Right orthogonal class of pure projective modules over pure hereditary rings
本文研究纯遗传环上纯投射模类$\u2113$对应的$\u2113$-内射模，证明其预包络、上预解的存在性及上分解性，刻画了相关维数等式与包络的等价条件，并给出半单阿廷环下的维数性质。
2024-11-01 math.RA
$\rm{FP}_{n}$-injective and $\rm{FP}_{n}$-flat covers and preenvelopes, and Gorenstein AC-flat covers
证明了对任何$n \geq 2$，$\rm{FP}_{n}$ -内射模类和$\rm{FP}_n$ -平坦模类都覆盖和预包络于任何环$R$上.这包括$\rm{FP}_{\infty}$ -内射和$\rm{FP}_{\infty}$ -平坦模（即绝对干净模块和绝对水平模块）的情况。然后我们考虑一类（强）Gorenstein平坦模的推广--（强）Gorenstein AC-平坦模（平坦模的正合复形的圈，当与任何绝对干净模张紧时，这些正合复形保持正合）.我们证明了Gorenstein平坦模的一些性质扩展到Gorenstein AC平坦模类，例如，我们证明了这个类是precovering任何环$R$。我们还证明了（与Gorenstein平坦模的情形一样）每个Gorenstein AC-平坦模都是强Gorenstein AC-平坦模的直和项.当$R$使得Gorenstein AC-平坦模类在扩张下闭时，反之亦然。我们还证明了如果Gorenstein AC-平坦模类在扩张下闭，则这类模是覆盖的。
2017-09-28 math.AC math.RA
Strict Mittag-Leffler modules and purely generated classes
我们研究严格Mittag-Leffler模相对于一个（模的）类$\cK$的版本，即$\cK$ -Mittag-Leffler模的\emph{strict}版本（在雷诺和格鲁森的技术意义上），正如在前面的论文中所研究的，{ \em Mittag-Leffler模和可定义的子范畴}，在这个系列中（以及arXiv）。
2020-08-04 math.RA
On (co)pure Baer injective modules
对于给定的R-模类Q，称模M为Q-余纯Baer内射，如果任意从R的Q-余纯左理想到M的映射都可以扩张为从R到M的映射.依赖于类Q，这个概念既是纯Baer内射性的对偶化，也是它的推广。证明了每个模都可以嵌入为Q-copure Baer内射模的Q-copure子模.某些类型的环的特征使用Q-纯Baer内射模的性质。例如环R是Q-上正则的当且仅当每个Q-上纯Baer内射R-模是内射的。
2018-08-02 math.RA
Pure projective tilting modules associated with a special ring and Goresntein properties
SASTRA Deemed to be University（萨斯特拉大学）；Institut des Hautes Études Scientifiques, Université Paris-Saclay（高等科学研究所，巴黎萨克雷大学）
本文引入纯倾斜遗传环的概念，证明其等价于在冯·诺依曼正则环上的遗传诺特环，并建立与Kaplansky猜想及Gorenstein同调结构的联系。
2026-06-28 math.RA
Characterizing categoricity in several classes of modules
我们表明，条件是明确的尾基数可以代数特征的几类模块。$Theorem.$假设$R$是一个单位结合环。1.局部纯内射$R$ -模类在$all$ $λ> |R|+\aleph_0$中是$λ$ -范畴的当且仅当$R \cong M_n(D)$对$D$是除环且$n \geq 1$ . 2.平坦$R$ -模类在$all$ $λ> |R| + \aleph_0$中是$λ$ -范畴的当且仅当$R \cong M_n(k)$对$k$是局部环使得它的极大理想是左$T$ -幂零的和$n \geq 1$ . 3.假设$R$是一个交换环。绝对纯$R$ -模类在$all$ $λ> |R| + \aleph_0$中是$λ$ -范畴的当且仅当$R$是局部Artin环.我们表明，在上述结果中，它是足够的假设$λ$ -范畴在$some$大基数$λ$。这表明Shelah的范畴性猜想对局部纯内射模、平坦模和绝对纯模类都成立。这些类对于任意环都不是一阶可公理化的。我们提供环，使得类的平坦模是分类的尾基数，但它不是一阶公理化。
2022-10-07 math.LO math.RA
A note on pure-semisimple rings
本文利用纯投射模和纯内射模的包络、覆盖、极限及直和、直积性质，给出左纯半单环的多种等价刻画。
2024-12-02 math.RA
Modules in which pure submodule is essential in a direct summand
本文研究了具有直和项中每个纯子模必素性质的模类。这些模被称为纯扩展模，这是扩展模的适当推广。给出了实例和反例。研究了纯扩张模的一些性质，并利用纯扩张模刻画了正则环、半单环、局部环和PDS环。
2022-09-09 math.AC math.RA
Rings whose indecomposable modules are pure-projective or pure-injective
本文刻画了所有不可分解模均为纯投射或纯内射的环类，证明了诺特局部交换环情形等价于阿廷赋值环或特定秩条件的离散赋值域，并将一般交换环情形归结为 clean 算术环及其局部化条件。
2025-07-07 math.RA
Pure resolutions of unbounded complexes of modules
设$R$是交换环.我们证明了对于$R$ -模的无界复形可以构造纯内射分解和纯投射分解。我们利用这些结果在无界纯导出范畴上得到了一个封闭的对称么半群结构。
2016-08-24 math.AC math.RA
A note on torsion modules with pure embeddings
我们研究了具有纯嵌入的Martsinkovsky-Russell扭模[MaRu 20]作为一个抽象初等类.在扭子模是纯子模的条件下，给出了纯内射模和$Σ$ -纯内射模相对于扭模类的模型论刻画.我们对相对$Σ$ -纯内射模的刻画严格推广了[GrJe 76]和[Zim，3.6]的经典刻画.我们研究了该类的极限模型，并在扭子模是纯子模的假设下，确定了该类何时是超稳定的。作为推论，我们证明了具有纯嵌入的扭阿贝尔群类是严格稳定的，即，稳定而不是超稳定。
2023-02-23 math.LO math.RA
$Σ$-pure-injective modules for string algebras and linear relations
证明了弦代数的不可分解$Σ$ -纯内射模是弦模或带模.我们证明的关键步骤是对无限维线性关系的分裂结果。
2017-05-29 math.RA math.RT
Finite-dimensional Nichols algebras of simple Yetter-Drinfeld modules (over groups) of prime dimension
该研究在特征零域下确定了所有生成有限维Nichols代数的素维数群上绝对不可约Yetter-Drinfeld模，通过引入辫子向量空间的阶并研究其退化与特化实现了这一目标。
2024-03-25 math.QA math.RA math.RT
On purity of Anderson t-modules
本文解决了几乎严格纯Anderson t-模的同构问题，证明纯t-模经基变换后同构于几乎严格纯t-模，并给出其同构于严格纯t-模的充要条件。
2026-07-30 math.NT math.RA
Commutative rings whose cotorsion modules are pure-injective
设R是一个环（不一定是交换环）。称左R-模是余挠模，如果对任意平坦R-模G，Ext 1 R（G，M）= 0.众所周知，每个纯内射左R-模都是余挠的，但反过来就不成立了：例如，如果R是左完全的但不是左纯半单的，则每个左R-模都是余挠的，但存在非纯内射左模。本文的目的是刻画C类交换环R的每一余挠R-模都是纯内射的.很容易看出C包含冯诺依曼正则环类和纯半单环类。证明了C严格包含在局部纯半单环类中。本文证明了一个交换环R属于C当且仅当R满足下列条件之一：（1）R是凝聚的且R-模的每个纯本质扩张是本质的，（2）R是凝聚的且R-模的每个RD-本质扩张是本质的;（3）任意R-模M是纯内射的当且仅当对R的每个纯理想A，Ext 1 R（R/A，M）= 0（Baer准则）。
2016-03-24 math.AC math.RA
Direct products of modules and the pure semisimplicity conjecture. Part II
证明了Noether代数的模范畴（即，代数模有限的诺特中心）和域上的仿射诺特PI代数享有以下乘积性质：每当一个直积$\prod_{n \in \Bbb N} M_n$生成的不可分解模$M_n$是一个直和的和生成的对象，有重复之间的同构类型的$M_n$ .具有此性质的环满足纯半单猜想，该猜想规定单侧纯整体维数为零必然有有限表示型。
2014-07-09 math.RA math.RT
Direct products of modules and the pure semisimplicity conjecture
本文证明了，如果$R$是Artin代数或交换Noetherian整环的克鲁尔维数$1$，则$R$ -模的无限直积抵抗直和分解如下：如果$(M_n)_{n \in \Bbb N}$是一族非同构的、非生成的、不可分解的$R$ -模，则$\prod_{n\in \Bbb N} M_n$不是有限生成模的直和.讨论了这种直积条件对纯半单性问题的影响。
2014-07-09 math.RA math.RT
Pure Projective Tilting Modules
设$T$是一个$1$ -倾斜模，它的倾斜挠对$({\mathcal T}, {\mathcal F})$具有这样的性质：导出的$t$ -结构（在导出范畴${\mathcal D}({\rm Mod} \mbox{-} R)$中）的中心${\mathcal H}_t$是Grothendieck.证明了这类倾斜扭偶的几个特征：（1）$1$ -倾斜模$T$是纯投射的;（2）${\mathcal T}$是${\rm Mod} \mbox{-} R$的一个可定义子范畴，且有足够的纯投射;（3）类${\mathcal T}$和${\mathcal F}$都是可公理化的.这项研究解决了Saorín提出的问题，即心脏是否等同于一个模块类别，即，纯投射$1$ -倾斜模是否倾斜等价于一个非对称呈现模。对于Krull-Schmidt环和交换环，答案是肯定的，每个纯投射$1$ -倾斜模都是投射的。一个标准是发现，产生一个否定的答案Saorín的问题的左，右诺特环。对于Dubrovin-Puninski环也得到了否定的答案，其理论在附录中介绍。Dubrovin-Puninski环也提供了以下例子：（1）非经典的纯投射$2$ -倾斜模;（2）非淤积的finendo拟倾斜模;（3）存在左几乎分裂态射$m: A \to B,$但不存在以$A.$开始的几乎分裂序列的非内射模$A$
2017-03-14 math.RA math.RT
Koszulity of algebras with non-pure resolutions
讨论了平凡模允许非纯分解的分次代数的某些同调性质。这类代数包括（12221）型和（13431）型的Artin-Schelter正则代数。在一定条件下，一个非纯归结模可分解为两个纯归结模的扩张。
2008-04-24 math.QA math.RA
Superstability, noetherian rings and pure-semisimple rings
我们揭示了超稳定性的模型理论的概念之间的联系，诺特环和纯半单环。利用嵌入左模类的超稳定性刻画了诺特环。$\mathbf{Theorem.}$对于成形环$R$，以下是等效的。- $R$是左诺特。- 具有嵌入的左$R$ -模类是超稳定的. - 对每个$λ\geq |R| + \aleph_0$，存在$χ\geq λ$使得带嵌入的左$R$ -模类具有基数极限模型$χ$的唯一性. - 左$R$ -模类中的每个极限模型都是$Σ$ -内射的.利用具有纯嵌入的左模类的超稳定性刻画了左纯半单环。$\mathbf{Theorem.}$对于成形环$R$，以下是等效的。- $R$是左纯半单的。- 具有纯嵌入的左$R$ -模类是超稳定的. - 存在$λ\geq (|R| + \aleph_0)^+$使得具有纯嵌入的左$R$ -模类具有基数极限模型$λ$的唯一性. - 左$R$ -模类中的每一个极限模型都是$Σ$ -纯内射的.我们认为，这两个等价提供了证据，超稳定性的概念可以揭示在理解代数概念。由于本文是针对模型理论家和代数学家的努力，提供了背景。
2020-11-03 math.LO math.RA
The homotopy category of acyclic complexes of pure-projective modules
设$R$是任何具有单位元的幺环。证明了纯投射$R$ -模的所有非循环链复形的同伦范畴是一个复生成的三角范畴。我们这样做，通过构建阿贝尔模型结构，把这个同伦范畴到一个与其他两个compensarily生成的三角范畴：通常导出范畴的$R$和纯导出范畴的$R$。这也为导出范畴提供了一个新的模型。
2022-01-20 math.AT math.CT math.RA
Indecomposable pure-injective objects in stable categories of Gorenstein-projective modules over Gorenstein orders
给出了完备Gorenstein序上Gorenstein-投射模的Auslander-Ringel-Tachikawa型的一个结果.特别地，我们证明了完备Gorenstein序是有限Cohen-Macaulay表示型的当且仅当Gorenstein-投射模的稳定范畴中的每个不可分解纯内射对象是紧的.
2022-09-30 math.AC math.CT math.RA
Duality of Preenvelopes and Pure Injective Modules
设$R$是一个任意环，$(-)^+=\Hom_{\mathbb{Z}}(-, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$是整数环，$\mathbb{Q}$是有理数环，$\mathcal{C}$是左$R$ -模的一个子范畴，$\mathcal{D}$是右$R$ -模的一个子范畴，使得对任何$X\in \mathcal{C}$的$X^+\in \mathcal{D}$和$\mathcal{C}$中的所有模都是纯内射的.若$f^+: C^+\to A^+$是$A^+$的一个$\mathcal{D}$-（前）覆盖，则左$R$ -模与$C\in \mathcal{C}$的同态$f: A\to C$是$A$的一个$\mathcal{C}$-（前）包络.给出了该结果的一些应用。
2013-06-18 math.CT math.KT math.RA
On universal modules with pure embeddings
我们表明，某些类的模块具有普遍的模型，就纯嵌入。$Theorem.$设$R$是一个环，$T$是一个具有无限模型的一阶理论，它扩展了$R$ -模和$K^T=(Mod(T), \leq_{pp})$（其中$\leq_{pp}$代表纯子模）的理论.假设$K^T$具有联合嵌入和融合。如果$λ^{|T|}=λ$或$\forall μ< λ( μ^{|T|} < λ)$，则$K^T$具有基数$λ$的通用模型。作为特例，我们得到了Shelah [Sh 17，1.2]关于纯嵌入的泛约化无挠交换群的存在性的一个最近结果.我们开始研究具有联合嵌入和合并的$R$ -模类的极限模型。我们证明了长共尾链的极限模型是纯内射的，并刻画了可数共尾链的极限模型。这可以用来回答[Maz]的问题4.25。由于本文是针对模型理论家和代数学家的努力，提供了背景。
2020-02-21 math.AC math.LO math.RA
On cotilting cotorsion and torsion pairs
本文研究了由余倾斜模诱导的余挠和挠对。证明了余倾斜模的$Σ$ -纯内射性与诱导余挠对的有限型性质之间的强关系.特别是对于内射维数至多为1的余倾斜模，或对于诺特环，这两个概念是等价的。另一方面，我们证明了挠对是由$Σ$ -纯内射余倾斜模余生成的当且仅当它的心是局部Noetherian Grothendieck范畴.证明了任何含有内射维数不超过1的$Σ$ -纯内射余倾斜模的环必然是凝聚的.最后，对诺特环，我们刻画了由$Σ$ -纯内射余倾斜模诱导的余倾斜扭对。
2009-05-20 math.CT math.RA
Geometric rigidity of simple modules for algebraic groups
University of York（约克大学）；The University of Manchester（曼彻斯特大学）
研究代数群单模的几何刚性，证明所有单\(G -\)模是几何刚性但非绝对刚性，通过研究特定代数找到与单模\(V\)相关的有限纯不可分扩张\(k_V/k\)，并在\(G\)光滑连通时结合相关理论给出\(k_V\)具体描述及细化维数公式等。
2026-07-28 math.GR math.RA math.RT
