Some results on the Hardy space H1 associated with the Dunkl operators
Chokri Abdelkefi, Mongi Rachdi
本文在Dunkl分析中研究了原子Hardy空间H1上的基本算子的作用。
In the present paper, we investigate in Dunkl analysis, the action of some fundamental operators on the atomic Hardy space H1.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hardy-type inequalities for Dunkl operators with applications to many-particle Hardy inequalities
本文研究了Dunkl算子的Hardy不等式的各种形式，包括经典的Hardy不等式、$L^p$不等式、改进的Hardy不等式、Rellich不等式和Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的一个特例.因此，证明了广义根系的一维多粒子Hardy不等式，在根系$A_{N-1}$的特殊情况下，改进了一些著名的结果.
Hardy spaces for the Dunkl harmonic oscillator
令$Δ$和$L=Δ-\|\mathbf x\|^2$分别是Dunkl拉普拉斯算子和Dunkl谐振子。本文利用半群$e^{tL}$的非切极大函数定义了与Dunkl谐振子相关的Hardy空间$\mathcal H^1$.我们证明了空间$\mathcal H^1$允许相关的里斯变换和原子分解的特征。在原子分解中出现的原子是局部类型的。
Riesz transforms characterizations of Hardy spaces $H^1$ for the rational Dunkl setting and multidimensional Bessel operators
我们通过里斯变换刻画了Hardy空间$H^1$在有理Dunkl设置与反射群$\mathbb Z_2^n$。作为推论，我们得到了$(0,\infty)^n$中Bessel算子乘积的$H^1$的里斯变换特征.
Hardy's type inequality for the over critical exponent associated with the Dunkl transform
\begin{abstract} For the Hardy space $H^p(\mathbb{R}^{d})$, $ 0<p\leq 1,$ we shall improve a Hardy's type inequality associated with Dunkl transform respect to the measures $dμ_{k}$ homogeneous of degree $γ,$ on the strip $(2γ+d)(2-p)\leqσ<2γ+d+p(N+1),$ where $N =[(2γ+d)(1/p-1)]$ is the greatest integer not exceeding $(2γ+d)(1/ p -1).$ \end{abstract}
Harmonic functions, conjugate harmonic functions and the Hardy space $H^1$ in the rational Dunkl setting
在这项工作中，我们扩展了经典的Hardy空间$H^1$的理论，合理的Dunkl设置。具体地说，令$Δ$是欧几里得空间$\mathbb{R}^N$上的Dunkl Laplacian。在半空间$\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^N$上，我们考虑共轭$(\partial_t^2+Δ_{\mathbf{x}})$ -调和函数系统满足适当的一致$L^1$条件.证明了构成实Hardy空间$H^1$的这种调和函数的边值可以用原子、Riesz变换、极大函数或Littlewood-Paley平方函数等不同方法刻画.
The dual of the Hardy space associated with the Dunkl operators
有理Dunkl算子是与根系相关联的欧几里得空间$R^d$上的可交换微分反射算子，它包含一些非局部反射项，相应的Hardy空间是通过Dunkl算子的里斯变换定义的.本文的目的是证明它的对偶可由$R^d$上的一类函数实现，文中记为$BMC_κ$，它由一类加权Carleson测度的底层函数组成.我们的方法是“纯分析”的，不依赖于原子分解。作为推论，我们得到了$BMC_κ$中函数的Festerman-Stein分解.
Hardy spaces associated with One-dimensional Dunkl transform for $\frac{2λ}{2λ+1}<p\leq1$
本文研究了在0<p<=1的范围内，与Dunkl设置在实直线上相联系的Hardy空间的实方法。
Schrödinger operators with reverse Hölder class potentials in the Dunkl setting and their Hardy spaces
对于$\mathbb R^N$中的归一化根系$R$和多重性函数$k\geq 0$，令$\mathbf N=N+\sum_{α\in R} k(α)$。设$L=-Δ+V$，$V\geq 0$是$\mathbb R^N$上的Dunkl-Schr dinger算子.假设存在$q >\max(1,\frac{\mathbf{N}}{2})$，使得$V$属于反向Hölder类$\text{RH}^q(dw)$。本文证明了$L$的Festivalman-Phong不等式.作为一个应用，我们得出结论：Hardy空间$H^1_{L}$，这是最初定义的极大函数与半群$e^{tL}$，允许一个原子分解与局部原子在Goldberg意义下，其中他们的本地化适应于$V$。
Remark on atomic decompositions for Hardy space $H^1$ in the rational Dunkl setting
令$Δ$是与归一化根系$R$和多重性函数$k(α)\geq 0$相关联的$\mathbb R^N$上的Dunkl Laplacian。如果非切极大函数$\mathcal M_H f(\mathbf x)=\sup_{\| \mathbf x-\mathbf y\|<t} |\exp(t^2Δ)f(\mathbf x)|$属于$L^1(w(\mathbf x)\, d\mathbf x)$，则称函数$f$属于Hardy空间$H^1_Δ$，其中$w(\mathbf x)=\prod_{α\in R} |\langle α,\mathbf x\rangle|^{k(α)}$。我们证明了在Coifman-Weiss意义下的齐型空间上，$H^1_Δ$与被理解为原子Hardy空间的空间$H^1_{\rm atom}(\mathbb R^N, \| \mathbf x-\mathbf y\|, w(\mathbf x)d\mathbf x)$一致.为此，我们改进估计的热核$e^{tΔ}$。
Riesz transform characterization of Hardy spaces associated with Dunkl--Schrödinger operators
本文利用Riesz变换刻画与Dunkl-Schrödinger算子相关的Hardy空间$H_L^1$，在局部积分和半群衰减条件下建立等价范数，适用于任意根系。
Variable Hardy spaces in the Dunkl Setting
研究在邓克尔情形下利用离散Littlewood - Paley平方函数定义新变Hardy空间，借助相关理论考虑其原子分解特征，最终获得涉及特定度量的邓克尔 - Calderón - Zygmund奇异积分的变Hardy空间有界性。
Dual spaces and T1 theorem of variable Dunkl--Hardy spaces
研究变 Dunkl - Hardy 空间的对偶空间，采用离散 Dunkl - Calderón 再生公式等方法确定对偶空间，并通过多种论证证明作用于该空间及其对偶空间的 Dunkl - Calderón - Zygmund 算子的 T1 定理。
Cesàro operator on Hardy spaces associated with the Dunkl setting ($\frac{2λ}{2λ+1}<p<\infty$)
对于具有$λ>0$的$p>\frac{2λ}{2λ+1}$，Hardy空间$H_λ^{p}(\mathbb{R}^{2}_+)$与直线上的Dunkl变换$\mathscr{F}_λ$和Dunkl算子$D_x$相关联，其中$D_xf(x)=f'(x)+\fracλ{x}[f(x)-f(-x)]$是上半平面$\mathbb{R}_+^2=\big\{(x, y): y>0\big\}$上的函数$F=u+iv$的集合，满足$λ$-Cauchy-Riemann方程：$D_xu-\partial_y v=0, \partial_y u +D_xv=0$和$\sup_{y>0}\int_{\mathbb{R}}|F(x, y)||x|^{2λ}dx<0$。本文研究了Cesàro算子在$H_λ^{p}(\mathbb{R}^{2}_+)$上的有界性.我们将证明以下不等式$$ \|C_αf\|_{H_λ^p(\mathbb{R}_+^2)}\leq C\|f\|_{H_λ^p(v_+^2)},$$对于$\frac{2λ}{2λ+1}< p<\infty$，其中C依赖于$α$，$p$，$λ$，并且Cesàro算子$C_α$的平均函数是具有$α>0$的$ϕ_α(t)=α(1-t)^{α-1}$。
Sharp Hardy-Rellich Type Inequalities Associated with Dunkl Operators
本文在某些G-不变域上得到了经典Lp Hardy不等式对具有尖常数$\left(\frac{p-N-2γ}{p}\right)^{p}$的$p > N + 2γ$的Dunkl类比，其中$2γ$是与Dunkl算子相关的权函数的次数，以及具有距离函数的$L^p$ Hardy不等式.此外，我们证明了Dunkl算子的两个尖锐的Hardy-Rellich型不等式。
Some estimates of weighted Hardy-Littlewood operators and their commutators on mixed Morrey-type spaces in the Dunkl setting
本文在Dunkl环境下研究了加权Hardy-Littlewood算子及其交换子在混合Morrey型空间中的有界性条件及范数估计。
A Remark on Hörmander Multipliers on Dunkl Hardy Spaces
本文在 Dunkl Hardy 空间上证明了 Hörmander 乘子定理，给出了乘子有界性的充分条件，推广了经典结果。
Hardy-type inequalities for fractional powers of the Dunkl--Hermite operator
证明了分数阶Dunkl-Hermite算子的Hardy型不等式，并由此得到了分数阶谐振子的Hardy不等式.我们的想法是使用$h$ -谐波扩展，以减少在Dunkl-Hermite上下文中的拉盖尔设置的问题。在此基础上，我们提出了一种基于非局部背景表示的方法。L. Frank，E. H. Lieb和R. Seiringer在欧氏空间中，得到了分数型Laguerre算子的一个Hardy不等式.上述方法被证明是适用于一个抽象的设置，只要有一个“好”的谱定理和一个整表示的分数算子。
The dual of the Hardy space associated to the Dunkl-Schrödinger operator with reverse Hölder class potential
本文研究了Dunkl-Schrödinger算子相关的Hardy空间H_{\Tilde{\mathcal{L}}_k}^1的对偶空间BMO(\mathcal{L}_k)，通过原子分解给出了其特征，并建立了uncentered极大函数在该空间上的有界性。
Poisson representations of Dunkl harmonic functions satisfying a Carleson condition
该研究证明了满足Carleson条件的上半空间光滑Dunkl调和函数可表示为BMO(dw)函数的Poisson积分，适用于任意有限根系和非负重数，通过有限维系统增量估计与Dunkl Hardy空间原子刻画完成证明。
Hörmander's multiplier theorem for the Dunkl transform
对于$\mathbb R^N$中的归一化根系$R$和多重性函数$k\geq 0$，令$\mathbf N=N+\sum_{α\in R} k(α)$。用$dw(\mathbf x)=\prod_{α\in R}|\langle \mathbf x,α\rangle|^{k(α)}\, d\mathbf x $表示$\mathbb R^N$中的相关测量。令$\mathcal F$代表Dunkl变换。给定$\mathbb R^N$上的有界函数$m$，证明了若存在$s>\mathbf N$使得$m$满足经典的Hörmander条件且光滑$s$，则乘子算子$\mathcal T_mf=\mathcal F^{-1}(m\mathcal Ff)$是弱型$(1,1)$，对$1<p<\infty$是强型$(p,p)$，且在相应的Hardy空间$H^1$上有界.为此，我们研究了Dunkl平移和Dunkl卷积算子，并证明了如果$F$是充分正则的，例如它的某个Schwartz类范数是有限的，则Dunkl卷积算子与函数$F$是有界的$L^p(dw)$为$1\leq p\leq \infty$。我们还考虑了与Schwartz类函数的Dunkl卷积相关的极大算子的有界性。
Mixed norm estimates for the Riesz transforms associated to Dunkl harmonic oscillators
本文研究了Dunkl谐振子的里斯变换的加权混合模估计。其思想是证明所需的不等式等价于某些向量值不等式的算子定义的拉盖尔展开。在某些情况下，主要结果可由Hermite里斯变换的相应结果导出.
Calderon's reproducing formula and extremal functions associated with the linear canonical Dunkl wavelet transform
本文研究线性典范 Dunkl 连续小波变换，建立 Calderón 再生公式与再生核 Sobolev 空间，并刻画相关极值函数及其结构性质。
On the Boundedness of Generalized Fractional Integral Operators in Morrey Spaces and Camapanato Spaces associated with the Dunkl Operator on the Real line
本文针对已有Dunkl型分数次积分算子有界性研究基础，进一步探究广义Dunkl型分数次积分算子及其修正版本在Dunkl型Campanato空间上的有界性，拓展了相关算子有界性的研究空间范围。
$H^p$ spaces in the Dunkl setting meet Coifman--Weiss--type atoms
针对任意根系与非负重函数的Dunkl拉普拉斯算子，建立了Hardy空间H^p的Coifman-Weiss型原子刻画，证明其与满足消没条件的原子生成空间一致，并给出拟范数等价及L^∞尺寸条件的等价性。
Dunkl-spherical maximal function
本文研究了与Dunkl算子相关的球极大函数的Lp-有界性。
Pseudo-differential operator associated with the linear canonical Dunkl transform
本文引入与线性典型邓克尔变换相关的伪微分算子，证明其在施瓦茨空间、缓增分布上的连续性及L²有界性，建立核的性质并将其应用于非齐次与非线性抛物型偏微分方程研究。
Generalized Taylor formula with integral remainder for Besov-Dunkl spaces
本文证明了与Dunkl算子相联系的广义泰勒公式中积分余项的一些性质和估计，并刻画了余项具有给定阶的Besov-Dunkl空间.
The Fractional Dunkl Laplacian: Extension Problem and Fundamental Solution
通过延拓问题刻画分数阶Dunkl拉普拉斯算子，并给出其基本解与分数阶Nash型不等式。
Orthonormal Strichartz inequalities for the $(k, a)$-generalized Laguerre operator and Dunkl operator
设$Δ_{k,a}$和$Δ_k $分别是$\mathbb{R}^n$上的$(k,a)$ -广义Laguerre算子和Dunkl-Laplacian算子.本文的目的是双重的。首先，我们证明了一个限制定理的傅立叶- $Δ_{k,a}$变换。接下来，作为限制问题的一个应用，我们建立了薛定谔传播子$e^{-i t Δ_{k, a}} $与操作$ Δ_{k, a}$的初始数据的正交家庭的Eschhartz估计。进一步，利用初始数据正交化系统的自由薛定谔传播子$e^{-i t Δ_{k, a}} $的经典Eschhartz估计和半群$e^{-i t Δ_{k, a}}$与$e^{i \frac{t}{a}\|x\|^{2-a} Δ_{k}},$之间的核关系，证明了$\mathbb{R}^n$上与Dunkl算子$ Δ_k $相关的初始数据正交化系统的Eschhartz估计.最后，我们提出了一些应用我们的上述结果。
Mixed norm estimates for the Cesàro means associated with Dunkl--Hermite expansions
本文的主要目的是研究$\mathbb{R}^d$上Dunkl-Hermite展开式的Cesàro均值的混合模估计.当考虑Dunkl-Hermite算子（或Dunkl谐振子）$H_κ:=-Δ_κ+|x|^2$时，这些展开式出现，其中$Δ_κ$代表Dunkl-Laplacian。证明了对于带移动参数的Laguerre展开式的Cesàro均值序列，期望的混合范数估计等价于向量值不等式.为了获得后者，我们开发了一个参数，以扩展这些运营商的复杂值所涉及的参数，并应用一个版本的三线引理。
On the chaotic behavior of the Dunkl heat semigroup on weighted $ L^p $ spaces
本文研究了加权$ L^p$空间上由Dunkl-Laplacian生成的热半群的混沌行为。在与标准拉普拉斯算子相关联的热半群的情况下，我们得到了空间$ L^p(\R^n, (φ_{iρ}(x))^2 dx) $上的完整图像，其中$ φ_{iρ} $是欧氏球函数。行为是非常相似的情况下，拉普拉斯-贝尔特拉米算子的非紧黎曼对称空间的研究Pramanik和Sarkar。
Uncertainty principles associated with the linear canonical Dunkl transform
本文在线性正则Dunkl变换框架下建立了Miyachi、Cowling-Price和Heisenberg-Pauli-Weyl不确定性原理的类似物，并导出了Nash、Clarkson、Donoho-Stark和Matolcsi-Szucs型加权不等式。
Lipschitz and Triebel--Lizorkin spaces, commutators in Dunkl setting
本文研究了 Dunkl 背景下的 Lipschitz 空间，证明其为经典空间的真子空间，并将其与 Triebel--Lizorkin 空间及 Dunkl Riesz 变换的交换子相联系，通过度量分解和离散弱型 Calderón 再生公式绕过 Fourier 分析。
A note on commutators of singular integrals with ${\rm BMO}$ and ${\rm VMO}$ functions in the Dunkl setting
在$\mathbb R^N$配备了根系统$R$，多重性函数$k \geq 0$，和相关的措施$dw(\mathbf{x})=\prod_{α\in R}|\langle \mathbf{x},α\rangle|^{k(α)}\,d\mathbf{x}$，我们认为（非径向）核${K}(\mathbf{x})$具有类似的性质，从经典理论的奇异积分和Dunkl卷积算子$\mathbf{T}f=f*K$与${K}$。假设$b$属于齐型$X=(\mathbb{R}^N,\|\cdot\|,dw)$空间上的${\rm BMO}$空间，我们证明了交换子$[b,\mathbf{T}]f(\mathbf{x})=b(\mathbf{x})\mathbf{T}f(\mathbf{x})-\mathbf{T}(bf)(\mathbf{x})$对所有$1<p<\infty$都是$L^p(dw)$上的有界算子.此外，$[b,\mathbf T]$在$L^p(dw)$上是紧凑的，提供了$b\in {\rm VMO} (X)$。本文推广了Han，Lee，Li和Wick的结果.
On the Schatten exponent in orthonormal Strichartz estimate for the Dunkl operators
本文针对与Dunkl拉普拉斯算子、Dunkl-Hermite算子相关的薛定谔方程的标准正交Strichartz估计，证明了其Schatten指数的一个必要条件，且该条件在拉普拉斯、Hermite算子的特例下是最优的。
Inversion Formulas for the Spherical Radon-Dunkl Transform
引入了与权函数在有限反射群下不变相关联的球面Radon-Dunkl变换$R_κ$，并利用$h$ -调和函数得到了它的一些基本性质.借助于球面Riesz-Dunkl势、Dunkl算子和适当的小波变换，给出了$R_κ$的几种反演公式。
Hörmander's multiplier theorem on $H^p$-spaces in the rational Dunkl setting
本文研究了在有理Dunkl设定下，Hörmander乘法定理在H^p空间中的应用，通过Dunkl变换和Littlewood-Paley平方函数定义H^p空间，并证明了乘法算子在H^p空间上的有界性。
On Dunkl Schrödinger semigroups with Green bounded potentials
在$\mathbb R^N$配备了一个归一化的根系$R$，一个多重性函数$k(α) > 0$，和相关的措施$$ dw(\mathbf x)=\prod_{α\in R}|\langle \mathbf x,α\rangle|^{k(α)}\, d\mathbf x, $$，我们考虑一个Dunkl薛定谔算子$L=-Δ_k+V$，其中$Δ_k$是Dunkl拉普拉斯算子和$V\in L^1_{\rm loc} (dw)$是一个非负的潜力。令$h_t(\mathbf x,\mathbf y)$和$k^{\{V\}}_t(\mathbf x,\mathbf y)$分别表示由$-L$生成的半群的Dunkl热核和积分核。我们证明了$k^{\{V\}}_t(\mathbf x,\mathbf y)$满足以下热核下界：有常数$C, c>0$使得$$ h_{ct}(\mathbf x,\mathbf y)\leq C k^{\{V\}}_t(\mathbf x,\mathbf y)$$当且仅当$$ \sup_{\mathbf x\in\mathbb R^N} \int_0^\infty \int_{\mathbb R^N} V(\mathbf y)w(B(\mathbf x,\sqrt{t}))^{-1}e^{-\|\mathbf x-\mathbf y\|^2/t}\, dw(\mathbf y)\…
Local boundary behaviour and the area integral of generalized harmonic functions associated with root systems
有理Dunkl算子是欧氏空间$\RR^d$上与根系相关的可交换微分反射算子。研究了与Dunkl算子相关的广义调和函数的局部边界性质。利用Dunkl广义平移和Dunkl算子引入了一个Lusin型面积积分算子$S$.主要结果是关于与Dunkl算子相关的上半空间$\RR^{d+1}_+$中广义调和函数$u$的非切边极限的局部存在性的特征，并且对于在根系生成的反射群下$\RR^d$不变的子集$E$，证明了以下三个断言的等价性：（i）对于a.e.，$u$在$(x,0)$有一个有限的非切向极限; $x\in E$ ;（ii）$u$对于a.e.是非切向有界的。（iii）$x\in E$对a.e.是有限的; $x\in E$。
Upper and lower bounds for Dunkl heat kernel
在$\mathbb R^N$上，有一个正规化的根系统$R$，一个重数函数$k(α) > 0$，和相应的测度$$ dw(\mathbf x)=\prod_{α\in R}|\langle \mathbf x,α\rangle|^{k(α)}\, d\mathbf x, $$，令$h_t(\mathbf x,\mathbf y)$表示由Dunkl-Laplace算子$Δ_k$生成的半群的热核.设$d(\mathbf x,\mathbf y)=\min_{σ\in G} \| \mathbf x-σ(\mathbf y)\|$，其中$G$是与$R$相关的反射群。我们导出了$h_t(\mathbf x,\mathbf y)$的以下上界和下界：对于所有的$c_l>1/4$和$0<c_u<1/4$，存在常数$C_l,C_u>0$使得$$ C_{l}w(B(\mathbf{x},\sqrt{t}))^{-1}e^{-c_{l}\frac{d(\mathbf{x},\mathbf{y})^2}{t}} Λ(\mathbf x,\mathbf y,t) \leq h_t(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leq C_{u}w(B(\mathbf{x},\sqrt{t}))^{-1}e^{-c_{u}\frac{d(\mathbf{x},\mathbf{y})^2}{t}} Λ(\mat…
On Lipschitz spaces in the Dunkl setting -- semigroup approach
本文利用半群方法定义了 Dunkl 背景下的非齐次 Lipschitz 空间，并证明该空间与经典 Lipschitz 空间等价。
On the associated spaces of the Hardy space
本文研究$\mathbb{R}^n$上Hardy空间的关联空间与第二关联空间，给出其刻画，并证明$\textrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$空间关联空间的相关结果。
Singular integrals with product kernels associated with mixed homogeneities and Hardy spaces
本文是受Phong和Stein关于混合齐次非标准奇异积分的论文启发而提出的。我们的目的是研究这些新的非标准卷积奇异积分，并建立这些奇异积分在Hardy空间上的有界性.
On semigroups generated by sums of even powers of Dunkl operators
在欧几里德空间$\mathbb R^N$上，我们考虑了微分-差分算子$$L=(-1)^{\ell+1} \sum_{j=1}^m T_{ζ_j}^{2\ell},$$，其中$ζ_1,...,ζ_m$是$\mathbb R^N$中的非零向量，它跨越$\mathbb R^N$，$T_{ζ_j}$是Dunkl算子.算子$L$本质上是$L^2(dw)$上的自伴算子，并生成线性自伴压缩算子的半群$\{S_t\}_{t \geq 0}$，其形式为$S_tf(\mathbf x)=f*q_t(\mathbf{x})$，$q_t(\mathbf x)=t^{-\mathbf N/ (2\ell)}q(\mathbf x/ t^{1/ (2\ell)})$，其中$q(\mathbf x)$是函数$ \exp(-\sum_{j=1}^m \langle ζ_j,ξ\rangle^{2\ell})$的Dunkl变换。我们证明了$q(\mathbf x)$满足以下指数衰减：$$ |q(\mathbf x)| \lesssim \exp(-c \| \mathbf x\|^{2\ell/ (2\ell-1)})$$对于某个常数$c>0$。此外，如果$q(\mathbf x,\mathbf y)=τ_{\mathbf x}q(-\mathbf y)$，则$|q(\mathbf x,\mathbf y)|\le…
On vector-valued tent spaces and Hardy spaces associated with non-negative self-adjoint operators
本文研究了与非负自伴算子相关的Hardy空间，发展了它们的向量值理论。将向量值帐篷空间和Hardy空间的复插值尺度推广到端点p=1.证明了L的全纯谓词演算在相应的Hardy空间H^1_L（X）上是有界的.这些结果，以及前面提到的空间的原子分解，依赖于帐篷空间T^1（X）上某些积分算子的有界性。
Dunkl--Williams inequality for operators \\ associated with $p$-angular distance
我们提出了几个运营商版本的Dunkl-Williams不等式的$p$角距离的运营商。更确切地说，我们表明，如果$A, B \in \mathbb{B}(\mathscr{H})$，使$|A|$和$|B|$是可逆的，$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1\,\,(r>1)$和$p\in\mathbb{R}$，然后\begin{equation*} |A|A|^{p-1}-B|B|^{p-1}|^{2} \leq |A|^{p-1}(r|A-B|^{2}+s||A|^{1-p}|B|^{p}-|B||^2)|A|^{p-1}.%\nonumber \end{equation*}在这种情况下，$0<p \leq 1$，我们删除可逆性假设，并表明，如果$A=U|A|$和$B=V|B|$是极性分解的$A$和$B$，分别$t>0$，然后$$|(U|A|^{p}-V|B|^{p})|A|^{1-p}|^{2}\leq (1+t)|A-B|^{2}+(1+\frac{1}{t})||B|^{p}|A|^{1-p}-|B||^2 \,.$$我们得到几个等价条件，当情况下的等式成立。
Hardy spaces associated with non-negative self-adjoint operators
在二重度量测度空间中考虑了极大和原子Hardy空间Hp和HAp，其中存在一个非负的自伴算子，其热核具有高斯局部化和马尔可夫性.证明了Hp = HAp具有等价范数。
A Class of Sub-Hardy Hilbert Spaces Associated with Weighted Shifts
本文研究了次Hardy希尔伯特空间，在此空间上，乘坐标函数z的算子的作用弱于等距算子的作用。我们确定这样的运营商与一类加权移位。著名的de Branges和Beurling的结果推导出的推论。
On Lipschitz Spaces, Semigroup Transference, and Heat Kernel Derivative Estimates in Dunkl--Schrödinger Analysis
本文在邓克利-薛定谔分析中，建立两类利普希茨空间的等价关系，解耦空间光滑分量与对称结构，给出热核导数上界，解决非G-不变势带来的几何难点。
Riesz transform characterization of weighted Hardy spaces associated to Schrödinger operators
本文利用局部Riesz变换$\widehat{R}_j$刻画了与临界半径函数$ρ$和权$ω\in A_{1}^{ρ,\,\infty}(\mathbb{R}^{n})$相关的加权局部Hardy空间$h^p_ρ(ω)$，并利用与Schr dinger算子$\cal L$相关的Riesz变换刻画了加权Hardy空间$H^{1}_{\cal L}(ω)$.其中$Ł=-Δ+V$是$\mathbb{R}^{n}$（$n\ge 3$）上的薛定谔算子，$V$是满足逆Hölder不等式的非负函数。
Semigroup and Riesz transform for the Dunkl- Schrödinger operators
令$L_k=-Δ_k+V$为Dunk-Schr dinger算子，其中$Δ_k=\sum_{j=1}^dT_j^2$为与$\mathbb{R}^d$上的Dunkl算子$T_j$相关联的Dunkl Laplace算子，且$V$为非负势函数。本文第一部分引入了里斯变换$R_j= T_j L_k^{-1/2}$作为$L^2$ -有界算子，证明了它是弱型$(1,1)$，然后对$1<p\leq 2$在$L^p(\mathbb{R}^d,dμ_k(x))$上有界.第二部分研究了当$V$属于标准Koto类时，$L_k$生成的半群的$L^p$光滑化。
Fractional Leibniz rules for the Dunkl Laplacian in Besov and Triebel--Lizorkin spaces
针对归一化根系和多重函数下的 Dunkl Laplacian 的分数幂，在 Besov 和 Triebel--Lizorkin 空间中建立了 Leibniz 型法则，通过谱乘子与 Dunkl 变换的相互作用以及 Dunkl 平移相关分布的支持性质，将 L^p 空间上的估计推广到更广泛的函数空间。
Behavior of eigenvalues of certain Schrödinger operators in the rational Dunkl setting
对于$\mathbb R^N$中的归一化根系$R$和多重性函数$k\geq 0$，令$\mathbf N=N+\sum_{α\in R} k(α)$。我们用$dw(\mathbf{x})=Π_{α\in R}|\langle \mathbf{x},α\rangle|^{k(α)}\,d\mathbf{x}$表示$\mathbb{R}^N$中的相关度量。设$L=-Δ+V$，$V\geq 0$是$\mathbb R^N$上的Dunkl-Schr dinger算子。假设存在$q >\max(1,\frac{\mathbf{N}}{2})$，使得$V$属于逆Hölder类${\rm{RH}}^{q}(dw)$。对于$λ>0$，我们提供了$L$的特征值小于或等于$λ$的数量的上限和下限估计。我们的主要工具是在有理Dunkl背景下的Festhiman-Phong型不等式.
Complex interpolation of noncommutative Hardy spaces associated semifinite von Neumann algebra
研究了半有限von Neumann代数上的复插值非交换Hardy空间，推广了Pisier的内插定理.
Multilinear operators on Hardy spaces associated with ball quasi-Banach function spaces
本文证明了多重线性Calderón--Zygmund算子、极大算子及伪微分算子在球拟Banach函数空间相关的（局部）Hardy空间上有界，结果涵盖多种经典空间，显著推广了现有理论。
Molecules associated to Hardy spaces with pointwise variable anisotropy
本文引入了与点态变量各向异性Hardy空间相关联的分子，证明了每个分子都可以表示为原子之和。
Local Hardy spaces with variable exponents associated to non-negative self-adjoint operators satisfying Gaussian estimates
本文引入了与非负自伴算子L相关的变指数局部Hardy空间。我们定义它们通过使用面积平方积分涉及的热半群与L。建立了一个分子刻划，并证明了当0不属于L的谱时，我们的局部Hardy空间与L的（整体）变指数Hardy空间是一致的.同时，我们证明了它与L+I的整体变指数Hardy空间是一致的.
Variable exponent Hardy spaces associated with discrete Laplacians on graphs
本文发展了无限图上与离散拉普拉斯算子相关的变指数Hardy空间理论，通过平方积分、原子和分子分解定义该空间，并研究了Littlewood-Paley函数、Riesz变换和谱乘子的有界性。
The Hardy-Littlewood property and maximal operators associated with the inverse Gauss measure
本文利用伴随逆Gauss测度的算子半群定义的极大算子，刻画了具有Hardy-Littlewood性质的Banach格。
Product Hardy spaces associated to operators with heat kernel bounds on spaces of homogeneous type
本文的目的是在齐型空间的背景下，发展与具有Davies-Gaffney热核估计弱假设的算子相关的积Hardy空间的理论.我们还在积空间上建立了一个Calderon-Zygmund分解，并利用它研究了这类积Hardy空间的插值问题.在广义Gauss估计的假设下，证明了乘积Hardy空间与Lebesgue空间在~ $p$的适当范围内是一致的.
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