关于 Dunkl Hardy 空间上 Hörmander 乘子的一个注记
A Remark on Hörmander Multipliers on Dunkl Hardy Spaces
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- Uniwersytet Wrocławski（弗罗茨瓦夫大学）
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中文总结 AI 辅助
本文在 Dunkl Hardy 空间上证明了 Hörmander 乘子定理，给出了乘子有界性的充分条件，推广了经典结果。
中文摘要 AI 辅助
设 $\mathcal R$ 是 $\mathbb R^N$ 中带非负重数函数 $k$ 的规范化根系，$\mathcal F$ 为相应的 Dunkl 变换。我们在由锥形 Littlewood--Paley 平方函数定义的 Hardy 空间 $H^p_{\mathrm{Dunkl}}$（$0<p\le1$）上证明了 Hörmander 乘子定理。令 $W_2^s$ 表示 $\mathbb{R}^N$ 中的经典 Sobolev 空间。更精确地，若乘子 $m$ 对某个非零径向截断函数 $\psi\in C_c^\infty(\mathbb R^N\setminus\{0\})$ 满足 $\sup_{t>0} \\|\psi(\cdot)m(t\cdot)\\|_{W_2^s}<\infty$，且 $s>\mathbf N\left(\frac1p-\frac12\right)$，其中 $\mathbf N$ 为齐次维数，则 Dunkl 乘子 $\mathcal T_mf=\mathcal F^{-1}(m\mathcal Ff)$ 可延拓为 $H^p_{\mathrm{Dunkl}}$ 上的有界算子。
英文摘要
Let $\mathcal R$ be a normalized root system in $\mathbb R^N$ with a nonnegative multiplicity function $k$, and let $\mathcal F$ be the associated Dunkl transform. We prove a Hörmander multiplier theorem on the Hardy spaces $H^p_{\mathrm{Dunkl}}$, $0<p\le1$, defined by conical Littlewood--Paley square functions. Let $W_2^s$ denote the classical Sobolev space in $\mathbb{R}^N$. More precisely, if a multiplier $m$ satisfies \[ \sup_{t>0} \|ψ(\cdot)m(t\cdot)\|_{W_2^s}<\infty \] for a nonzero radial cutoff $ψ\in C_c^\infty(\mathbb R^N\setminus\{0\})$ and \[ s>\mathbf N\left(\frac1p-\frac12\right), \] where $\mathbf N$ is the homogeneous dimension, then the Dunkl multiplier \[ \mathcal T_mf=\mathcal F^{-1}(m\mathcal Ff) \] extends to a bounded operator on $H^p_{\mathrm{Dunkl}}$.
