Infinite friezes
Karin Baur, Mark James Parsons, Manuela Tschabold
通过对平面上的无限条进行三角剖分，给出了正整数的无限条图案的特征。在周期性的情况下，这些三角剖分可以被认为是环的三角剖分。我们还通过匹配数给出了无限中楣的所有条目的几何解释。
We provide a characterization of infinite frieze patterns of positive integers via triangulations of an infinite strip in the plane. In the periodic case, these triangulations may be considered as triangulations of annuli. We also give a geometric interpretation of all entries of infinite friezes via matching numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Infinite friezes and triangulations of the strip
正整数的无限中楣是由查博尔德引入的，作为经典康威-考克斯特中楣图案的变体。Baur，Parsons和Tschabold进一步证明了这些无限中楣可以通过无限条的三角剖分来实现。在本文中，我们表明，建设的鲍尔，帕森斯和Tschabold可以稍微适应，以获得一个双射之间的无限friezes和所谓的容许三角形的无限条没有特殊的标记点的上边界。由此，我们得到了具有足够数量的无限边形与无限边形的容许三角剖分是双射的结论。
Frieze patterns as root posets and affine triangulations
frieze模式的元素可以解释为秩为2的有限Weyl广群的根的坐标。我们证明了根偏序集上的极大元的存在性，并对可以用来构造仿射单纯形排列的frieze模式进行了分类。
Infinite friezes and triangulations of annuli
众所周知，任何无限的中楣都来自于鲍尔、帕森斯和查博尔德对环形的三角测量。在本文中，我们表明，每一个周期性的无限frieze确定一个三角形的一个环在本质上是一个独特的方式。由于每个三角形的一个环确定一对中楣，我们研究这样的对，并显示他们如何确定对方。我们研究了相关的模范畴，并确定了这对中楣的增长系数。
Arithmetic infinite friezes from punctured discs
我们定义了正整数的无限中楣的概念作为Conway-Coxeter中楣模式的一种变体，并研究了它们的性质。我们介绍了有用的胶合和切割操作无限friezes。事实证明，一次穿孔圆盘的三角剖分会产生具有特殊性质的周期性无限中楣，一个值得注意的例子是每个对角线由一组等差数列组成。此外，我们制定了一个组合解释的条目的无限friezes相关的三角形的一次穿孔的光盘通过匹配号码为某些组合的对象，即周期性的三角形带。或者，我们考虑一个已知的算法，如我们所示，也计算这些条目。
$SL_2(\mathbb{Z})$-tilings of the torus, Coxeter-Conway friezes and Farey triangulations
$SL_2$镶嵌的概念是对经典Coxeter-Conway中楣图案概念的推广。我们对包含正整数矩形域的双反周期$SL_2$ -镶嵌进行分类。每个这样的$SL_2$ -镶嵌对应于一对镶边图案和一个具有正整数系数的幺模$2\times2$ -矩阵。我们将这个概念与Farey图中的三角化$n$ -图联系起来。
Friezes from surfaces and Farey triangulation
本文对带标记的带边曲面上的正整值花环进行分类，证明其与带尖点重标度常数的理想三角剖分一一对应，并指出花环数量有限且无尖点曲面上的花环均为酉的。
A Conway-Coxeter theorem for decorated frieze patterns
本文引入装饰带状图案的规范化正 Laurent 类，证明其与凸多边形加权三角剖分的典范双射，并给出非递归 Laurent 公式及逆构造方法。
Frieze patterns of integers
著名的定理康威和考克斯特的frieze模式给出了一个几何解释积分friezes通过三角形的多边形。在这篇文章中，我们回顾了这一结果，并展示了它所带来的一些发展。在过去的十年里，有很多关于中楣的活动。这背后的一个原因是与集群组合学的联系。
Quiddity sequences for $\mathrm{SL}_3$-frieze patterns
作者引入了$(k,n)$ -中楣图案的概念，作为对经典中楣图案的概括。在这篇文章中，我们描述了$(3,n)$ -frieze模式类和$\mathrm{SL}_3$ -frieze模式类之间的联系。我们介绍了一个叠加三角测量的想法，并阐明如何叠加三角测量可用于理解quiddity序列的$\mathrm{SL}_3$ -frieze模式。
Friezes, weak friezes, and T-paths
弗里兹图案形成了代数，组合学和几何学之间的联系。关于曲面三角剖分的T-路径已被用来获得簇变量的展开公式。本文将介绍弱friezes和T-路的概念，关于剖分的多边形。我们的主要结果是，弱friezes的特点是满足一个扩展公式，我们称之为T-路径公式。我们还表明，弱中楣可以粘在一起，并由此产生的弱中楣是一个中楣，当且仅当这样是每个弱中楣被粘。
A $p$-angulated generalisation of Conway and Coxeter's theorem on frieze patterns
Coxeter定义了frieze模式的概念，Conway和Coxeter证明了多边形的三角剖分与整数frieze模式是双射的。我们展示了一个$p$ -角概括涉及非整体的中楣图案。我们还表明，多边形解剖产生更一般的非积分中楣图案。
Degree shifts between q-deformed friezes and q-Farey labelings for general triangulations
本文通过引入 q-变形连分数、q-Farey 标号和 Conway-Coxeter 花环，将 Morier-Genoud 和 Ovsienko 的结果推广到一般三角剖分的任意拟性序列，证明了 q-变形连分数的分子和分母多项式与 q-变形 Conway-Coxeter 花环的条目一致，而 q-Farey 标号中的对应多项式与之相差显式的 q 幂次，并给出了这些幂次以及多项式最小和最大次数的组合描述。
Generalized frieze pattern determinants and higher angulations of polygons
Frieze模式（在Conway和Coxeter的意义上）与多边形的三角剖分密切相关。Broline、Crowe和Isaacs为每个多边形三角剖分指定了一个对称矩阵，并计算了行列式。本文考虑多边形的角剖分，推广了计算相关对称矩阵元素的组合算法，计算了它们的行列式和Smith标准形。结果表明，两者都与特定的d角无关，行列式是d-1的幂，而初等因子只取d-1和1。我们还表明，在我们的设置中得到的广义frieze模式中，每个相邻的2x2-行列式是0或1，我们给出了一个组合的标准，当它们是1，在d=3的情况下，返回的Conway-Coxeter条件frieze模式。
Friezes for a pair of pants
Frieze图案是满足局部算术规则的数字排列。这些安排积极研究与理论的集群代数。在集群代数的设置中，frieze模式的概念可以被推广，特别是与赋有装饰双曲度量的有边标记表面相关联的frieze。我们研究与一条裤子相关的中楣，将中楣的条目解释为连接标记点的弧长。我们证明了所有的正整数friezes在这样的表面是酉的，即它们产生于三角剖分与所有的边缘有单位的长度。
Conway Symbols of Frieze Patterns of Dynkin Types
本文分类了 Dynkin 类型花边图案的 Conway 符号，揭示了其由三角剖分对称性决定，并给出了非单李型及 D 型的具体分类结果。
Frieze matrices and infinite frieze patterns with coefficients
本文针对任意无限frieze模式引入一种新型矩阵，并借此为Baur-Marsh提出的frieze行列式结果提供了新证明。
Cluster algebraic interpretation of infinite friezes
最初由康威和考克斯特研究，中楣出现在各种娱乐数学出版物在20世纪70年代。最近，在2015年，鲍尔、帕森斯和查博尔德构造了周期性的无限中楣，并将它们与曾经被刺穿的圆盘和环中的匹配数字联系起来。在本文中，我们研究这样的无限friezes与眼睛对集群代数的D型和仿射A，分别。通过研究无限friezes与洛朗多项式条目，我们发现新的对称性和公式有关的条目，这个friezes到另一个。最后，我们还提出了一个对应Broline，Crowe和Isaacs的经典匹配元组和组合解释的元素从曲面的集群代数。
Penrose tilings, infinite friezes, and the $A_\infty$-singularity
本文用 Cohen–Macaulay 表示论将彭罗斯镶嵌对应到 $A_\infty$ 奇点范畴的子范畴，并推广簇特征标以构造非周期无限饰带模式。
Periodic Infinite Frieze Patterns of Type $Λ_{p_1,\ldots,p_n}$ and Dissections on Annuli
有限的frieze模式与条目$\mathbb{Z}[λ_{p_1},\ldots,λ_{p_s}]$，其中$\{p_1,\ldots,p_s\} \subseteq \mathbb{Z}_{\geq 3}$和$λ_p = 2 \cos(π/p)$被证明有一个连接到解剖多边形霍尔姆和Jorgensen。我们扩展他们的工作，通过研究无限的中楣图案与这样的入口和解剖环和一次穿刺光盘之间的联系。我们给出了一个算法，以确定是否一个frieze模式与条目在$\mathbb{Z}[λ_{p_1},\ldots,λ_{p_s}]$，有限或无限，来自解剖表面。我们引入商的解剖作为实现的一些frieze模式无法实现的普通解剖。我们还介绍了两个组合解释的条目的雕纹图案从解剖表面。这些解释是Broline，Crowe和Isaacs为$\mathbb{Z}$上的有限frieze模式引入的匹配的推广。
Finite and infinite frieze patterns from p-angulations and a generalization of Weyl groupoids
本文提出基于Chebyshev多项式的算法，将p-角化与蛇形图案类型Λ_p联系起来，并扩展了Weyl群oids的定义，揭示了无限蛇形图案与Cartan图的对应关系。
The Cyclic Sieving Phenomenon and frieze patterns
本文研究了循环求和现象在多边形划分和三角剖分中的应用，并通过双射关系扩展了蛇形图案与 Dyck 路径的联系。
Classifying SL$_2$-tilings
最近，在分类整数中楣和$\text{SL}_2$ -tilings方面取得了重大进展。通常，采用组合方法，涉及区域的三角测量和创造性的计数技术。在这里，我们开发了一个统一的方法，这样的分类使用的双曲平面由理想三角形的Farey图诱导的镶嵌。我们证明了Farey图的几何，数值和组合性质非常适合于分类驯服$\text{SL}_2$ -tilings，正整数$\text{SL}_2$ -tilings，驯服整数friezes -有限和无限。在这样做时，我们得到几何类似物的某些已知的组合模型的平铺涉及三角剖分，我们证明了几个新的结果类似的类型。例如，我们确定了作为正无穷中楣的实质序列的那些正整数的双无穷序列，并给出了一个简单的分类驯服整数中楣的组合模型，推广了Conway和Coxeter关于正整数中楣的经典构造.
On wild frieze patterns
在本说明中，除其他事项外，我们表明：有周期性的野生SLk-frieze模式的条目是正整数。存在条目为正整数的非周期性SLk-中楣图案。有一个SL 3-frieze模式，其条目是正整数，并有无限多个不同的条目。
Infinite friezes of affine type D
该研究针对仿射型$D$丛范畴衍生的无限frieze展开，确定其增长系数，并证明所有由tube给出的仿射型$D$ frieze均具有一致的增长行为。
Pavages additifs
下面是一篇介绍加性中楣图案的文章，将主题与乘法中楣图案联系起来。我们还增加了两个新的定理（见定理2和5）和无限乘法frieze模式的猜想。(the parper是法语）
Frieze patterns in representation theory
本文探讨了纹饰图案与多边形三角剖分、Grassmannian簇代数及其范畴的联系，并聚焦Grassmannian簇范畴与纹饰图案的最新关联。
Spanning triangulations in random graphs
本文研究了随机图中生成k边形的生成三角化阈值，确定了在任意3≤k≤n的情况下，出现生成k边形三角化的概率阈值。
Growth of infinite frieze patterns of affine type
本文研究了通过聚类代数产生的无限条纹图案的增长系数，证明了固定affine类型的聚类类别中，同构和非同构稳定管生成的无限条纹图案具有相同增长系数，并推导了第k个增长系数的显式公式。
All $SL_2$-tilings come from infinite triangulations
一个$SL_2$ -镶嵌是一个双无限矩阵的正整数，使得每个相邻的2 × 2的子矩阵有行列式1。这种镶嵌是康威-考克斯特中楣的无限类似物，它们与簇代数、组合学、数学物理和表示论有着密切的联系。我们表明，通过所谓的康威-考克斯特计数，每一个$SL_2$ -平铺产生从一个三角形的光盘有两个，三个或四个积累点。这改善了早期的结果，只有发现$SL_2$ -tilings无限多项等于1。事实上，我们的方法表明，有大类的平铺只有100多个条目等于1，包括一类平铺没有1的。在后一种情况下，我们表明，最小条目的平铺是唯一的。
Frieze patterns over algebraic numbers
本文研究代数数环上的饰带模式，证明代数数环具有有限个单位当且仅当其为负判别式二次域中的序，并进一步刻画了整数环上非零饰带模式何时归结为 Conway-Coxeter 饰带模式。
Ptolemy relations for punctured discs
我们构造了D_N类型的frieze模式，其条目是穿孔圆盘的相应三角剖分的顶点和三角形之间的匹配数。对于与D_N型Dynkin图的方向对应的三角剖分，我们证明了模式中的数可以解释为相应的Fomin-Zelevinsky簇代数中簇变量的特化.
On the growth of friezes via theta functions
研究证明，给定无环有理型簇代数的管中无限frieze的增长系数相同，利用theta函数的恒等式，扩展了之前在ADE型的结果。
A four vertex theorem for frieze patterns?
给定两个宽度相同且由正数组成的考克斯特中楣图案，选择一行并考虑两个中楣各自条目的差异的周期序列。我们要求在这段时间内，这个序列必须至少改变四次符号的行。我们证明，这是第一和第二个非平凡行的情况下，这是真的，对于所有行，为一个无穷小版本的问题。文章还包含了对四顶点定理和考克斯特的frieze模式的简要材料。
Non-commutative frieze patterns over quaternion algebras and other normed division rings
本文研究赋范可除环（如四元数代数）上的非交换花环，证明范数有限子集上任意高度的花环有限，并确定非分裂四元数代数Lipschitz子环的花环子环。
Planar triangulations with real chromatic roots arbitrarily close to four
我们展示了无限家庭的可平面图的实色根任意接近4，从而解决了一个长期存在的猜想肯定。
There is no tame triangulation of the infinite real Grassmannian
我们证明了在R^ \infty中k平面的无限实格拉斯曼不存在三角剖分，它相对于坐标轴是很好的。在拟阵理论中，这表示没有格拉斯曼细分拟阵分层的三角剖分。这是证明了一个论点在射影几何，考虑一个特定的序列配置的点在平面上。
Planar stochastic hyperbolic infinite triangulations
遵循Angel & Ray的方法，我们引入并研究了一类满足自然空间马尔可夫性的全平面随机无限三角剖分。这些新的随机格自然地推广了Angel & Schramm的均匀无限平面三角剖分（UIPT），并且是双曲的。我们证明，他们表现出急剧的指数体积增长，是非刘维，和简单的随机游动对他们几乎肯定有积极的速度。我们猜想这些无限三角剖分是亏格与大小成正比的一致三角剖分的局部极限。
Uniform infinite planar triangulation and related time-reversed critical branching process
我们建立了一致无限平面三角剖分与某些临界时反分支过程之间的联系。这允许找到半径为R的球的主边界分量对于大R（即，对于将球与无穷远分离的边界分量）的缩放极限。我们还表明，外部的R球的轮廓存在，具有长度线性R。
Infinite Schnyder Woods
本文将施尼德森林推广到无限三角剖分，证明有限边界无限三角剖分和均匀无限半平面三角剖分存在唯一最大施尼德森林，并刻画其作为有限随机三角剖分极限的结构性质。
On a triangulated category which behaves like a cluster category of infinite Dynkin type, and the relation to triangulations of the infinity-gon
本文研究了一类2-Calabi-Yau三角范畴D，其Auslander-Reiten代数为ZA_{\infty} .我们表明，集群倾斜子类别D形成一个所谓的集群结构，我们对这些子类别进行分类，人们可以称之为“三角的无穷大，去”。这让人想起A_n型的簇范畴C，它是一个2-Calabi-Yau三角范畴，其Auslander-Reiten是ZA_n的商。C的簇倾斜子范畴形成一个簇结构，并根据（n+3）-边形的三角剖分进行分类。类别D的行为类似于“A_{\infty}类型的群集类别”。
Volumes in the Uniform Infinite Planar Triangulation: from skeletons to generating functions
提出了一种计算均匀无限平面三角剖分（UIPT）中特定区域内顶点数母函数的方法。计算主要是组合的味道和主要工具是分解的UIPT到层，称为骨架分解，介绍了Krikun。特别是，我们得到明确的公式的生成函数的顶点数内壳（或完成度量球）为中心的根，和这些壳的测地线片内的顶点数。我们还恢复已知的结果有关的体积的缩放限制的船体先前获得的Curien和Le Gall通过研究剥离过程的UIPT。
$SL_k$-Tilings and Paths in $\mathbb{Z}^k$
$SL_k$平铺是一个双无限整数数组，所有相邻的$k\times k$子式都等于1，所有相邻的$(k+1)\times (k+1)$子式都等于0。$SL_k$ -tilings是由Bergeron和Littenauer提出和研究的，它在$k=2$的情况下推广了Conway-Coxeter frieze模式的概念。在最近的一篇论文中，Short证明了Farey图中约化有理数的双无限路径与$SL_2$ -拼接之间的一个双射。我们将这一结果扩展到更高的$k$通过构建一个双射$SL_k$ -tilings和某些双无限带的矢量在$\mathbb{Z}^k$称为路径。证明中的关键成分是与Plücker friezes和Grassmannian cluster代数的联系。作为一个应用，我们得到的结果，周期性，对偶性和积极的平铺。
An infinite family of tight triangulations of manifolds
给出了$d\geq 2$的$d$-流形的点传递紧三角剖分的一个显式构造。更明确地说，对于每个$d\geq 2$，我们构造了两个$(d^2+5d+5)$-顶点相邻三角剖分的$d$-流形，其顶点链接是堆叠的球。目前已知的此类紧三角化流形的唯一其他非平凡系列是Kühnel构造的具有$2d+3$顶点的非单连通三角化$d$-流形系列。我们构造的流形是强极小的。对于$d\geq 3$，它们也是Lutz、Sulanke和Swartz定义的紧密相邻关系。像屈内尔复形一样，我们的流形在偶数维是可定向的，在奇数维是不可定向的。
Flip graphs for infinite type surfaces
我们与无限型曲面的三角剖分相关联的一类翻转图，其中允许同时翻转。我们的主要重点是了解究竟当两个三角形可以通过一系列的翻转。我们的结果的一个后果是，翻转图的无限型表面有不可数许多连通组件。
Ideally, all infinite type surfaces can be triangulated
我们证明了任何无限型曲面都存在理想三角剖分。此外，我们表明，一组不相交的弧可以完成成一个三角剖分，当且仅当，作为一个集合，他们相交的每一个简单闭曲线有限的次数。
Phase transition for the Ising model on the Critical Lorentzian triangulation
研究了无外场时均匀分布采样的无限洛伦兹三角剖分上的伊辛模型。我们证明了吉布斯测度在高温区域的唯一性和至少两个吉布斯测度在低温区域的共存性。证明是基于分歧渗透法和Peierls方法的一个变种。临界温度被证明是常数a.s.
$SL_2$-tilings with translational symmetry
本文研究了具有平移对称性的正整数 $SL_2$-tilings 与环形区域三角剖分之间的双射关系，并探讨了其周期性性质。
SL_2-tilings and triangulations of the strip
SL_2-镶嵌是Assem，Littenauer和Smith在研究frieses及其在簇代数中的应用时引入的。SL_2-镶嵌是一个正整数的双无限矩阵，使得每个相邻的2 × 2-子矩阵具有行列式1。我们构造了一大类新的SL_2-镶嵌，它包含了以前已知的。更确切地说，我们证明了我们的类SL_2-tilings和某些组合对象，即三角带之间的双射。
Geometric properties of spin clusters in random triangulations coupled with an Ising Model
我们调查的几何形状的一个典型的自旋集团在随机三角形采样的概率成正比的伊辛配置的能量在他们的顶点，无论是在有限和无限的体积设置。该模型在一个明确的临界温度下经历组合相变，其分拆函数具有与均匀映射不同的渐近行为。这项工作的目的是给这个相变的几何证据。在无限体积的设置，称为无限伊辛平面三角形，我们表现出一个相变的存在一个无限的自旋集群：临界和超临界温度下，根自旋集群几乎肯定是有限的，而它是无限的正概率亚临界温度。值得注意的是，我们能够得到一个明确的参数表达式，这个概率，它允许证明的渗流临界指数是$β=1/4$。我们还推导出临界指数的尾部分布的周长和体积的根自旋集群，无论是在有限和无限的体积设置。最后，我们建立了根自旋团簇作为循环树的界面的标度极限。特别是在整个超临界温度制度，我们证明了临界指数和循环树极限是相同的临界伯努利网站渗流。我们的证明混合组合和概率参数。该方法以垫片分解为出发点，充分利用了模型的空间马尔可夫性。这种分解使我们能够表征根自旋集团作为玻尔兹曼平面映射在有限体积设置。然后，我们结合精确的组合结果，通过分析组合学和玻尔兹曼映射的普遍特征，建立我们的结果。
Classifying integer tilings and hypertilings
本文通过推广费马图的方法，对整数铺砌和超铺砌进行了分类，揭示了其与三角化多边形的lambda长度和权重数据的关系。
Infinite circle packings on surfaces with conical singularities
本文证明了在满足 Gauss-Bonnet 不等式的带穿孔曲面上，给定无限三角剖分和小于 π 的目标锥角，必存在支持相应圆填充的双曲度量；并构造出同一共形类中具有无穷多个锥双曲结构的反例，与闭曲面情形的 Kojima-Mizushima-Tan 猜想形成鲜明对比。
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