装饰带状图案的 Conway-Coxeter 定理
A Conway-Coxeter theorem for decorated frieze patterns
- Waseda University（早稻田大学）
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AI总结：
本文引入装饰带状图案的规范化正 Laurent 类，证明其与凸多边形加权三角剖分的典范双射，并给出非递归 Laurent 公式及逆构造方法。
AI中文摘要：
设 $m\geq0$ 且令 $n=m+3$。我们引入一类规范化的正 Laurent 装饰带状图案，并证明 Conway-Coxeter 分类定理的装饰版本。具体而言，宽度为 $m$ 的此类带状图案与凸 $n$ 边形的加权三角剖分之间存在典范双射，其中边界边由独立变量 $y_1,\ldots,y_n$ 标记，对角线由 $x_1,\ldots,x_m$ 标记。加权 Conway-Coxeter 传播算法从加权三角剖分构造带状图案，而一个新的主要成分是显式的非递归 Laurent 公式，该公式直接根据与对应顶点关联的加权三角形表达每个 quiddity 条目。反之，特化为 $1$、Laurent 正性以及装饰的切割与粘合过程可从带状图案恢复加权三角剖分。
英文摘要：
Let $m\geq0$ and put $n=m+3$. We introduce a normalized positive Laurent class of decorated frieze patterns and prove a decorated analogue of the Conway-Coxeter classification theorem. Namely, such friezes of width $m$ are in canonical bijection with weighted triangulations of a convex $n$-gon, whose boundary edges are labeled by independent variables $y_1,\ldots,y_n$ and whose diagonals are labeled by $x_1,\ldots,x_m$. While a weighted Conway-Coxeter propagation algorithm constructs the frieze from a weighted triangulation, a main new ingredient is an explicit nonrecursive Laurent formula expressing each quiddity entry directly from the weighted triangles incident to the corresponding vertex. Conversely, specialization to $1$, Laurent positivity, and a decorated cutting-and-gluing procedure recover the weighted triangulation from the frieze.
