On subinjectivity domains of pure-injective modules
作为纯内射模的内射性的另一种观点，一个纯内射模M被称为pi-贫乏的，如果它的次内射性域是最小的，即，恰好由绝对纯模组成。一个模M称为相对于一个模N的次内射，如果对于N的每一个扩张K，每一个同态N \to M都可以扩张为同态K \to M.模M的次内射域定义为模N的类，使得M是N-次内射的。研究了纯内射模和pi-亏模的次内射域的基本性质。一个环的结构，其上的每个纯内射（分别）。简单的，一致的，不可分解的）模是内射的或仅相对于最小可能的模族是次内射的。这项工作是一个自然的延续，最近的论文，已经接受了系统的研究的subinjective和subprojective域的模块。
2019-04-02 math.RA
Relative injective modules, superstability and noetherian categories
本文研究三类封闭模类的$\boldsymbol{\text{mathcal{M}}}$-内射模的类贝尔准则，用模型论稳定独立关系论证，证明超稳定性等价于诺特范畴，并以此刻画多种环类。
2024-08-16 math.LO math.RA
Right orthogonal class of pure projective modules over pure hereditary rings
本文研究纯遗传环上纯投射模类$\u2113$对应的$\u2113$-内射模，证明其预包络、上预解的存在性及上分解性，刻画了相关维数等式与包络的等价条件，并给出半单阿廷环下的维数性质。
2024-11-01 math.RA
The Schröder-Bernstein problem for Modules
本文研究模的Schröder-Bernstein问题。我们得到了Schröder-Bernstein问题的一个正解的模不变的自同态下的一般包络下的一些温和的条件下，总是满足，例如，在内射，纯内射或余挠包络的情况下。在内射包络和纯内射包络的特殊情况下，我们能够进一步扩展它，我们表明，施罗德-伯恩斯坦问题有一个积极的解决方案，即使是模不变，只有下自同构的内射包络或纯内射包络。
2017-03-14 math.RA
Dimension and Torsion Theories for a Class of Baer *-Rings
通过纯代数证明，将有限von Neumann代数的许多已知结果推广到一类有限Baer *-环${\mathcal C}$上.本文的结果也可以看作是对${\mathcal C}$类中Baer *-环性质的研究。首先，我们证明了环上${\mathcal C}$类中的一个环生成模分裂为一个环生成投射模和一个挠模的直和。然后，我们从${\mathcal C}$定义了环上任意模的维数，并证明了这个维数具有[W. Lück，有限冯诺依曼代数上任意模的维数理论和$L^2$ - Betti数I：基础，J. Reine Angew。Math.495（1998）135- 162]。这个维度定义了一个我们证明等于Goldie和Lambek扭转理论的扭转理论。此外，在这个挠理论中，每一个非线性生成的模都是分裂的。如果$R$是环在${\mathcal C},$，我们可以嵌入它在一个正则环$Q$也在${\mathcal C}.$，我们表明，$K_0(R)$是同构的$K_0(Q)$通过生产一个显式同构和它的逆幺半群Proj $ (P)\to$ Proj $ (Q)$扩展到同构的$K_0(R)$和$K_0(Q)$。
2007-02-18 math.RA
Rings whose indecomposable modules are pure-projective or pure-injective
本文刻画了所有不可分解模均为纯投射或纯内射的环类，证明了诺特局部交换环情形等价于阿廷赋值环或特定秩条件的离散赋值域，并将一般交换环情形归结为 clean 算术环及其局部化条件。
2025-07-07 math.RA
Commutative rings whose cotorsion modules are pure-injective
设R是一个环（不一定是交换环）。称左R-模是余挠模，如果对任意平坦R-模G，Ext 1 R（G，M）= 0.众所周知，每个纯内射左R-模都是余挠的，但反过来就不成立了：例如，如果R是左完全的但不是左纯半单的，则每个左R-模都是余挠的，但存在非纯内射左模。本文的目的是刻画C类交换环R的每一余挠R-模都是纯内射的.很容易看出C包含冯诺依曼正则环类和纯半单环类。证明了C严格包含在局部纯半单环类中。本文证明了一个交换环R属于C当且仅当R满足下列条件之一：（1）R是凝聚的且R-模的每个纯本质扩张是本质的，（2）R是凝聚的且R-模的每个RD-本质扩张是本质的;（3）任意R-模M是纯内射的当且仅当对R的每个纯理想A，Ext 1 R（R/A，M）= 0（Baer准则）。
2016-03-24 math.AC math.RA
$Σ$-pure-injective modules for string algebras and linear relations
证明了弦代数的不可分解$Σ$ -纯内射模是弦模或带模.我们证明的关键步骤是对无限维线性关系的分裂结果。
2017-05-29 math.RA math.RT
High and Low Formulas in Modules
将一元pp公式集划分为四个区域，这与模的各种结构性质有关。机械开发允许应用到IF，弱相干，非奇异，减少环，以及域，特别是矿石域。四种类型的公式之一被称为高。它们用于定义任意结合环上的Ulm子模和模的Ulm长。证明了纯内射模的Ulm长度不超过1.因此，RD域上的纯内射模（特别是特征为0的域上的第一Weyl代数上的纯内射模）被分解为最大内射和约化子模。本研究为A. Martsinkovsky关于内射挠率
2021-11-03 math.RA
Coneat Injective Modules
一个模称为锥内射，如果它关于所有锥正合列是内射的。这类模是包络的，适当地落在注入式和纯注入式之间。研究了锥内射性的推广，如相对锥内射性和模在其锥内射包络中的完全不变性。利用这类模的性质，我们刻画了某些类型的环，如冯·诺依曼正则环和右SF-环。例如，R是右SF-环当且仅当每个锥内射左R-模都是内射的。
2019-03-19 math.RA
Modules with cosupport and injective functors
一些作者研究了一类B-表现模的滤余极限闭包lim（B）. Lenzing称lim（B）为B中具有支集的模范畴，并证明了它等价于函子范畴（B^{op}，Ab）中的平坦对象范畴。本文研究了B中具有上支撑的模范畴（Mod-R）^B.证明了（Mod-R）^B等价于（B，Ab）中的内射对象范畴，从而恢复了Jensen-Lenzing关于纯内射模的一个经典结果. Angeleri-Hugel、Enochs、Krause、Rada和Saorin的工作使得讨论（Mod-R）^B的覆盖和包络性质变得容易，并且我们还比较了自然关联的B-相干性和B-诺特性的概念。最后，我们证明了lim（B）和（Mod-R）^B的一些稳定性结果。我们的应用包括推广Gruson-Jensen和Enochs关于平坦模的纯内射包络的结果。
2008-07-22 math.RA
Some remarks on injective envelopes on ring extensions
本文研究环扩张上的 $(R, S)_\star$-内射模及其包络的存在性，并证明当基环 $S$ 为纯半单环时，每个 $R$-模都具有 $(R, S)$-内射包络。
2024-09-01 math.RA
Cosupports and minimal pure-injective resolutions of affine rings
我们证明了域$k$上的任何仿射环$R$都有完全的上支持，即，$R$的共支集等于${\rm Spec}\, R$。利用这一事实，我们给出了$R$的最小纯内射分解中所有项的完整描述，条件是$|k|=\aleph_1$和${\rm dim}\, R\geq 2$，或$|k|\geq \aleph_1$和${\rm dim}\, R=2$。作为推论，我们得到了Gruson猜想的部分答案。
2019-09-15 math.AC math.RA
Preenveloping Classes of Acts
么半群上作用的预包络的定义类似于Enochs对模的预包络的定义。如果它对纯子系是闭的，则证明了一类系在直积下是闭的时是精确预包络的。这类的例子包括绝对纯的、弱f-内射的和弱p-内射的作用。
2020-08-05 math.RA
Isomorphisms between injective modules
本文证明了在满足特定封闭性条件的内射结构中，模间存在双向特定态射即意味着同构，推广了Bumby及Macías-Díaz的相关经典结论。
2024-07-26 math.RA
Indecomposable pure-injective objects in stable categories of Gorenstein-projective modules over Gorenstein orders
给出了完备Gorenstein序上Gorenstein-投射模的Auslander-Ringel-Tachikawa型的一个结果.特别地，我们证明了完备Gorenstein序是有限Cohen-Macaulay表示型的当且仅当Gorenstein-投射模的稳定范畴中的每个不可分解纯内射对象是紧的.
2022-09-30 math.AC math.CT math.RA
On injective homomorphisms for pure braid groups, and associated Lie algebras
Artin的纯辫群的表示是否忠实的问题被转化为由纯辫群的降中心列产生的李代数的某些性质，从而通过T. Kohno \cite{kohno1,kohno2}。主要结果是一个李代数条件，它保证了一个同态的经典纯辫群是忠实的。然而，目前还不清楚这里的方法是否可以应用于任何开放的情况下，如Gassner表示。
2005-04-13 math.GR math.GT math.RA
A note on torsion modules with pure embeddings
我们研究了具有纯嵌入的Martsinkovsky-Russell扭模[MaRu 20]作为一个抽象初等类.在扭子模是纯子模的条件下，给出了纯内射模和$Σ$ -纯内射模相对于扭模类的模型论刻画.我们对相对$Σ$ -纯内射模的刻画严格推广了[GrJe 76]和[Zim，3.6]的经典刻画.我们研究了该类的极限模型，并在扭子模是纯子模的假设下，确定了该类何时是超稳定的。作为推论，我们证明了具有纯嵌入的扭阿贝尔群类是严格稳定的，即，稳定而不是超稳定。
2023-02-23 math.LO math.RA
On monoid graded semihereditary rings
University of Tabriz（大不里士大学）
研究分级左赫瑞德和左半赫瑞德环的模块性质，提供分级自由、投射、注入和平坦模块的分级版本，包括巴尔准则和拉兹洛定理。
2026-04-20 math.AC math.RA
FP-injectivity of factors of injective modules
证明了环是左半遗传的当且仅当其内射壳作为左模的每个同态像是FP-内射的。证明了交换环R是约化的和算术的当且仅当对任意FP-内射R-模E和有限Goldie维数的子模U，E/U是FP-内射的.给出了有限Goldie维数模的内射维数至多为1的交换环的一个刻划。设R是链环，Z是它的零因子子集.证明了：对于每个FP-内射R-模E和E的每个纯多序列子模U，如果R/I在其f.c.上完备，则E/U是FP-内射的.拓扑的每个理想I的顶部素理想是Z。如果每个底素理想为Z的不可分解内射模包含一个纯唯一子模，则反之成立。对某些链环R，我们证明了对任意FP-内射模E及其有限Goldie维数的子模U，即使R不是凝聚的，E/U也是FP-内射的.由此得出任何阿基米德链环是凝聚的或极大的当且仅当任何有限Goldie维数的内射模模的每个因子是内射的。
2019-11-08 math.AC math.RA
On cotilting cotorsion and torsion pairs
本文研究了由余倾斜模诱导的余挠和挠对。证明了余倾斜模的$Σ$ -纯内射性与诱导余挠对的有限型性质之间的强关系.特别是对于内射维数至多为1的余倾斜模，或对于诺特环，这两个概念是等价的。另一方面，我们证明了挠对是由$Σ$ -纯内射余倾斜模余生成的当且仅当它的心是局部Noetherian Grothendieck范畴.证明了任何含有内射维数不超过1的$Σ$ -纯内射余倾斜模的环必然是凝聚的.最后，对诺特环，我们刻画了由$Σ$ -纯内射余倾斜模诱导的余倾斜扭对。
2009-05-20 math.CT math.RA
A note on pure-semisimple rings
本文利用纯投射模和纯内射模的包络、覆盖、极限及直和、直积性质，给出左纯半单环的多种等价刻画。
2024-12-02 math.RA
Duality of Preenvelopes and Pure Injective Modules
设$R$是一个任意环，$(-)^+=\Hom_{\mathbb{Z}}(-, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$是整数环，$\mathbb{Q}$是有理数环，$\mathcal{C}$是左$R$ -模的一个子范畴，$\mathcal{D}$是右$R$ -模的一个子范畴，使得对任何$X\in \mathcal{C}$的$X^+\in \mathcal{D}$和$\mathcal{C}$中的所有模都是纯内射的.若$f^+: C^+\to A^+$是$A^+$的一个$\mathcal{D}$-（前）覆盖，则左$R$ -模与$C\in \mathcal{C}$的同态$f: A\to C$是$A$的一个$\mathcal{C}$-（前）包络.给出了该结果的一些应用。
2013-06-18 math.CT math.KT math.RA
On Pure Derived Categories
研究了模范畴的纯导出范畴的性质，证明了纯导出范畴具有经典导出范畴的许多优良性质.特别地，我们证明了有界纯导出范畴可以实现为某些同伦范畴。我们将介绍纯投影（分别）。单射）维数，并利用纯投射（分别是单射）维数的性质给出了计算这些维数的一些准则。单射）归结和纯导出函子。由此得到了环的纯环的整体维数的有限性的一些等价刻画。最后，纯投射（Pure Projective）。单射）决议的无界复杂的考虑。
2016-01-27 math.KT math.RA math.RT
RD-flatness and RD-injectivity
证明了RD-内射模是$Σ$ -RD-内射模的交换环是纯半单环与有限环的乘积。本文给出了每个Artin模都是RD-内射模的交换环的一个完全刻划。这些结果可以利用RD-平坦模和RD-上平坦模的性质得到，它们分别是平坦模和fp-内射模的RD-相对化。证明了交换环是完全环当且仅当每个RD-平坦模是RD-投射模。
2014-02-17 math.RA
Absolutely Self Pure Modules
一个$R$ -模$M$称为绝对自纯的，如果对于$R$的任何一个生成的左理想，其核在由$R$的所有左理想$L$的集合生成的滤子中，对于某个$m \in M$，$L \supseteq$ ann $(m)$，任何从$L$到$M$的映射都是一个映射$R \rightarrow M$的限制.将拟内射模和绝对纯模的某些性质推广到绝对自纯模。正则和左诺特环的特点是使用这个新的概念。
2015-04-13 math.RA
Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes
在本文中，我们发展了一个一般的理论，模的覆盖和包络下的自同构不变。当应用于内射包络、纯内射包络、余挠包络、投射覆盖、平坦覆盖等特殊情形时，这些结果推广并为文献中已有的各种结果提供了更为简洁明了的证明.我们的结果是基于对von Neumann正则环的加性单位结构的几个关键观察。
2014-04-28 math.RA
Pure resolutions of unbounded complexes of modules
设$R$是交换环.我们证明了对于$R$ -模的无界复形可以构造纯内射分解和纯投射分解。我们利用这些结果在无界纯导出范畴上得到了一个封闭的对称么半群结构。
2016-08-24 math.AC math.RA
Strongly exchange rings
环$R$中的两个元素$a,b$形成右互质对，记作$\langle a,b\rangle$，如果$aR+bR=R$。右互质对在左余挠环或交换环的研究中已被证明是非常有用的。本文利用强右交换环的降链定义了强右交换环类。我们证明了它们是半正则的，并且这类环包含左内射环、左纯内射环、左余挠环、局部环和左连续环。这使我们能够给出一个统一的研究所有这些类的环的行为下降链的权利互质对。
2022-01-17 math.RA
Fp-projective periodicity
本研究推广已有结果，证明FpProj-周期模为弱fp-投射模，且在局部有限表现Grothendieck范畴中该结论对对象成立，同时给出非纯PProj-周期模不必为纯投射模的反例。
2023-08-22 math.CT math.RA
Approximations and locally free modules
对于任意的模集合S，我们证明了有界C-分解维数的所有模类的precover（右逼近）的存在性，其中C是所有S-滤模的类。与此相反，我们使用无限维倾斜理论表明，类的所有局部自由模诱导的非和纯分裂倾斜模是不precovering。因此，对于任何可数的无限表示型遗传Artin代数，局部Baer模类都不是预覆盖的.
2012-10-26 math.RA math.RT
Superstability, noetherian rings and pure-semisimple rings
我们揭示了超稳定性的模型理论的概念之间的联系，诺特环和纯半单环。利用嵌入左模类的超稳定性刻画了诺特环。$\mathbf{Theorem.}$对于成形环$R$，以下是等效的。- $R$是左诺特。- 具有嵌入的左$R$ -模类是超稳定的. - 对每个$λ\geq |R| + \aleph_0$，存在$χ\geq λ$使得带嵌入的左$R$ -模类具有基数极限模型$χ$的唯一性. - 左$R$ -模类中的每个极限模型都是$Σ$ -内射的.利用具有纯嵌入的左模类的超稳定性刻画了左纯半单环。$\mathbf{Theorem.}$对于成形环$R$，以下是等效的。- $R$是左纯半单的。- 具有纯嵌入的左$R$ -模类是超稳定的. - 存在$λ\geq (|R| + \aleph_0)^+$使得具有纯嵌入的左$R$ -模类具有基数极限模型$λ$的唯一性. - 左$R$ -模类中的每一个极限模型都是$Σ$ -纯内射的.我们认为，这两个等价提供了证据，超稳定性的概念可以揭示在理解代数概念。由于本文是针对模型理论家和代数学家的努力，提供了背景。
2020-11-03 math.LO math.RA
Ringel's conjecture for domestic string algebras
对国产弦代数上的不可分解纯内射模进行了分类，验证了Ringel关于这类模结构的猜想.
2015-09-13 math.RA math.RT
Acyclic complexes of FP-injective modules over Ding-Chen rings
Ramapo College of New Jersey（新泽西拉马波学院）
本文提出了一种结合cotorsion对的方法，用于构建新的模型结构，并研究丁-陈环的稳定模块范畴，通过引入Gorenstein FP-pro-注入模块。
2026-02-10 math.CT math.RA math.RT
Characterizing categoricity in several classes of modules
我们表明，条件是明确的尾基数可以代数特征的几类模块。$Theorem.$假设$R$是一个单位结合环。1.局部纯内射$R$ -模类在$all$ $λ> |R|+\aleph_0$中是$λ$ -范畴的当且仅当$R \cong M_n(D)$对$D$是除环且$n \geq 1$ . 2.平坦$R$ -模类在$all$ $λ> |R| + \aleph_0$中是$λ$ -范畴的当且仅当$R \cong M_n(k)$对$k$是局部环使得它的极大理想是左$T$ -幂零的和$n \geq 1$ . 3.假设$R$是一个交换环。绝对纯$R$ -模类在$all$ $λ> |R| + \aleph_0$中是$λ$ -范畴的当且仅当$R$是局部Artin环.我们表明，在上述结果中，它是足够的假设$λ$ -范畴在$some$大基数$λ$。这表明Shelah的范畴性猜想对局部纯内射模、平坦模和绝对纯模类都成立。这些类对于任意环都不是一阶可公理化的。我们提供环，使得类的平坦模是分类的尾基数，但它不是一阶公理化。
2022-10-07 math.LO math.RA
Direct products of Gorenstein flat modules over coherent rings
Sichuan Normal University（四川师范大学）；Hangzhou Normal University（杭州师范大学）
本文构造了零Krull维数的交换凝聚局部代数及相关模，否定回答了右凝聚环上Gorenstein平坦模是否对直积封闭的问题，给出了相关等价条件并揭示了抽象初等类的性质。
2026-10-16 math.AC math.RA
Totalseparierte Moduln
设$(R, \mathfrak{m})$是一个Noether局部环，$M$是一个分离的$R$ -模（即$\bigcap\limits_{n\geq 1}\mathfrak{m}^n M = 0$），$\widehat{M} = \lim\limits_{\leftarrow} M/\mathfrak{m}^n M$是它的完备化.通常，$M$在$\widehat{M}$中不是纯的，并且$\widehat{M}$不是纯内射的。但是如果$M$是完全分离的，即$X\underset{R}{\otimes} M$对于所有的生成的$R$ -模块$X$都是分离的，情况会有所改善：在这种情况下，$M$在$\widehat{M}$中是纯的，并且在附加的条件下，$\widehat{M}$甚至是纯内射的，例如，如果$M\cong X^{(I)}$与生成的$X$或$M \cong\coprod_{i=1}^{\infty} R/\mathfrak{m}^i$保持一致。在第2节中，我们研究了在什么条件下PDMATHAMN和PDMATHAMR是完全分离的，并与严格纯本质扩张类建立了密切的联系。在第3节中，我们用$P = \prod_{i\in I} M_i$中$M$的$\mathfrak{m}$ -adic闭包$A$（即$A = \bigcap_{n \geq 1}(M + \mathfrak{m}^n P)…
2015-04-01 math.AC math.RA
$Σ$-pure injectivity and Brown representability
证明了右$R$ -模$M$是$Σ$ -纯内射的当且仅当$\mathrm{Add}(M)\subseteq \mathrm{Prod}(M)$ .因此，如果$R$是单位环，同伦范畴$\mathbf{K}({\mathrm{Mod}\text{-} R})$满足布朗表示定理当且仅当对偶范畴具有相同的性质。我们还应用主要结果对右纯半单环给出了新的刻画，或对G的一个问题给出了部分肯定的回答。伯格曼
2014-02-20 math.KT math.RA math.RT
Some stable non-elementary classes of modules
Fisher [Fis 75]和Baur [Bau 75]在70年代独立地证明了，如果$T$是扩展模理论的完全一阶理论，则具有纯嵌入的$T$的模型类是稳定的。在[Maz 4，2.12]中，有人问对于任何抽象初等类$(K, \leq_p)$是否也是如此，使得$K$是一个模类，而$\leq_p$是纯子模关系。在本文中，我们给出了一些情况下，这是真的：$\textbf{Theorem.}$假设$R$是一个结合环的单位。设$(K, \leq_p)$是一个AEC，使得$K \subseteq R\text{-Mod}$和$K$在有限直和下是闭的，则：-如果$K$在纯内射包络下是闭的，则$(K, \leq_p)$对每个$λ\geq LS(K)$是$λ$ -稳定的，使得$λ^{|R| + \aleph_0}= λ$。- 如果$K$在纯子模和纯满射像下是闭的，则$(K, \leq_p)$对每个$λ$都是$λ$ -稳定的，使得$λ^{|R| + \aleph_0}= λ$。- 假设$R$是Von Neumann正则的。如果$K$在子模下是封闭的，并且有任意大的模型，那么$(K, \leq_p)$对每个$λ$都是$λ$ -稳定的，使得$λ^{|R| + \aleph_0}= λ$。作为这些结果的应用，我们利用超稳定性给出了Noether环、纯半单环、Dedekind域和域的新刻画。此外，我们展示了如何…
2021-07-09 math.LO math.RA
On stable-projective and injective-costable decompositions of modules
证明了左遗传环的任意左模有稳定左模与不可分解投射左模的直和形式的表示（当且仅当任意左模有稳定左模与投射左模的直和形式的表示）当且仅当该环是左完全右凝聚的.在这种情况下，上述表示直到同构都是唯一的;后一种表示也是函子的。在上述陈述的证明的基本成分是一定的纯范畴的结果。这些陈述，特别是，意味着，对于任何主理想整环，这不是一个领域，基本定理的有限生成模，它不能推广到所有的情况下，模。此外，借助于上述范畴方法，我们给出了Zheng-Xu He的结果的一个新的证明，即环的任何模有唯一的直到同构的内射-上稳定分解当且仅当环是左遗传的和左Noether的.特别地，上述陈述暗示，如果左遗传环上的左模范畴是Krull-Schmidt的，则该环是左Artin的。另一个标准的环是左遗传，左完美和右连贯（分别。左遗传左诺特）的论文中发现，要求对$(Stable$ $modules$，$Projective$ $modules)$（分别。$(Injective$（$Modules, Costable$ $ Modules)$）是一个预扭理论。这意味着对$(Stable$ $modules$，$Projective$ $modules)$是一个挠理论当且仅当环是左遗传的，并且环的内射包络，被视为自身上的左模，是投射的。
2023-02-22 math.CT math.RA
Cotorsion pairs and Tor-pairs over commutative noetherian rings
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences（捷克科学院数学研究所）；Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
本文对交换诺特环上的遗传余挠对进行分类，利用环谱上的整值函数和局部深度条件描述左类，并通过对偶对应到遗传 Tor-对。
2026-10-02 math.AC math.RA
On the grade of modules over Noetherian rings
设$Λ$是左、右Noether环，$\mod Λ$是左生成的左$Λ$ -模范畴.本文证明了如下结果：（1）对于正整数$k$，对任意$1\leq i \leq k$，由$i$ -挠自由模构成的$\mod Λ$的子范畴与由$i$ -合合模构成的$\mod Λ$的子范畴重合的条件是左右对称的。(2)若$Λ$是Auslander环，且$N$在$\mod Λ^{op}$中有$\grade N=k<\infty$，则$N$是纯级$k$的当且仅当$N$可以嵌入到$Λ$的极小内射分解中的$(k+1)$ st项的有限直和中作为右$Λ$ -模。(3)假设$Λ$的左和右自内射维数都是$k$。如果对于任何$M\in\mod Λ$都有$\grade {\rm Ext}_Λ^k(M, Λ)\geq k$，对于任何$N\in\mod Λ^{op}$和$1\leq i \leq k-1$都有$\grade {\rm Ext}_Λ^i(N, Λ)\geq i$，则作为右$Λ$ -模的$Λ$的最小内射分解中的最后一项的脚柱是非零的。
2007-09-02 math.RA math.RT
On universal modules with pure embeddings
我们表明，某些类的模块具有普遍的模型，就纯嵌入。$Theorem.$设$R$是一个环，$T$是一个具有无限模型的一阶理论，它扩展了$R$ -模和$K^T=(Mod(T), \leq_{pp})$（其中$\leq_{pp}$代表纯子模）的理论.假设$K^T$具有联合嵌入和融合。如果$λ^{|T|}=λ$或$\forall μ< λ( μ^{|T|} < λ)$，则$K^T$具有基数$λ$的通用模型。作为特例，我们得到了Shelah [Sh 17，1.2]关于纯嵌入的泛约化无挠交换群的存在性的一个最近结果.我们开始研究具有联合嵌入和合并的$R$ -模类的极限模型。我们证明了长共尾链的极限模型是纯内射的，并刻画了可数共尾链的极限模型。这可以用来回答[Maz]的问题4.25。由于本文是针对模型理论家和代数学家的努力，提供了背景。
2020-02-21 math.AC math.LO math.RA
Quasi-cotilting modules and torsion-free classes
我们证明了所有拟余倾斜模都是纯内射的上内射模。由此得出，当M是拟余倾斜模时，类CogenM总是覆盖类。给出了拟余倾斜模的一些刻画。作为主要结果，我们证明了拟余倾斜模的等价类与无挠的覆盖类之间存在双射对应。
2016-01-07 math.KT math.RA math.RT
On the category of semi-graded modules
Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá（哥伦比亚国立大学波哥大校区）
本文证明了半分次环上的左半分次模范畴具有通过平移扭转的自由生成子集，从而赋予该范畴格罗滕迪克结构，并保证存在足够的内射和投射对象，进而建立了内射性的半分次Baer准则和投射分解的对偶理论。
2026-05-25 math.AG math.CT math.QA
Über rein-wesentliche Erweiterungen
设（R，m）是Noether局部环，$\mathcal{C}$是所有R-模M的类，M具有自反子模U，使得M/U是N-生成的.对于每个R-模$M\in \mathcal{C}$，规范嵌入$φ: M\to M^{oo}$是纯本质的。我们在第一节中研究了在哪些条件下反之成立，例如，如果R是离散赋值环，或者如果R没有幂零元幂零元且M是平坦的。在第二节中，我们借助于局部化$R_q$和R/q的内射壳之间的某种类比，确定了所有自反平坦R-模。在第3节中，我们表明：如果属性'纯本质'是传递的域R，那么它遵循$dim(R)\leq 1$。
2014-03-24 math.AC math.RA
Deconstructible classes of modules and stability
Baylor University（贝勒大学）；Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta（查理大学数学与物理学院）
研究具有特定嵌入的可解构模类的稳定性，通过构造类似稳定的独立关系进行论证，证明了任意环上自由无挠模等特定模类具有稳定性。
2026-07-13 math.LO math.RA
Cohen-Macaulay differential graded modules and negative Calabi-Yau configurations
在Gorensteindg代数上引入了Cohen-Macaulay（=CM）dg（=微分分次）模类，并研究了它们的基本性质.我们证明了CM dg模范畴在Nakaoka和Palu意义下构成一个Frobenius外三角范畴，并且它几乎允许分裂扩张。我们还详细研究了表示有限的$d$ -自内射dg代数$A$.特别地，我们将CM $A$的Auslander-Reiten（=AR）箭图按照$(-d)$ -Calabi-Yau（=CY）构型进行分类，这是$d=1$情形的Riedtmann构型.对任意给定的$(-d)$ -CY构型$C$，证明了存在一个$d$ -自内射dg代数$A$，使得CM $A$的AR代数由$C$给出.对于$A_{n}$型，利用$(-d)$ -CY构型与Coelho Similes给出的称为极大$d$ -Brauer关系的纯组合对象之间的双射，通过Brauer树dg代数构造了这样的$A$.
2020-08-02 math.AC math.RA math.RT
