On L-Injective Modules
Akeel Ramadan Mehdi
Jirásko引入了L-内射模的概念作为内射模的推广。本文的目的是研究L-内射模及其相关概念。
Jirásko introduced the concepts of L-injective module as a generalization of injective module. The aim of this paper is to study L-injective modules and some related concepts.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Schröder-Bernstein problem for relative injective modules
该研究针对相对内射模的Schröder-Bernstein问题，证明满足温和条件的模与同态类配对下，两个互为M-嵌入的K_M-内射模同构，正面解答了Marcos与Jiri提出的相关问题。
Injective modules and fp-injective modules over valuation rings
证明了使得每个不可分解的内射模是可数生成的几乎极大赋值环R满足条件（C）：每个fp-内射模是局部内射的.如果R是整环，则相反。证明了满足这一条件（C）的赋值环是几乎极大的.
Localization of injective modules over arithmetical rings
证明了有限Goldie维内射$R$ -模的局部化是内射的，如果$R$是满足以下条件的算术环：对每个极大理想$P$，$R_P$是凝聚的或不是半凝聚的.此外，如果每个双内射生成的$R$ -模都有有限的Goldie维数，则双内射$R$ -模的局部化也是双内射的.此外，如果$R$是有限特征的Prüfer整环，则内射$R$ -模的局部化是内射的.
A module is called coneat injective if it is injective with respect to all coneat exact sequences. The class of such modues is enveloping and falls properly between injectives and pure injectives. Generalizations of coneat injectivity, like relative coneat injectivity and full invariance of a module in its coneat injective envelope, are studied. Using properties of such classes of modules, we characterize certain types of rings like von Neumann regular and right SF-rings. For instance, R is a right SF-ring if and only if every coneat injective left R-module is injective.
In this paper, we introduce the notions of Gorenstein weak injective and weak flat modules respectively in terms of weak injective and weak flat modules, which is larger than classical classes of Gorenstein injective and flat modules. In this new setting, we characterize rings over which all modules are Gorenstein weak injective. Moreover, we also discuss a relation between weak cosyzygy and Gorenstein weak cosyzygy of a module, and the stability of Gorenstein weak injective modules.
Localization of injective modules over arithmetical rings
证明了有限Goldie维内射$R$ -模的局部化是内射的，如果$R$是满足以下条件的算术环：对每个极大理想$P$，$R_P$是凝聚的或不是半凝聚的.此外，如果每个双内射生成的$R$ -模都有有限的Goldie维数，则双内射$R$ -模的局部化也是双内射的.此外，如果$R$是有限特征的Prüfer整环，则内射$R$ -模的局部化是内射的.
Localization of injective modules over valuation rings
证明了赋值环R上的内射模E在素理想J上的局部化是内射的，如果J不是R的零因子子集，或者J或E是平坦的.由此得出h-局部Prüfer整环上的内射模的局部化也是内射的。
For a given class of R-modules Q, a module M is called Q-copure Baer injective if any map from a Q-copure left ideal of R into M can be extended to a map from R into M. Depending on the class Q, this concept is both a dualization and a generalization of pure Baer injectivity. We show that every module can be embedded as Q-copure submodule of a Q-copure Baer injective module. Certain types of rings are characterized using properties of Q-copure Baer injective modules. For example a ring R is Q-coregular if and only if every Q-copure Baer injective R-module is injective.
Almost projective and almost injective modules
我们描述环上的每个右模几乎是内射的。我们给出了环上的每一个简单的模块是一个几乎投射的描述。
A note on the construction of finitely injective modules
我们开发了一种技术来构造非平凡的非线性内射模，在这个意义上，它们不是内射模的直和。作为结果，我们证明了环$R$是左Noether的当且仅当每个双内射左$R$ -模是平凡的，从而回答了Salce提出的一个公开问题.
SS-Injective Modules and Rings
我们引入并研究了ss-内射性作为soc-内射性和小内射性的推广。一个模M称为ss-N-内射（其中N是一个模），如果从N的一个半单小子模到M的每个R-同态扩张到N。一个模M称为ss-内射（或强ss-内射），如果M是ss-R-内射（resp.对于每个右R模N，有ss-N-内射。给出了（强）ss-内射模和环的一些刻画和性质。将Amin，Yuosif和Zeyada关于soc-内射性的一些结果推广到ss-内射性。同时，我们给出泛极小内射环、拟弗罗贝尼乌斯环、Artin环和半单环的一些新的刻画.
Every module is an inverse limit of injective modules
证明了环R上的任意左模A都可以表示为一个内射模的内射子模的向下系统的交，等价地表示为内射的一对一同态的逆极限.如果R是左诺特式的，则A也可以写为内射的满同态系统的逆极限。提出了一些问题。
As an alternative perspective on the injectivity of a pure-injective module, a pure-injective module M is said to be pi-indigent if its subinjectivity domain is smallest possible, namely, consisting of exactly the absolutely pure modules. A module M is called subinjective relative to a module N if for every extension K of N, every homomorphism N \to M can be extended to a homomorphism K \to M. The subinjectivity domain of the module M is defined to be the class of modules N such that M is N-subinjective. Basic properties of the subinjectivity domains of pure-injective modules and of pi-indigen…
$n$-Strongly Gorenstein Projective, Injective and Flat modules
本文研究了$m$ -强Gorenstein投射（分别为P.内射）模和$n$ -强Gorenstein投射（分别为.单射）模，以及$m \neq n$-强Gorenstein投射（resp.内射）模。引入了$n$ -强Gorenstein平坦模的概念.然后研究了$n$ -强Gorenstein平坦模的同调行为，以及这些模与$n$ -强Gorenstein投射模（分别为P.内射）模。
Stable torsion theories and the injective hulls of simple modules
给出了左诺特环$R$的挠理论刻画，在该环上，单左模的内射壳是局部Artin的.利用挠理论得到了左诺特环满足这一有限性条件的充分条件。
Injective and Automorphism-Invariant Non-Singular Modules
每个自同构不变右非奇异$A$ -模是内射的当且仅当环$A$关于其右Goldie根的因子环是右强半素环.
Pure-injective hulls of modules over valuation rings
如果$\hat{R} is the pure-injective hull of a valuation ring $ R $, it is proved that $ \hat{R} \otimes \_RM $ is the pure-injective of $ M $, for each finitely generated module $ M $. Moreover, $ \hat{R} \otimes \_RM \simeq \oplus \_{1 \leq k \leq n} \hat{R} /A\_k \hat{R} $, where $ A\_1，.，A\_n $ is the annihilator sequence of $ M$。还研究了单序列模和多序列模的纯内射壳。可数生成多列模的两个纯合成列同构.
On $R$-Coneat Injective Modules and Generalizations
本文证明 $R$-锥嵌入内射模及其超类纯 Baer 内射模均为预包络类，并利用自锥嵌入内射模刻画了冯·诺依曼正则环等环类。
Isomorphisms between injective modules
本文证明了在满足特定封闭性条件的内射结构中，模间存在双向特定态射即意味着同构，推广了Bumby及Macías-Díaz的相关经典结论。
Injective hulls of simple modules over differential operator rings
研究了微分算子环$R[θ; d]$上单模的内射壳，给出了这些模是局部Artin模的必要条件.因此，我们刻画了$S=K[x][θ;σ, d]$的Ore扩展，$d$是$K$ -线性导子，$σ$是$K[x]$的$K$ -线性自同构，使得简单$S$ -模的内射壳是局部Artin的.
Rings whose mininjective modules are injective
本文刻画了极小内射模均为内射的环，证明其等价于每个极小平坦模均投射的诺特环，并研究了Kasch、交换及拟Frobenius情形，以及上三角矩阵环的充要条件，还构造了贫乏模的新例子。
Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls
证明了一个素右非奇异环（特别是单环）$R$是右自内射的，如果$R_R$在其内射壳的自同构下不变.这回答了辛格和斯利瓦斯塔瓦以及克拉克和Huynh提出的两个问题。并举例说明，当上述假设中的素环被半素环取代时，这一结论不再成立。还表明，自同构不变模正是伪内射模，回答了李和周最近的一个问题。进一步研究了循环模是自同构不变的环。
The endomorphism ring of an injective square-free module
设$M_R$是环$R$上的内射右模.证明了$M$的自同态环$S=(M_R)$是拟duo的当且仅当$M_R$是无平方的.
The Schröder-Bernstein problem for Modules
本文研究模的Schröder-Bernstein问题。我们得到了Schröder-Bernstein问题的一个正解的模不变的自同态下的一般包络下的一些温和的条件下，总是满足，例如，在内射，纯内射或余挠包络的情况下。在内射包络和纯内射包络的特殊情况下，我们能够进一步扩展它，我们表明，施罗德-伯恩斯坦问题有一个积极的解决方案，即使是模不变，只有下自同构的内射包络或纯内射包络。
Recently, in a series of papers "simple" versions of direct-injective and direct-projective modules have been investigated. These modules are termed as "simple-direct-injective" and "simple-direct-projective", respectively. In this paper, we give a complete characterization of the aforementioned modules over the ring of integers and over semilocal rings. The ring is semilocal if and only if every right module with zero Jacobson radical is simple-direct-projective. The rings whose simple-direct-injective right modules are simple-direct-projective are fully characterized. These are exactly the l…
Another Proof of a Theorem of Van den Bergh about Graded-Injective Modules
M. Van den Bergh证明了：若A是左Noether N-分次环，I是分次内射左A-模，则I在非分次意义下的内射维数至多为1.本文给出了这个结果的另一个证明。我们的证明遵循与Van den Bergh的原始证明相同的策略，但它在某种程度上更概念化，因为它隔离了维度跳跃的确切“原因”。
On the existence of divisible non-injective modules over Leavitt path algebras
本文研究Leavitt路代数上可除非内射左模的存在性，提出一个适用于该情境的可除性一般判据作为主要工具。
For a field $K$, let $\mathcal{R}$ denote the Jacobson algebra $K\langle X, Y \ | \ XY=1\rangle$. We give an explicit construction of the injective envelope of each of the (infinitely many) simple left $\mathcal{R}$-modules. Consequently, we obtain an explicit description of a minimal injective cogenerator for $\mathcal{R}$. Our approach involves realizing $\mathcal{R}$ up to isomorphism as the Leavitt path $K$-algebra of an appropriate graph $\mathcal{T}$, which thereby allows us to utilize important machinery developed for that class of algebras.
Injective hulls of simple modules over finite dimensional nilpotent complex Lie superalgebras
本文证明了：单U（g）-模的内射壳是局部Artin的有限维幂零复李超代数g，恰好是偶数部分g_0同构于具有余维1的交换理想的幂零李代数，或同构于交换李代数与某个5维或某个6维幂零李代数的直积的有限维幂零复李超代数g。
Injective Hulls of Simple Modules Over Nilpotent Lie Color Algebras
利用结合分次代数的上圈扭，刻画了由任意阿贝尔群分次的有限维幂零李色代数$L$，其包络代数$U(L)$具有单右$U(L)$ -模的内射壳是局部Artin的性质.我们也收集在一起的结果分级李代数所产生的这种特性。
Modules with cosupport and injective functors
一些作者研究了一类B-表现模的滤余极限闭包lim（B）. Lenzing称lim（B）为B中具有支集的模范畴，并证明了它等价于函子范畴（B^{op}，Ab）中的平坦对象范畴。本文研究了B中具有上支撑的模范畴（Mod-R）^B.证明了（Mod-R）^B等价于（B，Ab）中的内射对象范畴，从而恢复了Jensen-Lenzing关于纯内射模的一个经典结果. Angeleri-Hugel、Enochs、Krause、Rada和Saorin的工作使得讨论（Mod-R）^B的覆盖和包络性质变得容易，并且我们还比较了自然关联的B-相干性和B-诺特性的概念。最后，我们证明了lim（B）和（Mod-R）^B的一些稳定性结果。我们的应用包括推广Gruson-Jensen和Enochs关于平坦模的纯内射包络的结果。
In this paper, the notion of quasi-pseudo injectivity relative to a class of submodules, namely, quasi-pseudo principally injective has been studied. This notion is closed under direct summands. Several properties and characterizations have been given. In particular, we characterize Noetherian Rings and Dedekind Domains by quasi-pseudo principally injectivity.
Foxby equivalence relative to $C$-weak injective and $C$-weak flat modules
设$S$和$R$是环，$_SC_R$是（忠实）半对偶双模.我们分别引入并研究了$C$ -弱平坦模和$C$ -弱内射模作为$C$ -平坦模和$C$ -内射模的推广（J. Math. Kyoto Univ.47（2007），781-808），并利用它们提供了关于Auslander类$\mathcal{A}_C(R)$和Bass类$\mathcal{B}_C(S)$的子类之间重要的Foxby等价性的额外信息.然后我们研究了Auslander和Bass类的稳定性，这使得我们能够给出$\mathcal{A}_C(R)$和$\mathcal{B}_C(S)$中模的一些可供选择的刻画.最后，我们考虑一个开放的问题，这是密切相关的主要结果（Proc。Math.Soc.48（2005），75-90），并讨论了Bass类$\mathcal{B}_C(S)$和Gorenstein类内射模之间的关系。
Harmanci Injectivity of Modules
本文研究 Harmanci 内射模类，给出其刻画与性质，证明其构成包络并与特征模为 Matlis 内射的模类形成完美余挠理论，并探讨环的内射包络何时平坦。
For a given class of modules $\mathcal{A}$, we denote by $\widetilde{\mathcal{A}}$ the class of exact complexes $X$ having all cycles in $\mathcal{A}$, and by $dw(\mathcal{A})$ the class of complexes $Y$ with all components $Y_j$ in $\mathcal{A}$. We use the notations $\mathcal{GI}$ $(\mathcal{GF}, \mathcal{GP})$ for the class of Gorenstein injective (Gorenstein flat, Gorenstein projective respectively) $R$-modules, $\mathcal{DI}$ for Ding injective modules, and $\mathcal{PGF}$ for projectively coresolved Gorenstein flat modules (see section 2 for definitions). We prove that the following are …
Equivalence of Some Homological Conditions for Ring Epimorphisms
设$R$是右Ore环和左Ore环，$S$是其正则元集，$Q = R[S^{-1}] = [S^{-1}] R$是$R$的正则元的经典环.证明了若F.dim $(Q_Q) = 0$，则下列条件等价：$(i)$平坦右$R$ -模是强平坦的. $ (ii)$ Matlis余挠右$R$ -模是Enoch余挠。$(iii) $ $h$ -可除右$R$ -模是弱内射的。弱内射右$R$ -模的$(iv)$同态象是弱内射的。内射右$R$ -模的$(v)$同态象是弱内射的。$(vi)$右$R$ -弱维数的模$ \le 1$具有投射维数$\le1$。共扭对$(vii)$和$(\mathcal{F}_1,\mathcal{WI})$重合。$(viii)$可除右$R$ -模是弱内射的。这扩展了Fuchs和Salce（2017）关于交换环$R$上的模的结果。
(Strongly) $M-\pazocal{A}-$Injective(Flat) Modules
设$M$是左$R-$模，$\pazocal{A}=\{A\}_{A\in\pazocal{A}}$是$M$的一个子模族.引入了（强）$M-\pazocal{A}-\mathrm{injective}$和（强）$M-\pazocal{A}-\mathrm{flat}$模类，分别用$(S) M-\pazocal{A}I$和$(S) M-\pazocal{A}F$表示.得到了这些类的一些特征以及这些类之间的关系。此外，还研究了模块的$(S) M-\pazocal{A}I$和$(S) M-\pazocal{A}F$预覆盖和预包络。本文还研究了$\pazocal{A}$ -相干模块、$F\pazocal{A}$模块和$P\pazocal{A}$模块。最后，我们更一般地给出了$S-\pazocal{A}I(F)$模的特征，其中$\pazocal{A}=\{A\}_{A\in\pazocal{A}}$是一类左$R-$模。
A partition of the set of unary pp formulas into four regions is presented, which has a bearing on various structural properties of modules. The machinery developed allows for applications to IF, weakly coherent, nonsingular, and reduced rings, as well as domains, specifically Ore domains. One of the four types of formula are called high. These are used to define Ulm submodules and Ulm length of modules over any associative ring. It is shown that pure injective modules have Ulm length at most 1. As a consequence, pure injective modules over RD domains (in particular, pure injective modules ove…
Corings with exact rational functors and injective objects
我们描述了如何在模范畴的抽象局部化的一些方面有应用的研究内射余模在一些特殊类型的核。我们专门的一般结果的情况下，Doi-Koppinen模块，推广以前的结果在这种设置。
$\mathcal{X}$-Gorenstein projective and $\mathcal{Y}$-Gorenstein injective modules over tensor rings
本文研究了张量环上$\mathcal{X}$-Gorenstein投射和$\mathcal{Y}$-Gorenstein注入模的性质，并给出了相关模的特征化结果及应用。
Additive unit structure of endomorphism rings and invariance of modules
我们使用的类型理论的运营商环由于Kaplansky来描述的结构的模块是不变的自同构下的内射信封。同时，我们强调了布尔环在研究这类模中的重要性。作为这种方法的结果，我们能够进一步的研究由Dickson和Fuller发起的关于当一个模不变的自同构下的内射信封是不变的任何自同态下，特别是，我们找到了几类诺特环的条件，确保模块不变的自同构下的内射信封是拟内射。在交换诺特环的情形下，我们证明了任何自同构不变模都是拟内射的。我们还提供了多个例子，表明我们的条件是最好的可能，在这个意义上，如果我们进一步放松它们，然后存在自同构不变的模块，这不是拟内射。我们完成本文的对偶我们的结果的自同构共不变的情况下。
Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property
Warfield证明了每个内射模都具有交换性质。Fuchs证明了拟内射模满足交换性质。我们进一步推广这一点，并证明了一个模不变下的自同构的内射壳满足交换性质。我们还证明了自同构不变模是干净的，直接有限的自同构不变模满足内部抵消，从而消除性质。
Right orthogonal class of pure projective modules over pure hereditary rings
本文研究纯遗传环上纯投射模类$\u2113$对应的$\u2113$-内射模，证明其预包络、上预解的存在性及上分解性，刻画了相关维数等式与包络的等价条件，并给出半单阿廷环下的维数性质。
Gorenstein projective, injective and flat modules over trivial ring extensions
本文通过引入广义相容与广义余相容双模，给出了平凡环扩张上Gorenstein投射、内射和平坦模的显式刻画，并应用于具有零双模同态的Morita context环。
Injective Morita contexts (revisited)
本文讨论了所谓的内射Morita上下文（其中连接双模态射是内射的）和Morita $α$上下文（其中连接双模在Zimmermann-Huisgen意义下具有局部投射性）.在只有一个迹理想起作用或双模态射之间不需要相容性的情况下，我们引入了Morita半上下文和Morita数据的概念，并对它们进行了研究.内射森田数据将被用来（在静态和adstatic模块的帮助下）建立一些相交的子范畴之间的等价关系，这些子范畴与由森田数据的迹理想局部化或共局部化的模块的子范畴有关。最后我们将$α$ -context应用于$\ast$ -模和内射右宽Morita context.
Modules over strongly semiprime ring
$\textbf{Theorem 1.3.}$对于给定的环$A$，其具有右Goldie根$G(A_A)$，以下条件是等价的。$\textbf{1)}$每一个关于环$A$的某个本质右理想内射的非奇异右$A$ -模$X$都是内射模。$\textbf{2)}$ $A/G(A_A)$是右强半素环. $\textbf{Theorem 1.4.}$对于给定的环$A$，以下条件是等价的。$\textbf{1)}$ $A$是右强半素环. $\textbf{2)}$每一个右$A$ -模如果关于环$A$的某个本质右理想是内射的，则它是内射模，并且$A$是右非奇异的.
Global dimensions of rings with respect to a semidualizing module
本文引入了强G_C-投射模和强内射模的概念，其中C是半对偶模。利用这些模，我们得到了G_C-投射模和内射模的一个新的刻画，类似于自由模对投射模的刻画.定义并研究了环相对于半对偶模C的整体维数，证明了环R的整体GC-投射维数等于R的整体GC-内射维数.
On $L_{n}$-Injective Modules and $L_{n}$-Injective Dimensions
设$R$是一个环，$n$是一个固定的非负整数。一个$R$ -模$W$称为$L_{n}$ -内射，如果对于任何$R$ -模$M$，${\rm Ext}_{R}^{1}(M,W)=0$的平坦维数至多为$n$ .本文首先证明了（$\mathcal{F}_{n},\mathcal{L}_{n}$）是一个完全的遗传余挠理论，其中$\mathcal{F}_n$（分别为. $\mathcal{L}_n$）表示具有至多$n$的平坦维数的所有$R$ -模的类（相应地，$L_{n}$ -内射$R$ -模）。然后引入了模的$L_{n}$ -内射维数和环的$L_n$ -整体维数。最后，在具有弱整体维数$\leq n$的环、完全环和$L_n$ -遗传环上，给出了$L_{n}$ -内射模、模的$L_{n}$ -内射维数和环的$\mathcal{L}_{n}$ -整体维数的更多性质和应用.
RD-flatness and RD-injectivity
证明了RD-内射模是$Σ$ -RD-内射模的交换环是纯半单环与有限环的乘积。本文给出了每个Artin模都是RD-内射模的交换环的一个完全刻划。这些结果可以利用RD-平坦模和RD-上平坦模的性质得到，它们分别是平坦模和fp-内射模的RD-相对化。证明了交换环是完全环当且仅当每个RD-平坦模是RD-投射模。
Some remarks on injective envelopes on ring extensions
本文研究环扩张上的 $(R, S)_\star$-内射模及其包络的存在性，并证明当基环 $S$ 为纯半单环时，每个 $R$-模都具有 $(R, S)$-内射包络。
On the Goldie Dimension of Hereditary Rings and Modules
我们找到了遗传模的Goldie维数的一个界，它的拟内射壳的生成元集的基数。几个后果推导。特别地，证明了具有可数生成拟内射壳的右遗传模是诺特模。或者说，每一个右遗传环与numerous生成内射外壳是阿廷，从而回答了一个长期存在的公开问题所提出的Dung，戈麦斯帕尔多和Wisbauer。
Injectives over Leavitt path algebras of graphs with disjoint cycles
针对满足条件 (AR) 的有限图，本文利用模的形式幂级数扩张，显式构造 Leavitt 路代数上每个单左模的内射包。
$Σ$-pure-injective modules for string algebras and linear relations
证明了弦代数的不可分解$Σ$ -纯内射模是弦模或带模.我们证明的关键步骤是对无限维线性关系的分裂结果。
Let $R$ be a commutative local $k$-algebra of Krull dimension one, where $k$ is a field. Let $α$ be a $k$-algebra automorphism of $R$, and define $S$ to be the skew polynomial algebra $R[θ; α]$. We offer, under some additional assumptions on $R$, a criterion for $S$ to have injective hulls of all simple $S$-modules locally Artinian - that is, for $S$ to satisfy property $(\diamond)$. It is easy and well known that if $α$ is of finite order, then $S$ has this property, but in order to get the criterion when $α$ has infinite order we found it necessary to classify all cyclic (Krull) critical $S$…
Gorenstein injective envelopes and covers over two sided noetherian rings
证明了Gorenstein内射模类在双边诺特环上既包络又覆盖，使得Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦的.本文第二部分研究了Gorenstein内射模与强余挠模之间的关系。证明了当环R是有限克鲁尔维数的交换Noether时，Gorenstein内射模类与强余挠模类重合当且仅当环R是Gorenstein模.
Syzygy Modules and Injective Cogenerators for Noether Rings
本文主要研究了由Noether环的极小内射分解所决定的$n$ -合模和内射余生成元.本文研究了$n$ -合模和包含所有$n$ -合模的范畴$R_n(\mod R)$的性质及其在Auslander型环上的应用。然后，我们研究了由$R$的最小内射分解所确定的内射余生成元。证明了在至多$n$处，$R$是具有有限自内射维数Gorenstein当且仅当$\id R\leq n$和$\fd \bigoplus_{i=0}^n I_i(R)< \infty$ .一些已知的结果可以作为文中结果的推论得出.
It is shown that a ring is left semihereditary if and only each homomorphic image of its injective hull as left module is FP-injective. It is also proven that a commutative ring R is reduced and arithmetical if and only if E/U if FP-injective for any FP-injective R-module E and for any submodule U of finite Goldie dimension. A characterization of commutative rings for which each module of finite Goldie dimension is of injective dimension at most one is given. Let R be a chain ring and Z its subset of zerodivisors. It is proven that E/U is FP-injective for each FP-injective R-module E and each …
Behaviour of injective dimension with respect to regradings
给定一个被群G分次的左Noether k-代数A，一个G-分次A-模范畴中的内射对象I和一个从G到另一个群G '的态射，我们给出了I作为G'-分次A-模的内射维数的界.为此，我们使用三个变化的分级函子。大多数关于这些函子的构造都是在H-余代数的背景下进行的，其中H是一个霍普夫代数，所以我们在这个一般背景下发展它们。
FP-injective and weakly quasi-Frobenius rings
研究了FP-内射和弱拟弗罗贝尼乌斯环.这两类环的性质分别与FP-平坦模和自由模中的拟表示模的嵌入密切相关。利用这些性质，我们刻画了凝聚CF-环和凝聚FGF-环类。此外，还证明了群环R（G）是FP-内射的.弱拟Frobenius）当且仅当环R是FP-内射的（分别为弱拟弗罗贝纽斯）并且群G是局部有限的。
Injective Presentations of Induced Modules over Cluster-Tilted Algebras
每个簇倾斜代数$B$都是倾斜代数$C$的关系扩张$C\ltimes \text{Ext}^2_C(DC,C)$。一个$B$ -模块被称为诱导的，如果它对于某些$M$的$C$ -模块具有$M\otimes_C B$的形式。研究了$C$ -模的内射表示与诱导$B$ -模的内射表示之间的关系.我们的主要结果是一个明确的建设的模和态射的内射表示的任何诱导$B$ -模。在$C$ -模和$B$ -模是投射模的情况下，我们的构造得到一个内射归结。特别地，它给出了著名的1-Gorenstein性质的集群倾斜代数的模理论证明。
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