Vertex Partitions of Chordal Graphs
\emph{$k$-tree}是一个没有$(k+2)$团的弦图。图$G$的一个\emph{$\ell$-tree-partition}是$G$的一个顶点划分成“袋”，这样每个袋收缩到一个单一的顶点给出了一个$\ell$ -树（在删除循环和用一个单一的边替换平行的边之后）。我们证明了对所有的$k\geq\ell\geq0$，每个$k$树都有一个$\ell$树划分，其中每个包都诱导出一个连通的$\floor{k/(\ell+1)}$树.对于有向$k$ -树也证明了类似的结果。
2004-08-07 math.CO
Characterizing forbidden induced subgraphs that force top vertices to be Gallai vertices
East China Normal University（华东师范大学）
本文确定了使连通无导出-H图的每个顶顶点均为Gallai顶点的图H，结论为H是阶数至多4的线性森林或P₃+2P₁。
2026-08-14 math.CO
The Existence of Graph whose Vertex Set Can be Partitioned into a Fixed Number of Domination Strong Critical Vertex-sets
设$γ(G)$表示图$G$的控制数。如果$γ(G-v)=γ(G)-1$，则顶点$v\in V(G)$称为$G$的\emph{critical vertex}。一个图称为\emph{vertex-critical}，如果它的每个顶点是临界的。本文相应地引入了两个这样的定义：（i）一个集合$S\subseteq V(G)$称为$G$的一个\emph{strong critical vertex-set}，如果$γ(G-S)=γ(G)-|S|$ ;（ii）一个图$G$称为\emph{strong $l$-vertex-sets-critical}，如果$V(G)$可划分为$G$的$l$强临界点集.在此基础上，我们推广了点临界图的已有结果，给出了强$l$ -点集临界图的一些性质。作为核心工作，我们研究了这类图的存在性，得到了存在强$l$ -顶点集临界连通图当且仅当$l\notin\{2,3,5\}$。
2022-08-30 math.CO
On the Activities and Partitions of the Vertex Subsets of Graphs
Crapo提出了一种构造具有拟阵结构的集合的布尔格的区间划分的方法。这种建设，在图形拟阵的背景下，是有关的概念，介绍了Tutte的边活动。这意味着连通图的每个生成子图可以通过删除内部活动边的唯一子集并添加外部活动边的唯一子集来从恰好一个生成树的边构造。由于顶点独立集族不产生拟阵结构，所以当使用独立集族作为生成集时，我们不能在顶点集上应用Crapo构造。本文引入顶点活动的概念来解决顶点集的布尔格的区间划分问题。我们展示了如何生成一个覆盖，提出了一些特殊的极大独立集的顶点活动相关的性质，并考虑了一些特殊的图。最后，我们将证明在修剪图的水平标号总是产生一个分区。
2021-03-24 math.CO
Characterizing partition functions of the edge-coloring model by rank growth
我们刻画了图的不变量是复数上的边着色模型的分拆函数，在相关的“连接矩阵”的秩增长。
2015-06-24 math-ph math.CO math.MP
Nullspace Vertex Partition in Graphs
图的核点集是图的不变量。它由与$\{0,1\}$ -邻接矩阵的零空间向量的非零项相关联的那些顶点组成。图的其余顶点形成核心-禁止顶点集。对于具有独立核顶点的图，如二部极小构型和树，零空间诱导出一个定义良好的三部顶点划分。这个划分的部分是核心顶点集，它们的邻居和远程核心-禁止顶点。远核禁止顶点的集合是那些不与任何核顶点相邻的顶点。我们表明，这一套可以删除，保持零不变。我们证明了对于具有独立核点的图，定义与核点关联的边的邻接矩阵的子矩阵决定了邻接矩阵的零性。为了最大化具有指定零度的最优网络图的边数，我们确定哪些扰动构成图的邻接矩阵的核心顶点集在添加边时保持不变的充分条件。
2020-05-09 math.CO
Characterizing Trees with Large Laplacian Energy
我们调查的问题，根据他们的拉普拉斯能量排序树。更精确地说，给定一个正整数$n$，我们找到一类基数近似$\sqrt{n}$，其元素是具有最大拉普拉斯能量的$n$ -顶点树。建立这一结果的主要工具是一个新的上界总和$S_k(T)$的$k$最大拉普拉斯特征值的$n$ -顶点树$T$直径至少为4，其中$k \in \{1,...,n\}$。
2012-05-29 math.CO
Cores of Vertex Transitive Graphs
图X的一个核是一个顶点极小子图，X允许一个同态到它。Hahn和Tardif证明了对于顶点传递图，核心的大小必须除以图的大小。这激发了下面的问题：什么时候可以顶点传递图的顶点集被划分成集，每一个诱导其核心的副本？我们表明，正常的凯莱图和顶点传递图的核心一半的大小总是承认这样的分区。我们还表明，顶点传递图的顶点集的核心小于一半的大小不，在一般情况下，有这样的分区。
2013-02-18 math.CO
Vertex-partitions of 2-edge-colored graphs
针对2边着色图的顶点划分问题，受有向图多数着色启发，提出$k$-多数划分概念，证明其存在4-多数划分、判定3-多数划分是NP完全问题，并给出存在平衡3-多数划分的图的度条件。
2025-08-26 math.CO
Vertex partition of hypergraphs and maximum degenerate subhypergraphs
Matamala在2007年证明了如果$G$是一个简单图，其最大度$Δ\geq 3$不包含$K_{Δ+1}$作为子图，并且$s, t$是正整数使得$s+t \geq Δ$，然后$G$的顶点集允许一个划分$(S,T)$使得$G[S]$是最大阶$(s-1)$-$G$和$G[T]$的退化子图是$G$的$(t-1)$ -退化子图。这个结果推广了Borodin，Bollobás和Manvel，Catlin，Gerencsér和Catlin和Lai的早期结果。在本文中，我们证明了一个超图版本的结果，并将其扩展到变量退化和分区成两个以上的部分，从而扩展了结果Borodin，Kostochka和托夫特。
2018-07-06 math.CO
Asymptotically Almost Every $2r$-regular Graph has an Internal Partition
图的内部划分是将顶点集划分为两部分，使得对于每个顶点，至少有一半的邻居在其一侧。证明了对每一个正整数$r$，几乎每一个$2r$ -正则图都渐近地有一个内部划分.
2017-08-16 math.CO
Characterizing extremal graphs for open neighbourhood location-domination
开邻域定位支配集是图$G$的顶点的集合$S$，使得$G$的每个顶点在$S$中都有邻居，并且对于$G$的任何两个顶点$u,v$，在$S$中至少有一个顶点是$u$和$v$中恰好一个的邻居。我们刻画了唯一的开邻域定位控制集是顶点整集的图。更精确地说，我们证明了这些图是完全的图，其所有的连通组件是半图（半图是一个特殊的二部图，两个部分的大小相同，其中每个部分可以排序，使连续顶点的开放邻域相差正好一个顶点）。这纠正了文献中的错误描述。
2021-06-17 math.CO
On the partition dimension of unicyclic graphs
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$V$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何解析分区中的最小集合数。本文得到了单圈图的划分维数的几个紧界。
2013-05-02 math.CO
Monochromatic cycle partitions in local edge colourings
一个图的边着色称为$r$ -局部着色，如果与任意顶点关联的边至多被$r$着色.推广了Bessy和Pastassé的一个结果，证明了任何$2$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为两个不相交的不同颜色的单色圈.此外，对任意自然数$r$，我们证明了任意$r$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为$O(r^2 \log r)$不相交的单色圈.这推广了Erdás，Gyárfás和Pyber的一个结果。
2015-05-10 math.CO
Preprocessing Vertex-Deletion Problems: Characterizing Graph Properties by Low-Rank Adjacencies
我们考虑$Π$ -自由删除问题的顶点覆盖的大小参数化，为一系列的图形属性$Π$。给定一个输入图$G$，这个问题问是否有一个至多$k$顶点的子集，其删除确保所得图不包含来自$Π$的图作为导出子图。许多顶点删除问题，如完美删除，无轮删除，区间删除适合这个框架。我们引入的概念，表征图形属性$Π$的低秩邻接，并使用它作为一个通用的核化定理的基石$Π$ -自由删除参数化的顶点覆盖的大小。由此产生的框架捕获的问题，如AT-自由删除，无轮删除，和间隔删除。此外，我们的新框架表明，当通过顶点覆盖进行参数化时，完美图的顶点删除问题具有多项式核，从而解决了Fomin等人的公开问题。[JCSS 2014]。我们的主要技术贡献表明如何线性代数依赖适当定义的向量$\mathbb{F}_2$意味着图论的陈述禁止诱导子图的存在。
2020-04-19 cs.DS math.CO
Vertex-partitioning into fixed additive induced-hereditary properties is NP-hard
图$G$的顶点能被划分成$A \cup B$，使得$G[A]$是线图，$G[B]$是森林吗？$G$能被划分为平面图和完美图吗？这些问题的NP-完全性只是我们结果的特殊情况：如果${\cal P}$和${\cal Q}$是加性诱导遗传图性质，则$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP-难的，唯一的例外是图2-着色（$\cal P$和$\cal Q$都是有限无边图的集合${\cal O}$的情况）。此外，$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP完全的当且仅当${\cal P}$ -和${\cal Q}$ -识别都是NP.这证明了Kratochv 'ıl和Schiermeyer的一个猜想。
2003-06-10 math.CO
On the partition dimension of trees
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$G$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是$G$的\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何分解分区中的最小集合数。本文给出了树的划分维数的几个紧界。
2011-10-24 math.CO
A Polynomial Time Algorithm for Vertex Enumeration and Optimization over Shaped Partition Polytopes
我们考虑{ \em Shaped Partition Problem}，将实$k$ -空间中给定的$n$划分为$p$部分，以最大化一个任意目标函数，该目标函数对每个部分中的向量之和是凸的，且每个部分中的元素个数受到任意约束.为了解决这个问题，我们研究了{ \em Shaped Partition Polytope}作为解的凸包。成形分割问题捕获了${\cal N}{\cal P}$ -困难问题，例如最大割问题和旅行商问题，并且成形分割多面体可以具有指数级多个顶点和面，即使当$k$或$p$是固定的。与此相反，我们表明，当$k$和$p$是固定的，在$n$的顶点数是多项式，所有的顶点可以枚举和优化问题解决的强多项式时间。解释，我们表明，任何形状的分区多面体有$O(n^{k{p\choose 2}})$顶点，可以列举在$O(n^{k^2p^3})$算术运算，任何形状的分区问题是可解的$O(n^{kp^2})$算术运算。
1997-04-29 math.CO
Component order edge connectivity, vertex degrees, and integer partitions
针对NP难的图的k-分量阶边连通度求解问题，研究推导了顶点度条件以给出该连通度的下界，分析了不同下界值的条件生成复杂度，并证明了相关整数分拆结果。
2023-10-07 math.CO
On Hamiltonians for six-vertex models
在本文中，我们解释了一个家庭的自由费米六顶点模型和一个离散时间演化算子的一维费米Fock空间之间的联系。冰模型的家庭推广与畴壁边界，我们专注于两套玻尔兹曼权重的分拆函数以前被证明是广义的生成函数的身份德山。我们产生相关的哈密顿恢复这些玻尔兹曼权重，并进一步计算的分拆函数使用交换关系和初等组合学。我们给出了这些分拆函数作为行列式的表达式，类似于舒尔多项式的雅可比-特鲁迪恒等式。
2016-05-31 math.CO
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
2022-03-12 math.CO
Switch Operators for the Six-Vertex Model
在本文中，我们介绍和分析了一个新的开关算子的六顶点模型。这个算子，来自杨-巴克斯特方程，使我们能够表示的分拆函数与任意边界的基本情况下，与畴壁边界条件。作为应用，我们得到了阶乘Schur函数及其推广的显式公式。我们的结果提供了新的见解之间的关系边界条件和分拆函数的六顶点模型。
2023-03-02 math.CO
Clique-partitioned graphs
$nv$阶的图$G$，其中$n\geq 2$和$v\geq 2$被称为弱$(n,v)$ -团划分的，如果其顶点集可以以唯一的方式分解为$n$顶点不相交的$v$ -团。它是强$(n,v)$ -团划分的，如果另外，$G$的唯一$v$ -团是分解中的$n$团。我们确定这样的图的结构，具有最大可能的边数。
2022-04-01 math.CO
Chordal bipartite graphs, biclique vertex partitions and Castelnuovo-Mumford regularity of $1$-subdivision graphs
本文研究1-细分图的正则性与双团顶点划分数之间的关系，证明了一般图的下界不等式，并针对弦二部图建立了等式，同时刻画了其独立复形的同伦类型。
2024-10-19 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$
Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。
2015-02-26 math.CO
Internal Partitions of Regular Graphs
$n$ -顶点图$G=(V,E)$的内部划分是$V$的一个划分，使得每个顶点在其自己的部分中具有至少与在其他部分中一样多的邻居。证明了每一个顶点为$n>N(d)$的$d$ -正则图都有一个内部划分.在这里，我们证明了$d=6$。$d=n-4$的情况下是特别感兴趣的，并导致有趣的新的三次图上的开放问题。我们还提供了新的下界$N(d)$，并找到新的家庭的图没有内部分区。这些问题的加权版本被认为是以及。
2013-07-19 math.CO
Vertex partitions of $(C_3,C_4,C_6)$-free planar graphs
一个图是$(k_1,k_2)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分为一个最大度至多为$k_1$的图和一个最大度至多为$k_2$的图.证明了每个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图都是$(0,6)$ -可着色的.我们还证明了判定一个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图是否是$(0,3)$ -可着色的是NP-完全的。
2017-11-23 cs.DM math.CO
Partitioning the vertex set of $G$ to make $G\,\Box\, H$ an efficient open domination graph
本文刻画了当 $H$ 为完全图（阶数≥3）或完全二部图时，笛卡尔积 $G\Box H$ 为高效开支配图的图 $G$，基于弱划分给出构造性刻画，并推广至 $H$ 为 4-圈或 5-圈的情形。
2016-06-01 math.CO
$λ$-Core Distance Partitions
图的$λ$ -核顶点对应于图的泛邻接矩阵$\mathbf{U}$的$λ$的某个特征向量的非零项。我们定义了一个分区的顶点集$V$的基础上的$λ$ -核心顶点集和它的邻居在一个距离$r$，并给出了一些结果有关的图的结构，这个分区。对于这样的划分，我们还定义了一个熵测度的信息内容的图，相关的每一个不同的特征值$λ$的$\mathbf{U}$，并讨论其性质和潜在的应用。
2020-12-22 math.CO
Characterizing $2$-Distance Graphs and Solving the Equations $T_2(X)=kP_2$ or $K_m \cup K_n$
设$X$是一个有限的简单图，其顶点集为$V(X)$ . $X$的$2$ -距离图$T_2(X)$是具有与$X$相同的顶点集的图，并且两个顶点相邻当且仅当它们在$X$中的距离正好是$2$。图$G$是$2$ -距离图，如果存在图$X$使得$T_2(X)=G$ .本文给出了$2$ -距离图的三个刻画，并找到了所有的图$X$使得$T_2(X)=kP_2$或$K_m \cup K_n$，其中$k \ge 2$是整数，$P_2$是阶$2$的路，$K_m$是阶$m \ge 1$的完全图.
2015-10-04 math.CO
The Six-Vertex Model with a Non-Standard Boundary Condition
针对边界条件由整数分拆确定的Brubaker-Bump-Friedberg六顶点模型，研究发现态数是分拆最大部分的多项式，并借此完整计数了钩形与阶梯形的态。
2023-10-08 math.CO
Colored Vertex Models and Interacting Reverse Plane Partitions
该研究通过引入局域相互作用分析同形状反向平面分拆对的耦合，证明其与Yang-Baxter可积有色顶点模型的双射关系，借助Yang-Baxter方程算出对应生成函数，并给出零相互作用强度下耦合分拆对与单个同形状分拆的双射。
2025-05-20 math-ph math.CO math.MP
Limited packings: related vertex partitions and duality issues
本文研究了图的最小 $k$-有限包装划分问题，给出了树中该参数的精确值与一般图的界限，解决了1998年提出的相关对偶开放问题，并证明计算总有限包装数是 NP-hard 的。
2023-08-31 math.CO
A note on internal partitions: the $5$-regular case and beyond
图的内部划分或友好划分是将顶点集划分为两个非空集合，使得每个顶点在自己的类中的邻居至少与另一个类中的邻居一样多。本文证明了除有许多反例外，每一个3、4或6-正则图都有一个内部划分。本文主要讨论了$5$ -正则的情形，证明了在最小度至少为$3$的子图中，存在一些交小的图.我们还讨论了某些Cayley图族的内部划分的存在性，特别是我们确定了所有不具有内部划分的$5$ -正则Abel Cayley图.
2021-09-29 math.CO
Decomposing the vertex set of a hypercube into isomorphic subgraphs
设$G$是超立方体$Q_k$的导出子图，其中有$k$ .证明了如果$|G|$是$2$的幂，那么对于足够大的$n$，$Q_n$的顶点集可以被划分为$G$的诱导拷贝.这回答了Offner的一个问题。事实上，我们证明了一个更强的声明：如果$X$是一个子集的$\{0,1\}^k$的一些$k$，如果$|X|$是一个权力的$2$，然后，足够大的$n$，$\{0,1\}^n$可以被分割成等距副本的$X$。
2016-11-07 math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Partition of graphs with maximum degree ratio
给定一个图$G$及其顶点集的一个非平凡划分$(V_1,V_2)$，一个顶点$v\in V_i$的满意度是它在$V_i$中的闭邻域的大小与它在$G$中的闭邻域的大小之比.所有顶点上的最差比率定义了分区的质量。我们定义$q(G)$为一个图的度比，它是所有非平凡划分上的最差度比的最大值。给出了某些图类的$q(G)$的界和精确值。我们还展示了一些相关的优化或判定问题的复杂性结果。
2021-12-13 math.CO
Factorization of rational six vertex model partition functions
本文证明了一类有理六顶点模型配分函数的因子化公式，结合广义域壁边界配分函数导出了梯形边界下的因子化公式，并讨论了其在真空形成概率中的应用。
2024-11-21 math-ph math.CO math.MP
Regularity inheritance in hypergraphs
给出了一种处理超图正则性的新方法。这种方法允许顶点的顶点嵌入到超图的常规分区，并推广到稀疏超图的常规分区。我们还证明了一个相应的稀疏超图正则性引理。
2019-01-17 math.CO
A note on graph compositions and their connection to minimax of set partitions
图的合成是顶点集的一个划分，使得该划分的每个成员导出一个连通子图，图的合成数是可能的图合成的个数。一个连续标号顶点集S的一个划分被称为在S中有一个极小极大顶点v，如果v的标号是划分的所有成员上的所有最大标号的集合中的最小标号。本文给出了一类图的合成数的递推公式，并建立了这类图的合成数与标号集（划分的每个成员上的所有最大标号的集合的最小标号）的划分的极大极小的合成数之间的联系。
2017-09-01 math.CO
Characterizing subgroup perfect codes by 2-subgroups
图$Γ$中的完美码是$V(Γ)$的子集$C$，使得$C$中没有两个顶点是相邻的，并且$V(Γ)\setminus C$中的每个顶点都恰好与$C$中的一个顶点相邻。设$G$是有限群，$C$是$G$的子集.如果存在$G$的Cayley图，且该图承认$C$为$G$的完美码，则称$C$为$G$的完美码.证明了$G$的子群$H$是$G$的完美码当且仅当$H$的Sylow $2$ -子群是$G$的完美码.这一结果为将一般群的子群完全码的研究简化为$2$ -群的子群完全码的研究提供了一条途径。作为应用，给出了特殊特殊线性群$\mathrm{PSL}(2,q)$的子群完美码的一个判定准则。
2022-11-06 math.CO
Cycle partitions of regular graphs
Magnant和Martin证明了$d$ -正则图$G$在$n$顶点上的顶点集可以被划分为$n / (d+1)$路（存在一个简单的构造表明这个界是最好的）.我们证明了这个猜想时$d = Ω(n)$，改进了韩，谁表明，在这个范围内几乎所有的$G$顶点可以覆盖的$n / (d+1) + 1$顶点不相交的道路。事实上，我们的证明给出了一个分区的$V(G)$到循环。我们还证明了，如果$d = Ω(n)$和$G$是二部图，那么$V(G)$可以划分成$n / (2d)$路（这个界是紧的二部图）。
2020-09-11 math.CO
Vertex Partitions into an Independent Set and a Forest with Each Component Small
对于任意整数k >= 2，我们确定mad（G）的一个精确界，使得V（G）可划分为集合I和F_k，其中I是一个独立集，G[F_k]是一个森林，其中每个分支至多有k个顶点.对于每个k，我们构造一个无限族的例子，表明我们的结果是最好的可能。我们的结果意味着每个围长至少为9的可平面图G（分别为1和2）都是可平面图. 8，7）有一个划分V（G）成一个独立集I和一个集F，使得G[F]是一个森林，其中每个分量的阶数至多为3（分别为）。4、6）。Henrik，Norin和Wood要求最大函数g（a，b）使得如果mad（G）< g（a，b）则V（G）有一个划分成集合A和B使得mad（G[A]）< a和mad（G[B]）< b。他们特别要求g（1，b）的值，即，当A是一个独立集时。以前，已知的唯一值是g（1，4/3）和g（1，2）。当4/3 < b < 2时，我们得到g（1，b）。
2021-05-27 math.CO
Internal partitions of $5$-regular and $8$-regular graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文证实了DeVos提出的关于r-正则图内部划分的问题，证明顶点数≥10^7的5-正则图和8-正则图均存在内部划分，补充了此前仅r∈{3,4,6}成立的结论。
2026-10-15 math.CO
Partitions of hypergraphs under variable degeneracy constraints
本文研究了超图划分为满足退化约束的导出子超图的问题。我们的超图可能有多条边，但没有循环。给定一个超图$H$和一个由$p\geq 1$顶点函数$f_i:V(H) \to \mathbb{N}_0$组成的序列$f=(f_1,f_2, \ldots, f_p)$，使得对所有的$v\in V(H)$都有$f_1(v)+f_2(v)+ \cdots + f_p(v)\geq d_H(v)$，我们想找到一个包含$H$的所有顶点的顶点不交诱导子超图序列$(H_1,H_2, \ldots, H_p)$，使得每个超图$H_i$都是严格$f_i$ -退化的，即对每个非空子超图$H'\subseteq H_i$都有一个顶点$v\in V(H')$，使得$d_{H'}(v)<f_i(v)$ .本文的主要结果是这样的超图序列存在当且仅当$(H,f)$不是所谓的硬对。硬对形成了一个递归定义的组态族，通过合并顶点的操作从三种基本类型的组态中获得。我们的主要结果有几个有趣的应用有关的广义超图着色问题。
2018-04-18 math.CO
Proof of a tournament partition conjecture and an application to 1-factors with prescribed cycle lengths
在1982年，Schlassen提出了一个问题：是否存在一个整数f（k，t）使得每个强f（k，t）-连通竞赛图T允许它的顶点集被划分为t个顶点类V_1，...，V_t使得对所有i，V_i在T上诱导的子竞赛图T[V_i]是强k-连通的。我们的主要结果意味着对这个问题的肯定回答。特别地，我们证明了f（k，t）= O（k^7t^4）就足够了。作为我们的主要结果的另一个应用，我们给一个肯定的回答宋的一个问题，是否，对于任何整数t，存在一个整数h（t），使每个强h（t）-连通竞赛有一个1-因子组成的t顶点不相交的周期的规定长度。我们证明了h（t）= O（t^5）就足够了。
2015-11-05 math.CO
Vertex Partitions and Maximum $\G$-free Subgraphs
我们定义了一个$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分为一个给定的图$H$和图形属性$P_1, P_2, \ldots, P_k$作为一个分区，其中每个$V_i$诱导一个子图的$H$与属性$P_i$。Matamala（2007）扩展了这个结果，证明了对于任何具有$Δ(H)=p+q$的图$H$，存在$V(H)$的$(V_1, V_2)$ -划分，其中$H[V_1]$是最大阶$(p-1)$ -退化诱导子图，$H[V_2]$是$(q-1)$ -退化。另外，Catlin和Lai证明了如果$Δ(H)\geq 5$，$H$有$(V_1, V_2)$ -划分使得$H[V_1]$是最大阶无圈导出子图，$ω(H[V_2])\leq Δ(H)-2$，和$Δ(H[V_2])\leq Δ(H)-2$ . Rowshan和Taherkhani证明了给定一个图$G$，其最小度为$δ(G)$，并且对于$k=\lceil \frac{Δ(H)}{δ(G)}\rceil$，存在$H$的顶点集的$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分，使得每个$H[V_i]$是$G$ -free的，这意味着它不包含与$G$同构的子图，并且$H[V_1]$是最大阶$G$ -free的导出子图.在本文中，我们提出了一个新的结果，连接图$H$与$Δ(H)\geq 5$和没有$K_{Δ(H)+1}\set…
2023-09-03 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $r$-edge-coloured graphs with high minimum degree
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
该研究解决了高最小度数r边着色图的单色环覆盖问题，证明了所需单色环数量的上界，并推翻了关于单色树覆盖的猜想。
2026-01-29 math.CO
Edge Partitions of Optimal $2$-plane and $3$-plane Graphs
拓扑图是在平面上画出的图。一个拓扑图是$k$平面，$k>0$，如果每个边最多交叉$k$次.研究了对$k$ -平面图的边进行划分，使得每个分集构成一个结构更简单的图的问题。虽然这个问题已经研究了$k=1$，我们专注于最佳的$2$ -平面和$3$ -平面图，这是$2$ -平面和$3$ -平面图的最大密度。我们证明了以下结果。(i)这是不可能的分区的边缘的一个简单的最佳$2$ -平面图成一个$1$ -平面图和森林，而（ii）的边缘分区形成的$1$ -平面图和两个平面森林总是存在的，可以在线性时间计算。(iii)我们描述了有效的算法划分成一个简单的最佳$2$ -平面图的$1$ -平面图和平面图的最大顶点度$12$，或与最大顶点度$8$，如果最佳的$2$ -平面图是这样的，它的交叉自由的边缘形成一个图没有分离的三角形。(iv)我们给出了一个简单的最优$2$ -平面图的无限族，使得在由一个$1$ -平面图和一个平面图组成的任意边划分中，平面图的最大顶点度至少为$6$，$1$ -平面图的最大顶点度至少为$12$ . (v)我们证明了每一个最优的$3$ -平面图的交叉自由的边缘形成一个双连通图可以分解，在线性时间，到一个$2$ -平面图和两个平面森林。
2018-06-21 math.CO
Equitable partitions of regular graphs, and perfect sets in normal Cayley graphs
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne（墨尔本大学数学与统计学院）
本文研究了正则图的公平划分条件，并基于此推导了正常赛尔图中存在(a,b)-完美集的必要条件，涉及图的不可约特征标。
2026-05-17 math.CO
Partitioning orthogonal polygons into at most 8-vertex pieces, with application to an art gallery theorem
证明了$n$顶点的单连通正交多边形都可以划分为至多8个顶点的$\left\lfloor\frac{3 n +4}{16}\right\rfloor$（单连通）正交多边形.给出了A. Aggarwal的$\left\lfloor\frac{3 n +4}{16}\right\rfloor$移动警卫足以控制内部的$n$顶点正交多边形。此外，我们加强了这一结果，要求组合警卫（能见度只需要在巡逻的端点），并禁止交叉巡逻。这对O'Rourke的两个问题给出了肯定的答案。我们的结果也是“元定理”的一个进一步的例子，（正交）画廊定理是基于分割定理。
2016-07-03 cs.CG math.CO
On restrained coalitions in graphs: bounds and exact values
Sobolev Institute of Mathematics（西伯利亚数学研究所）
本文研究了图中的受限联盟问题，证明了受限联盟数RC(G)不大于联盟数C(G)，并确定了环和树的受限联盟数。
2025-12-12 math.CO
On the $k$-partition dimension of graphs
作为图的划分维数概念的推广，本文引入了图的$k$ -划分维数的概念。给定一个非平凡连通图$G=(V,E)$，如果任何一对不同的顶点$u,v\in V$至少由$Π$的$k$顶点集区分，则称$V$的一个划分$Π$是$G$的$k$-划分生成器，\emph{i.e}，存在至少$k$顶点集$S_1,\ldots,S_k\inΠ$，使得对于每个$i\in\{1,\ldots,k\}$，都有$d(u,S_i)\ne d(v,S_i)$。在所有$k$ -分区生成器中具有最小基数的$G$的$k$ -分区生成器称为$G$的$k$ -分区基，其基数称为$G$的$k$ -分区维数。一个非平凡连通图$G$是$k$ -划分维的，如果$k$是使得$G$具有$k$ -划分基的最大整数.给出了图是$r$ -划分维数的一个充分必要条件，并得到了关于$k\in\{1,\ldots,r\}$的$k$ -划分维数的几个结果.
2018-09-16 math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
