同构保持的最小数$k$。本文证明了如果有限图$Γ$的自同构群是简单的，则它的区别指数$D'(Γ)=2$。
Counting overlattices in automorphism groups of trees
本文给出了树的自同构群中"超格“个数的一个上界，其中包含一个指数为n的固定格。对于商为环的2 p-正则树的自同构群中的格的例子，我们也得到了渐近行为的一个下界。
Irreducible representations of tree automorphism groups into Pontryagin spaces
研究树自同构群在有限索引连续强非退化半双线性形式上的连续不可约表示，证明索引大于1时无更多表示，完成分类。
Finite groups with an automorphism inverting, squaring or cubing a non-negligible fraction of elements
有各种结果在文献中的一部分，一般的哲学，一个有限群的某一参数（例如，数量的共轭类或最大数量的元素倒置，平方或立方由一个单一的自同构）是足够大，必须接近被阿贝尔。在本文中，我们展示了以下内容：使用$0<ρ\leq 1$修复实数$ρ$。那么一个有限群$G$有一个自同构，它至少对$G$中的$ρ|G|$元素求逆或平方，在$G$的可解根的指数和导出长度都有界的意义上，它是“几乎阿贝尔”的。此外，如果$G$有一个自同构立方至少$G$中元素的$ρ|G|$，那么$G$是“几乎可解”的，因为$G$的可解根的指数是有界的。
On solvable subgroups of automorphism groups of right-angled Artin groups
对任意直角Artin群，我们证明了它的外自同构群包含有限指数幂零子群或非交换自由子群。这是一个弱山雀择一定理。我们找到一个标准的定义图，确定哪种情况下举行。我们还考虑了一些可解子群的例子，包括一个不是虚拟幂零的，并且以非明显的方式嵌入的子群。
A classification theorem for boundary 2-transitive automorphism groups of trees
设$T$是一个局部有限树，它的所有顶点的价至少为$6$ .我们对作用于$T$的端点集上的$2$ -传递的$\mathrm{Aut}(T)$的闭子群进行了分类，直到同构，并且其在每个顶点的局部作用包含交替群。固定树$T$的分类结果是一个可数群族，所有群都包含两个显著的子群：一个指数为$\leq 8$的简单子群和Burger-Mozes的泛局部交替群（可能具有无限指数）（的半正则模拟）。我们还提供了一个明确的例子表明，这种分类的声明失败的程度较小的树。
Almost central involutions in split extensions of Coxeter groups by graph automorphisms
本文利用Coxeter图的自同构给出了任意Coxeter群的一个分裂扩张，确定了该扩张中中心化子具有有限指标的对合。我们的结果对许多问题都有应用，如一般Coxeter群的同构问题。文中还给出了Coxeter群中某些特殊元素的性质和由图自同构得到的不动点子群的性质。
The automorphism group of a graph product with no SIL
研究了循环群的图积的自同构，循环群是一类包含所有直角Coxeter群和直角Artin群的群。我们证明了部分共轭生成的自同构群本身是循环群的图积，只要它的定义图不包含任何分离的链交（SIL）。在所有的循环群都是有限的情况下，这意味着自同构群实际上是CAT（0）;它有一个有限的指数子群，它几何地作用在一个直角建筑物上。
Frobenius groups of automorphisms with almost fixed point free kernel
设$FH$是一个Frobenius群，其核为$F$，补为$H$，通过自同构作用于有限可解群$G$.证明了若$C_{G}(H)$的Fitting长度为$n$，则$G$中第$n$个Fitting子群$F_{n}(G)$的指数依$|C_{G}(F)|$和$|F|.$有界。推广了Khukhro和Makarenko \cite{k-m}处理$n=1.$情形的结果
Groups that do not act by automorphisms of codimension-one foliations
设G是一个有限生成群，具有这样的性质：G的任意有限指标子群的任意作用必有有限轨道. (By Ghys的一个定理，实秩至少为2的单李群中的格具有此性质。）设G通过余维为1的C_2叶理F的自同构作用在紧致流形M上。证明了若F有紧叶，则G的某个有限指数子群固定F的一个紧叶。进一步给出了G的某个有限指标子群固定F的每一叶的充分条件。
Finite groups and Lie rings with a metacyclic Frobenius group of automorphisms
设有限群$G$允许一个弗罗贝尼乌斯群FH，其自同构为循环核F和补H的互素阶，使得补的不动点子群$C_G(H)$是类$c$的幂零子群.证明了$G$有一个幂零的特征子群，其指数是根据$c$，$|C_G(F)|$和$|FH|$有界的，并且其幂零类仅根据$c$和$|H|$有界.这推广了作者和P. Shumyatsky的定理，其中对于$C_G(F)=1$的情形，证明了整个群是$(c,|H|)$ -有界类的幂零群.实例表明，$F$是循环的条件是必要的。B.哈特利定理的基础上的分类提供约化到可解群。然后用表示论的参数来约束Fitting子群的指数。李环方法用于幂零群。对于具有自同构$FH$的亚循环弗罗贝尼乌斯群的李环也证明了一个类似的定理。
Finite p-groups with a Frobenius group of automorphisms whose kernel is a cyclic p-group
设有限$p$ -群$P$允许一个由自同构$FH$构成的弗罗贝尼乌斯群，其核$F$是循环的$p$ -群，并有补$H$ .证明了若补的不动点子群$C_P(H)$是类$c$的幂零子群，则$P$有一个指数关于$c$，$|C_P(F)|$和$|F|$有界的特征子群，其幂零类仅关于$c$和$|H|$有界.实例表明，$F$是环状的条件是必不可少的.证明是基于一个李环的方法和一个定理的作者和P. Shumyatsky关于李环的亚循环弗罗贝尼乌斯群的自同构$FH$。还证明了$P$有一个特征子群，其阶和秩分别以$|H|$和$C_P(H)$的阶和秩为界，其指数以$C_P(H)$的指数为界，其指数为$(|C_P(F)|, |F|)$有界指数.
On virtual indicability and property (T) for outer automorphism groups of RAAGs
给出了直角Artin群的定义图的一个条件，该条件暗示了直角Artin群的自同构群是虚可指示的，即直角Artin群有一个有限指标子群允许同态到$\Z$上.我们使用这一点作为一个标准的一部分，该标准精确地确定了定义在没有分离交叉链接的图上的直角Artin群的外自同构群何时具有性质（T）。作为结果，我们也得到了一个类似的标准，其中每个等价类下的Servatius的控制关系生成一个阿贝尔群的图。
A note on finite groups with an automorphism inverting or squaring a non-negligible fraction of elements
我们证明了对于有限群$G$，$G$的交换概率可以通过一个在元素的最大分数中的函数从下面以非平凡的方式显式地有界.由$G$的自同构平方。使用这些界限连同Guralnick和Robinson的结果给出了上界指数的拟合子群的$G$下的两个条件下，$G$有一个自同构反演resp。在$G$中平方至少$ρ|G|$多个元素，用于固定$ρ\in\left(0,1\right]$。这是对作者以前结果的改进。
Automorphisms of the Torelli complex for the one-holed genus two surface
设S是亏格为2的连通紧致可定向曲面，且仅有一个边界分支.研究了S的Torelli复形的自同构，并描述了S的Torelli群的有限指数子群之间的同构。更一般地，我们研究了从S的Torelli复形到自身的超内射映射，并证明了S的Torelli群的任何有限指数子群是co-Hopfian的。
Finite groups and Lie rings with an automorphism of order $2^n$
设有限群$G$有一个阶为$2^n$的自同构$φ$，使得对合$φ^{2^{n-1}}$的不动点子群$C_G(φ^{2^{n-1}})$是类$c$的幂零子群.设$m=|C_G(φ)|$是$φ$的不动点的数目。证明了$G$有一个特征可解子群，其导长按$n,c$有界，其指数按$m,n,c$有界.对李环也证明了类似的结果。
Automorphism groups of some affine and finite type Artin groups
我们观察到，对于每个正整数n > 2，每个有限型A_n，B_n=C_n和仿射型\tilde A_{n-1}和\tilde C_{n-1}的Artin群都是（n+2）-穿孔球面的映射类群的有限指数子群的中心扩张. (The中心在仿射情形中是平凡的，而在有限型情形中是无限循环的）。利用Ivanov和Korkmaz关于曲面映射类群的抽象算子的结果，我们能够确定Artin群的这四个无限族的每个成员的自同构群。
Maximal subgroups of multi-edge spinal groups
多棱spinal群是正则p-adic有根树的自同构群的一个子群，它由一个根自同构和有限个有向自同构共享一条有向路生成.本文证明了扭多棱spinal群不存在指数为无穷大的极大子群.这推广了Pervova关于GGS-群的一个结果。
Outer automorphism groups of right-angled Coxeter groups are either large or virtually abelian
我们推广的概念，一个分离的交叉链接（SIL）给必要和充分的标准上的定义图$Γ$的直角Coxeter组$W_Γ$，使其外部自同构群是大的：也就是说，它包含一个有限的指数子群，承认自由群$F_2$作为商。当$Out(W_Γ)$不是很大时，我们证明了它实际上是阿贝尔的。我们还证明了有限阿贝尔群的图积的外自同构群也具有同样的二分法。因此，这些群具有性质（T）当且仅当它们是有限的，或者等价地$Γ$不包含SIL。
Maximal subgroups of non-torsion Grigorchuk-Gupta-Sidki groups
一个GGS-群是一个奇素数$p$的$p$ -进树的自同构群的子群，由一个有根自同构和一个有向自同构生成。Pervova证明了扭GGS-群不存在无穷指数的极大子群.在这里，我们将结果推广到非挠GGS-群，其中包括弱正则分支，但不是分支，GGS-群。
Geometric characterization of flat groups of automorphisms
若H是全不连通的局部紧群G的有限秩n的自同构的平坦自同构群，则H在G的紧开子群的度量空间B（G）中的每一条轨道都与n维欧几里得空间拟等距.在本文中，我们证明了以下部分逆命题：假设G是全不连通的的局部紧群，使得B（G）是一个真度量空间，并令H是G的一个自同构群，使得B（G）中H的某些（等价于每个）轨道与n维欧几里得空间拟等距，则H有一个有限指标子群，该子群是秩n平坦的。我们可以在较弱的假设下得出这个结论。我们还挑出一个自然定义的平坦子群这样的自同构群。
Bounded automorphisms and quasi-isometries of finitely generated groups
设G是任意一个非线性生成的无限群.用K（G）表示G的FC中心，即，G的中心化子在G中具有有限指数的所有元素的子群。设QI（G）表示G关于词度量的拟等距群。我们观察到G的自同构群到QI（G）的自然同态是单态的，仅当K（G）等于G的中心Z（G）.如果K（G）=Z（G）是无挠的，则反之成立.我们将这个准则应用于许多有趣的群类。
On finite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have bounded Engel sinks
组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$，则第二Fitting子群$F_2(G)$的指数是有界的.组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$正是合适的恩格尔元素。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的右Engel势汇至多为$m$，则Fitting子群$F_1(G)$的指数依$m$有界.
Isomorphisms between big mapping class groups
我们证明了可定向无限型曲面的映射类群之间的任何同构都是由曲面之间的同胚诱导的。我们的论点还适用于这些“大”映射类群的有限指数子群之间的自同构，并表明每个有限指数子群有有限的外自同构群。作为一个关键成分，我们证明了所有的单纯自同构之间的曲线复形的无限型可定向曲面诱导同胚。
Compressed conjugacy and the word problem for outer automorphism groups of graph groups
它示出，对于图组（直角Artin组）的共轭问题，以及限制版本的同时共轭问题，可以在多项式时间内解决，即使输入的字表示在压缩形式。因此，它遵循的字问题的外部自同构群的图群可以解决在多项式时间。
Outer automorphism groups and the Atiyah Conjecture
研究紧致曲面基本群、有限生成自由群或更一般的有限生成右角Artin群的外自同构群的von Neumann维数，通过建立有限指数无挠子群的强Atiyah猜想，并证明其群环嵌入除环。
Curve complexes and finite index subgroups of mapping class groups
设Mod（S）是曲面S的扩张映射类群。对二次穿孔环面S，我们证明了Mod（S）的有限指数子群存在一个同构，该同构不是内自同构的限制.对于S一个环面至少有三个穿孔，我们证明了，每一个注入的有限指数子群的Mod（S）到Mod（S）是一个内自同构的限制，这完成了一个程序开始的Irmak。对于所有的上述曲面，我们建立了Mod（S）的有限指数子群的co-Hopf性质。
On the low dimensional cohomology groups of the IA-automorphism group of a free group of rank three
本文利用组合群论和表示论研究了秩为3的自由群的IA-自同构群$\mathrm{IA}_3$的有理上同调群的结构.特别地，我们检测出$\mathrm{IA}_3$的第二上同调群中的非平凡不可约分支，它不包含在第一上同调群的上积映射的像中。我们还证明了第一上同调群的三重上积映射在第三上同调群中的象是平凡的。作为推论，我们得到$\mathrm{IA}_3$的下中心序列的第四项在Andreadakis-Johnson过滤中具有有限指数。
Centralisers of linear growth automorphisms of free groups
本文研究自由群 Out(F_n) 中线性增长元素的中心化子，通过有限指数子群到等变 McCool 群直积的映射结构，证明其具有 VF 性质并因而有限展示。
On the Group of Automorphisms of Cyclic Covers of the Riemann Sphere
本文利用Conder和Bujalance（关于富克斯群具有交换商和无无挠的核的有限指数群扩张的分类）的一些最新计算，确定了某些直线（包括Fermat和Lefschetz型曲线）的循环覆盖的全自同构群。对于在三个点上分支的循环覆盖，答案是完全的。
The group of inertial automorphisms of an abelian group
研究了由阿贝尔群$A$的惯性自同构生成的群$IAut(A)$，即具有如下性质的自同构$γ$：$A$的每个子群$H$在由$H$和$Hγ$生成的子群中具有有限指数.显然，$IAut(A)$包含$A$的有限自同构群$FAut(A)$，已知它是局部有限的。在以前的论文中，我们证明了$IAut(A)$是（局部有限的）-by-阿贝尔的。在本文中，我们证明了$IAut(A)$也是亚阿贝尔的（局部有限）。特别地，$IAut(A)$具有正规子群$Γ$，使得$IAut(A)/Γ$是局部有限的，并且$Γ'$是阿贝尔周期子群，其所有子群在$Γ$中是正规的。在$A$是周期性的情况下，$IAut(A)$的结果确实是阿贝尔乘（局部有限），而在一般情况下，它甚至不是（局部幂零）乘（局部有限）。此外，我们还提供了$A$在其他一些情况下的$IAut(A)$结构的进一步细节。
Linear Representations of the Automorphism Group of a Free Group
设$F_n$是$n\ge 2$元素上的自由群，$\A(F_n)$是它的自同构群.本文给出了$\A(F_n)$的一组丰富的线性表示，它们是由它的有限指数子群在$F_n$的有限商群的关系模上的作用而产生的.我们证明（在某些条件下）我们的表示的图像是算术群。
Hall universal group has ample generic automorphisms
本文证明了Philip Hall的泛局部有限群的自同构群具有充分的泛类，即它在所有维上都有共轭对角共轭类，从而它具有小指数性质，不是非开子群的可数链的并，并且具有自动连续性质.讨论了Hall泛群的自同构群的一些代数和拓扑性质。例如，我们证明了Hall泛群的每个通有自同构与它的所有幂共轭，因此有所有阶的根。
Automorphism groups of cocompact CAT(0) cube complexes and simplicity
本文研究特殊余紧 CAT(0) 立方体复形的自同构群，给出其生成集与大小二分法，并在额外条件下证明 Aut^+ 为单、非离散 tdlc 子群。
Constructing and Classifying Fully Irreducible Outer Automorphisms of Free Groups
本文的主要定理在Out（F_r）理论的背景下模拟了一个映射类群定理（H. Masur和J. Smillie），它精确地确定了哪些索引列表来自伪Anosov映射类。由于理想的怀特海图给出了一个更好的不变量在类似的设置一个完全不可约的外自同构，我们而是专注于确定哪些21个连接，无环，5顶点图是理想的怀特海图的年龄，完全不可约的外自同构的自由群的秩3。我们的主要定理通过证明恰好有18个图像这样产生来实现这一点。我们还给出了一种方法，用于确定某些并发症称为周期尼尔森路径，证明了存在方便分解的代表年龄，完全不可约外自同构具有连接，无环，（2 r-1）-顶点理想Whitehead图，并证明了一个标准，用于确定代表年龄，完全不可约外自同构。我们用来构造自由群的完全不可约外自同构的方法，以及我们的识别和分解技巧，可以用来扩展我们的主要定理，因为它们在任何秩中都是有效的。我们的证明方法主要依赖于Bestvina-Feigh-Handel训练轨道理论和吸引叠层理论。
On minimal finite quotients of outer automorphism groups of free groups
证明了当n=3和4时，n阶自由群的外自同构群Out F_n的最小非交换有限因子群是线性群PSL_n（Z_2）（实际上，这对任意秩n > 2都成立）.本文还讨论了Aut F_n和Out F_n（n = 3和4）的低指数子群的计算结果。
Most Rigid Representations and Cayley index
对于任何有限群$G$，一个自然的问题是$G$上的Cayley图的最小可能自同构群的阶。一个特殊的凯莱图，其自同构群具有这个顺序被称为MRR（最刚性表示），其凯莱指数是这个值的数字指标。对GRR的研究表明，除两个无限族和七个独立群外，每个群都有一个MRR为GRR的Cayley图，使得Cayley指数为1。在以前的工作中，对于固定群上的Cayley图，找到最小可能的Cayley指数的问题的完整答案几乎已经完成，但是对于某些有限群和一个无限群族的精确答案仍然是开放的。我们填补了剩余的空白，以完全回答这个问题。
Finite groups with a soluble group of coprime automorphisms whose fixed points have bounded Engel sinks
设有限群$G$允许一个互素自同构的可解群$A$。证明了：如果对某个正整数$m$，中心化子$C_G(A )$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$（或右Engel汇的基数至多为$m$），则$G$有$(|A|,m)$有界指数的子群的Fitting高度至多为$2α(A)+2$，其中$α(A)$是$A$的合成长度.我们还证明了，如果对某个正整数$r$，中心化子$C_G(A )$的每个元素都有秩至多为$r$的左Engel汇（或秩至多为$r$的右Engel汇），则$G$有$(|A|,r)$有界指数的子群，其Fitting高度至多为$4^{α(A)}+4α(A)+3$ .这里，组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g…
Normal automorphisms of relatively hyperbolic groups
群$G$的自同构$α$是正规的，如果它固定$G$的每个正规子群。给出了相对双曲群的正规自同构的代数描述。特别地，我们证明了对于任何相对双曲群$G$，$Inn(G)$在正规自同构的子群$Aut_n(G)$中具有有限指数。此外，若$G$是非初等的且没有非平凡的有限正规子群，则$Aut_n(G)=Inn(G)$。作为应用，我们证明了对于每个具有不止一个端点的单生成剩余有限群$G$，$Out(G)$是剩余有限的.
K3 surfaces with maximal finite automorphism groups containing $M\_{20}$
Mukai证明了一个有限群忠实地和辛地作用在K3曲面上的最大阶是$960$，并且这个群同构于群$M\_{20}$。近藤证明了忠实作用在K3曲面上的有限群的最大阶是$3\,840$，并且这个群包含指数为4的Mathieu群$M\_{20}$。Kondo还证明了存在唯一的K3表面，该基团忠实地作用于该表面，该表面是Kummer表面$\Km(E\_i\times E\_i)$。本文描述了另外两个K3曲面，它们都含有一个大的$1\,920$阶有限自同构群，这两个群都含有$M\_{20}$作为指数为2的子群.我们还证明了这两个群和两个K3曲面是唯一的。这一结果由S. Brandhorst和K. Hashimoto在即将发表的论文中，其目的是分类所有的有限群忠实地作用在K3曲面上的最大辛部分。
Commensurations of the outer automorphism group of a universal Coxeter group
研究秩为$n$的泛Coxeter群的外自同构群的抽象算子的刚性性质，它是$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的$n$副本的自由积$W_n$.证明了自然映射$\mathrm{Out}(W_n) \to \mathrm{Comm}(\mathrm{Out}(W_n))$是$n\geq 5$的同构，并且$\mathrm{Out}(W_n)$的有限指标子群之间的同构由$\mathrm{Out}(W_n)$的元素的共轭给出.
Weakly maximal subgroups in regular branch groups
设$G$是一个由自同构作用于正则有根树$T$上的正则分支群.众所周知，$T$中无限射线的稳定子（又称抛物子群）是$G$中的弱极大子群，即无穷指数子群中的极大子群。证明了给定有限子群$Q\leq G$，$G$具有不可数个包含$Q$的弱极大子群的自同构等价类.特别地，对于Griglouk-Gupta-Sidki型群，这意味着它们有无数个非抛物的弱极大子群的自同构等价类。
Automorphisms of Torelli groups
本文证明了曲面的Torelli群的每一个自同构都是由曲面的一个自同构诱导的，只要曲面是亏格至少为3的闭的、连通的、可定向曲面.这一结果以前宣布本森法布为亏格至少4和最近已宣布本森法布和尼古拉伊凡诺夫为子群的有限指数的Torelli群的表面亏格至少5。这个结果也直接类似于以前的结果建立了经典辫子群，映射类群，表面辫群。
String $C$-groups with real Schur index $2$
我们给出了有限字符串$C$ -群（抽象正则多面体的自同构群）的例子，它们具有实Schur指数$2$的不可约特征标。这回答了蒙森关于这些群体的一个问题。
Flat groups of automorphisms of totally disconnected, locally compact groups
研究完全不连通、局部紧致群的平坦自同构群，揭示其结构特征及高秩群的可能来源。
On the Index of Congruence Subgroups of Aut(F_n)
对于自由群F_n到有限群G上的满态映射pi，对于F_n的所有自同构f的群，记为Gamma（G，pi），其中pi*f = pi。这称为Aut（F_n）的与G和π相关的标准同余子群。在n = 2的情况下，我们给出了Gamma（G，pi）的指数公式，其中G是阿贝尔的或二面角的.此外，我们证明了关联于二面体群的同余子群提供了Aut（F_2）中由固定数目的元素生成的任意大指数子群族。这意味着Aut（F_2）的有限指数子群不能写成自由积.
Open subgroups of the automorphism group of a right-angled building
我们研究了一个直角建筑物的保型自同构群，特别是当建筑物是局部有限的。我们的目的是刻画真开子群为真剩余的稳定子的有限指数闭子群。主要工具之一是直角考克斯特群中的坚定元素的新概念，这些元素在每个简化表示中的最后一个字母是相同的。我们还介绍了相关的概念，坚定性的任意元素，这样一个Coxeter组和$n$ -灵活性室在一个直角的建设。这些概念和它们的性质被用来确定由球的固定器固定的腔室的集合。我们的主要结果是通过将这些事实与皮埃尔-埃马纽埃尔·卡普雷斯和埃马纽埃尔·马奎斯在有限域上的卡茨-穆迪群的背景下的思想相结合而得到的，在那里我们不得不用根翼群的新概念来取代根群的概念。
Jordan properties of automorphism groups of certain open algebraic varieties
设$W$是特征为零的代数闭域上的拟投射簇.设$W$对于光滑射影簇$A$和射影直线的乘积是双有理的。证明了若$A$不含有理曲线，则$W$的自同构群$G:=Aut(W)$是Jordan.这意味着存在正整数$J=J(W)$使得${G}$的每个有限子群$\mathcal{B}$包含交换子群$\mathcal{A}$使得$\mathcal{A}$在$\mathcal{B}$和索引$[\mathcal{B}:\mathcal{A}] \le J$中正规。
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