The one-dimensional KPZ equation and its universality class
Jeremy Quastel, Herbert Spohn
在过去的五年中，我们对一维KPZ方程，\textit{alias}噪声Burgers方程的理解有了很大的进展。我们提供了一个非技术性的审查，我们限制自己的随机PDE和晶格型模型近似。
Our understanding of the one-dimensional KPZ equation, \textit{alias} noisy Burgers equation, has advanced substantially over the past five years. We provide a non-technical review, where we limit ourselves to the stochastic PDE and lattice type models approximating it.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The KPZ Universality Class and Related Topics
这些笔记是基于在分析和数学物理的2018亚利桑那州学校给出的谈话。全面介绍了KPZ普适类，这是一类与$1+1$维随机增长过程相关的具有局部相互作用的随机过程。我们描述了一些特性的KPZ普适性类，如标度指数和极限统计。特别是，我们的目标是提取的KPZ普适性类的特征属性，通过理解KPZ随机偏微分方程的一个特殊的离散近似给出的不对称简单排斥过程（ASEP）。与ASEP的联系是非常重要的，因为该过程具有丰富的可积性结构，导致许多精确公式。
Reflected Brownian motions in the KPZ universality class
这本书提出了一个详细的研究系统的相互作用布朗运动在一个维度。相互作用是点状的，使得$n$次布朗运动从具有标签$n-1$的布朗运动反射。该模型属于Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类。事实上，由于奇异的相互作用，许多普适性质可以被严格地建立。这取决于初始条件的选择。讨论地址包装和周期性的初始条件，固定的初始条件，以及它们的混合。适当缩放的空间过程将被证明收敛到艾里过程在长的时间限制。增加了一章关于行列式随机场和另一章关于艾里过程的注释，使注释自成一体。本书作为KPZ通用类的介绍，仅通过单个模型说明主要概念。它将是感兴趣的读者从相互作用的扩散过程和非平衡统计力学。
Integrable fluctuations in the KPZ universality class
KPZ不动点是一个标度不变的马尔可夫过程，它是一维随机界面生长模型的普遍标度极限，即一维KPZ普适类。在这次调查中，我们回顾了建设的KPZ不动点和一些历史，导致它，特别是通过完全不对称的简单排它过程，一个特殊的可解模型类的精确解。我们还解释了如何建设揭示了KPZ不动点作为一个随机可积系统，以及如何从这一点，它的有限维分布满足经典的可积色散偏微分方程，Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程。
Point-interacting Brownian motions in the KPZ universality class
我们讨论相互作用的布朗运动链。它们的时间反演不变性被打破，因为左右邻居之间的相互作用强度的不对称性。在一个非常陡和短程势的极限下，我们得到带有斜反射的布朗运动。对于这个模型，我们证明了转移概率和自对偶的Bethe ansatz公式。在半泊松初始数据的情况下，对偶性用于在任何正时间到达某个参考点左侧的粒子数的生成函数的Fredholm行列式。这个行列式的形式渐近性建立了与Kardar-Parisi-Zhang普适类的联系。
Universality of KPZ equation
我们引入了KPZ方程能量解的概念。在最小的假设下，我们证明了一维弱非对称保守粒子系统相对于定态的密度涨落是由KPZ方程的能量解给出的.因此，我们证明了Cole-Hofp解也是KPZ方程的能量解。
KPZ universality class and the anchored Toom interface
我们重新访问锚定的Toom界面，并使用KPZ标度理论认为，界面的波动是由Airy_1过程的空间和时间的作用互换。没有自由参数。在定态下的时空统计的预测数值很好地证实。特别是界面的空间波动由Tracy和Widom的GOE边缘分布给出。
Universality of deterministic KPZ
考虑任意维的确定性增长曲面，其中某点的增长是该点及其相邻点高度的任意非线性函数。假设这个非线性函数是单调的，不变的对称性下的晶格，等变下的恒定移位，和两次连续可微，它表明，任何这样的增长表面接近一个解决方案的确定性KPZ方程在一个合适的时空尺度限制。
On the upper critical dimension of the KPZ universality class: KPZ and related equations on a fully connected graph
研究显示，在完全连接图上KPZ非线性在大N极限下无关，导致EW类动力学，界面渐近平坦。
A pedestrian's view on interacting particle systems, KPZ universality, and random matrices
这些笔记是基于作者在SFB/TR 12的Langeoog研讨会上向数学家和理论物理学家的混合听众发表的演讲“介观系统中的对称性和普遍性”。在简要介绍了平衡态和非平衡态的基本物理概念后，介绍了一维简单排斥过程作为一个典型的非平衡相互作用粒子系统。导出了环上的定态测度，并简述了流体动力极限的概念。然后，我们介绍了唯象的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程，并解释了相关的普遍性猜想的表面波动的增长模型。其次是详细阐述了一个开创性的论文约翰森，涉及目前的波动完全不对称的简单排除过程（TASEP）的特雷西Widom分布的随机矩阵理论。这一结果的影响进行了讨论的框架内的KPZ猜想。
Renormalization fixed point of the KPZ universality class
一维Kardar-Parisi-Zhang普适类被认为描述了具有相同特征标度指数的许多类型的演化界面。这些指数导致自然的重整化/重新缩放的空间，这样不断发展的接口。利用具有平稳独立增量的随机非线性半群，通过变分公式，引入并描述了Kardar-Parisi-Zhang普适类的重整化不动点.此外，我们还利用复制Bethe模型计算了一个合理的精确转移概率公式。该半群是从艾里单，一个四参数的时空场，这是艾里2过程在其两个空间坐标中的每一个。通过这个场的最小化路径描述了无规势场中定向聚合物的重整化群不动点。目前，我们提供的结果没有数学上严格的证明，它们最多应该被认为是建议。
Universality of slow decorrelation in KPZ growth
Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类在描述增长模型的极限空间涨落方面取得了很大的成功。一个适当的时间尺度应该引入一个非平凡的时间维度，这些限制波动。在一维空间中，KPZ类的动力学标度指数为$z=3/2$，这意味着在时间标度为$t\,T$，空间标度为$t^{2/3} X$，涨落标度为$t^{1/3}$的情况下，应该找到一个普适的时空限制过程.在本文中，我们提供的证据，这一信念。我们证明了在一定的假设下，增长模型显示时间缓慢的去相关。也就是说，在上述缩放中，对于任何$ν<1$，$t\, T$和$t\, T+t^ν$的时间限制空间过程是相同的。已知的假设是满足某些最后一次通过渗流模型，多核生长模型，和完全/部分不对称的简单排斥过程。使用缓慢的去相关，我们可以将已知的波动极限结果扩展到相关函数未知的时空区域。我们开发的方法需要最小的期望假设慢去相关举行，并提供了一个简单而直观的证明，适用于各种各样的模型。
van den Berg-Kesten--type correlation inequalities for disjoint polymers in the KPZ universality class
本文证明了KPZ统一性类中不相交聚合物的BK不等式，利用log gamma聚合物的可积性与几何RSK对应关系，用于分析KPZ线集和证明KPZ方程的上尾估计。
KPZ equation limit of higher-spin exclusion processes
我们证明了在一个特定的弱标度下，由Corwin和Petrov引入的四参数相互作用粒子系统收敛于KPZ方程。这扩展了相对较少的系统，其中KPZ方程的弱普适性已被证明。
Some algebraic structures in KPZ universality
我们回顾了KPZ普适类模型的一些代数结构和组合结构，重点是Robinson-Schensted-Knuth对应及其由A. N. Kirillov提出的几何提升。我们介绍了如何使用这些组合结构来分析KPZ类中可解模型的结构，并通过连接到表示论对象（如Schur，Macdonald和Whittaker函数，Young tableaux和Gelfand-Tsetlin模式）来计算其统计数据。我们还介绍了如何基本的表示理论的概念，如柯西身份，皮耶里规则和分支规则，可以使用，旁边RSK对应，并可以与概率的想法相结合，以构建可积的随机动力学的二维数组的Gelfand-Tsetlin型，在耦合不同的一维随机过程的方式。例如，相互作用的粒子系统，一方面，与随机矩阵的特征值相关的过程，另一方面，从而照亮了随机矩阵分布在相互作用的随机过程中的出现。这些说明的目的是揭示一些支配性原则，这些原则推动了该领域的大量发展。
Riemann surfaces for KPZ with periodic boundaries
研究了具有无限维超立方体拓扑的半整数指标多项式的Riemann曲面与有限体积中一维KPZ普适性的关系。已知的精确结果波动的KPZ的高度与周期性的边界表示在亚纯函数在这个黎曼表面上，总结了所有的表覆盖映射到一个无限的圆柱。连接到固定的大偏差，粒子-空穴激发和KdV孤子进行了讨论。
Half-space KPZ equation from a class of nonlinear SPDEs
从一类非线性SPDE在弱非线性标度下推导出半空间KPZ方程，首次在可积模型之外建立半空间普适性结果。
The Kardar-Parisi-Zhang equation and universality class
布朗运动是一类随机过程的连续标度极限，在发展其性质（如分布函数或规律性）的理论和扩展其普适性类的广度方面取得了巨大成功。在过去的25年里，出现了一个新的普适类来描述一系列重要的物理和概率模型（包括一维界面生长过程，随机环境中的相互作用粒子系统和聚合物），这些模型显示出独特的，尽管不寻常的，标度和新的统计。这个类被称为Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类，它的基础又是一个连续体对象--一个非线性随机偏微分方程--被称为KPZ方程。本调查的目的是解释的背景下，以及内容的一些数学突破，最终在推导的精确公式的分布函数的KPZ方程开始与{ \it窄楔形}的初始数据。重点讨论了三个问题：（1）弱不对称简单排它过程对KPZ方程的近似;（2）窄楔形初始条件下KPZ方程解的精确单点分布的推导;（3）随机介质中定向聚合物的联系.由于本文的目的是调查和审查，我们作出精确的陈述，但只提供启发式的论点，表明必要的技术复杂性，使这种论点在数学上严格。
Energy solutions of KPZ are unique
建立了描述弱非对称界面生长涨落的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程。在这里，我们提供了KPZ方程在实数线上的第一个内在适定性结果，证明了它的能量解（由Gonçalves和Jara引入，后来由Gubinelli和Jara改进）是唯一的。再加上文献中已经出现的各种收敛结果，这建立了广泛的一类模型的弱KPZ普遍性猜想。一个值得注意的结果是KPZ方程的能量解不等于Cole-Hopf解，但它涉及到一个额外的漂移$t/12$。
On global solutions of the random Hamilton-Jacobi equations and the KPZ problem
在本文中，我们讨论了可能的定性方法的问题KPZ的普遍性。在整个文件中，我们的观点是基于几何和动力学性质的极小和冲击形成交错的树状结构。我们认为，KPZ的普遍性可以解释这些结构随时间演变的统计。本文主要研究随机Hamilton-Jacobi方程的建立。我们制定了几个关于整体解决方案，并讨论它们的属性是如何连接到KPZ标度在1+1维。在一般粘性Hamilton-Jacobi方程的情况下，非二次哈密顿，我们定义广义定向聚合物。我们预计，它们的行为是类似于经典定向聚合物的行为，并提出赞成这一猜想的论据。我们还定义了一个新的重正化变换定义在纯几何方面，并讨论了相应的不动点的几何性质。我们的大多数结构是广泛开放的，只有部分严格的结果支持特定的模型。
Finite time corrections in KPZ growth models
我们考虑Kardar-Parisi-Zhang普适类中的一些模型，即多核增长模型和完全/部分不对称简单排斥过程。对于这些模型，在大时间t的限制下，波动的普适性先前已经得到。在本文中，我们考虑收敛到极限分布，并确定（非通用）的一阶修正，这是一个非随机移位的顺序t^{-1/3}（在微观单位的顺序1）。减去这个确定性校正，则收敛为t^{-2/3}阶。我们还确定了强度的不对称的排斥过程中的移位为零。最后讨论了模型的离散性对拟合函数的影响程度。
Non-Abelian Hirota-Miwa Equations for the KPZ Universality Class
本研究提出代数框架，推导菱形方程，结合Darboux变换压缩Fredholm数据，将KPZ普适类18个模型的非线性方程验证简化为少量线性条件，证明菱形方程与非阿贝尔Hirota-Miwa系统规范等价。
KPZ Equation from non-simple variations on open ASEP
本文有两个主要目标。第一个是KPZ方程的普遍性波动的动态界面的相互作用的粒子系统在存在的开放边界。我们考虑从[Corwin-Shen '16，Parekh '17]中对开放ASEP的推广，但承认在边界和粒子系统的大部分内的非简单相互作用。这些开放ASEP的变化是不可积的模型，类似于[Dembo-Tsai '15，Y '20]中考虑的ASEP的长程变化。我们建立了KPZ方程与适当的罗宾边界条件作为标度限制的高度函数波动与这些不可积的模型，提供了进一步的证据，上述的普遍性的KPZ方程。我们专注于紧凑域和地址非紧域在第二篇论文。我们用来建立上述定理的过程是本文的第二个要点。存在边界相互作用时的不变测度一般缺乏合理的描述。因此，通过不变测度进行的全局分析，包括[Goncalves-Jara '14，Goncalves-Jara '17，Goncalves-Jara-Sethuraman '15]中的能量解理论，立即受到阻碍。为了绕过这一障碍，我们呼吁[Y '20]中分析的几乎完全局部性质。
(2+1)-dimensional interface dynamics: mixing time, hydrodynamic limit and Anisotropic KPZ growth
随机界面动力学作为数学模型的不同时间依赖的物理现象：热力学相之间的边界，晶体生长，随机沉积的演变。有趣的限制出现在大的空间-时间尺度：适当的重新缩放后，随机演变的接口收敛到一个确定性的PDE（流体力学极限）的解决方案和波动过程（一般非高斯）的限制过程。与$(1+1)$ -维模型的情况相比，$(d+1), d\ge2$维模型的数学结果很少.就增长模型而言，$(2+1)$维的情况特别有趣：D.沃尔夫证明了存在两个不同的普适类（称为KPZ和各向异性KPZ），具有不同的标度指数。在这里，我们回顾了最近的数学结果（可逆和不可逆）动力学的一些$(2+1)$维离散接口，主要是通过映射到二维二聚体模型定义。特别是，在不可逆的情况下，我们讨论的数学支持和剩余的开放问题，沃尔夫的猜想之间的关系的Hessian的增长速度的一边，和普遍性类的模型上的其他。
Fluctuating hydrodynamics for a discrete Gross-Pitaevskii equation: mapping to Kardar-Parisi-Zhang universality class
我们表明，几个方面的离散Gross-Pitaevskii方程（GPE）的低温流体动力学可以理解，通过映射到一个非线性版本的波动流体动力学。这是通过首先将GPE写成连续性和欧拉方程的流体动力学形式来实现的。考虑到守恒律，加上耗散和由于系统的混沌引起的噪声，从而给出了一般的非线性随机场论和特殊情况下的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程.通过研究非零温度动力学结构因子及其标度形式和指数，以离散GPE上的精确哈密顿数值为基准，将该映射映射到KPZ。考虑到Gross-Pitaevskii方程的普遍性（a.k.a.非线性薛定谔方程），范围从非线性光学到冷气体，我们预计这种到KPZ方程的显着映射将具有极其重要的意义和深远的影响。
One-sided reflected Brownian motions and the KPZ fixed point
考虑一类具有变分对偶的单边反射布朗运动系统，该系统具有布朗末次通过渗流。我们表明，它具有可积的转移概率，表示为厄米多项式和指数随机游动的首中时，并且它在1：2：3的标度极限收敛到KPZ不动点，标度不变的马尔可夫过程定义在[MQR17]中，并认为在KPZ普适类的所有模型的长时间大尺度波动。最近在[DOV18]中显示布朗最后一次通过渗流收敛到Airy片（或定向景观），定义为Airy线系综泛函的强极限。这就建立了KPZ不动点在Airy单上的变分公式。
Crossover between various initial conditions in KPZ growth: flat to stationary
我们猜想在大的时间为一个点的高度在一维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）随机增长普适类的普遍概率分布，与初始条件插值从任何一个三个主要类（液滴，平坦，静止）在左边，另一个在右边，允许漂移，也为一个步骤附近的原点。结果是从一个副本Bethe anomaly计算开始的KPZ连续方程，连同一个“解耦假设”在大的时间限制。有些情况下，检查是等价于以前已知的结果，从其他模型在同一类中，这提供了一个测试的方法，其他人似乎是新的。特别是，我们得到了平坦和平稳的初始条件之间的交叉分布（从Airy $_1$到Airy $_{\rm stat}$的交叉）在一个简单的紧凑的形式。
The 1+1-dimensional Kardar-Parisi-Zhang equation and its universality class
本文给出了1+1维Kardar-Parisi-Zhang方程在尖楔初始条件下的精确解。因此，它被证实，连续模型属于KPZ普适性类，不仅关于标度指数，而且关于在长时间限制的高度的全概率分布。
Universal correlators and distributions as experimental signatures of 2+1 Kardar-Parisi-Zhang growth
我们研究了2+1 Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适性类的瞬时生长机制中的高度-高度相关性，特别关注底层两点统计的{ \it空间协方差}，1+1 KPZ类Airy $_1$过程的高维模拟。通过与二维有机薄膜的AFM动力学粗糙化数据的比较，我们使用我们的通用2+1 KPZ空间协方差来提取该实验系统的关键尺度参数。此外，我们探讨了i）高度，ii）局部粗糙度，和iii）极值分布特征的这些低聚物薄膜，发现令人信服的协议在所有情况下与我们的数值积分的KPZ方程本身。最后，研究了2+1 KPZ类模型的非平衡弛豫现象，发现了一个普遍的KPZ时效动力学。在时域中具有大量数据的实验中，我们的2+1 KPZ Euler { \it时间协方差}将允许快速、独立地估计中心KPZ标度参数。
Hairer-Quastel universality in non-stationarity via energy solution theory
本文通过提供建立在能量解理论Goncalves-Jara '14，Gubinelli-Jara '13，Gubinelli-Perkowski '18，Gubinelli-Perkowski '20上的解理论来解决KPZ方程和随机Burgers方程的概率方面。我们采用的观点是研究随机Burgers方程，将其解写成概率解Gubinelli-Perkowski '17加上一个可以用确定性PDE考虑进行研究的项。一个动机是KPZ和随机Burgers方程的某一类随机PDE增长模型的普遍性，首先在Hairer-Quastel '18中研究。为此，我们证明了一般非线性SPDE的普适性，从而扩展Hairer-Quastel '18，Hairer-Xu '19，以及许多非平稳初始数据，从而扩展Gubinelli-Perkowski '16。我们的观点也让我们证明了显式的收敛速度的白噪声不变测度的随机Burgers为非平稳的初始数据，特别是扩展Gubinelli-Perkowski '20的频谱间隙的结果超出平稳的初始数据，虽然对于非平稳数据，我们的收敛将测量Wasserstein距离和相对熵，而不是通过频谱间隙在Gubinelli-Perkowski '20。实际上，我们将Gubinelli-Perkowski '20中的谱隙推广到一个log-Sobolev不等式。我们的方法也可以分析分数随机Bu…
An appetizer to modern developments on the Kardar-Parisi-Zhang universality class
Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适性类描述了广泛的非平衡波动，包括生长界面，定向聚合物和粒子输运等。自2000年以来，基于精确解的数学物理方法使我们对一维KPZ类的理解得到了更新。从那时起，数学物理就发挥了核心作用，导致了无数新的发展，但它们的影响显然不仅限于数学--事实上，它也可以通过实验来研究。这些讲义的目的是提供一个介绍该领域是访问非专业人士，审查KPZ类的基本属性和突出的主要物理成果的数学发展自2000年以来。它是写在一个简短和自足的方式，重点放在物理直觉和影响，而只有一小部分（大多数不是最新的）数学发展可以涵盖。本文还介绍了作者和同事的液晶实验。
KPZ-type fluctuation exponents for interacting diffusions in equilibrium
我们考虑系统的$N$扩散在平衡相互作用通过一个潜在的$V$。我们研究了一个“高度函数”的特殊选择$V(x) = \e^{-x}$，符合分拆函数的固定半离散聚合物，也被称为（固定）O 'Connell-Yor聚合物。对于一般类的光滑凸势（推广的O 'Connell-Yor的情况下），我们得到的高度函数的波动顺序证明匹配的上界和下界的方差顺序$N^{2/3}$，预期的缩放模型躺在KPZ普适性类。我们研究的模型预计不会是可积的，我们的方法是解析的和非微扰的，没有使用明确的公式或O 'Connell-Yor聚合物的任何结果。
Aging for the stationary Kardar-Parisi-Zhang equation and related models
研究了KPZ普适类中平稳模型的老化性质。特别是，我们显示老化的固定KPZ不动点，Cole-Hopf解决方案的固定KPZ方程，高度函数的固定TASEP，最后一次通过渗流边界条件和固定定向聚合物在中间无序制度。所有这些模型都显示出普遍的老化行为，其特征在于它们的相关性的衰减率。作为比较，我们显示老化模型在爱德华-威尔金森普适性类中获得不同的衰减指数。我们证明的一个关键因素是时空平稳性的一个特征-协方差到方差的减少-它允许通过一个点的方差来推导两个时空点的相关性的渐近行为。我们提出了几个开放的问题。
Differential equations for the KPZ and periodic KPZ fixed points
该研究针对KPZ与周期KPZ不动点，证明窄楔初始条件下其多点分布可用可积算子表示，发现这类算子关联多种矩阵可积微分方程，并将相关微分方程从单点、等时多位置分布推广到多时多位置情形。
Quest for the golden ratio universality class
本文利用模式耦合理论推导一维驱动系统守恒模式动力学普适类的条件，并借助Onsager对称性排除部分微观模型，指出黄金比例普适类仅在反对称且相关时出现，同时证明对噪声谐振子链的预测精确。
Stochastic Burgers Equation via Energy Solutions from Non-Stationary Particle Systems
证明了一类不可积、非定常相互作用粒子系统的随机Burgers方程是密度涨落的“临界”标度极限，该随机Burgers方程通过弱导数与Kardar-Parisi-Zhang/KPZ方程相联系.我们考虑的模型不能通过微观Cole-Hopf变换线性化，也不能直接通过Goncalves-Jara '14的现有能量解理论进行研究。我们开发了一种新的方法的基础上比较固定的模型，一种技术，尚未被应用到KPZ方程的普遍性和nontrivially扩展的一组模型的普遍性得到确认。我们还研究了交叉涨落，并首次证明了非平稳相互作用粒子系统从高斯涨落到KPZ涨落的完整过渡和相图，这在可积模型中还没有完成。我们强调，本文开发的方法适用于一般类的模型/粒子系统，但我们限制到一类零程系统，其非平稳版本已受到广泛的关注，但尚未处理的背景下KPZ，直到现在，以及类的非简单的排斥过程，我们评论。
Evidence for geometry-dependent universal fluctuations of the Kardar-Parisi-Zhang interfaces in liquid-crystal turbulence
我们提供了一份关于液晶湍流中生长界面的尺度不变波动的综合报告，我们最近发现了它们属于1 + 1维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的证据[Phys. Rev. Lett. 104，230601（2010）; Sci. 1，34（2011）]。在这里，我们调查了圆形和平面接口，并详细报告了它们的统计数据。首先，我们证明，他们的波动不仅显示KPZ标度指数，但超越：他们渐近共享，甚至精确的形式的分布函数和空间关联函数共同可解模型的KPZ类，也表现出密切的关系，随机矩阵理论。然后，我们确定其他的统计特性，没有确切的理论预测，特别是时间的关联函数和持久性概率。有限时间效应和极值统计的实验结果。在整个文件中，重点放在如何普遍的统计性质取决于全球几何的接口，即，无论界面是圆形的还是平面的。因此，我们证实了强大的几何依赖的普遍性KPZ类，它管理着不断增长的接口驱动的平衡。
Characterization of the directed landscape from the KPZ fixed point
本文证明了 directed landscape 是满足独立增量、单调性和平移交换性的 KPZ fixed point 的唯一耦合，统一了 KPZ universality class 的两个核心对象，并提供通用框架证明了多种模型向 directed landscape 的收敛。
Solving the KPZ equation
我们引入了一个新的KPZ方程的解的概念，它是对经典的Cole-Hopf解的推广。这个概念提供了一个因式分解的科尔-霍普夫解决方案映入一个“普遍的”可测量的地图，从概率空间到一个明确描述的辅助度量空间，组成一个新的解决方案地图，具有非常好的连续性。这样一个公式的优点是它本质上提供了一个解的路径概念，以及一个非常详细的逼近论。特别是，我们的结构完全绕过了Cole-Hopf变换，从而为证明KPZ方程描述了KPZ普适类中系统的波动奠定了基础。作为推论，我们的建设，我们得到非常详细的新的正则性结果的解决方案，以及其衍生物的初始条件。其他副产品的证明包括一个明确的近似固定的KPZ方程的解决方案，一个适定性的结果为福克-普朗克方程的粒子扩散在一个粗糙的空间-不定常潜在的，和一个新的周期性均匀化结果的热方程的时空周期性的潜力。在我们的建设中的一个成分是一个例子，一个非高斯粗糙路径，使其自然近似的面积过程需要重新正规化的发散项的近似收敛。
Exact short-time height distribution in 1D KPZ equation and edge fermions at high temperature
我们考虑了在弯曲（或液滴）几何中$1+1$维的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程的早期状态。我们表明，对于短时间$t$，概率分布$P(H,t)$的高度$H$在一个给定的点$x$采取缩放形式$P(H,t) \sim \exp{\left(-Φ_{\rm drop}(H)/\sqrt{t} \right)}$的速率函数$Φ_{\rm drop}(H)$是准确计算。虽然它在中心是高斯的，即，对于小的$H$，PDF具有高度不对称的非高斯尾部，我们详细描述了这些尾部。这个函数$Φ_{\rm drop}(H)$令人惊讶地让人想起描述属于KPZ普适类的有限尺寸模型的平稳波动的大偏差函数。由于最近发现的KPZ和自由费米子之间的联系，我们的结果有有趣的影响，在高温下的谐波陷阱中的最右边的费米子的波动和完整的计数统计的边缘。
Two-dimensional Anisotropic KPZ growth and limit shapes
最近的一系列工作集中在所谓的各向异性KPZ（AKPZ）普适类中的二维界面生长模型上，该模型具有类似于Edwards-Wilkinson方程的大尺度行为。与D. Wolf（1991），在所有已知的AKPZ例子中，给出作为斜率$ρ$的函数的生长速度的函数$v(ρ)$具有带负行列式的Hessian（“AKPZ特征”）。虽然到目前为止，通过明确的计算模型验证模型的负性，在这项工作中，我们表明，它实际上有一个简单的几何起源的事实，即流体动力学偏微分方程与这些非平衡增长模型保持欧拉-拉格朗日方程确定某些平衡的二维界面模型的宏观形状。在生长过程的情况下，通过动态定义的二聚体模型在平面晶格上，我们进一步证明了欧拉-拉格朗日方程的保存是等价的调和性的$v$相对于一个自然的复杂结构。
Weakly Asymmetric Non-Simple Exclusion Process and the Kardar-Parisi-Zhang Equation
通过推广GaertnersCole-Hopf变换，分析了一类非简单排斥过程及其相应的增长模型.我们确定了主要的非线性，并通过施加梯度型条件来消除它。对于跳变范围不超过3的情形，利用广义变换证明了排它过程收敛于Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程.这是在KPZ普适性类中关于相互作用粒子系统的第一个普适性结果。虽然这类排斥过程不是显式可解的，但我们利用Amir et al.（2011）的结果和我们的收敛性结果得到了阶跃初始条件的精确单点极限分布。
Time correlations in KPZ models with diffusive initial conditions
该研究针对KPZ普适类随机生长界面的时间相关性问题，以逆伽马聚合物正温模型为框架，得到扩散型一般随机初始条件下不同端点距离聚合物自由能相关性的上下界，方法可推广至零温情形，补充完善了此前的部分研究结果。
Large deviations for the height in 1D Kardar-Parisi-Zhang growth at late times
研究了Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的$1+1$维增长模型中原点高度$H \sim {\cal O}(t)$在后期的极大偏差.我们提出的离散单步生长模型的速率函数，以及连续KPZ方程在液滴几何形状的精确结果。基于我们精确计算的速率函数，我们认为，在KPZ类的模型进行了三阶相变从强耦合到弱耦合相，在晚的时候。
Universality for multiplicative statistics of Hermitian random matrices and the integro-differential Painlevé II equation
研究酉不变Hermite随机矩阵模型特征值的乘性统计量。我们考虑一次切割正规多项式的潜力和一大类乘法统计。我们表明，在大矩阵的限制，几个相关的数量收敛到限制，这是普遍的潜力和家庭的乘法统计考虑。反过来，这样的普遍限制描述的积分微分Painlevé II方程，特别是他们连接随机矩阵模型考虑与窄楔形解决方案的KPZ方程在任何有限的时间。
KP governs random growth off a one dimensional substrate
本文证明一维随机界面边缘分布的对数导数由 KP 方程支配，并揭示其与 KPZ 不动点、TASEP、Tracy–Widom 分布及 KPZ 精确解的联系。
Universal KPZ Fluctuations for Moderate Deviations of Random Walks in Random Environments
本文研究了随机环境中随机游走（RWRE）模型转移概率的中等偏差，证明了其矩向乘性噪声随机热方程（SHE）及 KPZ 方程的普适收敛性，并基于此引入了极端扩散系数。
Macdonald processes, quantum integrable systems and the Kardar-Parisi-Zhang universality class
可积概率已经成为概率论/数学物理/统计力学和表示论/可积系统的一个活跃的研究领域。非正式地，可积概率系统有两个性质：1）可以写出系统的各种有趣的可观测量（或函数）的期望的简洁和精确的公式。2)系统的渐近性和相关的精确公式提供了对无序系统的大普适类和普适标度极限的性质和统计的精确描述。在这里，我们专注于可积的概率系统的例子有关的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）的普遍性类，并解释他们的可积性源于连接与对称函数理论和量子可积系统。
Tail of the two-time height distribution for KPZ growth in one dimension
对于Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类所描述的一维增长模型，如何获得精确的多时间相关性是一个悬而未决的问题。在这里，我们研究的联合概率分布函数（JPDF）的高度的KPZ方程与液滴的初始条件，在两个不同的时间$t_1<t_2$，在限制，其中两个时间是大的，它们的比例$t_2/t_1$是固定的。这映射到具有两个不同长度和相同随机势的两个定向聚合物的自由能的JPDF。当JPDF的一个自变量（即$t_1$的KPZ高度）为大且正值时，利用复制Bethe变换（RBA）方法得到了JPDF的精确尾部.我们的公式在两个极限之间插值，其中JPDF为：（i）对于$t_2/t_1 \to +\infty$，为两个GUE Tracy-Widom（TW）分布的乘积;（ii）对于$t_2/t_1 \to 1^+$，为GUE-TW分布和Baik-Rains分布（与平稳KPZ演化相关）的乘积。在时间$t_2$的高度的最低累积量，在时间$t_1$的一个条件下，被解析地表示为这些限制周围的扩展，并对任意$t_2/t_1$进行数值计算。此外，我们计算连接的两个时间的相关性，条件是一个足够大的值在$t_1$，提供了一个定量预测的所谓的持久性的相关性（或遍历性打破）从液滴初始条件的时间演化。我们的RBA结果进行了比较，根据艾里过程的参数，令人满意的协议。这些预测对KPZ类中的所有模型都是通用的，并且应该在…
A class of growth models rescaling to KPZ
我们考虑了一大类的$1+1$维连续界面生长模型，我们表明，在弱不对称和中间无序制度，这些模型收敛到KPZ方程的Hopf-Cole解决方案。
KPZ line ensemble
对于每个$t\geq 1$，我们构建了一个随机连续曲线的$\mathbf{N}$索引集合，具有三个性质：1。最低指标曲线分布为Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）随机偏微分方程的时间$t$ Hopf-Cole解，初始数据为窄楔形; 2.整个系综满足我们称之为$\mathbf{H}$ -布朗吉布斯性质（具有$\mathbf{H}(x)=e^{x}$）的resonant不变性; 3.当以$-t/24$为中心，并以$t^{1/3}$为垂直尺度，以$t^{2/3}$为水平尺度缩小时，最低指数曲线的增量相对于布朗桥保持一致绝对连续（即具有紧密的Radon-Nikodym导数），因为时间$t$趋于无穷大。该构造使用O 'Connell发现的与O' Connell-Yor半离散布朗聚合物有关的扩散、该扩散的最低指数曲线的Nica对具有窄楔形初始数据的KPZ方程的解的收敛结果以及Amir-Corwin-Quastel证明的用于具有窄楔形初始数据的KPZ方程的解的单点分布公式作为输入。我们提供了这种结构的四个主要应用：1。均匀（$t$走向无穷大）布朗绝对连续性的时间$t$解决方案的KPZ方程与窄楔形的初始数据，即使当缩放垂直由$t^{1/3}$和水平由$t^{2/3}$ ; 2。$t^{1/3}$单点（垂直）涨落尺度对一般初始数据下KPZ方程解的普适性; 3.连续定向无规聚合物终点在$t…
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