On wild frieze patterns
Michael Cuntz
在本说明中，除其他事项外，我们表明：有周期性的野生SLk-frieze模式的条目是正整数。存在条目为正整数的非周期性SLk-中楣图案。有一个SL 3-frieze模式，其条目是正整数，并有无限多个不同的条目。
In this note, among other things, we show: There are periodic wild SLk-frieze patterns whose entries are positive integers. There are non-periodic SLk-frieze patterns whose entries are positive integers. There is an SL3-frieze pattern whose entries are positive integers and with infinitely many different entries.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Wild frieze patterns over the integers
本文研究整数上允许野生条目的饰带图案，引入quiddity数作为新不变量，用于分类定向图的强连通分量，并证明任意有限简单有向图可作为其诱导子图。
Frieze varieties : A characterization of the finite-tame-wild trichotomy for acyclic quivers
我们引入一类新的代数簇，我们称之为frieze簇。每一个中楣品种都是由一个非循环的中楣决定的。通过构造仿射空间中的点集，用初等递归的方法定义了frieze簇。从更概念化的观点来看，这些点的坐标是与该节点关联的簇代数中簇变量的特化。本文根据无圈箭图的frieze簇，给出了无圈箭图的有限-驯服-野性可割性的一个新刻画。我们表明，一个非循环的群表示有限，驯服，或野生，分别当且仅当其frieze品种的尺寸是$0,1$，或$\ge2$，分别。
When frieze patterns meet Y-systems: Y-frieze patterns
本文初等介绍Y-饰带图案的概念与性质，并揭示其与Coxeter饰带图案的联系。
Frieze patterns with coefficients
Frieze模式，由Coxeter在20世纪70年代引入，与没有系数的簇代数密切相关。一个适当的推广frieze模式，链接到集群代数的系数，只简要地出现在一个未发表的手稿Propp。本文系统地研究了这些带系数的中楣图案，证明了一些基本结果，推广了中楣图案的经典结果。因此，我们看到如何frieze模式的系数，可以从经典的frieze模式，通过削减子多边形从三角形相关的经典康威-考克斯特frieze模式。我们解决的问题，其中frieze模式的系数可以通过这种方式获得，并完全解决这个问题的三角形。最后，我们证明了有限性结果的frieze模式的系数表明，对于一个给定的边界序列，只有200多个（非零）frieze模式的系数与条目的离散子集的复数。
Frieze matrices and infinite frieze patterns with coefficients
本文针对任意无限frieze模式引入一种新型矩阵，并借此为Baur-Marsh提出的frieze行列式结果提供了新证明。
Again around frieze patterns
本文的主要目的是证明关于frieze模式及其等价物，quiddity（或$η$ -）序列的几个新结果，并得到给定有限宽度的非相似frieze模式的个数公式。
Arithmetic Y-frieze patterns of width 3 and 4
本文确定了宽度为3和4的全部算术Y型饰带模式，并据此验证了将宽度n的算术Y型饰带模式映射到考克斯特饰带模式的映射p_n在n=3,4时的满射性。
A $p$-angulated generalisation of Conway and Coxeter's theorem on frieze patterns
Coxeter定义了frieze模式的概念，Conway和Coxeter证明了多边形的三角剖分与整数frieze模式是双射的。我们展示了一个$p$ -角概括涉及非整体的中楣图案。我们还表明，多边形解剖产生更一般的非积分中楣图案。
A combinatorial model for tame frieze patterns
设$R$是交换环的任意子集.基于frieze模式不可约化的概念，我们引入了一个带$R$元素的驯服frieze模式集的组合模型。当$R$是环时，当且仅当它包含$1$或$-1$的条目（不在边界上）时，frieze模式是可约的。据我所知，这个模型同时推广了所有以前提出的模型，驯服frieze模式的$0$的和$1$的限制。
Frieze patterns as root posets and affine triangulations
frieze模式的元素可以解释为秩为2的有限Weyl广群的根的坐标。我们证明了根偏序集上的极大元的存在性，并对可以用来构造仿射单纯形排列的frieze模式进行了分类。
Frieze patterns of integers
著名的定理康威和考克斯特的frieze模式给出了一个几何解释积分friezes通过三角形的多边形。在这篇文章中，我们回顾了这一结果，并展示了它所带来的一些发展。在过去的十年里，有很多关于中楣的活动。这背后的一个原因是与集群组合学的联系。
On continuous 2-frieze patterns
本文研究连续2-条纹图案的定义与性质，将其与射影曲线的模空间及三阶微分算子的Adler-Gelfand-Dikii括号联系起来。
On the construction of frieze patterns from partitions of convex polygons by nonintersecting diagonals
本文初等地展示了如何从凸m边形的不相交对角线划分构造宽度为m-3的花带图案。
Periodic Infinite Frieze Patterns of Type $Λ_{p_1,\ldots,p_n}$ and Dissections on Annuli
有限的frieze模式与条目$\mathbb{Z}[λ_{p_1},\ldots,λ_{p_s}]$，其中$\{p_1,\ldots,p_s\} \subseteq \mathbb{Z}_{\geq 3}$和$λ_p = 2 \cos(π/p)$被证明有一个连接到解剖多边形霍尔姆和Jorgensen。我们扩展他们的工作，通过研究无限的中楣图案与这样的入口和解剖环和一次穿刺光盘之间的联系。我们给出了一个算法，以确定是否一个frieze模式与条目在$\mathbb{Z}[λ_{p_1},\ldots,λ_{p_s}]$，有限或无限，来自解剖表面。我们引入商的解剖作为实现的一些frieze模式无法实现的普通解剖。我们还介绍了两个组合解释的条目的雕纹图案从解剖表面。这些解释是Broline，Crowe和Isaacs为$\mathbb{Z}$上的有限frieze模式引入的匹配的推广。
Weak friezes and frieze pattern determinants
Frieze模式是由Coxeter在20世纪70年代提出的，最近由于其与Fomin-Zelevinsky的簇代数的密切联系而引起了人们的新兴趣。Frieze模式可以解释为三角形多边形的对角线的值的分配，满足交叉对角线的某些条件（托勒密关系）。由Canakci和Jorgensen引入的弱中楣，通过允许胶合分割的多边形来推广这一概念，使得托勒密关系只需要满足涉及胶合对角线之一的交叉。对于任何一个中楣图案，我们可以使用中楣图案的三角形基本区在矩阵的上半部分和下半部分中并在对角线上放置零来关联对称矩阵。Broline，Crowe和Isaacs发现了一个公式的决定因素，这些矩阵和他们的工作后来被推广到各个方向的其他作者。这些中楣图案的决定因素是我们的论文的主要焦点。作为我们的主要结果，我们表明，这个决定因素表现良好，相对于胶合弱friezes：该决定因素是产品的决定因素胶合件，到一个标量因子来自胶合对角线。然后，我们给出了这个结果的几个应用，表明公式从文献中，由Broline-Crowe-Isaacs，Baur-Marsh，Bessenrodt-Holm-Jorgensen和Maldonado得到的都可以得到我们的结果的后果。
Coxeter's frieze patterns at the crossroads of algebra, geometry and combinatorics
Frieze模式的号码，介绍了在70年代初的Coxeter，目前吸引了很大的兴趣，由于与最近的理论集群代数。本文旨在回顾Coxeter的原始工作和围绕frieze概念的新发展，重点是表示论，几何和组合方法。
Symplectic Frieze Patterns
引入了一类与辛几何有关的新的friezes。在代数学和组合学方面，这种friezes的变体与包含${\rm C}_{2}$和${\rm A}_{m}$类型的Dynkin图的簇代数有关。在几何方面，它们与[Conley C.H.，奥夫辛科五世，375（2019），1105-1145]。辛friezes共享类似的组合性质的Coxeter friezes和SL friezes。
Subpolygons in Conway-Coxeter frieze patterns
带系数的中楣是对正多边形的边和对角线赋号的映射，使得交叉对角线的所有托勒密关系都满足。其中，经典的康威-考克斯特中楣是所有值都是自然数且所有边的值为1的中楣。Conway-Coxeter中楣的每个子多边形产生系数超过自然数的中楣。本文给出了带系数的中楣出现为Conway-Coxeter中楣的子多边形的一个完整的算术判据。这推广了我们与Peter Jorgensen的早期论文的结果，从三角形到任意大小的子多边形。
Noncommutative frieze patterns with coefficients
本文将经典饰带模式推广到非交换情形，引入带系数的非交换饰带模式，建立传播公式、μ-矩阵、quiddity循环及约化公式，并证明局部关系可推出全局关系。
Finite and infinite frieze patterns from p-angulations and a generalization of Weyl groupoids
本文提出基于Chebyshev多项式的算法，将p-角化与蛇形图案类型Λ_p联系起来，并扩展了Weyl群oids的定义，揭示了无限蛇形图案与Cartan图的对应关系。
On upper bounds of frieze patterns
本研究证明了$A_n$型frieze patterns的最大值序列为斐波那契数列，$C_n$型的则为奇斐波那契数列，明确了两类frieze patterns的上界序列特征。
Pavages additifs
下面是一篇介绍加性中楣图案的文章，将主题与乘法中楣图案联系起来。我们还增加了两个新的定理（见定理2和5）和无限乘法frieze模式的猜想。(the parper是法语）
Frieze patterns over integers and other subsets of the complex numbers
我们研究（驯服）frieze模式的复数的子集，特别强调相应的quiddity循环。我们提供了新的一般变换的quiddity周期的中楣图案。作为一个应用程序，我们提出了一个组合模型，用于获得所有驯服frieze模式的quiddity周期的整数（零条目允许），推广经典的康威-考克斯特理论。因此，这个模型也是Dynkin型$A$的簇代数的特化集合的模型，其中所有簇变量都是整数。此外，我们解决的问题，对于一个给定的高度是否只有1000多个非零frieze模式在一个给定的子集$R$的复数。在$R$上，在一定条件下，给出了实圈中项的绝对值的上界.因此，我们得到，如果$R$是复数的离散子集，那么对于每个高度，$R$上只有有限个非零饰带图案。利用这一点，我们反驳了Fontaine的一个猜想，证明了对于一个复的$d$ -th单位根$ζ_d$，在$R=\mathbb{Z}[ζ_d]$上对于给定的高度只有1000个非零的镶边图案当且仅当$d\in \{1,2,3,4,6\}$。
The Cyclic Sieving Phenomenon and frieze patterns
本文研究了循环求和现象在多边形划分和三角剖分中的应用，并通过双射关系扩展了蛇形图案与 Dyck 路径的联系。
Generalized frieze pattern determinants and higher angulations of polygons
Frieze模式（在Conway和Coxeter的意义上）与多边形的三角剖分密切相关。Broline、Crowe和Isaacs为每个多边形三角剖分指定了一个对称矩阵，并计算了行列式。本文考虑多边形的角剖分，推广了计算相关对称矩阵元素的组合算法，计算了它们的行列式和Smith标准形。结果表明，两者都与特定的d角无关，行列式是d-1的幂，而初等因子只取d-1和1。我们还表明，在我们的设置中得到的广义frieze模式中，每个相邻的2x2-行列式是0或1，我们给出了一个组合的标准，当它们是1，在d=3的情况下，返回的Conway-Coxeter条件frieze模式。
Factorization of Frieze Patterns
2017年，Michael Cuntz给出了中楣图案的quiddity cycle的可约性的定义：如果它可以写成另外两个quiddity cycle的和，则它是可约的。我们分别讨论了该和算子对实圈及其等价类的交换性和结合性。我们表明，总和既不是交换的，也不是结合的，但我们可以绕过这个问题，通过等价类。我们还解决了这个问题是否分解quiddity循环到不可约因素是唯一的，我们回答它的否定给出反例。我们的结论是，即使在更强的假设下，也没有典型分解。
Friezes for a pair of pants
Frieze图案是满足局部算术规则的数字排列。这些安排积极研究与理论的集群代数。在集群代数的设置中，frieze模式的概念可以被推广，特别是与赋有装饰双曲度量的有边标记表面相关联的frieze。我们研究与一条裤子相关的中楣，将中楣的条目解释为连接标记点的弧长。我们证明了所有的正整数friezes在这样的表面是酉的，即它们产生于三角剖分与所有的边缘有单位的长度。
Quiddity sequences for $\mathrm{SL}_3$-frieze patterns
作者引入了$(k,n)$ -中楣图案的概念，作为对经典中楣图案的概括。在这篇文章中，我们描述了$(3,n)$ -frieze模式类和$\mathrm{SL}_3$ -frieze模式类之间的联系。我们介绍了一个叠加三角测量的想法，并阐明如何叠加三角测量可用于理解quiddity序列的$\mathrm{SL}_3$ -frieze模式。
A Conway-Coxeter theorem for decorated frieze patterns
本文引入装饰带状图案的规范化正 Laurent 类，证明其与凸多边形加权三角剖分的典范双射，并给出非递归 Laurent 公式及逆构造方法。
Conway Symbols of Frieze Patterns of Dynkin Types
本文分类了 Dynkin 类型花边图案的 Conway 符号，揭示了其由三角剖分对称性决定，并给出了非单李型及 D 型的具体分类结果。
Friezes, weak friezes, and T-paths
弗里兹图案形成了代数，组合学和几何学之间的联系。关于曲面三角剖分的T-路径已被用来获得簇变量的展开公式。本文将介绍弱friezes和T-路的概念，关于剖分的多边形。我们的主要结果是，弱friezes的特点是满足一个扩展公式，我们称之为T-路径公式。我们还表明，弱中楣可以粘在一起，并由此产生的弱中楣是一个中楣，当且仅当这样是每个弱中楣被粘。
Infinite friezes
通过对平面上的无限条进行三角剖分，给出了正整数的无限条图案的特征。在周期性的情况下，这些三角剖分可以被认为是环的三角剖分。我们还通过匹配数给出了无限中楣的所有条目的几何解释。
Y-frieze patterns
簇系综的启发，我们引入了一个新的变种frieze模式相关的非循环簇代数，我们称之为${\bf Y}\textit{-frieze patterns}$。利用${\bf Y}$ -变量的突变规则，我们定义了一个大类的${\bf Y}$ -frieze模式，称为$\textit{unitary }{\bf Y}\textit{-frieze patterns}$，并证明了集合映射诱导了一个从（酉）frieze模式到（酉）${\bf Y}$ -frieze模式的映射.在秩2中，我们证明了${\bf Y}$ -frieze模式是广义簇代数的friezes。在有限型（不一定秩为2）下，我们证明了${\bf Y}$ -frieze模式与frieze模式具有相同的对称性，并证明了它们的个数是有限的.
Conway-Coxeter friezes and beyond: Polynomially weighted walks around dissected polygons and generalized frieze patterns
Conway和Coxeter在1973年引入了中楣图案，并通过三角形多边形对其进行了分类。与frieze表相关的矩阵的行列式由Broline、Crowe和Isaacs在1974年显式计算，Baur和Marsh在2012年推广了A型簇代数的结果。高角度的多边形和相关的广义frieze模式进行了研究，在联合文件与霍尔姆和Jørgensen。在这里，我们把这些结果进一步，我们允许任意的解剖，并引入多项式加权走动等解剖多边形。相应的广义frieze表满足互补对称条件，其行列式是一个多对称的多元多项式，明确给出。但更重要的是，Frieze矩阵可以在Laurent多项式的环上变换为一个很好的对角形式，推广了早期与Holm和Jørgensen的联合论文中给出的Smith标准形结果。考虑到广义多项式frieze在这种情况下，它也表明，非零的局部决定因素是单项式，明确给出，取决于解剖多边形的几何形状。
Counting tame $SL_3$- and $SL_4$- frieze patterns over finite fields
本文研究了有限域上 tame SL_3- 和 SL_4- 周期图案的计数问题，通过分析射影空间中的点集结构，推导了不同情况下周期图案的数量公式。
2-frieze patterns and the cluster structure of the space of polygons
我们研究了2-frieze模式的空间推广的经典Coxeter-Conway frieze模式。这个空间的几何实现是n-D空间（在射影平面和三维向量空间中），它是具有n个标记点的亏格为0的曲线的模空间的近亲。我们证明了2-frieze模式空间是一个簇流形，并研究了它的代数和算术性质。
A four vertex theorem for frieze patterns?
给定两个宽度相同且由正数组成的考克斯特中楣图案，选择一行并考虑两个中楣各自条目的差异的周期序列。我们要求在这段时间内，这个序列必须至少改变四次符号的行。我们证明，这是第一和第二个非平凡行的情况下，这是真的，对于所有行，为一个无穷小版本的问题。文章还包含了对四顶点定理和考克斯特的frieze模式的简要材料。
The combinatorics of frieze patterns and Markoff numbers
本文基于与Gabriel Carroll、Andy Itsara、Ian Le、Gregg Musiker、Gregory Price、Dylan Thurston和Rui Viana的联合工作，提出了一个基于完美匹配的组合模型，解释了康威和考克斯特称之为frieze模式的数字数组的对称性。这个匹配模型是Fomin和Zelevinsky的A型簇代数的组合解释。人们可以从匹配模型中推导出马尔可夫数的枚举意义，并证明相关的洛朗多项式具有正系数，正如Fomin和Zelevinsky所证明的那样（更普遍）。这项研究的大部分是在REACH（哈佛大学代数组合学研究经验）的主持下进行的。
Frieze patterns and aperiodic tilings of the plane
研究平面非周期花边图案，基于菱形彭罗斯平铺和戈德雷什 - 兰松 - 比拉尔平铺给出例子，通过用正整数装饰顶点使其满足菱形规则，类似康威和考克斯特定义的图案。
Categorification of a frieze pattern determinant
Broline、Crowe和Isaacs计算了与Conway-Coxeter frieze图案相关的矩阵的行列式。我们将他们的结果推广到A型Fomin-Zelevinsky簇代数中簇变量的相应frieze模式。我们用A型根范畴中不可分解对象的某些构形给出了这个结果的表示论解释。
Triangulated polygons and Y-frieze patterns
本文遵循Conway与Coxeter的思路对A型Aₙ的Y-frieze模式分类，解决de Saint Germain关于这类模式源自Conway-Coxeter frieze模式的猜想，还依据Fuss-Catalan数实现了该模式的计数。
Frieze patterns and Farey complexes
本文利用 Farey 复形为任意环上的 frieze 图案建立组合模型，解决了整数模 n 情形的长期公开问题，并推广了直径、计数与提升分类等相关结果。
Introducing supersymmetric frieze patterns and linear difference operators
我们介绍了一个超对称模拟的经典考克斯特frieze模式。我们的方法是基于与线性差分算子的关系。我们定义线性差分算子的超对称类似物，称为希尔算子。这些“superfriezes”的空间是一个代数超簇，它同构于超对称二阶差分方程的空间，称为希尔方程。
Growth of infinite frieze patterns of affine type
本文研究了通过聚类代数产生的无限条纹图案的增长系数，证明了固定affine类型的聚类类别中，同构和非同构稳定管生成的无限条纹图案具有相同增长系数，并推导了第k个增长系数的显式公式。
Linear difference equations, frieze patterns and combinatorial Gale transform
研究了具有周期系数和（反）周期解的线性差分方程空间。我们证明了该空间同构于Tame Frieze模式空间，并与射影空间中点位形的模空间密切相关。定义了组合Gale变换的概念，它是不同阶周期差分方程之间的对偶。我们描述周期有理映射推广经典高斯映射。
Frieze patterns in representation theory
本文探讨了纹饰图案与多边形三角剖分、Grassmannian簇代数及其范畴的联系，并聚焦Grassmannian簇范畴与纹饰图案的最新关联。
Frieze patterns over algebraic numbers
本文研究代数数环上的饰带模式，证明代数数环具有有限个单位当且仅当其为负判别式二次域中的序，并进一步刻画了整数环上非零饰带模式何时归结为 Conway-Coxeter 饰带模式。
From frieze patterns to cluster categories
本文以 Conway–Coxeter 带状图案为动机，介绍无圈箭图的丛代数与丛范畴，并用其解释整性与周期性。
Quantum frieze patterns in quantum cluster algebras of type A
我们介绍了Coxeter-Conway frieze模式的量子化，并证明了它们在与A型线性定向Dynkin箭图相关的量子簇代数中实现量子簇变量。作为应用，我们得到了这些量子团簇代数中的下界现象所产生的显式多项式。
Frieze patterns over finite commutative local rings
本文计算了有限交换局部环上驯服弗利兹图案的数量，给出了环 $\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}$ 上所有高度的闭合公式，并解释为模群商中关系数的公式。
$SL_2(\mathbb{Z})$-tilings of the torus, Coxeter-Conway friezes and Farey triangulations
$SL_2$镶嵌的概念是对经典Coxeter-Conway中楣图案概念的推广。我们对包含正整数矩形域的双反周期$SL_2$ -镶嵌进行分类。每个这样的$SL_2$ -镶嵌对应于一对镶边图案和一个具有正整数系数的幺模$2\times2$ -矩阵。我们将这个概念与Farey图中的三角化$n$ -图联系起来。
Non-commutative frieze patterns over quaternion algebras and other normed division rings
本文研究赋范可除环（如四元数代数）上的非交换花环，证明范数有限子集上任意高度的花环有限，并确定非分裂四元数代数Lipschitz子环的花环子环。
Mutation of type $D$ friezes
本文研究了$D$型Friezes的突变。我们提供了一个组合公式的条目在一个frieze突变后。证明中的两个主要成分包括$D$型中楣到$A$型中楣的子模式的某种转化和Baur等人最近发现的$A$型中楣的突变公式。
Geometry of multidimensional Farey summation algorithm and frieze patterns
该研究提出高维减法连分数算法的新几何方法，引入推广Klein多面体的Farey多面体及其帆，用棱柱图分类，得到多维Conway-Coxeter带状图案并证明其满足推广托勒密关系。
Spherical friezes
本文解决球面距离几何中从 $O(n)$ 个测量值恢复 2-球面上 $n$ 元点组的基本问题，提出仅用四则运算的递归算法，并将输出数据排列成具有滑动对称性和 Laurent 现象的新型饰带模式。
Combinatorics of the Fourier transform: Stokes data, Gale duality and frieze patterns
该研究揭示傅里叶变换对特定不规则联络斯托克斯数据的作用由组合结构支配，通过盖尔变换关联隐性与次优解，建立斯托克斯表示与弗里兹模式的对应并给出闭式公式。
Operations on the set of scalar and matrix-valued quiddity sequences
本文重新表述 frieze 模式的 quiddity 序列空间为 SET 操作域，并引入二阶单值块矩阵的 $\mathfrak{M}$-quiddity 序列，同时探讨矩阵值 frieze 模式与非交换 Chebyshev 多项式。
Ptolemy relations for punctured discs
我们构造了D_N类型的frieze模式，其条目是穿孔圆盘的相应三角剖分的顶点和三角形之间的匹配数。对于与D_N型Dynkin图的方向对应的三角剖分，我们证明了模式中的数可以解释为相应的Fomin-Zelevinsky簇代数中簇变量的特化.
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