Globalization of Twisted partial Hopf actions
Marcelo M. S. Alves, Eliezer Batista, Michael Dokuchaev, Antonio Paques
本文研究了酉代数上的霍普夫代数的扭部分作用的一些性质，给出了扭部分作用具有整体性的充要条件.我们还列举了一系列的例子。
In this work, we review some properties of twisted partial actions of Hopf algebras on unital algebras and give necessary and sufficient conditions for a twisted partial action to have a globalization. We also elaborate a series of examples.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Globalization theorems for partial Hopf (co)actions, and some of their applications
霍普夫代数的部分作用可以看作是群在代数上的部分作用的推广。在部分Hopf作用的重要性质中，可以证明包络作用的存在，即，代数A上的每一个部分Hopf作用都是由包含A作为右理想的代数B上的一个Hopf作用诱导的。这一全球化定理允许扩展部分群作用理论的几个结果的霍普夫代数设置。在这篇文章中，我们证明了一个双重版本的全球化定理：每一个部分的作用霍普夫代数允许一个包络的作用。我们还展示了这是如何工作的一系列例子，超越部分群作用。最后，我们探讨了一些后果的全球化定理，以目前的版本的对偶定理的科恩-蒙哥马利和布拉特纳-蒙哥马利的部分霍普夫行动。
Morita equivalence and globalization for partial Hopf actions on nonunital algebras
本文研究了霍普夫代数H在非单位代数上的部分作用及相应的部分smash积。我们证明了我们的部分作用对应于H的部分表示范畴中的非酉代数。详细研究了局部作用的全局化的存在性问题，给出了一般结合代数的极小全局化存在（唯一）的充分条件.扩展Abadie，Dokuchaev，Exel和Simon的结果，我们定义了Morita等价的部分Hopf行动，我们表明，如果两个对称的部分行动是Morita等价的，那么他们的标准全球化也是Morita等价的。特别地，对于具有局部单位的代数上的部分作用，得到了代数的部分smash积模范畴与k-范畴的部分smash积模范畴等价的几个强结果.
Partial actions of weak Hopf algebras: smash products, globalization and Morita theory
本文引入了代数上弱霍普夫代数的部分作用的概念，统一了部分群作用[11]，部分霍普夫作用[2]，[3]，[9]和部分群胚作用[4]的概念.我们构造了发展这门新学科的基本工具，即部分smash积和部分行动的全球化，并且通过构造满射森田上下文，我们建立了部分smash积和全球smash积之间的联系。特别地，在全球化是单一的情况下，这些粉碎产品是森田等价的。证明了可整体化部分广群作用与对称部分广群代数作用之间存在双射对应，推广了关于群作用的类似结果.作为应用，我们给出了弱霍普夫代数在其基域上的所有部分作用的完整刻画，为构造更一般的例子提供了一种方法.
Enveloping Actions for Partial Hopf Actions
受酉代数上的部分群作用的启发，本文将Exel和Dokuchaev的许多结果推广到了霍普夫代数上部分作用的情形，并推广到了Caenepeel和Jansen的结果.首先，我们推广了关于包络作用存在性的定理，也称为全局化定理。其次，我们构造了部分smash积和与包络作用相关的smash积之间的Morita上下文。最后，我们定义了霍普夫代数的部分表示，并给出了部分作用和部分表示的一些结果.
Globalization and the biactegory of partial modules
本文证明Hopf代数上的偏模范畴是全局模范畴的双范畴，并揭示偏模膨胀与Hom对象的同构关系。
Twisted partial actions of Hopf algebras
本文引入了扭部分Hopf作用的概念，统一了扭部分群作用、部分Hopf作用和霍普夫代数的扭作用.为了构造部分交叉积，建立了部分上圈的条件，这些条件也与代数的部分分裂扩张有关。使用代数群的例子阐述。
Partial Hopf module categories
在$G$ -分次$k$ -范畴中构造的应用对于计算有限维$k$ -代数的基本群的有效性，以及这些方法尚未触及的公开问题和引入$k$ -线性范畴的基本群的概念所产生的新问题，激发了对$H$ -模范畴的研究，即，讨论了霍普夫代数$H$在$k$ -线性范畴上的作用。$G$ -分次情形则对应于霍普夫代数$k^G$在$k$ -线性范畴上的作用.在这项工作中，我们采取进一步的措施，并介绍部分$H$ -模块范畴。我们推广了部分$H$ -模代数的一些结果，如整体化定理，部分Smash积的构造以及该范畴与整体化上Smash积的Morita等价.我们还提出了一个详细的描述部分行动的$k^G$。
Lie theory for Hopf operads
本文利用S-模范畴（扭代数）中代数的性质，进一步研究了Hopf算子的精细代数结构。证明了任意Hopf算子P都自然地具有扭Hopf P-代数的结构。经典的Hopf代数结构的许多属性，然后被封装在扭曲的Hopf代数结构的相应的Hopf操作。特别是，各种经典的定理李理论有关李多项式的话（即元素的张量代数）被提升到任意的霍普夫运算。
On quasi-Hopf smash products and twisted tensor products of quasialgebras
分析了拟代数的拟Hopf smash积与某些扭张量积之间的关系。在此过程中，我们也得到了一些独立的利益，如对偶定理有限维拟霍普夫代数和广义对角交叉产品的泛性质。
Twisted derivations of Hopf algebras
本文引入了双代数的扭导子的概念。扭导子表现为表示范畴的无穷小对称。更确切地说，它们是双代数扭曲自同构的无穷小版本。扭曲导子自然地形成一个李代数（扭曲自同构群的切代数）。此外，这个李代数适合于交叉模（与扭自同构的交叉模相切）。在这里，我们计算这个交叉模块的泛包络代数和Sweedler的霍普夫代数。
Dualising complexes and twisted Hochschild (co)homology for noetherian Hopf algebras
我们证明了许多Noether霍普夫代数A都有一个刚性对偶复形R，R同构于^νA^1 [d].这里，d是代数的内射维数，ν是A的某个k-代数自同构，直到内自同构为止是唯一的。为了纪念在此推广的有限维理论，我们称ν为A的Nakayama自同构。证明了ν= S^2 \XXi，其中S是A的对极，\XXi是由A的左积分确定的A的左绕自同构.当A是整体维数为d的Artin-Schelter正则Noether霍普夫代数时，系数在适当扭自由双模中的霍赫希尔德同调和上同调群在顶维d上是非零的.（扭曲的）庞加莱对偶在这种情况下成立，这是从范登伯格定理推导出来的。还利用相反的余代数结构计算A的ν，我们确定了S^4的一个公式，它推广了Radford在1976年对有限维A的一个公式。给出了这些结果在A为PI、包络代数、量子群、量子化函数代数和群代数等情形中的应用。
Partial Actions of Weak Hopf Algebras on Coalgebras
本文引入了弱霍普夫代数在余代数上的部分作用和广群在余代数上的部分作用的概念，以及一些重要的性质。将提出这些概念之间的等价性。最后，建立了余代数上的部分作用与代数上的部分作用结构之间的对偶关系，并给出了部分模余代数的整体化定理.
Hopf automorphisms and twisted extensions
给出了一个作用在另一个霍普夫代数A上的群作为霍普夫自同构构造的霍普夫代数的一些应用，即Molnar的smash余积霍普夫代数.我们发现了Smash余积的指数和Frobenius-Schur指标与原霍普夫代数A的扭指数和扭Frobenius-Schur指标之间的联系。研究了smash余积的模范畴。
Twisted Heisenberg doubles
我们介绍了一个扭曲的版本的海森堡双，构造从扭曲的霍普夫代数和扭曲的霍普夫配对。我们陈述了一个Stone-von Neumann型定理，证明了这个扭曲的Heisenberg double的一个自然Fock空间表示，并推导了原扭曲的霍普夫代数的乘积和余积的移位对代数的影响.我们的结论表明，量子Weyl代数，量子海森堡代数，格海森堡代数都是一般的建设的例子。
Twisted automorphisms of Hopf algebras
双代数的扭曲同态是指从第一个双代数到第二个双代数的Drinfeld扭曲的双代数同态。它们具有一个扩展双代数同态合成的合成运算。扭曲的规范变换，与相邻的同态相容，产生扭曲同态的规范变换，它表现得很好的关于组合。本文研究了余交换霍普夫代数的扭曲自同构（规范类）.在修正了双代数的扭曲、扭曲形式与$R$ -矩阵（交换双代数）之间的关系后，我们描述了泛包络代数的扭曲自同构.
Twisted Exponents and Twisted Frobenius-Schur Indicators for Hopf Algebras
经典上，群的指数是其元素阶的最小公倍数。这一概念被Etingof和Gelaki推广到霍普夫代数中。Kashina、Sommerhauser和Zhu后来观察到指数和Frobenius-Schur指标之间存在密切联系。在本文中，我们引入了扭曲指数的概念，并表明扭曲指数和扭曲Frobenius-Schur指标之间存在类似的关系，在以前的工作中定义的作者。特别是，我们展示了一个新的公式扭曲的Frobenius-Schur指标，并用它来证明周期性和合理性的扭曲指标的陈述。
Twisted automorphisms of group algebras
本文继续了“霍普夫代数的扭自同构“一文中关于霍普夫代数的扭自同构的研究。在本文中，我们集中讨论群代数的情况。本文描述了阶互素为6的群的群代数的扭自同构群。这种描述与“霍普夫代数的扭曲自同构“中给出的泛包络代数的描述非常相似。
Hopf Galois extensions of Hopf algebroids
该研究将Hopf代数的Galois扩张理论推广至Hopf代数胚，引入相关概念并证明了裂扩张等三类结构的等价关系，丰富了Hopf代数胚的相关理论。
Hopf-Galois extensions and twisted Hopf algebroids
证明了具有结构量子群$H$的量子主丛$P$或Hopf Galois扩张的Ehresmann-Schauenburg双代数胚实际上是左Hopf代数胚$L(P,H)$ .进一步证明了若$H$是余拟三角的，则$L(P,H)$有一个对极映射$S$服从某些极小公理.平凡的量子主丛或裂Hopf伽罗瓦扩展与基地$B$是已知的上循环交叉产品$B\#_σH$的一个上循环作用对（$\vartriangleright$，$σ$），我们看看这些一定的“关联类型”，其中$ \vartriangleright$是一个实际的行动。在这种情况下，我们还表明，相关的左霍普夫代数体有一个对极遵守我们的最小公理。我们证明，如果$L$是任何左霍普夫代数胚，那么它的余扭$L^ς$也是，作为先前双代数胚Drinfeld余扭理论的扩展。我们证明了在结合型的情况下，$L(B\#_σH,H)=L(B\# H)^{\tildeσ}$为一个Hopf代数体余扭$ς=\tildeσ$。因此，切换$σ$的联想型出现在霍普夫代数体的水平作为一个德林费尔德cotwist。我们把仿射量子群$\hat{U_q(sl_2)}$和$u_q(sl_2)$的量子Weyl群看作结合型的例子。
Twisted Ehresmann Schauenburg bialgebroids
在对应的霍普夫代数是余交换的，且对应于这个分裂的霍普夫伽罗瓦扩张的酉上圈的象属于余不变子代数的中心的条件下，我们在分裂的霍普夫伽罗瓦扩张的EhresmannSchauenburg双代数胚上构造了一个可逆的正规2上圈.证明了这类EhresmannSchauenburg双代数胚同构于EhresmannSchauenburg双代数胚的一个2-上圈扭，对应于一个无上圈的Hopf Galois扩张，其中余代数是余不变子代数与霍普夫代数的Smash积（即$\C(B/#_σH, H)\simeq \C(B\#H, H)^{\tildeσ}$）.我们还研究了理论的情况下，伽罗瓦对象的基础是平凡的，但不需要的霍普夫代数是余交换的。
Twisted Frobenius-Schur indicators for Hopf algebras
有限群的经典Frobenius-Schur指标是定义在任意表示和任意大于等于2的整数m上的特征和。在熟悉的m=2的情况下，弗罗贝纽斯-舒尔指标将复数上的不可约表示划分为实数、复数和四元数表示。近年来，这些不变量的几个推广已经推出。凹凸和金兹伯格，建立在早期的工作麦基，已定义的版本，这些指标是扭曲的一个自同构的组。另一方面，Linchenko和Montgomery定义了半单霍普夫代数的Frobenius-Schur指标。本文构造了半单霍普夫代数的扭曲Frobenius-Schur指标，这些指标包含了上述所有指标的特殊情况，并具有类似的性质.
Poincare' Quasi-Hopf Symmetry and Non-Associative Spacetime Algebra from Twisted Gauge Theories
在以前的工作中，从Moyal平面出发，我们建立了物质场和规范场的相互作用理论，其中只有前者是扭曲的。在这种方法中，规范理论，包括标准模型，可以制定没有新的规范自由度。我们证明了它们的基本对称代数是庞加莱拟Hopf。因此，相关联的时空代数是非结合的。
Non-commutative integral forms and twisted multi-derivations
第二类的非交换联络或hom-connection和相关的积分形式被研究作为Manin右联络的推广。首先证明了泛微分分次代数的hom-contact的存在性等价于内射性，并且证明了任意微分分次代数的任一余生成内射模都存在hom-contact.大部分的文件是专门描述的方法来构造hom-connections从扭曲的多导子。引入了自由扭多重导子的概念，描述了诱导一阶微分学。证明了代数A上的任意自由扭多重导子都诱导出A上唯一的hom-connection，该hom-connection在一形式模的对偶基上为零。对于A上的任何平坦的hom-contact \nabla，我们可以把一个链复形联系起来，称为A上的积分型复形。到第零同调空间的规范上核态射称为\nabla -积分。自由扭多重导子、hom-connection和相应的积分形式的例子由霍普夫代数或量子群和量子空间上的协变演算提供。详细描述了量子群SL（2）上三维左协变微分学中的平坦hom-connection的例子。研究了一类hom-connection到一个忠实平坦的Hopf-Galois扩张或一个主余代数的基代数的下降。作为一个例子，给出了标准量子Podles球上的hom-connection。在这两种情况下的复杂的积分形式是同构的德拉姆复杂的，和\nabla -积分符合霍普夫理论积分或不变（哈尔）措施。
Pivotality, twisted centres and the anti-double of a Hopf monad
该研究将有限维Hopf代数中对合对、反Yetter–Drinfeld模与Drinfeld double同构的对应推广到刚性幺半范畴，构造研究Hopf单子的反Drinfeld double并给出单子论解释，还探讨了其与Drinfeld中心枢轴性的关联。
Hopf stars, twisted Hopf stars and scalar products on quantum spaces
讨论了量子群上的Hopf星运算和扭曲Hopf星运算的性质与表示论（星表示）的关系。然后定义和分析了模或模代数上的不变埃尔米特半双线性形式（标积）。特别注意的是标量产品，可以与Killing形式（当它存在时）或与左（或右）不变积分的量子群。我们的结果在一族非半单的有限维量子群的情形下得到了系统的说明，这些量子群是量子包络代数U_q（sl（2，C））的Hopf代数，q是N次单位根.对于N=3的情形给出了许多明确的结果。我们也提到了目前工作的几个物理动机：共形场论，自旋链，可积模型，广义杨-米尔斯理论与量子群作用和粒子物理中有限量子群对称性的搜索。
Asymmetric Hopfield neural network and twisted tetrahedron equation
我们将arXiv：1805.04138的方法推广到Hopfield神经网络在具有各向同性权重的三角网格上的回忆阶段的情况。看来，这个模型的一些属性，特别是通过在时间动态的轨迹的概率，服从吉布斯分布的配分函数具有顶点实现。此外，相应的权重矩阵满足TTE -一些变形的Zamolodchikov四面体方程，后者扮演的角色类似于杨巴克斯特方程在3维统计模型。
Gerstenhaber-Schack Cohomology for Hom-bialgebras and Deformations
Hom-双代数和Hom-霍普夫代数是双代数和霍普夫代数结构的推广，其中结合性和余结合性条件被同态扭曲.定义了Hom-双代数的Gerstenhaber-Schack上同调复形，并研究了其单参数形式变形.
Some Twisted Results
确定了对向拟霍普夫代数的Drinfeld扭曲，并证明了它与（第二）Drinfeld扭曲有关.研究了扭曲的Drinfeld扭曲。在拟三角情形下，证明了Drinfeld u算子是由逆拟霍普夫代数等价于与R-矩阵扭曲诱导的拟霍普夫代数而产生的. Altschuler-Coste u算子以类似的方式产生，并与Drinfeld u算子密切相关。引入了拟上循环条件，并证明了它在拟霍普夫代数上扭结构的唯一性中起着核心作用.本文介绍了动力学量子杨-巴克斯特方程的一个推广，称为准动力学量子杨-巴克斯特方程。
Finite dimensional Hopf actions on central division algebras
设$\mathbb{k}$是特征为零的代数闭域。设$D$是中心$Z(D)$上度为$d$的除代数.假设$\mathbb{k}\subset Z(D)$ .我们证明了有限群$G$忠实地给$D$打分当且仅当$G$包含一个正规阿贝尔子群的指数除$d$。证明了如果一个有限维Hopf代数共同作用在定义了一个Hopf-Galois扩张的$D$上，则它的PI度至多为$d^2$ .最后，我们构造了附于双射上圈的扭群代数的除代数上的Hopf-Galois作用。
Homomorphisms and rigid isomorphisms of twisted group doubles
证明了扭群偶的拟双代数态射$\mathcal{D}^ω(G)\to\mathcal{D}^η(H)$的几个结果。我们特别关注的同构，同时同构$\mathcal{D}(G)\to\mathcal{D}(H)$。所有这些同构被证明是准霍普夫代数的态射，并确定了所有这些同构的分类。只要$ω\in Z^3(G/Z(G),U(1))$这足以完全描述$\operatorname{Aut}(\mathcal{D}^ω(G))$，组的准霍普夫代数同构的$\mathcal{D}^ω(G)$，因此推广现有的描述的情况下，$ω$是平凡的。
Generalized Twisted Quantum Doubles of a Finite Group and Rational Orbifolds
在以前的工作中，作者引入了一类新的模拟霍普夫代数$D^ω(G, A)$，它对应于一个有限群$G$，一个中心子群$A$和一个$3$ -上循环$ω\in Z^3(G, C^x)$ .在本文中，我们提出了一个描述类的有理顶点算子代数的orbifold模型，其模范畴是张量等价于$D^ω(G, A)$ -mod。本文包括背景的准霍普夫代数和一些相关的orbifold的讨论。
On cotriangular Hopf algebras
1997年我们证明了特征为0的代数闭域k上的任何三角半单霍普夫代数都是由有限群G的群代数k[G]通过在Drinfeld意义下扭曲其余乘而得到的。本文将这一结果推广到不一定是有限维余三角霍普夫代数。也就是说，我们的主要结果是：一个k上的余三角霍普夫代数A是由一个原代数群的一个函数代数通过一个Hopf 2-上圈扭曲而得到的，并且可能通过A^* 的一个阶≤ 2的中心类群元改变它的R-形式，当且仅当A的任何有限维子余代数上的平方对极的迹是这个子余代数的维数。这个推广，像原来的定理，证明使用德利涅定理Tannakian范畴。在文章的后半部分，我们给出了扭曲函数代数的例子。特别地，我们证明了在无限维情形下，平方对极可能不等于恒等式.另一方面，我们证明了在扭函数代数的所有例子中，平方对极是幂幺的，并猜想它是任何扭函数代数的情况。利用第一作者和D. Kazhdan的量子化理论，我们在大量的特殊情况下证明了这个猜想.
Reflection equation and twisted Yangians
对于拟三角双代数的任何对合反代数和余代数自同构，我们给出一个反射方程代数。本文给出了这类反射方程的一个Hopf代数处理及其通解。扭曲的Yangians的应用程序被认为是。
Twisted separability for adjoint functors
本文研究伴随函子的扭曲可分性，将Rafael定理推广到扭曲情形，并应用于Hopf-Galois对象，证明在有限上同调维数和单位扭曲迹条件下Hochschild上同调维数相同。
On twisted conjugacy classes of type D in sporadic simple groups
对与散生单群相关的D型扭共轭类进行了分类.这是有限维点霍普夫代数的非交换余根分类程序中的重要一步。作为副产品，我们证明了M12，J2，Suz，He，HN，T的自同构自同构群上的每个复有限维点霍普夫代数都是群代数.在附录中，我们改进了散在单群中D型共轭类的研究。
Generic Hopf Galois extensions
在以前的联合工作与埃利Aljadeff我们附加了一个通用的Hopf伽罗瓦扩张A（H，c）的每个扭曲代数H（c）从一个霍普夫代数H扭曲其产品的帮助下，一个上循环c。代数A（H，c）是H（c）在一个“大”中心子代数B（H，c）上的一个平坦变形，并且可以被看作是Serre意义下的一个非对易向量的非对易模拟。在考察了用Aljadeff得到的关于A（H，c）的结果之后，我们建立了三个新的结果：给出了构造交换代数B（H，c）的元素的系统方法，证明了由类群元和斜本原元生成的有限维Hopf代数都满足一个重要的完整性条件，并在H是循环群的霍普夫代数的情况下计算了B（H，c）.
The Twisted Heisenberg Algebra ${\cal U}_{h,w}({\cal H}(4))$
定义了包络Heisenberg代数${\cal H}(4)$的一个双参数变形，它是Ballesteros和Herranz给出的标准量子化和非标准量子化的组合，并证明了它是Ribbon Hopf代数.构造了泛${\cal R}$ -矩阵及其相应的量子群.得到了辫子群的新解。分析了这些参数在链路不变量和WZW模型中的贡献。得到了扭带Hopf代数的一般结果。
Finite dimensional Hopf actions on algebraic quantizations
设k是特征为零的代数闭域。在与J. Cuadra [arxiv.org/abs/1409.1644，arxiv.org/abs/1509.01165]的联合工作中，我们证明了多项式代数k[z_1，...，z_s]通过一个群作用分解，这实际上对任何有限维的Hopf作用都成立，如果s=0。我们还将这些结果推广到了微分算子代数上的有限维Hopf作用.在这项工作中，我们建立了类似的结果交换域的其他代数量子化的Hopf行动。这包括有限维李代数的泛包络代数、球面辛反射代数、Weyl代数的量子Hamilton约化（特别是量子化的W-varieties）、有限W-代数及其中心约化、量子多项式代数、阿贝尔簇的扭曲齐次坐标环和Sklyanin代数。最后三种情况的推广使用了代数数论的一个结果，这是由于A。佩鲁卡
Differential Calculi over Quantum Groups and Twisted Cyclic Cocycles
本文研究了复代数上的非交换微分演算理论的某些方面，特别是在S. L.沃罗诺维奇。我们的主要重点是扭分次迹和相关的扭循环上圈的理论。我们的主要结果之一是构造微分演算的一种新方法，使用扭曲的梯度迹。
Graded quantum groups
从一个霍普夫代数出发，通过霍普夫自同构赋予群G的作用，用扭二重方法构造了一个拟三角霍普夫G-余代数.这种方法使我们能够得到任意有限群G和无限群G如GL（n，K）的拟三角Hopf G-余代数的非平凡例子。特别地，我们定义了分次量子群。
On the monoidal invariance of the cohomological dimension of Hopf algebras
讨论了霍普夫代数的整体维数是否为幺半群不变量的问题，即如果两个霍普夫代数具有等价的余模幺半范畴，则它们的整体维数应该相等.我们提供了几个积极的新的答案，这个问题，在各种假设的光滑性，cosemisimplicity或有限维。我们还讨论了余半单情形下的整体维数与Gerstenhaber-Schack上同调维数之间的比较，在后者是有限的情形下得到了等式。我们的主要工具之一是扭可分函子的新概念。
Basic quasi-Hopf algebras over cyclic groups
设$m$为不能被2，3，5，7整除的正整数。本文将\cite{EG3}中关于素数阶循环群上的基本拟霍普夫代数的分类推广到$m$阶循环群上.为此，我们引入了一类非半单根分次拟霍普夫代数代数$A(H,s)$，它被构造为扭曲了一个拟霍普夫扭曲的霍普夫代数代数的子代数，并且与霍普夫代数不是扭曲等价的. $m$阶循环群上的任何基本拟霍普夫代数要么是半单的，要么扭等价于$A(H,s)$型的霍普夫代数或拟霍普夫代数.
Cohomological dimension of braided Hopf algebras
本文证明余半单余拟三角Hopf代数上辫子Hopf代数的Hochschild上同调维数、左右整体维数与平凡模投射维数一致，并给出光滑性与扭曲Calabi-Yau性质的判别准则，推广了普通Hopf代数的经典结果。
Two-parameter twisted quantum affine algebras
用一种新的方法建立了双参数扭曲量子仿射代数的Drinfeld实现。给出了无扭和有扭两参数量子仿射代数的Drinfeld生成元的霍普夫代数结构，其中包括量子仿射代数的特殊情形.
New twisted quantum current algebras
我们引入一个扭曲量子仿射代数，它与每个单缀有限维单李代数相关联。这个新代数是一个具有Drinfeld型余乘的霍普夫代数。我们通过考虑它的顶点表示得到这个代数。顶点表示量化了Lepowsky-Wilson和Frenkel-Lepowsky-Meurman的扭曲顶点算子。我们还引入了一个扭曲的量子圈代数的Kac-Moody情况下，并给出其水平一表示。
Genus bounds for twisted quantum invariants
扭曲量子不变量是指三球面中纽结的多项式不变量，该三球面被赋予了基本群到Hopf代数$H$的自同构群中的表示。这些都是通过扩展到$H$的$\mathrm{Aut}(H)$ -扭曲Drinfeld二重的Reshetikhin-Turaev构造得到的，只要$H$是有限维的和$\mathbb{N}^m$ -分次的.我们证明了这些多项式的次数是由$2g(K)\cdot d(H)$上界的，其中$g(K)$是结$K$的Seifert亏格，$d(H)$是Hopf代数的最高次数。当$H$是外代数时，我们的定理恢复了扭曲Alexander多项式的Friedl和Kim的亏格界.当$H$是限制量子$\mathfrak{sl}_2$的Borel部分在一个甚至单位根，我们表明，我们的不变量是ADO不变量，因此给这些不变量的新的属界。
Splitting Property of quasitriangular Hopf algebras
本文通过扭曲张量积研究拟三角Hopf代数的分裂性质，证明了无限维和满秩商代数情形下的充分条件，并由此导出有限维Hopf代数拟三角结构的新障碍。
Towers of graded superalgebras categorify the twisted Heisenberg double
我们证明了满足一定自然条件的分次超代数塔上的有限生成分次超模和有限生成投射分次超模范畴的Grothendieck群产生扭霍普夫代数，扭霍普夫代数是扭对偶的.然后，利用来自这些塔的诱导函子和限制函子，我们得到了扭曲海森堡二重的分类及其Fock空间表示。证明了圈积代数的塔（特别是Sergeev超代数的塔）和nilcoxeter分次超代数的塔满足公理.在后一种情况下，我们得到了量子Weyl代数的一个分类。
Transmutation and Bosonisation of Quasi-Hopf Algebras
设$H$是拟三角拟霍普夫代数，在左$H$ -模的拟结合范畴中构造了一个辫子群$\underline{H}$.反之，给定该范畴中的任意辫子群$B$，我们构造了向量空间范畴中的拟霍普夫代数$B\rtimes H$.我们将[10]的嬗变和玻色化理论推广到准情形。作为例子，我们将八元数代数玻色化为一个结合代数，得到有限群的扭曲量子偶$D^ϕ(G)$作为玻色化，并得到它的嬗变。最后证明了$\underline{H}\rtimes H$与$H_\Rcal\blackbowtie H$同构为拟霍普夫代数.
Twisted unipotent groups
本文研究仿射代数幺幂群上带Hopf 2-上循环形变的余三角Hopf代数的结构与表示，证明其为迭代导子型Hopf Ore扩张，给出交叉积分解、单模分层及有限维单模的群结构。
Pseudosymmetric braidings, twines and twisted algebras
层循环是惰性上循环的范畴类似物。Twines（如Bruguieres所介绍的）和强twines（如作者所介绍的）是满足一些额外条件的层。如果$c$是一个编织，双编织$c^2$总是一个强的，我们证明了它是一个强的当且仅当$c$满足一种修改的编织关系（我们称之为$c$伪对称，因为任何对称编织满足这个关系）。已知对称Yetter-Drinfeld范畴是平凡的，我们证明了霍普夫代数$H$上的Yetter-Drinfeld范畴$_H{\cal YD}^H$是伪对称的当且仅当$H$是交换的和上交换的.我们还引入了伪三角结构下伪对称辫子的Hopf代数对应，并证明了$2^{n+1}$维尖霍普夫代数E（n）上的所有拟三角结构都是伪三角结构.我们观察到一个幺半范畴上的一个层在该范畴中的每一个代数上诱导出一个所谓的伪扭量，并且我们得到了一些关于伪扭量的一般性结果（并给出了一些例子）.
Cleft Extensions and Quotients of Twisted Quantum Doubles
给定一对有限群$F, G$和$G$的正规化3-上循环$ω$，其中$F$作为自同构作用于$G$，我们考虑定义为分裂扩张$\Bbbk^G_ω\#_c\,\Bbbk F$的拟Hopf代数，其中$c$表示一些合适的上同调数据.当$F\rightarrow \overline{F}:=F/A$是$F$与中心子群$A$平凡作用在$G$上的商时，给出了拟Hopf代数满射和$\Bbbk^G_ω\#_c\, \Bbbk F\rightarrow \Bbbk^G_ω\#_{\overline{c}} \, \Bbbk \overline{F}$型分裂扩张存在的充要条件.当$F=G$通过共轭作用于$G$时，我们的结构是特别自然的，并且$\Bbbk^G_ω\#_c \Bbbk G$是扭曲的量子双$D^ω(G)$。在这种情况下，我们给出了Rep（$\Bbbk^G_ω\#_{\overline{c}} \, \Bbbk \overline{G}$）是模张量范畴的充要条件.
On the Hopf-Schur group of a field
设k为任意域。我们考虑k的Hopf-Schur群，定义为k的Brauer群的子群，该群由可由k上霍普夫代数的同态像表示的类组成。本文证明了扭群代数和k的交换扩张分别是k上的余交换和交换霍普夫代数的等价群.证明了k上循环代数的张量积是k上霍普夫代数的商，从而揭示了霍普夫-舒尔群可以比k上的舒尔群大得多.
Characteristic classes of foliations via SAYD-twisted cocycles
我们之前已经证明，任何李代数的截断Weil代数都是具有非平凡系数的霍普夫循环型复形。本文应用这一结果将横定向叶理的特征类转化为广群作用代数的循环上同调。我们在余维1的结果与Connes-Moscovici唯一的显式计算相匹配。在余维为2的情形下，我们构造性地给出了一个显式计算，并将横截基本类、Godbillon-Vey类和其它四个剩余类表示为群胚作用代数上的循环余圈.在这个新的特征映射中，主要负责的对象是与余维度相同的SAYD-扭曲循环上圈。我们通过引入等变的Hopf-循环上同调和等变的上积构造了这样一个上圈.
Integrable models and star structures
本文研究了可分解S-矩阵模型（FSM's）、一维量子自旋链（QSC's）和统计顶点模型（SVM's）中的Hopf代数表示。这些物理表示有明确的厄密性分配，并导致相应的Hopf代数上的星结构。结果表明，对于有限状态机和量子力学时间演化的QSC的相应的恒星是兼容的霍普夫结构。然而，在统计模型的情况下，所得到的星结构不是霍普夫结构，而是我们所说的扭曲星。扭星Hopf代数的实表示在通常的张量积表示下不闭合。我们简要地评述了这些结果与Wick转动的关系。
Quantum subgroups of simple twisted quantum groups at roots of one
设$G$是一个连通单连通复代数群，若$G$是$G_{2}$型，则$ε$是一个本原$\ell$的单位根，且$\ell$是奇数，与$3$互质.我们确定了Costantini和Varagnolo引入的扭曲多参数量子函数代数$\mathcal{O}_ε^φ(G)$的所有Hopf代数子.这扩展了Andruskiewitsch和第一作者的结果，其中未扭曲的情况下处理。
Tensor products and support varieties for some noncocommutative Hopf algebras
研究有限维霍普夫代数模的投射性和张量积问题。我们构造了许多类非投射模的张量积是投射模，一阶模的张量积是投射模而另一阶模不是投射模的例子.我们的例子是群代数的smash余积，其中一些具有被上圈扭曲的代数和余代数结构。我们开发了一个理论的支持品种，这些霍普夫代数作为一种工具，在我们的调查。
Actions of Multiplier Hopf Algebras
对于群$G$在代数$R$上的作用$α$（在$\Bbb C$上），交叉积$R\times_αG$是$G$中具有有限支撑的$R$值函数的向量空间，以及由$$(ξη)(p) = \sum_{q \in G} ξ(q) α_q (η(q^{-1}p))$$给出的扭曲卷积积，其中$p\in G$。这种构造已被推广到霍普夫代数理论。给定一个Hopf代数$A$在一个代数$R$上的作用，可以通过使用包含该作用的扭积将张量积$R\ot A$化为一个代数。在这种情况下，该代数被称为smash积，用$R# A$表示。在群的情况下，$G$在$R$上的作用$α$产生群代数$\Bbb C G$作为$R$上的一个Hopf代数的作用，并且交叉$R\times_αG$与Smash积$R# \Bbb C G$重合。本文将霍普夫代数的作用理论推广到乘子霍普夫代数的作用。我们还构造了粉碎产品，我们得到的结果非常相似，在原来的情况下的霍普夫代数。本文的主要结果是这类作用的对偶定理。我们考虑乘子霍普夫代数的对偶对来表述这个对偶定理。在代数量子群及其对偶情形下证明了一个结果。更一般的情况下，只陈述，并将证明在一个单独的文件共同作用。这些作用的对偶定理是霍普夫代数相应定理的实质性推广。这里用来证明这个结果的技术也略有不同，而且更简单。
Rota-Baxter systems, dendriform algebras and covariant bialgebras
一个推广的概念的Rota-Baxter运营商提出。这种推广包括两个运营商的结合代数和满足类似的Rota-Baxter方程。任意权值的Rota-Baxter算子和扭曲Rota-Baxter算子是该系统的解。证明了一类特殊的树状代数结构等价于Rota-Baxter系统。进一步证明了Rota-Baxter系统诱导出弱赝扭量[F. Panaite & F. Van Oystaeyen，Twisted algebras，twisted bialgebras and Rota-Baxter operators，arXiv：1502.05327（2015）]，其可以负责基础代数上新的结合积的存在。作为无穷小双代数的自然扩张引入拟三角协变双代数[M.阿吉亚尔，无穷小霍普夫代数，[在：]新趋势在霍普夫代数理论（La Falda，1999年），Contemp。数学，267，美国数学学会，Providence，RI，（2000），pp. 1-29]。
Hall Algebras as Hopf Objects
Hall代数的一个问题是标准的乘和余乘映射在其基础的对称幺半范畴向量范畴中不满足双代数相容性条件。在过去，这个问题已经解决了一个较弱的结构称为“扭曲”双代数。在本文中，我们通过首先切换到由称为Grothendieck群的群K分次的向量空间的不同基础范畴Vect^K来不同地解决这个问题。我们装备这个类别的一个非平凡的辫子，这取决于K-分级。通过这种编织，我们发现Hall代数对于标准乘和余乘确实满足双代数条件，并且还可以配备一个对极，使其成为Vect^K中的一个霍普夫代数对象.
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