Adding one edge to planar graphs makes crossing number and 1-planarity hard
一个图是近平面的，如果它可以通过添加一条边从平面图获得。我们发现了一个令人惊讶的事实，即计算近平面图的交叉数是NP-困难的。一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多与另一个边相交。我们证明了判定一个给定的近平面图是否是1-平面图是NP-困难的。在这两个减少的主要思想是考虑的问题，同时绘制两个平面图内的磁盘，其一些顶点固定在边界的磁盘。这导致了锚定嵌入的概念，这是独立的利益。作为一个有趣的结果，我们得到了一个新的，几何证明的NP-完全性的交叉数的问题，即使是限制在三次图。这就解决了一个关于林书豪的问题。
2012-03-27 cs.CC cs.CG math.CO
Bar 1-Visibility Graphs and their relation to other Nearly Planar Graphs
一个图被称为一个强（或。弱）条1-可见性图，如果其顶点可以被表示为平面中的水平段（条），使得其边缘全部（分别顶点对的子集），这些顶点对的条具有连接它们的$ε$粗垂直线，该垂直线至多与另一条相交。我们探讨了弱（分别）之间的关系。强）棒1-可见性图和其他近平面图类。特别是，我们研究了它们的关系1-平面图，这有一个图纸，最多有一个交叉每边;准平面图，这有一个图纸，没有三个相互交叉的边缘;平面1-流网络的平方，这是向上有向图与在或出度最多为1。我们的主要结果是，1-平面图和平面1-流网络的（无向）平方是弱棒1-可见性图，这些是准平面图。
2013-12-19 cs.CG cs.DS math.CO
The Density of Fan-Planar Graphs
一个图的拓扑图是扇平面的，如果对于每个边$e$，与$e$交叉的边形成星形，并且没有$e$的端点被$e$及其交叉边包围。一个扇平面图是一个图承认这样的绘图。等价地，这可以由三种禁止模式来表示，其中一种是其中$e$被两个独立边缘交叉的配置，而另外两种是其中$e$被两个入射边缘以包围$e$的某个端点的方式交叉的配置。如果任意两条边至多有一个公共点，则拓扑图是简单的。Fan-planar图是由禁止交模式定义的拓扑图中的一个新成员，如平面图及其推广，Turán-图和Conway的thrackle猜想。因此，扇平面图是组合几何中的一个重要领域，在离散数学的各个领域都有应用。由于每一个$1$ -平面图都是扇平面图，每一个扇平面图都是$3$ -拟平面图，所以它们也完全适合于最近一系列关于图的绘制和组合嵌入的近平面图的工作.在本文中，我们证明了每一个扇平面图上的$n$顶点最多有$5n-10$的边缘，即使扇平面图可能有一个平方数的交叉。我们的界限，这是紧的每$n \geq 20$，表明如何很好地扇平面图适合在行与平面图（$3n-6$边缘）和$1$ -平面图（$4n-8$边缘）。由此，扇平面图形成了由禁止模式定义的最大的非平凡拓扑图类，其中$n$顶点上的最大边数是精确已知的。
2021-07-15 cs.CG cs.DM math.CO
The edge-vertex inequality in a planar graph and a bipartition for the class of all planar graphs
对于具有给定f-向量$(f_{0}, f_{1}, f_{2}),$的可平面图，我们引入一个系数依赖于f-向量的三次多项式.如果相应多项式的所有根都是实数，则称可平面图是实数。这样，我们就把所有的可平面图划分为两类不相交的图：实图和复图。作为对可平面图的全面认识的一个贡献，我们研究和认识完全的一个子类的可平面图，其中包括所有的连通格子子图。最后，列出了所有7顶点的2-连通无三角形复可平面图。
2018-03-28 math.CO
Weak degeneracy of planar graphs and locally planar graphs
弱简并态是简并态的一种变体，它具有简并态的许多优良性质。特别地，如果图$G$是弱$d$ -退化的，则对于$G$的任何$(d + 1)$ -列表分配$L$，可以通过修改的贪婪着色算法构造$G$的$L$ -着色.已知围长为5的可平面图是3-可选图，局部可平面图是5-可选图.本文加强了这些结果，证明了围长为5的可平面图是弱2-退化的，局部可平面图是弱4-退化的.
2023-03-14 math.CO
Smallest Cubic Non-1-Planar Graphs
本文证明最小的三次非1-平面图有30个顶点，并借助SAT求解器与k-灵活性方法，避免了穷举四十亿个图的计算。
2026-09-24 cs.CG cs.DM math.CO
Recolouring planar graphs of girth at least five
对于正整数$k$，图$G$的$k$ -邻接图以$G$的所有真$k$ -着色为顶点集，且两个$k$ -着色相邻，如果它们的颜色相差恰好一个顶点. Dyer等人关于有界退化图的一个结果表明：可平面图的$7$ -连通图、无三角形可平面图的$5$ -连通图和围长至少为6的$4$ -连通图可平面图是连通的.另一方面，存在$6$ -邻接图不连通的可平面图，$4$ -邻接图不连通的无三角形可平面图，以及任意围长的可平面图的$3$ -邻接图不连通的图.本文的主要结果是通过放电方法的一个新的应用，证明了围长为5的每个可平面图的$4$ -连通图是连通的.这就完成了给定围长的可平面图的邻接图的连通性的分类。我们还证明了关于可平面图的邻接图的直径的一些定理。
2021-12-01 math.CO
Universal planar graphs for the topological minor relation
Huynh等人最近证明了一个包含每个可列可平面图作为子图的可列图$G$必须包含任意大的有限完全图作为拓扑子图，和一个无限完全图作为子图。我们加强了这一结果表明，同样的结论成立，如果$G$包含每个可数可平面图作为拓扑子。特别地，不存在包含每个可数可平面图作为拓扑子式的可数可平面图，这回答了Diestel和Kühn的一个问题。此外，我们构造了一个局部有限可平面图，它包含每个局部有限可平面图作为拓扑子图。这表明，在上述结果中，要求$G$包含每个局部有限可平面图作为拓扑子式是不够的。
2022-03-18 math.CO
Subcritical graph classes containing all planar graphs
我们构造了次临界且包含所有可平面图的次闭可加图族。这与努伊的一个著名猜想（的一个方向）相矛盾。
2018-01-05 math.CO
Choosability in signed planar graphs
研究了符号可平面图的可选择性。证明了每个带符号的可平面图都是5-可选的，并且存在一个带符号的可平面图不是4-可选的，而无符号的图是4-可选的.对每个$k \in \{3,4,5,6\}$，每个不含长度为$k$的圈的带符号可平面图是4-可选的.此外，每个不含长为3和长为4的圈的带符号可平面图都是3-可选的。我们构造了一个围长为4的带符号可平面图，它不是3-可选图，而无符号图是3-可选图.
2015-09-07 math.CO
Nearly Planar Graphs and λ-flat Graphs
一个图G是n-几乎平面的，如果它可以嵌入球面中，使得它的每条边最多相交n次。近可平面图族是平面性概念的广泛推广。我们引入了一个替代的参数化图族，扩展了平面性的概念，λ-平坦图，这一次定义为平面图关于一个新的距离概念的幂，墙到墙的距离。我们证明了这两个参数化图类是参数等价的。
2013-11-01 math.CO
Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]的可平面图乘积结构定理指出，每个可平面图都是树宽有界的图和路的强乘积的子图，这个结果已经成为解决队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标号方案等重要公开问题的关键工具。在本文中，我们扩展了这条线的研究，利用浅子证明类似的产品结构定理的几个超越可平面图类。驱动我们工作的关键观察是，许多超越可平面图可以被描述为可平面图与小完全图的强积的浅子图。特别地，我们证明了平面图、$k$ -平面图、$(k,p)$ -簇平面图、扇平面图和$k$ -扇丛可平面图的幂都具有这种浅子结构.利用新旧结果的结合，我们推出了这些类具有有界的色数、有界的非重复色数、多项式$p$ -中心色数、线性强色数和立方弱色数.此外，我们证明了$k$ -间隙可平面图至少有指数局部树宽，因此，不能被描述为一个有界树宽图和一条路的强积的子图。
2022-06-17 math.CO
The Alon-Tarsi number of planar graphs
本文证明了任意平面图的Alon-Tarsi数至多为$5$，从而给出了可平面图的$5$ -可选择性和$5$ -可涂性的另一种证明.
2017-11-29 math.CO
Hamiltonicity of planar graphs with a forbidden minor
Tutte证明了$4$ -连通可平面图是Hamilton图，但众所周知$3$ -连通可平面图不一定是Hamilton图.证明了无$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通可平面图是Hamilton图.这并不延伸到$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通图in general，如Petersen图所示，也不延伸到$K_{2,6}$ -minor-free $3$ -connected可平面图，如我们通过无限族的例子所示。
2016-10-20 math.CO
Exponentially many Z5-colorings in simple planar graphs
每个n阶平面单图至少有2个^（n/9）Z5-染色。
2020-11-24 math.CO
Square of Planar Graphs of Max Degree Four without Five Cycles
本文证明了最大度为4的无五圈可平面图的平方的可选性至多为12。关键词：可平面图，可选性AMS数学学科分类：05C15
2022-10-24 math.CO
Multiple list colouring of planar graphs
本文证明了对每一个正整数$m$，存在一个可平面图$G$，它不是$(4m+\lfloor \frac{2m-1}{9}\rfloor,m)$ -可选的.在此基础上，我们给出了可平面图的多重列表着色的一些结果。
2016-05-16 math.CO
Asymptotic enumeration and limit laws of planar graphs
给出了$n$顶点上标号可平面图个数的一个渐近估计。我们还发现了随机可平面图中边数、连通分量数和其他参数的极限律。
2005-07-14 math.CO
Hamiltonicity of optimal 2-planar graphs
School of Mathematics, Hunan Normal University（湖南师范大学数学学院）；Department of Mathematics, Hunan First Normal University（湖南第一师范学院数学系）
本文研究最优2-平面图的哈密顿性，证明4-连通最优2-平面图是哈密顿连通的，同时指出顶点连通度为3时存在无穷多非哈密顿的最优2-平面图。
2025-12-31 math.CO
A Whitney type theorem for surfaces: characterising graphs with locally planar embeddings
证明了对任意参数r，r-局部2-连通图G在曲面中嵌入r-局部平面当且仅当与图G相关联的拟阵是上图.这扩展了惠特尼的抽象平面对偶定理从1932年。
2020-11-19 math.CO
Laurent polynomials of planar graphs
本文用Laurent图多项式代替通常的图多项式，即允许变量的负幂，简化了现有的确定可平面图的Alon-Tarsi数的方法.
2019-12-06 math.CO
A curvature notion for planar graphs stable under planar duality
Woess \cite{Woess98}在可平面图的边集上引入了一个曲率概念，称为$Ψ$ -曲率，它在平面对偶下是稳定的.研究了一类具有非负$Ψ$ -曲率的无限可平面图的几何性质和组合性质。利用放电方法，我们证明了对于这样一个无限图，顶点数（分别为）除了$k=3,4$或$6,$之外，次数为$k,$的面）是有限的。作为主要结果，我们证明了对于具有非负$Ψ$ -曲率的无限可平面图，度至少为$8$的顶点数与度至少为$8$的面数之和至多为1.
2019-09-17 math.CO
4-connected 1-planar chordal graphs are Hamiltonian-connected
本文研究了4-连通1-平面弦图，利用1-平面4-树的特性作为证明工具，证明所有此类图均为哈密顿连通的。
2024-04-24 math.CO
The spectral radius of $1$-planar graphs without complete subgraphs
本文研究了1-平面图的谱极值问题，确定了不含K3或K4的1-平面图的唯一谱极值图，并将不含K5的1-平面图的候选图限制在特定小家族中。
2025-12-15 math.CO
Twin-width of Planar Graphs is at most 9, and at most 6 when Bipartite Planar
Bonnet等人在[FOCS 2020]中引入了结构参数双宽度，并且这第一篇论文已经包含了通过非显式常数限制可平面图双宽度的渐进论证。最近，我们首次看到Jacob和Pilipczuk [arXiv，2022年1月]的183、Bonnet等人[arXiv，2022年2月]的583和Bekos等人[arXiv，2022年4月]的37的小的显式上界。证明了可平面图的孪生宽度至多为9。此外，如果一个可平面图也是二部图，则它的孪生宽度至多为6。
2022-08-29 math.CO
Further results on random cubic planar graphs
本文给出了几类标号三次可平面图个数的精确渐近估计，并分析了均匀分布下这类随机图的性质。Bodirsky等人（Random Structures Algorithms 2007）首先分析了该模型。我们回顾了他们的工作，并获得了新的结果计数的三次可平面图和随机三次可平面图。特别地，我们确定了随机三次平面图连通的确切概率，并证明了随机三次可平面图中三角形个数的分布是渐近正态的，具有线性期望和方差。据我们所知，这是第一次能够确定的渐近分布的数量的副本的固定图包含一个循环类的随机可平面图所产生的平面地图。
2019-07-25 math.CO
Planar cubic graphs of small diameter
三次平面$n$ -顶点图，其面的长度至多为$6$，例如，富勒烯图的直径为$Ω(\sqrt{n})$。人们怀疑，对于具有有界长度的面的三次可平面图，也可以得到类似的结果。本文给出了一类面的长度至多为$7$，直径至多为${O}(\log n)$的三次平面$n$ -顶点图，从而驳斥了上述怀疑.
2019-08-23 math.CO
A short proof of the existence of a minor-universal countable planar graph
本文提出了一种新的、更简短的次泛通用平面图构造方法，证明了其存在性。
2023-09-13 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Dense $2$-connected planar graphs and the planar Turán number of $2C_k$
本文将Shi等人关于回路图的结果推广到2-连通平面图，解决了其提出的问题，并据此证明当k≥5时，2C_k的平面Turán数为[3-Θ(k^{log₂3})⁻¹]n。
2025-04-16 math.CO
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
Planar graphs have exponentially many 3-arboricities
众所周知，任何平面或可投影可平面图都可以是3色的，使得每一个色类都导出一个森林。这个边界很锋利.在本文中，我们证明了，事实上有指数许多这类3-染色的任何（射影）可平面图。同样的结果也适用于3-列表着色的设置。
2011-10-21 math.CO
Complete colorings of planar graphs
本文研究了围长为4的平面图、外可平面图、可平面图和嵌在曲面上的图的消色差数和伪消色差数。给出了极大嵌入图的渐近紧结果和下界。
2018-04-06 math.CO
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
2017-12-25 math.CO
Eulerian-minors and a concise recursive characterization of 4-regular planar graphs
本文利用欧拉子式关系刻画欧拉图、平面欧拉图和外平面欧拉图，并给出4-正则平面图的简洁递归刻画。
2024-01-11 math.CO
On almost-planar graphs
一个非平面图G称为几乎平面图，如果对G的每条边e，G \e和G/e中至少有一个是平面图. 1990年，Gubser在他的论文中刻画了3-连通几乎-可平面图.然而，他的证明是如此之长，只有一小部分被公布。本文的主要目的是提供一个简短的证明这一结果。我们还讨论了非3-连通的几乎-可平面图的结构。
2016-03-07 math.CO
The square of a planar cubic graph is $7$-colorable
本文证明了G.Wegner在1977年提出的猜想：任何平面三次图的平方都是$7$ -可着色的.这里，$7$不能被$6$代替。
2017-08-15 math.CO
Acyclic List Colouring Locally Planar Graphs
该研究聚焦局部平面图的无环列表着色问题，证明局部平面图是无环9-列表可着色的，填补了此前该类图无环列表着色无固定色数上界的研究空白。
2024-12-12 math.CO
Local fractional metric dimension of rotationally symmetric planar graphs arisen from planar chorded cycles
本文通过平面弦环的边并合构造新的旋转对称平面图族，确定其局部分数度量维数，并利用渐近行为证明存在常数或有界局部分数维数的图族。
2021-05-17 math.CO
An algorithm for finding Hamiltonian Cycles in Cubic Planar Graphs
首先证明了在三次可平面图中寻找哈密顿圈与在对偶图中寻找具有特定性质的树之间的一一对应关系。利用这些信息，我们构造了一个精确的算法，在三次可平面图中寻找哈密顿圈。我们的算法的最坏情况下的时间复杂度是O $(2^n)$。
2015-12-04 math.CO
Kempe equivalence of $4$-critical planar graphs
通过对Mohar在2007年提出的一个问题的讨论，证明了对每个$4$ -临界可平面图，它的$4$ -染色集是一个Kempe类.
2022-07-04 math.CO
Note on 3-Choosability of Planar Graphs with Maximum Degree 4
判定一个可平面图（即使是最大度的图$4$）是否是$3$ -可着色的是NP-完全的。确定平面图的子类是$3$ -可着色的有很长的历史，但自从Grötzsch的结果，三角形自由可平面图是这样的，大部分的努力集中在解决哈维尔和斯坦伯格的图。本文证明了作为任意二部平面图的中间图的子图得到的最大度平面图$4$是$3$ -可选的.这些图允许有闭合的三角形（甚至是关联的），并且没有禁止的短圈，因此代表了与上述图推断的完全不同的一类图。
2019-06-16 math.CO
Induced Forests in Bipartite Planar Graphs
Akiyama和Watanabe证明了$n$顶点上的简单平面二部图至少在$5n/8$顶点上包含一个诱导森林.我们应用放电方法证明了每个$n$顶点上的简单二部可平面图至少在$\lceil (4n+3)/7 \rceil$顶点上包含一个诱导森林。
2016-04-30 math.CO
Kasteleyn cokernels and perfect matchings on planar bipartite graphs
Kasteleyn的行列式方法给出了平面二部图的完美匹配数的计算方法。另外，Bernardi的结果还证明了平面二部图的生成树与其雅可比矩阵的元素之间的双射.在本文中，我们探讨了类似的Bernardi的结果，提供了一个典型的简单传递群作用的Kasteleyn上核的平面二部图的完美匹配集，当平面二部图的问题是的形式$G^+$，定义的Kenyon，Propp和Wilson。
2018-08-29 math.CO
Multiple 3-Coloring, an Approach to 4-Coloring of Planar Graphs
一个可平面图可以嵌入到一个分片线性流形中，并且每个分片上的格可以用3-着色。如果一个可平面图可以用多个3-着色来着色，即用4种颜色的不同3-着色子集来分段着色图，则该图是4-可着色的。引入了多重3-着色的概念，研究了多重3-着色的可平面图的组合与划分问题。研究表明，可平面图一般可分解为独立的子图，且每个子图可三角剖分为多重3-着色的对称结构。
2023-03-09 math.CO
On the maximum degree of path-pairable planar graphs
一个图是路可配对的，如果对于它的任何顶点对，存在连接每对顶点的边不交路。研究了路可配对可平面图的最大度的性质。证明了任何$n$ -点路可配对可平面图必含有$n$中的度线性点.
2017-05-17 math.CO
Tropically planar graphs
研究了热带可平面图，即出现在光滑热带平面曲线上的图。给出了图是热带平面图的必要条件，并计算了直至亏格$7$的热带可平面图的个数.给出了热带可平面图个数的非平凡上下下界，证明了连通三价可平面图的渐近$0\%$是热带平面图.
2020-02-05 math.AG math.CO
DP-3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 7 or 9
本文证明了不含长为4，7或9的圈的可平面图是DP-3-可着色的.
2023-03-08 math.CO
On the maximum number of edges in planar graphs of bounded degree and matching number
我们确定了一个可平面图所能拥有的最大边数作为它的最大度和匹配数的函数。
2022-07-07 math.CO
Balanced Cayley graphs and balanced planar graphs
一个平衡图是一个二部图，它没有长度为2模4的导出回路。这些图出现在线性规划中。本文主要研究平衡图的图代数性质，证明了阿贝尔群上平衡Cayley图的一个完全分类。在第五节中，我们证明了不存在三次平衡可平面图。最后，还给出了平衡正则图的一些有意义的结果.
2007-07-02 math.CO
Subgraphs of 4-regular planar graphs
我们将给出一个判定给定的可平面图H是否能成为4-正则可平面图的子图的算法。该算法的运行时间为O（|H| ^{2.5}），并且可以用来寻找一个包含H的显式4-正则可平面图G，如果这样的图存在的话.我们是否指定H和G必须是单图或允许它们是重图都无关紧要。
2011-01-27 math.CO
The maximum matching extendability and factor-criticality of 1-planar graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文研究了1-平面图的匹配扩展性和因子临界性，证明了最优1-平面图无法3-可扩展，且无1-平面图可5-可扩展，同时构造了4-可扩展的1-平面图，并指出无图可7-因子临界。
2022-05-24 math.CO
Multiple list colouring triangle-free planar graphs
本文证明了对每一个正整数$m$，存在一个无三角形可平面图$G$，它不是$(3m+ \lceil \frac m{17} \rceil-1, m)$ -可选的.
2018-12-07 math.CO
Common neighbours in planar graphs
Università di Torino（都灵大学）
本文研究平面图中不同顶点共同邻居数量的分类问题，提出了一种完整分类方法，解决了平面图 $n$-度序列问题。
2025-11-24 math.CO
